2013艺术生高考数学复习学案一

2013艺术生高考数学复习学案一

§1 集合（1） 【考点及要求】了解集合含义，体会“属于”和“包含于”的关系，全集与空集的含义 【基础知识】 集合中元素与集合之间的关系：文字描述为 和 符号表示为 和 常见集合的符号表示：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 集合的表示方法 1 2 3 集合间的基本关系：1 相等关系： 2 子集： 是 的子集，符号表示为 或 3 真子集： 是 的真子集，符号表示为 或 不含任何元素的集合叫做 ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集 合的 n 个元素的子集有 个；n 个元素的真子集有 个；n 个元素的非空真子集有 个. 【基本训练】 1．下列各种对象的全体，可以构成集合的是 （1） 某班身高超过 的女学生；（2）某班比较聪明的学生；（3）本书中的难题 （4）使 最小的 的值 2． 用适当的符号 填空： ； 3．用描述法表示下列集合： 由直线 上所有点的坐标组成的集合； 4．若 ，则 ；若 则 5．集合 ，且 ，则 的范围是 【典型例题讲练】 例 1 设集合 ，则 练习： 设集合 ，则 例 2 已知集合 为实数。 （1） 若 是空集，求 的取值范围； _________A B B A⊆ ⊆ ⇔且 A B ______ B A⊇ A B _____ ____ 1.8m 2 3 2x x− + x ( , , , , )∈ ∉ = ⊆ ⊇ ___ ;Qπ { }3.14 ____ Q *___ ;N N { } { }2 1, ____ 2 1,x x k k Z x x k k z= + ∈ = − ∈ 1y x= + A B B∩ = ____A B A B B∪ = _____ ; _____A B A B A B∩ ∪ { } { }3 5 ,A x x B x x a= − < = < A B⊆ a 1 1, , ,2 4 4 2 k kM x x k Z N x x k Z   = = + ∈ = = + ∈       _______M N 1 1, , ,3 6 6 3 k kP x x k Z Q x x k Z   = = + ∈ = = + ∈       ______P Q { }2 2 1 0, ,A x ax x x R a= + + = ∈ A a （2） 若 是单元素集，求 的取值范围； （3） 若 中至多只有一个元素，求 的取值范围； 练习：已知数集 ，数集 ，且 ，求 的值 【【课堂小结】集合的概念及集合元素的三个特性 【课堂检测】 1． 设全集 集合 ， ，则 2． 集合 若 ，则实数 的值是 3．已知集合 有 个元素，则集合 的子集个数有 个，真子集个数有 个 4．已知集合 A＝ －1，3，2 －1 ，集合 B＝ 3， ．若 ，则实数 ＝ ． 5．已知含有三个元素的集合 求 的值. §2 集合（2） 【典型例题讲练】 例 3 已知集合 (1) 若 ，求实数 的取值范围。 (2) 若 ，求实数 的取值范围。 (3) 若 ，求实数 的取值范围。 练习：已知集合 ，满足 ，求实数 的取值范围。 例 4 定义集合运算： ，设集合 ，则集合 的所有元素之和为 A a A a 1, ,aP bb  =    { }20, ,Q a b b= + P Q= ,a b ,U R= { }1M x x= > { }2 1P x x= > ______M P { } { }2 3 2 0 , 1 0 ,P x x x Q x mx= − + = = − = P Q⊇ m A n A { m } { 2m } B A⊆ m 2{ , ,1} { , ,0},ba a a ba = + 2004 2005a b+ { }2 3 10 0A x x x= − − ≤ { }, 1 2 1B A B x m x m⊆ = + ≤ ≤ − m { }, 6 2 1A B B x m x m⊆ = − ≤ ≤ − m { }, 6 2 1A B B x m x m= = − ≤ ≤ − m { } { }1 2 , 1 1A x ax B x x= < < = − < < A B⊆ a { }( ), ,A B z z xy x y x A y B= = + ∈ ∈ { } { }0,1 , 2,3A B= = A B 练 习 ： 设 为 两 个 非 空 实 数 集 合 ， 定 义 集 合 ，则 中元素的个数是 【课堂小结】：子集，真子集，全集，空集的概念，两集合相等的定义，元素与集合之间的隶属关系与集 合与集合之间的包含关系 【课堂检测】 1． 定义集合运算： ，设集合 ，则集合 的所有元素之积为 2.设集合 A= ，B= ，若 A B，则 的取值范围是 3.若{1，2} A {1，2，3，4，5}则满足条件的集合 A 的个数是 4．设集合 ,若 求实数 的值. 【课后作业】： 1．若集合 中只有一个元素,则实数 的值为 2．符合 的集合 P 的个数是 3．已知 ,则集合 M 与 P 的关系是 4．若 ,B={ ,C={ , 则 . 5．已知 ,若 B,则实数 的取值范围是 . 6.集合 , , 若 B A, 求 的值。 §3 集合（3） 【考点及要求】了解并掌握集合之间交，并，补的含义与求法 【基础知识】 1．由所有属于集合 且属于集合 的元素组成的集合叫做 与 的 记作 2．由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合叫做 与 的 记作 3．