高考立体几何冲刺复习精选历年高考题

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高考立体几何冲刺复习精选历年高考题

‎2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编 立体几何 一、选择题:‎ ‎1( 2010年高考全国卷I理科7)正方体ABCD-中,B与平面AC所成角的余弦值为 A B C D A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ O D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法,利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.‎ ‎【解析】因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC,由等体积法得,即.设DD1=a,‎ 则,.‎ 所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.‎ ‎2( 2010年高考全国卷I理科12)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ B【命题意图】‎ 本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.‎ ‎【解析】过CD作平面PCD,使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故.‎ ‎3(2010年高考安徽卷理科8)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为 A、280 B、‎292 ‎C、360 D、372‎ C ‎【解析】该几何体由两个长方体组合而成,其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.‎ ‎【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体,画出直观图,得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。‎ ‎4(2010年高考四川卷理科11)半径为的球的直径垂直于平面,垂足为,‎ 是平面内边长为的正三角形,线段、分别 与球面交于点M,N,那么M、N两点间的球面距离是 ‎(A) (B) w_w_w.k*s 5*u.c o*m ‎(C) (D)‎ 解析:由已知,AB=2R,BC=R,故tan∠BAC= w_w_w.k*s 5*u.c o*m cos∠BAC=‎ 连结OM,则△OAM为等腰三角形 AM=2AOcos∠BAC=,同理AN=,且MN∥CD w_w_w.k*s 5*u.c o*m 而AC=R,CD=R 故MN:CD=AN:AC w_w_w.k*s 5*u.c o*m Þ MN=,‎ 连结OM、ON,有OM=ON=R 于是cos∠MON=‎ 所以M、N两点间的球面距离是 w_w_w.k*s 5*u.c o*m 答案:A ‎5(2010年全国高考宁夏卷10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎ 解析:如图,P为三棱柱底面中心,O为球心,易知 ‎,所以球的半径满足:‎ ‎,故.‎ ‎6(2010年高考北京卷理科8)如图,正方体ABCD-的棱长为2,动点E、F在棱上,动点P,Q分别在棱AD,CD上,若EF=1,E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零),则四面体PEFQ的体积                        ‎ ‎   (A)与x,y,z都有关 ‎   (B)与x有关,与y,z无关 ‎   (C)与y有关,与x,z无关 ‎   (D)与z有关,与x,y无关 ‎【答案】D 解析:这道题目延续了北京高考近年8,14,20的风格,即在变化中寻找不变,从图中可以分析出,的面积永远不变,为面面积的,而当点变化时,它到面的距离是变化的,因此会导致四面体体积的变化。‎ ‎7、(2010年高考全国2卷理数11)与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点 ‎(A)有且只有1个 (B)有且只有2个 ‎(C)有且只有3个 (D)有无数个 ‎8、(2010年高考重庆市理科10)到两互相垂直的异面的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 ‎(A) 直线 (B) 椭圆 (C) 抛物线 (D) 双曲线 ‎【答案】D 解析:排除法 轨迹是轴对称图形,排除A、C,轨迹与已知直线不能有交点,排除B ‎9(2010年高考辽宁卷理科12)有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a的取值范围是 ‎ (A)(0,) (B)(1,)‎ ‎ (C) (,) (D) (0,)‎ ‎【答案】A 二、填空题:‎ ‎10、(2010年高考数学湖北卷理科13)圆柱形容器内部盛有高度为‎8 ‎cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设球半径为r,则由可得,解得r=4.‎ ‎11、(2010年全国高考宁夏卷14)正视图为一个三角形的几何体可以是______(写出三种)‎ ‎【解析】三棱锥、三棱柱、圆锥等.‎ ‎12、(2010年高考江西卷理科16)如图,在三棱锥中,三条棱,,两两垂直,‎ 且,分别经过三条棱,,作一个截面平 分三棱锥的体积,截面面积依次为,,,则,,的 大小关系为 .‎ ‎【答案】‎ ‎13、(2010年高考浙江卷12)若某几何体的正视图(单位:cm)如图所示,‎ 则此几何体的体积是_______cm3.‎ ‎【答案】144‎ ‎14、(2010年高考辽宁卷理科15)如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为______.‎ ‎【答案】‎ ‎15、(2010年高考上海市理科12)如图所示,在边长为4的正方形纸片ABCD中,AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC、OD折叠,使OA、OB重合,则以A、(B)、C、D、O为顶点的四面体的体积为 。‎ ‎【答案】‎ 三、解答题:‎ ‎16(2010年高考山东卷理科19)‎ 如图,在五棱锥P—ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC, ABC=45°,AB=2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小;‎ ‎(Ⅲ)求四棱锥P—ACDE的体积.‎ ‎【解析】(Ⅰ)证明:因为ABC=45°,AB=2,BC=4,所以在中,由余弦定理得:,解得,‎ 所以,即,又PA⊥平面ABCDE,所以PA⊥,‎ 又PA,所以,又AB∥CD,所以,又因为 ‎,所以平面PCD⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面PCD⊥平面PAC,所以在平面PAC内,过点A作于H,则 ‎,又AB∥CD,AB平面内,所以AB平行于平面,所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离,过点B作BO⊥平面于点O,则为所求角,且,又容易求得,所以,即=,所以直线PB与平面PCD所成角的大小为;‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知,所以,又AC∥ED,所以四边形ACDE是直角梯形,又容易求得,AC=,所以四边形ACDE的面积为,所以 四棱锥P—ACDE的体积为=。