高考数学考前回归基础训练题——圆锥曲线

高考数学考前回归基础训练题——圆锥曲线

‎2012届高考数学考前回归基础训练题——圆锥曲线 ‎1.平面直角坐标系中，设点(1，0)，直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点, .‎ ‎(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；‎ ‎(Ⅱ) 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、 的中点分别为．求证：直线必过定点．‎ ‎2. 过点作直线交圆M：于点B、C，在BC上取一点P，使P点满足：,‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求面积的最大值。‎ ‎3. 抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆，‎ ‎（Ⅰ）求定点N的坐标；‎ ‎（Ⅱ）是否存在一条直线同时满足下列条件：‎ ‎① 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为；‎ ‎② 被圆N截得的弦长为．‎ ‎4. 如图椭圆C的方程为，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为－1的直线交椭圆于B点，点P（1，0）,且BP∥y轴，‎ ‎△APB的面积为.‎ ‎（1）　求椭圆C的方程；‎ A B P x y O ‎（2）　在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程.‎ ‎5. 已知中心在原点，其中一个焦点为F（－1，0）的椭圆，经过点，椭圆的右顶点为A，经过点F的直线l与椭圆交于两点B、C.‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）若△ABC的面积为，求直线l的方程.‎ ‎6. 在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，向量e = (0，1)，点B为直线 上的动点，点C满足，点M满足，． (1)试求动点M的轨迹E的方程； (2)试证直线CM为轨迹E的切线．‎ ‎7. 无论m为任何实数，直线与双曲线恒有公共点 ‎ （1）求双曲线C的离心率e的取值范围。‎ ‎ （2）若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足，求双曲线C 的方程。‎ ‎8. 在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线经过点，且与轴交于点 ‎(I)求直线的方程；‎ ‎(II)如果一个椭圆经过点,且以点为它的一个焦点,求椭圆的标准方程;‎ ‎(III)若在(I)、（II）、情形下，设直线与椭圆的另一个交点为，且，当 最小时，求对应的值。‎ ‎9. 已知双曲线，求以双曲线的顶点为焦点的抛物线的标准方程。‎ ‎10. 如图：点A是椭圆： 短轴的下端点．过A作斜率为1的直线交椭圆于P，点B在y轴上，且BP//轴，．‎ ‎（1） 若B点坐标为（0，1），求椭圆方程；‎ ‎（2） 若B点坐标为（0，t），求t的取范围．‎ ‎11. 已知圆：.‎ ‎（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;‎ ‎（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，‎ 求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.‎ ‎12. 已知圆C ，,切点为A，B（1）求直线PA,PB的方程 （2）求过P点的圆的切线长 ‎13. 已知在第一象限.，.‎ 求（1）AC和BC所在直线方程； （2）AC,BC分别与y轴交点之间的距离.‎ ‎14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P．‎ ‎（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；‎ ‎（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．‎ ‎15. 过点作直线交圆M：于点B、C，在BC上取一点P，使P点满足：,‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求面积的最大值。‎ ‎16. 设动点到定点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线。‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？‎ ‎17. 已知M（4，0）、N（1，0），若动点P满足 ‎ （1）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎ （2）设过点N的直线l交轨迹C于A、B两点，若，求直线l的斜率的取值范围。‎ ‎18. 椭圆G：的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆 ，且点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为 ‎（1）求此时椭圆G的方程；‎ ‎（2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由.