若已知全集 ，集合 ，则 4． ， ， ， ， ，若 ，则 ,P Q { }, ,P Q a b a P b Q+ = + ∈ ∈ { } { }0,2,5 , 1,2,6P Q= =若 P Q+ { }( ), ,A B z z xy x y x A y B= = + ∈ ∈ { } { }1,2 , 3,4A B= = A B }{ 1 2x x< < }{x x a< ⊆ a ⊆ ⊆ 2{1,2, }, {1, }A a B a a= = − A B⊇ a 2{ 4 4 0, }A x kx x x R= + + = ∈ k { }a ⊂≠ { , , }P a b c⊆ 2{ 1, }, { 1, }M y y x x R P x x a a R= = − ∈ = = − ∈ { 2 , }A x x k k Z= = ∈ 2 1, }x x k k Z= + ∈ 4 1, },x x k k Z= + ∈ a A∈ ,b B∈ a b+ ∈ { 1 5}, { 4}A x x x B x a x a= < − > = ≤ < +或 A ⊃≠ a }{ 06| 2 =−+= xxxA { }01| =+= axxB ⊆ a A B A B A B A B U A U⊆ UC A = ________A A∩ = _________A∩∅ = __________A A∪ = _________A∪∅ = _________UA C A∩ = _________UA C A∪ = A B⊆ ____, ___A B A B∩ = ∪ = ( ) _______________UC A B∩ = ( ) _______________UC A B∪ = 【基本训练】 1．集合 ， ， __　　　　　_______. 2．设全集 ，则 ，它的子集个数是 3．若 ={1，2，3，4}， ={1，2}， ={2，3}，则 4．设 , 则: , 【典型例题讲练】 例 1 已知全集 且 则 练习：设集合 ， ，则 例 2 已知 ， ，且 ，则 的取值范围是 。 练 习 ： 已 知 全 集 ， 集 合 ， 并 且 ， 那 么 的 取 值 集 合 是 。 【课堂小结】集合交，并，补的定义与求法 【课堂检测】 1． ,B= 且 ,则 的值是 2．已知全集 U,集合 P、Q，下列命题： 其中与命题 等价的有 个 3．满足条件 的集合 的所有可能的情况有 种 4．已知集合 ，且 ，则 §4 集合（4） 【典型例题讲练】 例 3 设集合 ,且 求 的值. 练习：设集合 且 求 的值 { }33| >−<= xxxA 或 { }41| ><= xxxB 或 A B∩ = { } { }1,2,3,4,5 , 1,4I A= = ______IC A = U M N ( ) __________UC M N∪ = {1,2,3,4,5,6,7,8}U = {3,4,5}, {4,7,8}.A B= = ( ) ( )U UC A C B∩ = ( ) ( )U UC A C B∪ = ,U R= { } { }2| 1 2 , | 6 8 0 ,A x x B x x x= − > = − + < ( ) ________UC A B = { }2 2,A x x x R= − ≤ ∈ { }2| , 1 2B y y x x= = − − ≤ ≤ ( ) ________RC A B = }4{ <−= axxA }056{ 2 >+−= xxxB RBA = a RI = }2{ <= xxM }{ axxP >= PCM I⊂ a 2{ 4,2 1, }A a a= − − { 5,1 ,9},a a− − {9}A B∩ = a , , ( ) ,UP Q P P Q Q P C Q∩ = ∪ = ∩ = ∅ ( ) ,UC P Q U∪ = P Q⊆ { } { }1,3 1,3,5A∪ = A { } { } { }5 , 7 , 2A x x B x x a C x b x= < = − < < = < < A B C∩ = _________, _____________a b= = 2 2{ 4 3 0}, { 1 0}A x x x B x x ax a= − + = = − + − = ,A B A∪ = a 2{ 4 3 0},A x x x= − + = 2{ 1 0},C x x mx= − + = ,A C C∩ = m 例 4 已知集合 ， ， 那么 中元素为 . 练习：已知集合 ，集合 ，那么 = . 【课堂小结】集合交，并，补的定义及性质； 点集 【课堂检测】 1．设全集 U= ，A= ，C A= ，则 = 　　　 ， = 。 2．设 ， ，则 3．设 ， 且 ，求实数 的值. 【课后作业】 1 ． 设 集 合 ， ， 且 ， 则 2． 50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 40 人，化学实验做得正确得有 31 人， 两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有 人. 3．已知集合 A = ，B= ，A∩B={3，7}， 求 4．已知集合 ，B= ，若 ，且 求实数 a，b 的值。 §5 函数的概念（1） 【考点及要求】了解函数三要素，映射的概念，函数三种表示法，分段函数 【基础知识】 {( , ) 1 2( 1), , }M x y y x x y R= − = − ∈ 2 2{( , ) 4 0, , }N x y x y y x y R= + − = ∈ NM  }),({ 22 yxyxM == }),({ 2yxyxN == NM  { }22,3, 2 3a a+ − { }2,b U { }5 a b { }( , ) | 4 2 0A x y x y= − = { }( , ) 2 3 1B x y x y= + = ________A B∩ = { }2| 4 0A x x x= + = { }2 2| 2( 1) 1 0B x x a x a= + + + − = A B B= a { }( , ) 1A x y y ax= = + { }( , )B x y y x b= = + { }(2,5)A B = __________, _________a b= = }2432{ 2 ++ aa，， }24270{ 2 −+− aaa，，， BAa ∪的值及集合 { }01| 2 =−= xxA }{ 2 2 0x x ax b− + = B ≠ ∅ A B A∪ = 函数的概念： 映射的概念： 函数三要素： 函数的表示法： 【基本训练】 1． 已知函数 ，且 ， 2． 设 是集合 到 的映射，如果 ，则 3． 函数 的定义域是 4． 函数 的定义域是 5． 函数 的值域是 6． 的值域为______________________ ； 的值域为______________________； 的值域为_________________； 的值域为______________________； 的值域为 _________________； 的值域为______________________。 