广东高考试题分类汇编解几解答题部分
2004——2011 年广东高考试题分类汇编——
解析几何（解答题部分）
1、（2004 年 22 题）
设直线 与椭圆 相交于 两点， 又与双曲线 相交于 C、D 两点，
三等分线段 ，求直线 的方程．
解：首先讨论 l 不与 x 轴垂直时的情况，设直线 l 的方程为 y=kx+b，如图所示，l 与椭圆、双曲线
的交点为：
依题意有 ，由
得 ……（1）
由 得 ……（2）
若 ，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故
由
或
(i)当 时，由(1)得 ，由(2)得
l
2 2
125 16
x y+ = ,A B l 2 2 1x y− =
,C D AB l
),(),,(),,(),,( 44332211 yxDyxCyxByxA
y
xo
l
A
B
C
D
, 3AC DB AB CD= =
2 2
125 16
y kx b
x y
= + + =
2 2 2(16 25 ) 2 (25 400) 0k x bkx b+ − + − =
1 2 2
50
16 25
bkx x k
∴ + = − +
2 2 1
y kx b
x y
= +
− =
2 2 2(1 ) 2 ( 1) 0k x bkx b− − − + =
1±=k 1±≠k
243 1
2
k
bkxx −
=+∴
3 1 2 4 1 2 3 4AC DB x x x x x x x x= ⇒ − = − ⇒ + = +
2 2
50 2 0 016 25 1
bk bk bk kk k
⇒ − = ⇒ = ⇒ =+ − 0b =
0k = 2
1,2
5 164x b= ± − 2
3,4 1x b= ± +
由 ，即
故 l 的方程为
(ii)当 b=0 时，由(1)得 ，由(2)得
由 即
故 l 的方程为
再讨论 l 与 x 轴垂直的情况．
设直线 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，
由
即
故 的方程为
综上所述，故 l 的方程为 、 和
2、（2005 年 17 题）
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2 上异于坐标原点 O 的两不同动点 A、B 满足 AO⊥
BO（如图 4 所示）.
（Ⅰ）求△AOB 的重心 G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
2 1 4 33 3( )AB CD x x x x= ⇒ − = − 2 210 1616 6 14 13b b b− = + ⇒ = ±
13
16±=y
1,2 2
20
16 25
x
k
= ±
+ 3,4 2
1
1
x
k
= ±
−
2 1 4 33 3( )AB CD x x x x= ⇒ − = −
2 2
40 6 16
2516 25 1
k
k k
= ⇒ = ±
+ −
xy 25
16±=
2 2
1,2 3,4
4 25 , 15y c y c= ± − = ± −
2 1 4 3| | 3| | | | 3| |AB CD y y y y= ⇒ − = −
2 28 25 24125 6 15 241c c c− = − ⇒ = ±
l 25 241
241x = ±
13
16±=y xy 25
16±=
241
24125±=x
解：（I）设△AOB 的重心为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …（1）
∵OA⊥OB ∴ ,即 ，……(2)
又点 A，B 在抛物线上，有 ，代入（2）化简得
∴
所以重心为 G 的轨迹方程为
（II）
由（I）得
当且仅当 即 时，等号成立。
所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值 1；
3、（2005 年 20 题）
在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1，AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴的
正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图 5 所示）.将矩形折叠，使 A 点落在线段 DC 上.
（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折痕所在直线的方程；
（Ⅱ）求折痕的长的最大值.
解(I) （1）当 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程
+=
+=
3
3
21
21
yyy
xxx
1−=⋅ OBOA kk 12121 −=+ yyxx
2
22
2
11 , xyxy == 121 −=xx
3
233
2)3(3
1]2)[(3
1)(3
1
3
22
21
2
21
2
2
2
1
21 +=+×=−+=+=+= xxxxxxxxyyy
3
23 2 += xy
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1 2
1))((2
1||||2
1 yyyxyxxxyxyxOBOAS AOB +++=++==∆
122
12)1(22
1222
122
1 66
2
6
1
6
2
6
1 =×=+−=+⋅≥++=∆ xxxxS AOB
6
2
6
1 xx = 121 −=−= xx
0=k 2
1=y
O (A) B
CD
X
Y
（图 5)
（2）当 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1)
所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称，有
故 G 点坐标为 ，从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标（线段 OG 的中点）为
折痕所在的直线方程 ，即
由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：
（II）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为
解 得 ； 解 得
当 A 与 D 重合时，k=－2
（1）当 时，直线交 BC 于
.