‎ ‎19. 已知点的坐标分别是，，直线相交于点M，且它们的斜率之积为．‎ ‎（1）求点M轨迹的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）．‎ ‎20. 已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（‎ 为坐标原点），求直线的方程．‎ 答案：‎ ‎1. 解：(Ⅰ)依题意知，直线的方程为：．点是线段的中点，且⊥，∴是线段的垂直平分线．‎ ‎∴是点到直线的距离．‎ ‎∵点在线段的垂直平分线，∴．‎ 故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为：．‎ ‎(Ⅱ) 设，，直线AB的方程为　　　　　　则 ‎（1）—（2）得，即，‎ 代入方程，解得．‎ 所以点Ｍ的坐标为．‎ 同理可得：的坐标为． ‎ 直线的斜率为，方程为 ‎，整理得，‎ 显然，不论为何值，均满足方程，‎ 所以直线恒过定点．‎ ‎2. 解：（1）由于 得：（定值）所以得动点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，由M（-3，0）N（3，0）知且中心在原点对称轴为坐标轴，得Q点的轨迹方程是： ‎ ‎（2）假设存在这样的直线，当斜率不存在时，A,O ,B 共线，显然不满足条件，从而知直线的斜率存在，设为：，得直线的方程为：即：‎ 与椭圆联立有： 整理得： 两边同时除以： 得： ……………………（A）‎ ‎ 设直线交曲线C的坐标为：A（，B由于得：从而有： 又因为 和是方程（A）的两个实根，由根与系数的关系得： ，得：，‎ 故：存在这样的直线，其方程是： ‎ ‎3. 解：（1）因为抛物线的准线的方程为 所以，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点， ‎ 所以定点N的坐标为 ‎ ‎（2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在， ‎ 设的方程为， ‎ 以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为， ‎ 方法1：因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1， ‎ 即，解得， ‎ 当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！ ‎ 当时，的方程为 ‎ 由，解得点A坐标为， ‎ 由，解得点B坐标为， ‎ 显然AB中点不是，矛盾！ ‎ 所以不存在满足条件的直线． ‎ 方法2：由，解得点A坐标为， ‎ 由，解得点B坐标为， ‎ 因为AB中点为，所以，解得， ‎ 所以的方程为，‎ 圆心N到直线的距离， ‎ 因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ‎ 所以不存在满足条件的直线． ‎ 方法3：假设A点的坐标为，‎ 因为AB中点为，所以B点的坐标为， ‎ 又点B 在直线上，所以， ‎ 所以A点的坐标为，直线的斜率为4，‎ 所以的方程为， ‎ 圆心N到直线的距离， ‎ 因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ‎ 所以不存在满足条件的直线．‎ ‎4. (1) 又∠PAB＝45°，AP＝PB，故AP＝BP＝3.‎ ‎∵P（1,0），A（－2,0），B（1,－3）‎ ‎∴　b=2，将B（1，－3）代入椭圆得：得，‎ 所求椭圆方程为. ‎ ‎（2）设椭圆C的焦点为F1，F2，‎ 则易知F1（0,－）F2（0，），‎ 直线的方程为：，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，只须｜｜MF1｜－｜MF2｜｜最大，设F1（0，－）关于直线的对称点为 ‎（－2，－2），则直线与直线的交点为所求M， ‎ ‎　　　因为的方程为：,联立 得M（）　 分 又=｜｜MF1｜-｜MF2｜｜=｜｜M｜－｜MF2｜｜‎ ‎＝＝2，故，‎ 故所求双曲线方程为： ‎ ‎5. 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：‎ ‎ 由题设知 ‎ 因此，椭圆的方程为： ‎ ‎ （Ⅱ）若直线轴，则l的方程为：x =－1，此时B、C的坐标为、‎ ‎ 由于点A的坐标为（2，0），则△ABC的面积为不合题意，舍去：‎ ‎ 若直线l不与x轴垂直，可设l的方程为：‎ ‎ 由，得：‎ ‎ 记、，则有， ‎ ‎ 由于 ‎ 点A到直线l的距离为，‎ ‎ 将上面两式代入△ABC的面积公式可得：，‎ ‎ 整理得： ‎ ‎ 解得：（舍去），k2 = 1 故，‎ 从而，直线l的方程为：‎ ‎6. (1)解：设B (，m)，C(x1，y1)）， 　　由，得：2(x1，y1) = (1，0) + (－1，m)，解得x1 = 0， 　　设M(x，y)，由，得， 　消去m得E的轨迹方程． ‎ ‎(2)解：由题设知C为AB中点，MC⊥AB，故MC为AB的中垂线，MB∥x轴， 　　设M()，则B(－1，y0)，C(0，)， 当y0≠0时，，MC的方程 8分 　　将MC方程与联立消x，整理得：， 　　它有唯一解，即MC与只有一个公共点， 　　又，所以MC为的切线． 11分 　　当y0 = 0时，显然MC方程x = 0为轨迹E的切线 　　综上知，MC为轨迹E的切线．