高考求函数解析式方法及例题

高考求函数解析式方法及例题

函数专题之解析式问题 求函数解析式的方法 把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。‎ 求函数解析式的题型有：‎ ‎（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；‎ ‎（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；‎ ‎（3）已知函数图像，求函数解析式；‎ ‎（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；‎ ‎（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。‎ 一 【待定系数法】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）‎ 若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。‎ ‎【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。‎ 分析：所求的函数类型已定，是一次函数。‎ 设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?‎ 解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7‎ ‎【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7‎ 分析：所求的函数类型已定，是一次函数。‎ 设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=?‎ 解：设f(x)=ax+b（a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7‎ ‎∴+b(+a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1‎ ‎【评注：】‎ 待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。‎ 二 【换元法】（注意新元的取值范围）‎ 已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。‎ 三【配凑法（整体代换法）】‎ 若已知的表达式，欲求的表达式，用换元法有困难时，（如不存在反函数）可把看成一个整体，把右边变为由组成的式子，再换元求出的式子。‎ ‎【例题】已知f(x-1)= -4x，解方程f(x+1)=0‎ 分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键 解1：f(x-1)==-2(x-1)-3，∴f(x)=-2x-3‎ f(x+1)=-2(x+1)-3=-4，∴-4=0，x=±2‎ 解2：f(x-1)=-4x，∴f(x+1)=f[（x+2)-1]=-4(x+2)=-4，∴-4=0，x=±2‎ 解3：令x-1=t+1，则x=t+2，∴f(t+1)=-4(t+2)=-4‎ ‎∴f(x+1)=-4，∴-4=0，∴x=±2‎ 评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。‎ 解法1，采用配凑法；‎ 解法2，根据对应法则采用整体思想实现目的；‎ 解法3，采用换元法，‎ 这些不同的解法共同目的是将f(x-1)的表达式转化为f(x+1)的表达式。‎ ‎【小结：】待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，其中，待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式，而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同--整体思想。‎ 四 【消元法】‎ ‎【构造方程组】（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）‎ 若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。‎ 五【赋值法】(特殊值代入法)‎ 在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。‎ 题5．若，且，‎ 求值.‎ 练习5．设是定义在上的函数，且，，求的解析式.‎ 六．利用给定的特性求解析式.‎ 题6．设是偶函数，当x＞0时， ，求当x＜0时，的表达式.‎ 练习6．对x∈R， 满足，且当x∈[－1，0]时， 求当x∈[9，10]时的表达式.‎ 七．归纳递推法 题7．设，记，求.‎ 八．相关点法 题8．已知函数，当点P(x，y)在y=的图象上运动时，点Q()在y=g(x)的图象上，求函数g(x).‎ 九．构造函数法 题9．若表示x的n次多项式，且当k=0，1，2，…，n时， ，求.‎ 训练例题 ‎(1)已知f（＋1）＝x＋2，求f(x)的解析式。‎ ‎(2)已知f（x＋）＝x3＋，求f(x)的解析式。‎ ‎(3)已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式‎3f（x＋1）－‎2f（x－1）＝2x＋17，求f(x)的解析式。‎ 分析：此题目中的“f”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用。即：求出f及其定义域.‎ ‎(1)解法一：【换元法】‎ 设t＝＋1≥1，则＝t－1，∴x＝（t－1）2‎ ‎∴f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1）‎ ‎∴f（x）＝x2－1（x≥1）‎ 解法二：【凑配法】由f(+1)=x+2=-1，∴f(x)=-1(x≥1)‎ ‎【评注：】‎ ‎①f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同，本质是一样的。‎ ‎②求出函数解析式时，一定要注明定义域，函数定义中包括定义域这一要素。‎ ‎(2)∵x3＋＝（x＋）（x2＋－1）＝（x＋）[（x＋）2－3]‎ ‎∴f（x＋）＝（x＋）[（x＋）2－3]‎ ‎∴f（x）＝x（x2－3）＝x3－3x ‎∴当x≠0时，x＋≥2或x＋≤－2‎ ‎∴f（x）＝x3－3x（x≤－2或x≥2）‎ ‎(3)设f（x）＝ax＋b 则3f（x＋1）－‎2f（x－1）＝3ax＋‎3a＋2b＋‎2a－2b＝ax＋b＋‎5a＝2x＋17‎ ‎∴a＝2，b＝7‎ ‎∴f（x）＝2x＋7‎ 评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3个题目分别采用了这三种方法。值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域。‎ ‎（4）已知，求；‎ ‎（5）已知，求；‎ ‎（6）已知是一次函数，且满足，求；‎ ‎（7）已知满足，求．‎ 解：（4）∵，‎ ‎∴（或）．‎ ‎（5）令（），则，∴，∴．‎ ‎（6）设，‎ 则，‎ ‎∴，，∴．‎ ‎（7）①， 把①中的换成，得 ②，‎ ‎①②得，∴．‎ 注：第（4）题用配凑法；第（5）题用换元法；第（6）题已知一次函数，可用待定系数法；第（7）题用方程组法．‎ ‎（11）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数．又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。①证明：；②求的解析式；③求在上的解析式。‎ ‎①证明：∵是以为周期的周期函数，∴，‎ 又∵是奇函数，∴，‎ ‎∴．‎ ‎②解：当时，由题意可设，‎ 由得，∴，‎ ‎∴．‎ ‎③解：∵是奇函数，∴，‎ 又知在上是一次函数，∴可设，而，‎ ‎∴，∴当时，，‎ 从而当时，，故时，‎ ‎∴当时，有，∴．‎ 当时，，∴‎ ‎∴‎