【典型例题讲练】 例 1 已知： ，则 练习 1：已知 ，求 练习 2：已知 是一次函数，且 ，求 的解析式 例 2 函数 的定义域是 练习：设函数 则函数 的定义域是 【课堂小结】：函数解析式 定义域 【课堂检测】 1．下列四组函数中，两函数是同一函数的有 组 （1）ƒ(x)= 与ƒ(x)=x; (2) ƒ(x)= 与ƒ(x)=x (3) ƒ(x)=x 与ƒ(x)= ; (4) ƒ(x)= 与ƒ(x)= ; ( )f x ax b= + ( 1) 4f − = − (2) 5, (0) _________f f= =则 2:f x x→ A B { }1,2A = ________A B∩ = 24y x= − 2 1log (3 2)xy x−= − 2 3 4, [2,4)y x x x= − + ∈ xy 3= xy 2= xy 2log= xy sin= xy cos= xy tan= 2( 1) 2 1f x x+ = + ( 1) __________f x − = 2(3 1) 9 6 5f x x x+ = − + ( )f x ( )f x [ ( )] 4 1f f x x= − ( )f x 2 22 3 log ( 2)y x x x= − − + + 1( ) ln ,1 xf x x += − 1( ) ( ) ( )2 xg x f f x = + 2x 2)x( 3 3x 2x 3 3x 2．设 ，则 f[f(1)]= 3．函数 y=f(x)的定义域为[-2，4]则函数，g(x)=f(x)+f(-x)的定义域为 。 4．设 ，则 的定义域为 5．已知： ,则 §6 函数的概念（2） 【典型例题讲练】 例 3 求下列函数的值域 （1） （2） （3） 练习：求下列函数的值域 （1） （2） （3） 例4 求下列函数的值域 （1） （2） 练习： 求下列函数的值域 （1） （2） 【课堂小结】：求函数的值域常用的方法：直接法、配方法、换元法、反函数法、判别式法 【课堂检测】1．函数 的值域是 2．函数       < ≥− = )0(1 )0(12 1 )( xx xx xf 2( ) lg 2 xf x x += − 2( ) ( )2 xf f x + 2( 1)f x x− = (2) _________f = 2234 xxy −+−= xxy 212 −+= 1cos4sin 2 ++= xxy xxy 41552 −+−= xxy 41312 −−−= 21 xxy −+= 52 1 + −= x xy 4 3 2 += x xy x x y 21 21 + −= 1 3 2 2 +− +−= xx xxy 2 1 3 1 xy x += − _________12 2 的值域是+= x x y 3． 数 的值域是 4．函数 的值域是 5．函数 的值域是 【课后作业】： 1．狄利克莱函数 D（x）= ，则 D = . 2．函数 的定义域是 3．函数 的值域为 4．设函数 ，则 的最小值为 5．函数 f(x)= ，若 f(a)<1，则 a 的取值范围是 6．已知函数 是一次函数，且对于任意的 ，总有 求 的表达式 §7 函数的性质（1） 【考点及要求】理解单调性，奇偶性及其几何意义，会判断函数的单调性，奇偶性 【基础知识】 1．函数单调性：一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ，如果对于区间 内任意两个自变量 ，当 时，①若 则 在区间 上是增函数， ②若 则 在区间 上是增函数 2．若函数 在区间 上是增函数或减函数，则称函数 在这一区间具有（严格的） ， 区间 叫做 的 3．偶函数：如果对函数 的定义域内 都有 ，那么称函数 是偶函 数。其图象关于 对称。 奇函数：如果对函数 的定义域内 都有 ，那么称函数 是奇函数。 其图象关于 对称。 【基本训练】 1．偶函数 在（0，+ ）上为单调 函数，（ ，0）上为单调 函数，奇函数 在（0，+ ）上为单调 函数，（ ，0）上为单调 函数。 1 2y x x= − − 2sin 3sin 4y x x= − + 2 2 2 3 1 x xy x x − += − + { x x 1, 0, 为 数 为无 数 有理 理 [ ]xD( ) 1 2 ( ) log ( 1)f x x= － 1 1 + −= x xy 2 4 3, [1,4]y x x x= − + ∈ ( )f x    +− − 2 2 1 x x )0( )0( > ≤ x x ( )f x t R∈ 3 ( 1) 2 ( 1) 2 17,f t f t t+ − − = + ( )f x ( )f x A I A⊆ I 1 2,x x 1 2x x< ( )f x I ( )f x I ( )f x I ( )f x I ( )f x ( )f x x ( )f x ( )f x x ( )f x 12 += xy ∞ ∞− xy 1= ∞ ∞− 2．函数 在（0，+ ）上为单调 函数，函数 在（0，+ ）上为单调 函 数，则函数 在（0，+ ）上为单调 函数； 3．函数 在（0，+ ）上为单调 函数，函数 在（0，+ ）上为单调 函数，函 数 在（0，+ ）上为单调 函数； 4．若奇函数 的图象上有一点（3，—2），则另一点 必在 的图象上；若偶函 数 的图象上有一点（3，—2），则另一点 必在 的图象上； 【典型例题讲练】 例 1 已知函数 试确定函数 的单调区间，并证明你的结论 练习 讨论函数 的单调性 例 2 若函数 在[2，+ 是增函数，求实数 的范围 练习： 已知函数 在区间 上是增函数，求 的范围 【课堂小结】1、函数单调性的定义 2、单调区间 3、复合函数的单调性 【课堂检测】 1．数 y＝ （x2－3x＋2）的单调递减区间是 2．函数 的单调递增区间是 3． 若 成立，则 4．函数 f(x)=x2-2ax-3 在区间[1，2]上是单调函数，求 的范围 §8 函数的性质（2） 【典型例题讲练】 例 3 判断下列函数的奇偶性（1） （2） 练习：判断下列函数的奇偶性 （1） ； （2） xy 2log= ∞ xy = ∞ xxy 2log+= ∞ 2xy = ∞ xy = ∞ xy −= ∞ )(xfy = )(xfy = )(xfy = )(xfy = )0(1 3)( 2 >++= xxx xxf )(xf )0(3)( >+= xxxxf )3(log 2 2 aaxxy +−= ∞ ) a 1( ) 2 axf x x += + ( 2, )− +∞ a 2 1log xxy −= 2 )3 1( yxyx 5533 −≥− −− _____ 0x y+ a x xxxf − +−= 1 1)1()( 33)( 22 −+−= xxxf xxy sin= 112 2 +−= xy 例 4 若函数 是奇函数，则 __________ 练习 已知函数 是定义在实数集上的奇函数，求 的值 【课堂小结】1、函数奇偶性的判断； 2、函数奇偶性的应用 【课堂检测】 1 判断函数奇偶性：（1） （2） 2．