（2）当 时，
令 解得 , 此时
∴
（3）当 时，直线交 DC 于
所以折痕的长度的最大值为
4、（2006 年 18 题）
0≠k
kakakkOG −=⇒−=−=⋅ 11,1
)1,( kG −
)2
1,2( kM −
)2(2
1 kxky +=− 2 1
2 2
ky kx= + +
2 1
2 2
ky kx= + +
)0,2
1(),2
1,0(
22
k
kPkN
+−+
2 1 12
k + ≤ 1 0k− ≤ ≤
2 1 22
k
k
+− ≤ 2 3 2 3k− − ≤ ≤ − +
2 3 0k− + ≤ ≤
2
' 1(2,2 )2 2
kP k + +
2 2
' 2 2 2 21 12 [ (2 )] 4 4 4 4(7 4 3) 32 16 32 2 2
k ky P N k k
+= = + − + + = + ≤ + − = −
1 2 3k− ≤ ≤ − +
2 2 2 3
2 2 2
2
1 1 ( 1)( ) ( )2 2 4
k k ky PN k k
+ + += = + − =
4
32222
/
16
8)1(42)1(3
k
kkkkky
⋅+−⋅⋅+=
0/ =y 2
2−=k 2 27
16y PN= =
2
max 32 16 3PN = −
2 1k− ≤ ≤ − ' 1( ,1)2 2
kN k
−
2
'2 2 2
2
1 1 11 [ ( )] 1 1 1 22 2 2
k ky PN k k k
+= = + − − − = + ≤ + =
32 16 3 2( 6 2)− = −
设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分
别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线
的对称点.求
(I)求点 的坐标；
(II)求动点 的轨迹方程.
解: (Ⅰ)令 解得
当 时, , 当 时, ,当 时,
所以,函数在 处取得极小值,在 取得极大值,故 ,
所以, 点 A、B 的坐标为 .
(Ⅱ) 设 ， ，
，所以 ，又 PQ 的中点在 上，所以
消去 得
5、（2007 年文科 19 题）
在平面直角坐标系 中，已知圆心在第二象限，半径为 的圆 与直线 相切于
坐标原点 ，椭圆 与圆 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 ．
（1）求圆 的方程；
（2）试探究圆 上是否存在异于原点的点 ，使 到椭圆右焦点 的距离等于线段 的
长．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
解: (1) 设圆 C 的圆心为 (m，n)
则 解得
3( ) 3 2f x x x= − + + 1 2x x、 xoy A B、
1 1( )x f x（ , ） 2 2( )x f x（ , ） P • 4PA PB = Q P 2( 4)y x= −
A B、
Q
033)23()( 23 =+−=′++−=′ xxxxf 11 −== xx 或
1−
′ xf 1>x 0)( <′ xf
1−=x 1=x 1,1 21 =−= xx 4)1(,0)1( ==− ff
)4,1(),0,1( BA −
),( nmp ),( yxQ
( ) ( ) 4414,1,1 22 =−+−=−−•−−−=• nnmnmnmPBPA
2
1−=PQk 2
1−=−
−
mx
ny )4(2 −= xy
−+=+
4222
nxmy
nm, ( ) ( ) 928 22 =++− yx
xOy 2 2 C y x=
O
2 2
2 19
x y
a
+ = C 10
C
C Q Q F OF
Q
2 2 2
m n
n
= − =
2
2
m
n
= −
=
所求的圆的方程为
(2) 由已知可得
椭圆的方程为 ， 右焦点为 F( 4，0) ；
假设存在 Q 点 使 ，
整理得 代入 得:
，
因此不存在符合题意的 Q 点.
6、（2007 年理科 18 题）
在平面直角坐标系 中，已知圆心在第二象限，半径为 2 的圆 C 与直线 相切于
坐标原点 O.椭圆 ＝1 与圆 C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为 10.
（1）求圆 C 的方程.
（2）试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长.若
存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
解:(1) 设圆 C 的圆心为
则 解得
所求的圆的方程为
(2) 由已知可得 ,椭圆的方程为 ,右焦点为 .
