高考的文科数学圆锥曲线专题复习

高考的文科数学圆锥曲线专题复习

‎ 高三文科数学专题复习之圆锥曲线 ‎ 知识归纳：‎ 名 称 椭圆 双曲线 图 象 定 义 ‎ 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即 ‎ 当2﹥2时，轨迹是椭圆，‎ ‎ 当2＝2时，轨迹是一条线段 ‎ 当2﹤2时，轨迹不存在 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即 当2﹤2时，轨迹是双曲线 当2＝2时，轨迹是两条射线 当2﹥2时，轨迹不存在 标准方 程 焦点在轴上时： ‎ 焦点在轴上时： ‎ 注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 焦点在轴上时： ‎ 焦点在轴上时：‎ 常数的关 系 ‎ ‎ ，，‎ ‎ 最大，‎ ‎，‎ 最大，可以 渐近线 焦点在轴上时：‎ 焦点在轴上时：‎ 抛物线：‎ 图形 方程 焦点 准线 ‎（一）椭圆 ‎ 1. 椭圆的性质：由椭圆方程 ‎ （1）范围：，椭圆落在组成的矩形中。‎ ‎ （2）对称性:图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。‎ ‎ （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 ‎ 椭圆共有四个顶点：，。加两焦点共有六个特殊点。叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴。长分别为。分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。‎ ‎ （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。。。‎ 椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为是椭圆在时的特例。‎ ‎ 2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率。‎ 椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 ‎ 3. 椭圆的准线方程 ‎ 对于，左准线；右准线 对于，下准线；上准线 焦点到准线的距离（焦参数）‎ ‎（二）双曲线的几何性质：‎ ‎ 1. （1）范围、对称性 由标准方程，从横的方向来看，直线x＝－a,x＝a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。‎ ‎ （2）顶点 ‎ 顶点：，特殊点：‎ ‎ 实轴：长为2a,a叫做实半轴长。虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长。‎ ‎ 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。‎ ‎ （3）渐近线 ‎ 过双曲线的渐近线（）‎ ‎ （4）离心率 ‎ 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：e>1‎ ‎ 双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。‎ ‎ 2. 等轴双曲线 ‎ 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。‎ ‎ 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率。‎ ‎ 3. 共渐近线的双曲线系 ‎ 如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成。‎ ‎ 4. 共轭双曲线 ‎ 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。‎ ‎ 5. 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数e是双曲线的离心率。‎ ‎ 6. 双曲线的准线方程：‎ ‎ 对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；‎ ‎ 焦点到准线的距离（也叫焦参数）。‎ ‎ 对于来说，相对于下焦点对应着下准线；相对于上焦点对应着上准线。‎ ‎（三）抛物线的几何性质 ‎ （1）范围 ‎ 因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标（x，y）满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。‎ ‎ （2）对称性 ‎ 以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。‎ ‎ （3）顶点 ‎ 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线的顶点就是坐标原点。‎ ‎ （4）离心率 ‎ 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e＝1。‎ ‎【典型例题】‎ ‎ 例1. 根据下列条件，写出椭圆方程 ‎ （1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8；‎ ‎ （2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且经过点（2，－3）；‎ ‎ （3）中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是。‎ ‎ 分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2＝b2＋c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。‎ ‎ 解：（1）焦点位置可在x轴上，也可在y轴上 ‎ 因此有两解：‎ ‎ （2）焦点位置确定，且为（0，），设原方程为,（a>b>0），由已知条件有，故方程为。‎ ‎ （3）设椭圆方程为,（a>b>0）‎ ‎ 由题设条件有及a2＝b2＋c2，解得b＝‎ ‎ 故所求椭圆的方程是。‎ ‎ 例2. 直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？‎ ‎ 解：把代入 ‎ 整理得：……（1）‎ ‎ 当时，‎ ‎ 由>0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点 若A、B在双曲线的同一支，须>0，所以或。‎ ‎ 故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上。‎ ‎ 例3. 已知抛物线方程为（p>0），直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。‎ ‎ 解：设与抛物线交于 ‎ 由距离公式|AB|＝‎ ‎ 则有 ‎ 由 ‎ ‎ ‎ 从而 ‎ 即 ‎ 由于p>0，解得 ‎ 例4. 过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.‎ 解法一：由e=,得,从而a2=2b2,c=b.‎ 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.‎ 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，‎ ‎(x12－x22)+2(y12－y22)=0,‎ 设AB中点为(x0,y0),则kAB=－,‎ 又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,‎ 于是－=－1,kAB=－1,‎ 设l的方程为y=－x+1.‎ 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),‎ 由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.‎ ‎∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1.‎ 解法二：由e=,从而a2=2b2,c=b.