若函数 是奇函数，且 ，求实数 的值。 【课后作业】 1．函数 是定义在（—1，1）上奇函数，则 ； 2.知 f(x)是实数集上的偶函数，且在区间 上是增函数，则 的大小关系 是 3．若函数是奇函数，当 x<0 时，f(x)的解析式是 f(x)=x(1-x),则当 x>0 时，f(x)的解析式是 . 4．函数 和 的递增区间依次是 5．定义在（－１，１）上的函数ｆ（ｘ）是奇函数，并且在（－１，１）上ｆ（ｘ）是减函数，求满足 条件ｆ（１－ａ）＋ｆ（１－ａ２）＜０的ａ取值范围. §9 指数与对数（1） 【考点及要求】理解指数幂的含义，进行幂的运算，理解对数的概念及运算性质 【基础知识】 0 的正分数指数幂是 ，0 的负分数指数幂无意义。 如果 的 次幂等于 ，即 ，那么就称数 叫做 ，记作： ，其 )2(log)( 22 axxxf a ++= =a 12 22)( + −+= x x aaxf a ( ) 1 1f x x x= − + + 2( ) lg( 1)f x x x= + + 2 3( ) 3 pxf x x q += − 5(2) 2f = ,p q )(xfy = =)0(f [0,+ )∞ f(-2),f(- ),f(3)π x)x(f = )x2(x)x(g −= *_______( 0, , , 1) m na a m n N n= > ∈ > *_______( 0, , , 1) m na a m n N n − = > ∈ > ____( 0, , )s ta a a s t Q• = > ∈ ( ) ____( 0, , )s ta a s t Q= > ∈ ( ) ____( 0, 0, )tab a b t Q= > > ∈ ( 0, 1)a a a> ≠ b N ba N= b loga N b= 中 叫做对数的 ， 叫做对数的 换底公式： 若 那么 【基本训练】 1． 2． 3． = 4． 【典型例题讲练】 例 1 = 练习： 例 2 已知 ，求下列 （1） （2） 的值。 练习：已知 ，求 的值 【课堂小结】指数的概念及运算 【课堂检测】 1． 2． -4× 3． 4．若 ，则 a N log _____a Na = log ____( 0, 1n a a a a= > ≠ ） log _________b N = 0, 1, 0, 0a a M N> ≠ > > log ( ) _________a MN = log __________a M N = log __________n a M = log _____________m n a M = 6 42( ) ________a = __________3 23 2 =÷ abba ( ) 25lg50lg2lg2lg 2 +×+ _____________ (2 3)log (2 3) ___________+ − = 3 2 11 32 1 3 2 − −− −         ÷ ab ba ba ba _____________ 1 1 3 2 1 2 3 3 2 1 ( 4 )( ) _______________4 0.1 ( ) ab a b −− − − • = 1 1 2 2 3a a −+ = 1a a−+ 2 2a a−+ 1 1 2 2 3x x −+ = 2 3 22 2 3 2 3 −+ −+ − − xx xx 6 3 9 4( ) __________a = 3 4 63425.00 )22()32(28)2003( −×+×+− 2 1 49 16 −      3 210 2,10 3,10 5, 10 _______a b c a b c− += = = =则 1 18m m−+ = 1 1 2 2 __________m m −+ = 1 1 2 2 __________m m −− = §10 指数与对数（2） 【典型例题讲练】 例 3 = 练习： 例 4 已知 为正数， 求使 的 的值； 练习：已知 为正数， 求证 【课堂小结】： 对数的概念及运算 【课堂检测】 1． = 2． 3． 4．已知 ，则 【课后作业】 1．设 ，则 的大小关系为 2． = 3． 的值为 4． 5．若 <1, 则 的取值范围是 1log2 1log48 7log 42 2 12 22 −−+ ______________ 2lg 3 lg9 1(lg 27 lg8 lg 1000) lg0.3lg1.2 − + + − zyx ,, zyx 643 == pyx =2 p zyx ,, zyx 643 == xzy 11 2 1 −= 5lg20lg)2(lg 2 ×+ =−+ 25lg4 1lglog 3 2 2 aa a a _______________ 8lg3 136.0lg2 11 3lg2lg2 = ++ + 2 5 10a b= = 1 1 ______________a b + = 5.1 3 48.0 2 9.0 1 )2 1(,8,4 −=== yyy 321 ,, yyy ______________ )8(loglog32log5 234 3log2 5 −+ 3log 9log 2 8 = ⋅ ⋅ 3 725 495 4log3 1log 81log2log 5 2log a a §11 指数函数图象和性质(1) 【考点及要求】： 1.理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象. 2.了解指数函数模型的实际案例，会用指数函数模型解决简单的实际问题 【基础知识】： (1)一般地，函数__________________叫做指数函数，其中 x 是________________，函数的定义域是 _______________________________. (2)一般地，指数函数的图象与性质如下表所示: 图象 定义域 值域 (1)过定点( ) (2)当 时，__________； 时___________. (2)当 时，__________； 时__________. 