设存在点 满足条件,则 解得
故存在符合要求的点 .
2 2( 2) ( 2) 8x y+ + − =
2 10a = 5a =
2 2
125 9
x y+ =
( )2 2 2 cos ,2 2 2 sinθ θ− + + QF OF=
( ) ( )2 2
2 2 2 cos 4 2 2 2 sin 4θ θ− + − + + =
sin 3cos 2 2θ θ= + 2 2sin cos 1θ θ+ =
210cos 12 2 cos 7 0θ θ+ + = 12 2 8 12 2 2 2cos 110 10
θ − ± − ±= = < −
xOy 2 y x=
9
2
2
2 y
a
x +
( , )m n
,
0, 0
2 2
2
m n
m n
m n
= −
< > − =
2
2
m
n
= −
=
2 2( 2) ( 2) 8x y+ + − =
2 10a = 5a =
2 2
125 9
x y+ = (4,0)F
( , )Q x y C∈
2 2
2 2
( 2) ( 2) 8
( 4) 16
x y
x y
+ + − = − + =
4 12( , )5 5Q
4 12( , )5 5Q
A
y
xO B
G
F
F1
图 4
7、（2008 年文科 20 题）
设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 ．如图 6 所示，过点
作 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在点 的切线经过
椭圆的右焦点 ．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得
为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐
标）．
【解析】（1）由 得 ，
当 得 ， G 点的坐标为 ，
， ，
过点 G 的切线方程为 即 ，
令 得 ， 点的坐标为 ，由椭圆方程得 点的坐标为 ，
即 ，即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ；
（2） 过 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 , 以 为直角的 只有一个，
同理 以 为直角的 只有一个。
若以 为直角，设 点坐标为 ， 、 两点的坐标分别为 和 ，
。
关于 的二次方程有一大于零的解， 有两解，即以 为直角的 有两个，
因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形。
8、（2008 年理科 18 题）设 ，椭圆方程为 ，抛物
0b >
2 2
2 2 12
x y
b b
+ = 2 8( )x y b= −
(0 2)F b +， x G G
1F
A B， P ABP△
2 8( )x y b= − 21
8y x b= +
2y b= + 4x = ± ∴ (4, 2)b +
1' 4y x= 4'| 1xy = =
( 2) 4y b x− + = − 2y x b= + −
0y = 2x b= − 1F∴ (2 ,0)b− 1F ( ,0)b
2 b b∴ − = 1b =
2
2 12
x y+ = 2 8( 1)x y= −
A x P ∴ PAB∠ Rt ABP∆
∴ PBA∠ Rt ABP∆
APB∠ P 21( , 1)8x x + A B ( 2,0)− ( 2,0)
2 2 2 4 21 1 52 ( 1) 1 08 64 4PA PB x x x x= − + + = + − =
2x x∴ APB∠ Rt ABP∆
ABP∆
0b >
2 2
2 2 12
x y
b b
+ =
线方程为 ．如图 4 所示，过点 作 轴的平行线，与抛物线在第一象限的
交点为 ，已知抛物线在点 的切线经过椭圆的右焦点 ．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得 为
直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
解：（1）由 得 ，
当 得 ， G 点的坐标为 ，
， ，
过点 G 的切线方程为 即 ，
令 得 ， 点的坐标为 ，
由椭圆方程得 点的坐标为 ， 即 ，
即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ；
（2） 过 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 ,
以 为直角的 只有一个，同理 以 为直角的 只有一个。
若以 为直角，设 点坐标为 ， 、 两点的坐标分别为 和 ，
。
关于 的二次方程有一大于零的解， 有两解，即以 为直角的 有两个，
因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形。
9、（2009 年文科 19 题）
已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 轴上,离心率为 ,两个焦点分别为 和 ,椭圆 G
上一点到 和 的距离之和为 12.圆 : 的圆心为点 .