‎ ‎【命题意图】本题考查了空间几何体的的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积计算问题,考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力。‎ ‎17、(2010年高考福建卷理科18)‎ 如图,圆柱内有一个三棱柱,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB是圆O直径。‎ ‎(Ⅰ)证明:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)设AB=,在圆柱内随机选取一点,记该点取自于三棱柱内的概率为。‎ ‎(i)当点C在圆周上运动时,求的最大值;‎ ‎(ii)记平面与平面所成的角为,当取最大值时,求的值。‎ ‎【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及几何体的体积、几何概型等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为平面ABC,平面ABC,所以,‎ 因为AB是圆O直径,所以,又,所以平面,‎ 而平面,所以平面平面。‎ ‎(Ⅱ)(i)设圆柱的底面半径为,则AB=,故三棱柱的体积为 ‎=,又因为,‎ 所以=,当且仅当时等号成立,‎ 从而,而圆柱的体积,‎ 故=当且仅当,即时等号成立,‎ 所以的最大值是。‎ ‎(ii)由(i)可知,取最大值时,,于是以O为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图),则C(r,0,0),B(0,r,0),(0,r,2r),‎ 因为平面,所以是平面的一个法向量,‎ 设平面的法向量,由,故,‎ 取得平面的一个法向量为,因为,‎ 所以。‎ ‎18、(2010年高考数学湖北卷理科18)‎ ‎ 如图, 在四面体ABOC中,OC⊥OA, OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1.‎ ‎(Ⅰ) 设P为AC的中点.证明:在AB上存在一点Q,使PQ⊥OA,并计算=的值;‎ ‎(Ⅱ) 求二面角O-AC-B的平面角的余弦值. ‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎19、(2010年高考广东卷理科18)‎ 如图,是半径为a的半圆,AC为直径,点E为的中点,点B和点C为线段AD的三等分点.平面AEC外一点F满足,FE=a .‎ 图 ‎ (1)证明:EB⊥FD;‎ ‎(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点,使得,求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎【解析】‎ ‎(2)设平面与平面RQD的交线为.‎ 由BQ=FE,FR=FB知, .‎ 而平面,∴平面,‎ 而平面平面= ,‎ ‎∴.‎ 由(1)知,平面,∴平面,‎ 而平面,平面,‎ ‎∴,‎ ‎∴是平面与平面所成二面角的平面角.‎ 在中,,‎ ‎,.‎ ‎.‎ 故平面与平面所成二面角的正弦值是.‎ ‎20( 2010年高考全国卷I理科19)‎ 如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC .‎ ‎(Ⅰ)证明:SE=2EB;‎ ‎(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小 .‎ ‎【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.‎ ‎【解析】解法一:‎ ‎ (Ⅰ)连接BD,取DC的中点G,连接BG,‎ ‎ 由此知 即为直角三角形,故.‎ ‎ 又,‎ 所以,.‎ 作,‎ ‎(Ⅱ) 由知 ‎.‎ 故为等腰三角形.‎ 取中点F,连接,则.‎ 连接,则.‎ 所以,是二面角的平面角.‎ 连接AG,AG=,,‎ ‎,‎ 所以,二面角的大小为120°.‎ 解法二:‎ ‎ 以D为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系,‎ 由,得 ‎ ,‎ 故 .‎ 令,则.‎ ‎22(2010年高考江苏卷试题16)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。‎ (1) 求证:PC⊥BC;‎ (2) 求点A到平面PBC的距离。‎ ‎[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力 ‎。满分14分。‎ ‎(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,所以PD⊥BC。‎ 由∠BCD=900,得CD⊥BC,‎ 又PDDC=D,PD、DC平面PCD,‎ 所以BC⊥平面PCD。‎ 因为PC平面PCD,故PC⊥BC。‎ ‎(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则:‎ 易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等。‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。‎ 由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC,‎ 因为PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F。‎ 易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎(方法二)体积法:连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。‎ 因为AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900。‎ 从而AB=2,BC=1,得的面积。‎ 由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积。‎ 因为PD⊥平面ABCD,DC平面ABCD,所以PD⊥DC。‎ 又PD=DC=1,所以。‎ 由PC⊥BC,BC=1,得的面积。‎ 由,,得,‎ 故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎23、(2010年高考北京市理科16)‎ ‎ 如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.‎ ‎(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;‎ ‎(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;‎ ‎(Ⅲ)求二面角A-BE-D的大小。‎ ‎ ‎ 证明:(I) 设AC与BD交与点G。‎ ‎ 因为EF//AG,且EF=1,AG=AC=1.‎ ‎ 所以四边形AGEF为平行四边形.‎ ‎ 所以AF//平面EG,‎ ‎ 因为平面BDE,AF平面BDE,‎ ‎ 所以AF//平面BDE.‎ ‎ (II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 ‎ 相互垂直,且CEAC,‎ ‎ 所以CE平面ABCD.‎ ‎ 如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-.‎ ‎ 则C(0,0,0),A(,,0),B(0,,0).‎ ‎ 所以,,.‎ ‎ 所以,‎ ‎ 所以,.‎ ‎ 所以BDE.‎ ‎(III) 由(II)知,是平面BDE的一个法向量.‎ ‎ 设平面ABE的法向量,则,.‎ ‎ 即 所以且 ‎ 令则.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 从而。‎ ‎ 因为二面角为锐角,‎ ‎ 所以二面角的大小为.‎
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