性质 (3)在( )上是______________ (3)在( )上是_______________ （3）复利公式：若某种储蓄按复利计算利息，如果本金为 元，每期利率为 ，设存期是 的本利和（本 金+利息）为 元，则 = . 【基本训练】： 1. +2 的定义域是_____________，值域是______________， 在定义域上，该函数单调递 . 2.已知 ，当 时， 为 （填写增函数或者减函数）；当 且 时， >1. 3.若函数 的图象恒过定点 . 4. (1)函数 和 的图象关于 _ 对称. (2)函数 和 的图象关于 对称. 5.比较大小 ________________. 【典型例题讲练】 例 1 比较下列各组值的大小： （1） ； （2） 其中 . 练习 比较下列各组值的大小； （1） ； （2） . 例 2 已知函数 的值域为 ，求 的范围. 1>a 10 << a 0>x 0x 0= − aaaxf x )1,0(∈a )(xf )1,0(∈a ∈x )(xf 31 += +−xay x ay )1(= )1,0( ≠>= aaay x xay = )1,0(log ≠>= aaxy a 5.05.0 15,23 6.12.02.0 2,2,4.0 abb aaa ,,− 10 <<< ba 3.02 2,3.0 5 2 5 2 5 2 9.1,8.3,1.4 − 3234 +⋅−= xxy [ ]7,1 x 练习 函数 在 上的最大值与最小值的和为 3，求 值. 例 3 求函数 的单调减区间. 练习 函数 的单调减区间为 ________ . 【课堂小结】： 【课堂检测】 1. 与 的大小关系为 2. 的值域是 3 . 的单调递减区间是 【课后作业】： 1. 指数函数 的图象经过点（ ），求 的解析式和 的值. 2. 设 ，如果函数 在 上的最大值为 14，求 的值. §12 指数函数图象和性质(2) 【典型例题讲练】 例 1 要使函数 在 上 恒成立.求 的取值范围. 练习 已知 ≤ ，求函数 的值域. 例 2 已知函数 且 的定义域为[ ]. 求 的解析式并判断其单调性； 若方程 有解，求 的取值范围. 练习 若关于 的方程 有实根，求 的取值范围. 【课堂小结】 联系指数函数的单调性和奇偶性等性质进行综合运用. 【课堂检测】 xay = ]1,0[ a 322 −−= xxay 322 3.0)( −−= xxxf 3)72.0(− 3)75.0(− ||)4 1( xy −= xxy −= 2 )3 1( )(xfy = 4,2− )(xf )3(−f 10 ≠> aa 且 122 −+= xx aay ]1,1[− a ay xx 421 ++= ( ]1,∞−∈x 0>y a xx +2 2 2) 4 1( −x xxy −−= 22 ,3)( xxf = xaxxga 43)(,218log3 −=+= 1,1− )1( )(xg )2( mxg =)( m x 05425 11 =−⋅− +−+− mxx m 1.求下列函数的定义域和值域： （1） （2） （3） 【课后作业】 1 求函数 的单调区间. 2 求函数 的单调区间和值域. §13 对数函数的图象和性质(1) 【考点及要求】 1.了解对数函数模型的实际案例,理解对数函数的概念;理解对数函数的性质,会画指数函数的图象. 2.了解指数函数 与对数函数 模型互为反函数（ ）(不要求讨论一般情形的反函 数定义,也不要求求已知函数的反函数),会用指数函数模型解决简单的实际问题. 【基础知识】 1 一般地,我们把函数____________叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是_______ 2.对数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 (1)过定点( ) (2)当 时,________________ 当 时________________ (2)当 时,__________________ 当 时___________________ 性质 (3)在______________是增函数 (3)在_____________是减函数 【基本训练】 1. 的定义域为 ，值域为 .在定义域上，该函数单调递 _______. 2.(1)函数 和 的图象关于 对称. (2)函数 和 的图象关于 对称. 3.若 ，则实数 、 的大小关系是 . 4.函数 的值域是 . 【典型例题讲练】 例1 求函数 的递减区间. 1 42 xy −= 2( )3 xy −= 14 2 1x xy += + + 2 3 41( )2 x xy − − += 21 1( ) ( ) 4( ) 52 2 x xf x = − + + xy a= logay x= 1,0 ≠> aa 1>a 10 << a 1>x 10 << x 1>x 10 << x )5(log3 4 +−= xy ___________ ___________ xay = )1,0(log ≠>= aaxy a xy alog= )1,0(log 1 ≠>= aaxy a 0loglog 22 << nm m n )1(log2 2 ≥+= xxy )352(log 2 1.0 −−= xxy 练习 求函数 的单调区间和值域. 例 2 已知函数 . （1）求 的定义域；（2）讨论 的奇偶性；（3）讨论 的单调性. 练习 求下列函数的定义域： (1) ； （2） . 【课堂小结】熟悉对数函数的基本性质的运用 【课堂检测】 1.函数 当 时为增函数，则 的取值范围是_____ . 2. 的定义域是 . 3.若函数 的定义域和值域都是 ，则 等于 ___. 【课后作业】 1.已知 求函数 的单调区间；(2)求函数 的最大值，并求取得最大值时 的 的值. 2.已知函数 ，判断 的奇偶性. §14 对数函数的图象和性质(2) 【典型例题讲练】 例 1 已知函数 . 