(1)求椭圆 G 的方程
2 8( )x y b= − (0 2)F b +， x
G G 1F
A B， P ABP△
2 8( )x y b= − 21
8y x b= +
2y b= + 4x = ± ∴ (4, 2)b +
1' 4y x= 4'| 1xy = =
( 2) 4y b x− + = − 2y x b= + −
0y = 2x b= − 1F∴ (2 ,0)b−
1F ( ,0)b 2 b b∴ − = 1b =
2
2 12
x y+ = 2 8( 1)x y= −
A x P
∴ PAB∠ Rt ABP∆ ∴ PBA∠ Rt ABP∆
APB∠ P 21( , 1)8x x + A B ( 2,0)− ( 2,0)
2 2 2 4 21 1 52 ( 1) 1 08 64 4PA PB x x x x= − + + = + − =
2x x∴ APB∠ Rt ABP∆
ABP∆
x 2
3
1F 2F
1F 2F kC 0214222 =−−++ ykxyx )( Rk ∈ kA
(2)求 的面积
(3)问是否存在圆 包围椭圆 G?请说明理由.
【解析】（1）设椭圆 G 的方程为： （ ）半焦距为 c;
则 , 解得 ,
所求椭圆 G 的方程为： . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2 )点 的坐标为
（3）若 ，由 可知点（6，0）在圆 外，
若 ，由 可知点（-6，0）在圆 外；
不论 K 为何值圆 都不能包围椭圆 G.
10、（2009 年理科 19 题）
已知曲线 与直线 交于两点 和 ，且 ．记
曲线 在点 和点 之间那一段 与线段 所围成的平面区域（含边界）为 ．设点
是 上的任一点，且点 与点 和点 均不重合．
（１）若点 是线段 的中点，试求线段 的中点 的轨迹方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（２）若曲线 与点 有公共点，试求 的最小值．
解：（1）联立 与 得 ，则 中点 ，设线段 的中点
坐标为 ，则 ，即 ，又点 在曲线 上，
∴ 化简可得 ，又点 是 上的任一点，且不与点 和点
21FFAk∆
kC
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> >
2 12
3
2
a
c
a
= =
6
3 3
a
c
= =
2 2 2 36 27 9b a c∴ = − = − =
2 2
136 9
x y+ =
KA ( ),2K−
1 2 1 2
1 12 6 3 2 6 32 2KA F FS F F= × × = × × =
0k ≥ 2 26 0 12 0 21 5 12 0k k+ + − − = + kC
0k < 2 2( 6) 0 12 0 21 5 12 0k k− + − − − = − kC
∴ kC
2:C y x= : 2 0l x y− + = ( , )A AA x y ( , )B BB x y A Bx x<
C A B L AB D ( , )P s t
L P A B
Q AB PQ M
2 2 2 51: 2 4 025G x ax y y a− + − + + = D a
2xy = 2+= xy 2,1 =−= BA xx AB )2
5,2
1(Q PQ
M ),( yx 2
2
5
,2
2
1 t
y
s
x
+
=
+
=
2
52,2
12 −=−= ytxs P C
2)2
12(2
52 −=− xy 8
112 +−= xxy P L A B
重 合 ， 则 ， 即 ， ∴ 中 点 的 轨 迹 方 程 为
（ ）.
（2）曲线 ，
即圆 ： ，其圆心坐标为 ，半径
由图可知，当 时，
曲线 与点 有公共点；
当 时，要使曲线 与点 有公共点，只需圆心 到
直线 的距离 ，得 ，则 的最小值为
.
11、（2010 年文科 21 题）
已知曲线 ，点 是曲线 上的点（n=1,2,…）.
