安徽省高考数学试卷理科答案与解析

安徽省高考数学试卷理科答案与解析

‎2015年安徽省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）‎ ‎1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．‎ 第一象限 B．‎ 第二象限 C．‎ 第三象限 D．‎ 第四象限 ‎2．（5分）（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　）‎ A．‎ y=cosx B．‎ y=sinx C．‎ y=lnx D．‎ y=x2+1‎ ‎3．（5分）（2015•安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（　　）‎ A．‎ 充分不必要条件 B．‎ 必要不充分条件 C．‎ 充分必要条件 D．‎ 既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（　　）‎ A．‎ x2﹣=1‎ B．‎ ‎﹣y2=1‎ C．‎ ‎﹣x2=1‎ D．‎ y2﹣=1‎ ‎5．（5分）（2015•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．‎ 若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．‎ 若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．‎ 若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．‎ 若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 ‎6．（5分）（2015•安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（　　）‎ A．‎ ‎8‎ B．‎ ‎15‎ C．‎ ‎16‎ D．‎ ‎32‎ ‎7．（5分）（2015•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（　　）‎ A．‎ ‎1+‎ B．‎ ‎2+‎ C．‎ ‎1+2‎ D．‎ ‎2‎ ‎8．（5分）（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（　　）‎ A．‎ ‎||=1‎ B．‎ ‎⊥‎ C．‎ ‎•=1‎ D．‎ ‎（4+）⊥‎ ‎9．（5分）（2015•安徽）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　）‎ A．‎ a＞0，b＞0，c＜0‎ B．‎ a＜0，b＞0，c＞0‎ C．‎ a＜0，b＞0，c＜0‎ D．‎ a＜0，b＜0，c＜0‎ ‎10．（5分）（2015•安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（　　）‎ A．‎ f（2）＜f（﹣2）＜f（0）‎ B．‎ f（0）＜f（2）＜f（﹣2）‎ C．‎ f（﹣2）＜f（0）＜f（2）‎ D．‎ f（2）＜f（0）＜f（﹣2）‎ 二.填空题（每小题5分，共25分）‎ ‎11．（5分）（2015•安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是　（用数字填写答案）‎ ‎12．（5分）（2015•安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是　　．　‎ 13． ‎（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流 程图），输出的n为　　‎ 14． ‎（5分）（2015•安徽）已知数列{an}是递增的等比数列，‎ a1+a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前n项和等于　　．　‎ 14． ‎（5分）（2015•安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，‎ 下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是　　‎ ‎（写出所有正确条件的编号）‎ ‎①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．‎ ‎④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．‎ 三.解答题（共6小题，75分）‎ ‎16．（12分）（2015•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．‎ ‎17．（12分）（2015•安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．‎ ‎（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）‎ ‎18．（12分）（2015•安徽）设n∈N*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标 ‎（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记Tn=x12x32…x2n﹣12，证明：Tn≥．‎ ‎19．（13分）（2015•安徽）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．‎ ‎（Ⅰ）证明：EF∥B1C；‎ ‎（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．‎ ‎20．（13分）（2015•安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为 ‎（Ⅰ）求E的离心率e；‎ ‎（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．‎ ‎21．（13分）（2015•安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；‎ ‎（Ⅱ）记f0（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求z=b﹣满足条件D≤1时的最大值．‎ ‎　答案：‎ ‎1、‎ 解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，‎ 故选：B．‎ ‎2、‎ 解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；‎ 对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；‎ 对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；‎ 对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；‎ 故选A．‎ ‎3、‎ 解：由1＜x＜2可得2＜2x＜4，则由p推得q成立，‎ 若2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2．‎ 由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎4、‎ 解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；‎ 由B可得焦点在x轴上，不符合条件；‎ 由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；‎ 由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．‎ 故选C．‎ ‎5、‎ 解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，如果墙角的三个平面；故A错误；‎ 对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；‎ 对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；‎ 对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；‎ 故选D．‎ ‎6、‎ 解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，‎ ‎∴=8，即DX=64，‎ 数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，‎ 则对应的标准差为==16，‎ 故选：C．‎ ‎7、‎ 解：根据几何体的三视图，得；‎ 该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；‎ ‎∴该几何体的表面积为 S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC ‎=×2×1+2××+×2×1‎ ‎=2+．‎ 故选：B．