若 的定义域为 ，求实数 的取值范围；(2)若 的值域为 ，求实数 的取值范围. )23(log 2 2 1 xxy −+= )0,10(log)( >≠>− += baabx bxxf a 且 )(xf )(xf )(xf )16(log 2 )1( xy x −= + )1 32(log )1_3( − += x xy x )32(log)( 2 2 −−= xxxf a )1,( −−∞∈x a )35lg(lg xxy −+= )1,0)(1(log)( ≠>+= aaxxf a ]1,0[ a ),32(log)( 2 4 xxxf −+= )1( )(xf )(xf x x x axf − + = 2 2 log)( )10( << a )(xf ]1)1()1lg[()( 22 +−+−= xaxaxf )1( )(xf R a )(xf R a 练习 设 函数 求使 的 的取值范围. 例 2 已知函数 ，当 时， 的取值范围是 ，求实数 的值. 练习 已知函数 ，求函数 的最大值. 【课堂检测】 1.已知函数 . （1）求函数 的定义域；（2）判断函数 的奇偶性，并证明你的结论. 2.若函数 的图象过两点 和 ，则 =_____， =_____. 3.求函数 的最小值. 【课后作业】 1.已知 ，求 的最小值及相应 的值. 2.若关于自变量 的函数 上是减函数，求 的取值范围. ,10 << a ),22(log)( 2 −−= xx a aaxf 0)( += aabxy a )0,1(− )1,0( a b )2)(log4(log)( 22 xxxf = xx 2log)827lg( 10 ≥+⋅ 4loglog)( 2 1 2 1 xxxf ⋅= x x )2(log axy a −= ]1,0[ a §15 函数与方程(1) 【考点及要求】 1.了解幂函数的概念，结合函数 的图象，了解它们的单调性和奇偶性. 2.熟悉二次函数解析式的三种形式，掌握二次函数的图形和性质. 3.了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系. 【基础知识】 1. 形 如 ________________ 的 函 数 叫 做 幂 函 数 ， 其 中 ________ 是 自 变 量 ， ________ 是 常 数 ， 如 ，其中是幂函数的有___________ ____. 2.幂函数的性质：(1)所有幂函数在_______________都有定义，并且图象都过点 ，因为 ，所 以在第________象限无图象；(2) 时，幂函数的图象通过___________，并且在区间 上 __________， 时，幂函数在 上是减函数，图象___________原点，在第一象限内以___________ 作为渐近线. 3.一般地，一元二次方程 的__________就是函数 的值为 0 时的自变量 的值，也就是_______________.因此，一元二次方程 的根也称为函数 的 ________. 二 次 函 数 的 解 析 式 有 三 种 常 用 表 达 式 :(1) 一 般 式 _________________________ ； (2) 顶 点 式 _________________________ ； (3) 零 点 式 ______________________________. 4.对于区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区间 __________，使区间的两端点逐步逼近__________，进而得到零点近似值的方法叫做__________. 【基本训练】 1.二次函数 的顶点式为________；对称轴为________ 最小值是______. 2.求二次函数 在下列区间的最值 ① ， ______， ______；.② ， ______， ______； ③ ， _______， ______. 3.若函数 [a，b]的图象关于直线 对称，则 . 4.函数 是幂函数，当 时 是减函数，则 的值是 ______. 5.若 为偶函数，则 在区间 上的增减性为_______. 【典型例题讲练】 2 1 32 ,1,,, xyxyxyxyay x ===== 2 32 1,2,,, xyyxyxyxy xx ===== )1,1( 11 == ay 0>a ),0( +∞ 0x )(xf m 32)1()( 2 ++−= mxxmxf )(xf )2,5( −− 例1 比较下列各组中两个值的大小 （1） ， ； （2） ， . 练习 比较下列各组值的大小； （1） ； （2） ； 例 2 已知二次函数 满足 ，其图象交 轴于 和 两点，图象的顶点为 ， 若 的面积为 18，求此二次函数的解析式. 练习 二次函数 满足 且函数过 ，且 ， 求此二次函数解析式 例 3 函数 在区间 ] 上的最小值为 ， (1)试写出 的函数表达式；(2)作出函数 的图象并写出 的最小值. 练习 设 ，且 ，比较 、 、 的大小. 【课堂小结】 【课堂检测】 1. 二次函数 满足 且 的最大值是 8，求此二次函数. 2. 已知函数 在 时有最大值 2，求 的值. 【课后作业】 1. 已知 求函数 的最大值与最小值. 2. 已知函数 在 时有最大值 2，求 的值. §16 函数与方程(2) 【典型例题讲练】 例 1 (1)若方程 的两根均大于 1，求实数 的取值范围. (2)设 是关于 的方程 的两根，且 ，求实数 的取值范围. 练习 关于 的方程 的根都是正实数，求 的取值范围. 5 4 4.0 5 4 5.0 3 1 )44.0( −− 3 1 )45.0( − 3.0 2 2 2,3.0log,3.0 5 3 3 2 5 2 )9.1(,8.3,1.4 −− − )(xf )2()2( xfxf +=− x )0,1(−A B C ABC∆ )0()( 2 ≠++= acbxaxxf ),2()2( xfxf −=+ )3,0( 22 102 aacb =− 44)( 2 −−= xxxf [ ]1, +tt )( Rx ∈ )(tg )(tg )(tg )(tg cbxxxf ++= 2)( )3()1( ff =− )1(−f )1(f c )(xf ,1)1()2( −=−= ff )(xf aaxxxf −++−= 12)( 2 10 ≤≤ x a ,20 ≤≤ x 5234)( 2 1 +×−= − xx xf aaxxxf −++−= 12)( 2 10 ≤≤ x a 0422 =+− mxx m βα、 x 012 =+− axx 21,10 <<<< βα a x 0122 =+− xax a 例 2 某 种 商 品 在 近 30 天 内 每 件 的 销 售 价 （ 元 ） 与 时 间 （ 天 ） 的 函 数 关 系 近 似 满 足 ， 商 品 的 日 销 售 量 （ 件 ） 与 时 间 （ 天 ） 的 函 数 关 系 近 似 满 足 ，求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是 30 天中 第几天？ 