高考立体几何冲刺复习精选历年高考题

高考立体几何冲刺复习精选历年高考题

‎2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编 立体几何 一、选择题:‎ ‎1（ 2010年高考全国卷I理科7）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为 A B C D A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ O D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.‎ ‎【解析】因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,‎ 则,.‎ 所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.‎ ‎2（ 2010年高考全国卷I理科12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ B【命题意图】‎ 本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.‎ ‎【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故.‎ ‎3（2010年高考安徽卷理科8）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 A、280 B、‎292 ‎C、360 D、372‎ C ‎【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.‎ ‎【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。‎ ‎4（2010年高考四川卷理科11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，‎ 是平面内边长为的正三角形，线段、分别 与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是 ‎（A） （B） w_w_w.k*s 5*u.c o*m ‎（C） （D）‎ 解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝ w_w_w.k*s 5*u.c o*m cos∠BAC＝‎ 连结OM，则△OAM为等腰三角形 AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD w_w_w.k*s 5*u.c o*m 而AC＝R,CD＝R 故MN：CD＝AN:AC w_w_w.k*s 5*u.c o*m Þ MN＝，‎ 连结OM、ON，有OM＝ON＝R 于是cos∠MON＝‎ 所以M、N两点间的球面距离是 w_w_w.k*s 5*u.c o*m 答案：A ‎5(2010年全国高考宁夏卷10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎ 解析：如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知 ‎，所以球的半径满足：‎ ‎，故．‎ ‎6（2010年高考北京卷理科8）如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 ‎　　　（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 ‎　　　（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 ‎　　　（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关 ‎【答案】D 解析：这道题目延续了北京高考近年8，14，20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，的面积永远不变，为面面积的，而当点变化时，它到面的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。‎ ‎7、(2010年高考全国2卷理数11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点 ‎（A）有且只有1个 （B）有且只有2个 ‎（C）有且只有3个 （D）有无数个 ‎8、(2010年高考重庆市理科10)到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 ‎（A） 直线 （B） 椭圆 （C） 抛物线 （D） 双曲线 ‎【答案】D 解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B ‎9（2010年高考辽宁卷理科12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 ‎ (A)（0,） (B)（1,）‎ ‎ (C) (,） (D) （0,）‎ ‎【答案】A 二、填空题：‎ ‎10、(2010年高考数学湖北卷理科13）圆柱形容器内部盛有高度为‎8 ‎cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.‎ ‎11、(2010年全国高考宁夏卷14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）‎ ‎【解析】三棱锥、三棱柱、圆锥等．‎ ‎12、（2010年高考江西卷理科16）如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，‎ 且，分别经过三条棱，，作一个截面平 分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的 大小关系为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎13、（2010年高考浙江卷12）若某几何体的正视图（单位：cm）如图所示，‎ 则此几何体的体积是_______cm3.‎ ‎【答案】144‎ ‎14、（2010年高考辽宁卷理科15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.‎ ‎【答案】‎ ‎15、（2010年高考上海市理科12）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为 。‎ ‎【答案】‎ 三、解答题：‎ ‎16（2010年高考山东卷理科19）‎ 如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：因为ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，‎ 所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥，‎ 又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因为 ‎，所以平面PCD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则 ‎，又AB∥CD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO⊥平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，所以，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以 四棱锥P—ACDE的体积为=。‎ ‎【命题意图】本题考查了空间几何体的的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积计算问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力。‎ ‎17、（2010年高考福建卷理科18）‎ 如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径。‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）设AB=，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为。‎ ‎（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；‎ ‎（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。‎ ‎【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为平面ABC，平面ABC，所以，‎ 因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，‎ 而平面，所以平面平面。‎ ‎（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为 ‎=，又因为，‎ 所以=，当且仅当时等号成立，‎ 从而，而圆柱的体积，‎ 故=当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最大值是。‎ ‎（ii）由（i）可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），‎ 因为平面，所以是平面的一个法向量，‎ 设平面的法向量，由，故，‎ 取得平面的一个法向量为，因为，‎ 所以。‎ ‎18、(2010年高考数学湖北卷理科18）‎ ‎ 如图, 在四面体ABOC中，OC⊥OA, OC⊥OB,∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.‎ ‎(Ⅰ) 设P为AC的中点.证明：在AB上存在一点Q,使PQ⊥OA,并计算=的值；‎ ‎(Ⅱ) 求二面角O-AC-B的平面角的余弦值. ‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎19、（2010年高考广东卷理科18）‎ 如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足，FE=a ．‎ 图 ‎ （1）证明：EB⊥FD；‎ ‎（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得,求平面与平面所成二面角的正弦值．‎ ‎【解析】‎ ‎（2）设平面与平面RQD的交线为.‎ 由BQ=FE,FR=FB知, .‎ 而平面，∴平面，‎ 而平面平面= ，‎ ‎∴.‎ 由（1）知，平面，∴平面，‎ 而平面，平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴是平面与平面所成二面角的平面角．‎ 在中，，‎ ‎，．‎ ‎．‎ 故平面与平面所成二面角的正弦值是．‎ ‎20（ 2010年高考全国卷I理科19）‎ 如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .‎ ‎（Ⅰ）证明：SE=2EB；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .‎ ‎【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.‎ ‎【解析】解法一：‎ ‎ (Ⅰ)连接BD,取DC的中点G，连接BG,‎ ‎ 由此知 即为直角三角形，故.‎ ‎ 又,‎ 所以，.‎ 作，‎ ‎(Ⅱ) 由知 ‎.‎ 故为等腰三角形.‎ 取中点F,连接,则.‎ 连接，则.‎ 所以，是二面角的平面角.‎ 连接AG,AG=,,‎ ‎,‎ 所以，二面角的大小为120°.‎ 解法二：‎ ‎ 以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，‎ 由,得 ‎ ，‎ 故 .‎ 令，则.‎ ‎22（2010年高考江苏卷试题16）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。‎ (1) 求证：PC⊥BC；‎ (2) 求点A到平面PBC的距离。‎ ‎[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力 ‎。满分14分。‎ ‎（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。‎ 由∠BCD=900，得CD⊥BC，‎ 又PDDC=D，PD、DC平面PCD，‎ 所以BC⊥平面PCD。‎ 因为PC平面PCD，故PC⊥BC。‎ ‎（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：‎ 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。‎ 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，‎ 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。‎ 易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。‎ 因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。‎ 从而AB=2，BC=1，得的面积。‎ 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。‎ 因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。‎ 又PD=DC=1，所以。‎ 由PC⊥BC，BC=1，得的面积。‎ 由，，得，‎ 故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎23、(2010年高考北京市理科16)‎ ‎ 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.‎ ‎（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。‎ ‎ ‎ 证明：（I） 设AC与BD交与点G。‎ ‎ 因为EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.‎ ‎ 所以四边形AGEF为平行四边形.‎ ‎ 所以AF//平面EG，‎ ‎ 因为平面BDE，AF平面BDE，‎ ‎ 所以AF//平面BDE.‎ ‎ （II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 ‎ 相互垂直，且CEAC，‎ ‎ 所以CE平面ABCD.‎ ‎ 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-.‎ ‎ 则C（0，0，0），A（，，0），B（0，，0）.‎ ‎ 所以，，.‎ ‎ 所以,‎ ‎ 所以,.‎ ‎ 所以BDE.‎ ‎(III) 由（II）知，是平面BDE的一个法向量.‎ ‎ 设平面ABE的法向量,则，.‎ ‎ 即 所以且 ‎ 令则.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 从而。‎ ‎ 因为二面角为锐角，‎ ‎ 所以二面角的大小为.‎