‎ ‎7. （1）联立，得 当时，，直线与双曲线无交点，矛盾 直线与双曲线恒有交点，恒成立 ‎ ‎ ‎ （2），则直线l的方程 联立得 ‎ ‎ 整理得：‎ 所求的双曲线方程为 ‎8. (1)‎ ‎ 根据两点式得，所求直线的方程为 ‎ ‎ 即 。‎ ‎ 直线的方程是 ‎ ‎（2）解：设所求椭圆的标准方程为 ‎ 一个焦点为 即 ①‎ 点在椭圆上，‎ ‎ ②‎ 由①②解得 ‎ 所以所求椭圆的标准方程为 ‎ ‎（3）由题意得方程组 ‎ 解得 或 ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，最小。‎ ‎9. 解： 由得 ‎ ‎⑴‎ 所求的抛物线方程为： ‎ ‎⑵‎ 所求的抛物线方程为：‎ ‎10. 解：（1）直线，由得 所以，即 将P（3，1）代入椭圆方程得：‎ 故椭圆方程为： ------------------6分 （2） 由得，又，‎ 所以，由得 所以P的坐标为，将P代入椭圆方程得：，即 因为，所以，又，‎ 所以．‎ ‎11. 解（Ⅰ）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，‎ 与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意 ‎②若直线不垂直于轴，设其方程为，‎ 即 ‎ 设圆心到此直线的距离为，则，得 ‎∴，， ‎ 故所求直线方程为 ‎ 综上所述，所求直线为或 ‎ ‎（Ⅱ）设点的坐标为，点坐标为,则点坐标是 ‎ ‎∵，∴ 即， ‎ 又∵，∴ ‎ 由已知，直线m //ox轴，所以，，‎ ‎∴点的轨迹方程是，‎ 轨迹是焦点坐标为，长轴为8的椭圆，‎ 并去掉两点。‎ ‎12. 解：‎ ‎13. 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14. 证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，‎ 由知点在以线段为直径的圆上，‎ 故，‎ 所以，．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．‎ 设，，则 ‎，，‎ ‎；‎ 因为与相交于点，且的斜率为．‎ 所以，．‎ 四边形的面积 ‎．‎ 当时，上式取等号．‎ ‎（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．‎ 综上，四边形的面积的最小值为．‎ ‎15. 解：（1）令，因为,‎ 所以 ‎ ① ‎ 设过A所作的直线方程为，（显然存在）‎ 又由得 ‎ ‎ 代入①，得 ‎ 消去k，得所求轨迹为，（在圆M内部） ‎ ‎（2）上述轨迹过为定点（）的直线在圆M内部分 ‎,由得 ‎ 则 ‎ ‎ ‎ 令，则，而函数在时递增，‎ ‎ ‎ ‎ ，此时，（1）中P的轨迹为 ‎ ‎16. 解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线 ‎　　　　∵ ∴　‎ ‎∴　曲线方程是………4分 ‎（2）设圆的圆心为，∵圆过，‎ ‎∴圆的方程为　‎ 令得：　　‎ 设圆与轴的两交点分别为，‎ 方法1：不妨设，由求根公式得 ‎，‎ ‎∴‎ 又∵点在抛物线上，∴，‎ ‎∴　，即＝4‎ ‎∴当运动时，弦长为定值4‎ ‎　〔方法2：∵，　‎ ‎∴‎ ‎　又∵点在抛物线上，∴， ∴　　‎ ‎∴当运动时，弦长为定值4〕‎ ‎17.. 解答：（1）设动点P（x，y），‎ 则 由已知得，化简得 ‎∴点P的轨迹是椭圆 ‎ （Ⅱ）设过N的直线l的方程为 由 ‎18. 解:（1）根据椭圆的几何性质，线段F‎1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心，‎ 故该椭圆中a=b=c,即椭圆方程可为x2+2y2=2b2‎ 设H（x，y）为椭圆上一点，则 若0‎ 由（舍去）‎ 若b≥3，当y=－3时，|HN|2有最大值2b2+18‎ 由2b2+18=50得b2=16 ∴所求椭圆方程为 ‎（ii）设E（x1，y1），F(x2，y2），Q（x0，y0），则由 ‎ ③‎ 又直线PQ⊥直线m ∴直线PQ方程为 将点Q（x0，y0）代入上式得， ④‎ 由③④得Q 而Q点必在椭圆内部 由此得 故当时E、F两点关于点P、Q的直线对称.‎ ‎19. 解：（1）设点的坐标为，‎ ‎∵，∴． ‎ 整理，得（），这就是动点M的轨迹方程．‎ ‎（2）方法1：如图，由题意知直线的斜率存在，‎ 设的方程为（） …… ①‎ 将①代入，‎ 得，‎ 由，解得．‎ 设，，则…… ② ‎ 令，则，即，即，且 ‎ ‎ 由②得，‎ 即 ‎．‎ 且且．‎ 解得且分 ‎，且．‎ ‎∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．‎ 方法2：如图，由题意知直线的斜率存在，‎ 设的方程为…… ①‎ 将①代入，‎ 整理，得，‎ 由，解得．‎ 设，，则…… ② ‎ 令，且．‎ 将代入②，得 ‎∴．即．‎ ‎∵且，∴且．‎ 即且．‎ 解得且．‎ ‎，且．‎ 故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．‎ ‎20. 解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，‎ ‎ 其中，，则．‎ 所以动点M的轨迹方程为．‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，‎ ‎∵，∴．‎ ‎　　 ∵，，‎ ‎∴．‎ ‎　　　∴ ．………… ① ‎ 由方程组 得．‎ 则，，‎ 代入①，得．‎ 即，解得，或．‎ ‎　所以，直线的方程是或．‎