练习 把长为 12 厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小 值是 例 3 已知函数 ，问方程 在区间 内有没有实数解？为什么？ 练习 求方程 的一个实数解. 【课堂小结】 1.一元二次方程的实根分布； 2.了解函数的零点和运用二分法求方程的根. 【课堂检测】 1.点 在幂函数 的图象上，点 在幂函数 的图象上，试解下列不等式： ； .. 2.判定下列函数在给定的区间上是否存在零点： (1) ； (2) . 【课后作业】 1.已知函数 的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求实数 的取值范围. 2.设 ， 是关于 的方程 的两个实根，求 的最小值. P t ),3025(,100 ),241(,20{ Nttt NtttP ∈≤≤+− ∈≤≤+= Q t ),301(40 NtttQ ∈≤≤+−= ___________ 23)( xxf x −= 0)( =xf ]0,1[− 0332 3 =−+ xx )3,3( )(xfy = )8 1,22(− )(xgy = )()()1( xgxf > )()()2( xgxf < ])8,1[(183)( 2 ∈−−= xxxxf ])2,1[(1)( 3 −∈−−= xxxxf )2()1()( 22 −+−+= axaxxf a x y m 0622 =++− aamm 22 )1()1( −+− yx §17 函数模型及应用(1) 【考点及要求】 了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等模型的意义，并能进行简单应用 【基础知识】 1.如果在今后若干年内我国国民经济生产总值都保持年平均 9%的增长率，则要达到国民经济生产总值比 2006 年翻两番的年份大约是___.( ) 2. 在 克 浓 度 % 的 盐 水 中 加 入 克 浓 度 % 的 盐 水 ， 浓 度 变 为 % ， 则 与 的 函 数 关 系 式 为 _____________. 3.某旅店有客床 100 张，各床每天收费 10 元时可全部客满，若收费每提高 2 元便减少 10 张客床租出，则 为多获利每床每天应提高收费________元. 4.关于 的实系数方程 的一根在区间 上，另一根在区间 上，则 的取值范 围为_____________. 【典型例题讲练】 例 1 （1）为了得到 的图象，只需将 的图象 （2）将 的图象向右平移一个单位，则该图象对应函数为 例 2 已知 ， （1）作出函数 的图象；（2）求函数 的单调区间，并指出单调性； （3）求集合 . 练习 已知函数 若方程 f(x+a)=g(x)有两个不同实根，求 a 的取值范围. 例 3 奇函数 在定义域 内是增函数，且 ，求实数 的取值范围. 练习 解不等式 . 0374.2109lg,4771.03lg,3010.02lg === x a y b c x y x 022 =+− baxx )1,0( )2,1( ba 32 + 12 −= xy xy 2= )2( xfy = 34)( 2 +−= xxxf )(xf )(xf })({ 有四个不相等的实数根使方程 mxxfmM == .2)(,1)( 2 +=−= xxgxxf )(xf )1,1(− 0)1()1( 2 <−+− afaf a xx −>− 2 11 2 【课堂检测】 1.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下图中，纵轴表示离学校 的距离，横轴表示出发后时间，则下列四个图中较符合该学生走法的是___ 2. 已知 上为减函数，则实数 的取值范围为 _________________. 【课后作业】 1. 方 程 的 根 称 为 的 不 动 点 ， 若 函 数 有 唯 一 不 动 点 ， 且 ， ，求 的值. 2.已知函数 （ 为常数）且方程 有两个实根为 .(1)求函数 的解析式；(2)设 ，解关于 的不等式： . 3.对于 ，二次函数 的值均为非负数，求关于 x 的方程 的根的范围. §18 函数模型及应用(2) 【典型例题讲练】 例 1 某村计划建造一个室内面积为 800m2 的矩形菜温室，在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留 1 米 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 米宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种 植面积为多少？ 例 2 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆，销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为 (0< <1)，则出厂价相应提高比例 0.75 ，同时预计年销售量增加的比例为 0.6 ，已知年利润=(出厂价-投入 成本)*年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 与投入成本增加的比例 的关系式； (2)为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例 应在什么范围内? )3(log)( 2 cos aaxxxf +−= ϕ 为锐角且为常数）在（ϕ ）， ∞+2[ a xxf =)( )(xf )2()( += xa xxf 10001 =x )1( 1 1 n n xf x =+ 2005x bax xxf += 2 )( ba, 012)( =+− xxf ,31 =x 42 =x )(xf 1>k x x kxkxf − −+< 2 )1()( Rx∈ )(3024)( 2 Raaaxxxf ∈++−= 113 +−=+ aa x x x x x y x x Ｏ T0 T0 D0 A T0 D0 C D0 B T0 D0 D 例 3 上因特网的费用由两部分组成：电话费和上网费，以前某地区上因特网的费用为：电话费 0.12 元/3 分钟；上网费 0.12 元/分钟.