‎ ‎8、‎ 解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，‎ 所以，，‎ 所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，‎ ‎4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；‎ 故选D．‎ ‎9、‎ 解：函数在P处无意义，即﹣c＞0，则c＜0，‎ f（0）=，∴b＞0，‎ 由f（x）=0得ax+b=0，即x=﹣，‎ 即函数的零点x=﹣＞0，‎ ‎∴a＜0，‎ 综上a＜0，b＞0，c＜0，‎ 故选：C ‎10、‎ 解：依题意得，函数f（x）的周期为π，‎ ‎∵ω＞0，‎ ‎∴ω==2．（3分）‎ 又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，‎ ‎∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，（5分）‎ ‎∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．（6分）‎ ‎∴f（﹣2）=Asin（﹣4+）=Asin（﹣4+2π）＞0．‎ f（2）=Asin（4+）＜0‎ f（0）=Asin=Asin＞0‎ 又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asin（2x+）在区间（，）是单调递减的，‎ ‎∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）‎ 故选：A．‎ ‎11、‎ 解：根据所给的二项式写出展开式的通项，‎ Tr+1==；‎ 要求展开式中含x5的项的系数，‎ ‎∴21﹣4r=5，‎ ‎∴r=4，可得：=35．‎ 故答案为：35．‎ ‎12、‎ 解：圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，∴x2+y2=8y，化为x2+（y﹣4）2=16．‎ 直线θ=（ρ∈R）化为y=x．‎ ‎∴圆心C（0，4）到直线的距离d==2，‎ ‎∴圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值=d+r=2+4=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎13、‎ 解：模拟执行程序框图，可得 a=1，n=1‎ 满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2‎ 满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3‎ 满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4‎ 不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎14、‎ 解：数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，‎ 可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，‎ ‎∴8=1×q3，q=2，‎ 数列{an}的前n项和为：=2n﹣1．‎ 故答案为：2n﹣1．‎ ‎15、‎ 解：设f（x）=x3+ax+b，f'（x）=3x2+a，‎ ‎①a=﹣3，b=﹣3时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1‎ 时f（1）=﹣5，f（﹣1）=﹣1；‎ 并且x＞1或者x＜﹣1时f'（x）＞0，‎ 所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）都是增函数，‎ 所以函数图象与x轴只有一个交点，故x3+ax+b=0仅有一个实 根；如图 ‎②a=﹣3，b=2时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=0，f（﹣1）=4；如图 ‎③a=﹣3，b＞2时，函数f（x）=x3﹣3x+b，f（1）‎ ‎=﹣2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程 x3+ax+b=0只有一个根；④a=0，b=2时，函数f（x）‎ ‎=x3+2，f'（x）=3x2≥0恒成立，故原函数在R上是增 函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；⑤a=1，‎ b=2时，函数f（x）=x3+x+2，f'（x）=3x2+1＞0恒成立 ‎，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只 有一个根；综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是 ‎①③④⑤．故答案为：①③④⑤．‎ ‎16、‎ 解：∵∠A=，AB=6，AC=3，‎ ‎∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90．‎ ‎∴BC=3…4分 ‎∵在△ABC中，由正弦定理可得：，‎ ‎∴sinB=，‎ ‎∴cosB=…8分 ‎∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，‎ ‎∴Rt△ADE中，AD===…12分 ‎17、‎ 解：（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，‎ 则P（A）==．‎ ‎（Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400‎ P（X=200）==．‎ P（X=300）==．‎ P（X=400）=1﹣P（X=200）﹣P（X=300）=．‎ X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 200‎ ‎ 300‎ ‎ 400‎ ‎ P EX=200×+300×+400×=350．‎ ‎18、‎ 解：（1）y'=（x2n+2+1）'=（2n+2）x2n+1，曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2，‎ 从而切线方程为y﹣2=（2n+2）（x﹣1）‎ 令y=0，解得切线与x轴的交点的横坐标为，‎ ‎（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：‎ Tn=x12x32…x2n﹣12=，‎ 当n=1时，，‎ 当n≥2时，因为x2n﹣12==＞==，‎ 所以Tn 综上所述，可得对任意的n∈N+，均有 ‎19、‎ ‎（Ⅰ）证明：∵B1C=A1D且A1B1=CD，‎ ‎∴四边形A1B1CD为平行四边形，‎ ‎∴B1C∥A1D，‎ 又∵B1C⊄平面A1EFD，‎ ‎∴B1C∥平面A1EFD，‎ 又∵平面A1EFD∩平面B1CD1=EF，‎ ‎∴EF∥B1C；‎ ‎（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz如图，设边长为2，‎ ‎∵AD1⊥平面A1B1CD，∴=（0，2，2）为平面A1B1CD的一个法向量，‎ 设平面A1EFD的一个法向量为=（x，y，z），‎ 又∵=（0，2，﹣2），=（1，1，0），‎ ‎∴，，‎ 取y=1，得=（﹣1，1，1），‎ ‎∴cos＜，＞==，‎ ‎∴二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值为．‎ ‎20、‎ 解：（I）∵点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，∴，‎ ‎∵A（a，0），B（0，b），∴=．‎ ‎∵，∴，a=b．‎ ‎∴=．‎ ‎（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，N．‎ 设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，‎ 又AB垂直平分线段NS，∴，解得b=3，‎ ‎∴a=3．‎ ‎∴椭圆E的方程为：．‎ ‎21、‎ 解：（Ⅰ）设t=sinx，在x∈（﹣，）递增，‎ 即有f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），f′（t）=2t﹣a，‎ ‎①当a≥2时，f′（t）≤0，f（t）递减，即f（sinx）递减；‎ 当a≤﹣2时，f′（t）≥0，f（t）递增，即f（sinx）递增．‎ 即有a≥2或a≤﹣2时，不存在极值．‎ ‎②当﹣2＜a＜2时，﹣1＜t＜，f′（t）＜0，f（sinx）递减；‎ ‎＜t＜1，f′（t）＞0，f（sinx）递增．‎ f（sinx）有极小值f（）=b﹣；‎ ‎（Ⅱ）﹣≤x≤时，|f（sinx）﹣f0（sinx）|=|（a﹣a0）sinx+b﹣b0|≤|a﹣a0|+|b﹣b0|‎ 当（a﹣a0）（b﹣b0）≥0时，取x=，等号成立；‎ 当（a﹣a0）（b﹣b0）≤0时，取x=﹣，等号成立．‎ 由此可知，|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值为D=|a﹣a0|+|b﹣b0|．‎ ‎（Ⅲ）D≤1即为|a|+|b|≤1，此时0≤a2≤1，﹣1≤b≤1，从而z=b﹣≤1‎ 取a=0，b=1，则|a|+|b|≤1，并且z=b﹣=1．‎ 由此可知，z=b﹣满足条件D≤1的最大值为1．‎