（1）试写出曲线 在点 处的切线 的方程，并求出 与 轴的交点 的坐标；
（2）若原点 到 的距离与线段 的长度之比取得最大值，试求试点 的坐标 ；
（3）设 与 为两个给定的不同的正整数， 与 是满足（2）中条件的点 的坐标，
证明： w.w.w
【解析】（1） ， 的切线斜率 ， 的方程为 ，
当 x=0 时， ， ；
22
121 <−<− x 4
5
4
1 <<− x M 8
112 +−= xxy
4
5
4
1 <<− x
2 2 2 51: 2 4 025G x ax y y a− + − + + =
E 25
49)2()( 22 =−+− yax )2,(aE
5
7=r
20 ≤≤ a
2 2 2 51: 2 4 025G x ax y y a− + − + + = D
0 > nC
nC nP nl nl y nQ
(0,0)O nl n nP Q nP ( ,n nx y )
m k nx ny nP
1
( 1) ( 1)2
s
n
n
n
m x k y ms ks
=
+ − + < −∑ ( 1,2, )s = …
' 2y nx= nl 2n nk nx= nl 2 ( )n n ny y nx x x− = −
2
n ny nx y= − = − (0, )nQ y∴ −
x
y
o
xA
xB
D
（2）原点 O 到 的距离 ，
，
，
此时 ， ， ；
（3）
而
，∵ ，
∴ ，得证。
12、（2010 年理科 20 题）
一支双曲线 的左、右顶点分别为 A1,A2，点 ， 是双曲线上
不同的两个动点
（1） 求直线 A 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式；
nl
2
2 2
| |
4 14 1
n n
nn
nx yd
nyn x
−= =
++
2 2 2| | 4 4n
n n n n n
yP Q x y yn
= + = +
2 2 3
1
| | 4 1 4 8 16
n n
n n n n n
n n n
y yd
P Q ny y yy y nyn n
= ⋅ =
+ + + +
1 1 1
41 8 2 168 16 n
n
nyny
= ≤ =
++ +
1 116 , 4n n
n
ny yny n
= = 2
2
1 1, 24n nx x nn
= = 1 1( , )2 4nP n n
1
( 1)| ( 1) | | |2
s
n
n
n
m x k y ms ks
=
+ − + < −∑
1
| 1 1 | 1 | |2
s
n
m k ms ks
n=
+ − +⇔ < −∑
1
1 1| | | |4 4
s
n
m k ms ksn n=
+ +⇔ − < −∑
1
1| 1 1 | | |
2
s
n
m k ms ks
n=
⇔ + − + < −∑
1
1 | |
2 | 1 1 |
s
n
m k s
n m k=
−⇔ <
+ − +∑
| | | | ( 1 1)
| 1 1 | | 1 1 | ( 1 1)
m k s m k m k s
m k m k m k
− − + + +=
+ − + + − + + + +
| | ( )
| |
m k m k s sm k
− +> =−
1 1 1
2 1
n n
n n n
< = − −
+ −
1
1 (1 0) ( 2 1) ( 3 2) ( 1)
2
s
n
s s
n=
< − + − + − + + − −∑ s<
2
2 12
x y− = 1 1( , )p x y 1 1( , )Q x y−
（2）若点 H(O, h)（h>1）的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点，且 ,求 h 的值。
[ 来 源 : 学 , 科 , 网 ]故
，即 。
（2）设 ，则由 知， 。
将 代入 得
，即 ，
由 与 E 只有一个交点知， ，即[来源:学.科.网][来源:学科网 ZXXK]
。
同理，由 与 E 只有一个交点知， ，消去 得 ，即 ，从而
，即 。
13、（2011 年文科 21 题）
在平面直角坐标系 中，直线 交 轴于点 A，设 是 上一点，M 是线段 OP
的垂直平分线上一点，且满足 ∠MPO=∠AOP
（1）当点 P 在 上运动时，求点 M 的轨迹 E 的方程；
（2）已知 T（1，-1），设 H 是 E 上动点,求 + 的最小值，并给出此时点 H 的坐标；
（3）过点 T（1，-1）且不平行与 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点，求直线 的
斜率 k 的取值范围。
1 2l l⊥
2 21 ( 2)2y x= − −
2
2 12
x y+ =
1 :l y kx h= + 1 2l l⊥ 2
1:l y x hk
= − +
1 :l y kx h= +
2
2 12
x y+ =
2
2( ) 12
x kx h+ + = 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x khx h+ + + − =
1l 2 2 2 216 4(1 2 )(2 2) 0k h k h∆ = − + − =
2 21 2k h+ =
2l 2
2
11 2 hk
+ ⋅ = 2h 2
2
1 kk
= 2 1k =
2 21 2 3h k= + = 3h =
xOy : 2l x = − x P l
l
HO HT
1l
【解析】解：（1）如图 1，设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线，交 OP 于点 Q，
因此 即 ①
另一种情况，见图 2（即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧）。
MQ 为线段 OP 的垂直平分线，
又
因此 M 在 轴上，此时，记 M 的坐标为
为分析 的变化范围，设 为 上任意点
由 （即 ）得，
故 的轨迹方程 ②
综合①和②得，点 M 轨迹 E 的方程为
（2）由（1）知，轨迹 E 的方程由下面 E1 和 E2 两部分组成（见图 3）：
, , | | | | .MPQ AOP MP l MO MP∠ = ∠ ∴ ⊥ = 且
2 2 | 2 |,x y x+ = + 2 4( 1)( 1).y x x= + ≥ −
.MPQ MOQ∴∠ = ∠
, .MPQ AOP MOQ AOP∠ = ∠ ∴∠ = ∠
x ( ,0).x
( ,0)M x x中 ( 2, )P a− l ( ).a R∈
| | | |MO MP= 2 2| | ( 2)x x a= + +
211 1.4x a= − − ≤ −
( ,0)M x 0, 1y x= ≤ −
2 4( 1), 1,
0, 1.