‎ 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),‎ 将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,‎ 则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.‎ 直线l：y=x过AB的中点(),则,‎ 解得k=0，或k=－1.‎ 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.‎ 解法3：设椭圆方程为 直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。‎ 故可设直线 ‎，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ 则，‎ ‎，，‎ ‎， ‎ 所以所求的椭圆方程为：‎ ‎ 例5. 如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.‎ 解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.‎ 设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0)‎ 由e2=，得.‎ ‎∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=－x 设点P1(x1, x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),‎ 则由点P分所成的比λ==2,‎ 得P点坐标为(),‎ 又点P在双曲线=1上，‎ 所以=1,‎ 即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①‎ 即x1x2= ②‎ 由①、②得a2=4,b2=9‎ 故双曲线方程为=1.‎ 例6. 已知点B（－1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足 ‎（1）求点P的轨迹C对应的方程；‎ ‎（2）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.‎ ‎（3）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1·k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.‎ 解：（1）设 ‎【模拟试题】（答题时间：50分钟）‎ 一、 选择题 ‎ 1. 是任意实数，则方程所表示的曲线不可能是（ ）‎ ‎ A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 ‎ 2. 已知椭的一条准线方程是，则实数的值是（ ）‎ ‎ A. 7或－7 B. 4或12 C. 1或15 D. 0‎ ‎ 3. 双曲线的离心率，则的取值范围为（ ）‎ ‎ A. B. （－12，0） C. （－3，0） D. （－60，－12）‎ ‎ 4. 以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（　　　　）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ 5. 抛物线的焦点坐标为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 6. 已知点A（－2，1），的焦点为F，P是的点，为使取得最小值，点的坐标是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 7. 已知双曲线的渐近线方程为，一条准线方程为，则双曲线方程为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ 8. 抛物线到直线距离最近的点的坐标为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 9. 动圆的圆心在抛物线上，且动圆与直线相切，则动圆必过定点（ ）‎ ‎ A. （4，0） B. （2，0） C. （0，2） D. （0，－2）‎ ‎ 10．中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为( )‎ ‎ 二、填空题 ‎ 11. 到定点（2，0）的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程为______________。‎ ‎ 12.双曲线的一条准线是，则___________。‎ ‎ 13. 已知点（－2，3）与抛物线的焦点距离是5，____________。‎ ‎ 14．直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为________________。‎ ‎ 三、解答题 ‎ 15. 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为的直线，交双曲线于M、N 两点，且＝4，求双曲线方程。‎ ‎ 16. 过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、，为右焦点。‎ 求：的最值 ‎ 17. 已知椭圆的一个焦点为，对应的准线方程为，且离心率满足， 成等比数列。‎ ‎（1）求椭圆的方程。‎ ‎（2）试问是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分？若存在，求出的倾角的取值范围，若不存在，请说明理由。‎ ‎ 18. 如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.‎ ‎【试题答案】‎ ‎ 1. C 2. C 3. B 4. A 5. B ‎ 6. A 7. A 8. B 9. B 10.C ‎ 11. ‎ ‎ 12. － 13. 4 14. =1‎ ‎15. 解：设所求双曲线方程为（a>0，b>0），由右焦点为（2，0）。知c＝2，b2＝4－a2‎ 则双曲线方程为，设直线MN的方程为：，代入双曲线方程整理得：（20－8a2）x2＋12a2x＋5a4－32a2＝0 ‎ ‎ 设M（x1,y1）,N（x2,y2）,则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解得：，‎ 故所求双曲线方程为：‎ ‎16. 解：直线：为参数 ‎、为与椭圆的交点 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 时时 ‎ 17. 解：（1）依题意，成等比数列，‎ ‎ 可得 ‎ 设P（）是椭圆上任一点 ‎ 依椭圆的定义得 ‎ ‎ ‎ 化简得 ‎ 即为所求的椭圆方程 ‎ （2）假设存在 ‎ 因与直线相交，不可能垂直轴 ‎ 所以设的方程为：‎ ‎ 由 ‎ 消去得，‎ ‎ 有两个不等实根 ‎ ‎ ‎ 设两交点M、N的坐标分别为 ‎ ‎ ‎ 线段MN恰被直线平分 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 代入得 ‎ ‎ ‎ 直线倾角的范围为 解：由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.‎ 由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0……………①‎ ‎∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，‎ ‎∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,‎ 解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,‎ ‎∴|MN|=4.‎ 点A到直线l的距离为d=.‎ ‎∴S△=2(5+m),从而S△2=4(1－m)(5+m)2‎ ‎=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.‎ ‎∴S△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.‎ 故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8.‎