x xy x
+ ≥ −= < −
；
当 时，过Ｔ作垂直于 的直线，垂足为 ，交 E1 于 。
再过 H 作垂直于 的直线，交
因此， （抛物线的性质）。
（该等号仅当 重合（或 H 与 D 重合时取
得）。
当 时，则
综合可得，|HO|+|HT|的最小值为 3，且此时点 H 的坐标为
（3）由图 3 知，直线 的斜率 不可能为零。
设
故 的方程得：
2
1 : 4( 1)( 1)E y x x= + ≥ −
2 : 0, 1.E y x= < −
1H E∈ l T′ 3 , 14D − −
l .l H ′于
| | | |HO HH ′=
| | | | | | | | | | 3HO HT HH HT TT′ ′∴ + = + ≥ = H T′ ′与
2H E∈ | | | | | | | | 1 5 3.HO HT BO BT+ > + > + >
3 , 1 .4
− −
1l k
1 : 1 ( 1)( 0).l y k x k+ = − ≠
1
1 ( 1) 1,x y Ek
= + + 代入 2 4 4 8 0.y yk k
− − + =
因判别式
所以 与 E 中的 E1 有且仅有两个不同的交点。
又由 E2 和 的方程可知，若 与 E2 有交点，
则 此 交 点 的 坐 标 为 有 唯 一 交 点
，从而 表三个不同的交点。
因此，直线 的取值范围是
14、（2011 年理科 19 题）
设圆 与两圆 ， 中的一个内切，另一个外切．
（1）求 的圆心轨迹 的方程；
（2）已知点 ， ，且 为 上动点，求 的最大值及此
时点 的坐标．
解：（1）设 ，圆 的半径为 ，
则
∴ 的圆心轨迹 是以 为焦点的双曲线， ， ，
∴ 的圆心轨迹 的方程为
（2）
∴ 的最大值为 2，此时 在 的延长线上，
如图所示， 必在 的右支上，且 ，
2
2
16 4 44 8 2 28 0.k kk
∆ = + + = + + >
1l
1l 1l
1 2
1 1 1,0 , 1. 0 ,2
k k k l Ek k
+ + < − − < < 且 即当 时 与
1,0k
k
+
1l
1l k斜率 1( , ] (0, ).2
−∞ − ∪ +∞
C 2 2( 5) 4x y+ + = 2 2( 5) 4x y− + =
C L
3 5 4 5( , )5 5M ( 5,0)F P L MP FP−
P
( 5,0), ( 5,0)F F′ − C r
( 2) ( 2) 4 2 5CF CF r r′ − = + − − = <
C L ,F F′ 2a = 5c = 1b =
C L
2
2 14
x y− =
2 23 5 4 5( 5) ( ) 25 5MP FP MF− ≤ = − + =
MP FP− P MF
P L 5Px > 0Py <
直线 的斜率
∵ ，∴ ，
∴ 的最大值为 2，此时 为 .
MF 2k = −
: 2 2 5MF y x= − +
2
2 14
2 2 5
x y
y x
− =
= − +
215 32 5 28 0x x− + =
(3 5 14)( 5 6) 0x x− − =
1 2
14 5 6 5,15 5x x= =
5Px > 6 5
5Px = 2 5
5Py = −
MP FP− P 6 5 2 5( , )5 5
−
x
y
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5−6−7−8−9 O x
y
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5−6−7−8−9 O
M
F
P
P