根据信息产业部调整因特网资费的要求，该地区上因特网的费用调整为电话 0.16 元/3 分钟；上网费为每月不超过 60 小时，以 4 元/小时计算，超过 60 小时部分，以 8 元/小时计算. (1)根据调整后的规定，将每月上因特网的费用表示为上网时间(小时)的函数(每月按 30 天算)； (2)某网民在其家庭经济预算中一直有一笔每月上因特网 60 小时的费用开支，资费调整后，若要不超过其 家庭经济预算中的上因特网费的支出，该网民现在每月可上网多少小时?进一步从经济角度分析调整前后 对网民的利弊. 【课堂小结】 解应用题的基本步骤：1 审题，明确题意；2 分析，建立数学模型；3 利用数学方法解答得到的数学模型； 4 转译成具体应用题的结论. 【课后作业】 1.某村计划建造一个室内面积为 800 平方米的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 米的通道，沿前侧内墙保留 3 米的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大值是 多少? 2.某城市现有人口总数 100 万人，如果年自然增长率为本 %，试解答下列问题 (1)写出该城市人口总数 （万人）与年份 （年）的函数关系式； (2)计算 10 年以后该城市的人口总数（精确到 ）； (3)计算大约多少年后该城市人口将达到 120 万人. 1.2 y x 0.1 §19 三角函数的有关概念（1） 【考点及要求】 1． 掌握任意角的概念，弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算． 2． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；会用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦和 正切。 3． 能判断三角函数值的符号． 4． 能用弧长公式解决一些实际问题． 【基础知识】 1．任意角（正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角等）的概念；终边相同的 角定义。 2．把长度等于 的弧所对圆心角叫 1 弧度角；以弧度作为单位来度量角的单位制叫做 ． = rad,1rad= ． 3．任意角的三角函数的定义：设 是一个任意角， 是 终边上的任一异于原点的点，则 ， ， ． 4．角 的终边交单圆于点 P，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，则角 的正弦线用有向线段 表 示，余弦线用 表示，正切线呢？ 5． 的值在第 象限及 为正； 在第 象限及 为正值； 在第 象限为 正值． 6．弧长 = ．扇形面积公式= ． 【基本训练】 1． = 弧度，是第____象限的角； 度，与它有相同终边的角的集合为 __________________，在[－2π，0]上的角是_______。 2．已知 是第三象限角，则 是第_____象限的角. 3． 的结果是 数 4．已知角 的终边过点 ,则 =_______, =_______, =_______. 5． 函数 的值域是 【典型例题讲练】 例 1 已知 是第二象限的角,问：(1) 是第几象限的角？(2) 是第几象限的角？ (3) 是第几象限的角？ 1° ° α ( , )P x y α =αsin =αcos =αtan α α sinα cosα tanα l 0570− =π 5 3 α α−180 3tan2cos1sin ⋅⋅ α )3,4( −P asin acos atan |tan| tan cos |cos| |sin| sin x x x x x xy ++= α α2 2 α 3 α 练习：已知 是第二象限的角，则 的值是 数（填正或负）， 的值是 数 （填正或负） 例2 （1）已知角 的终边过点 ，求 ； （2）已知角 的终边上有一点 且 ，求 ． 练习：已知角 的终边在直线 上,求 , 【课堂检测】 1．下列各命题正确的是 （ ） A．终边相同的角一定相等 B．第一象限的角都是锐角 C. 锐角都是第一象限的角 D.小于 的角都是锐角 2．若 且 则 是第 象限的角 3．已知角 的终边上一点的坐标为（－4，3），则 的值为 4．已知角 的终边上有一点 ,求 的值 §20 三角函数的有关概念（2） 【典型例题讲练】 例 1 如图, ,OM,ON 分别是角 的终边. (1)求终边落在阴影部分(含边界)的所有角的集合； (2)求终边落在阴影部分且在 上的所有角的集合. 练习： （1）终边落在第一象限的角的集合可表示为 ； （2）终边落在 X 轴上的角的集合可表示为 ； （3）终边落在坐标轴上的角的集合可表示为 ； （4）终边落在直线 y=－x 上的角的集合可表示为 。 α 2cos2sin αα αα sincos − α ( , 2 )( 0)P a a a− ≠ tan ,sin cosα α α+ α ( 3, )( 0)P γ γ− ≠ 2sin 4 α γ= cos ,tanα α α xy 2= asin acos 090 ,cossin θθ > ,0cossin <⋅ θθ θ α αα cossin2 + α )0)(3,4( ≠− tttA αα cossin2 +  300,30 == βα βα, [ ] 360,0 x y O N M （5）已知角 的终边上一点的坐标为（ ）,则角 的最小正值为( ) A. B. C. D. 例 2 已知一扇形的中心角是 ,所在圆的的半径是 R . (1)若 求扇形的弧长及该弧所在弓形面积； (2)若扇形的周长是一定值 ,当 为多少弧度时,该扇形有最大面积？ 练习：已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个圆心角所对弧长是 ( ) A .2 B. C. D.2 【课堂检测】 1．已知 的终边相同，则β的集合为 ，若β的终边与α的终边 关于直线 y=x 对称，则β的集合为 。 2．若点 P 在 的终边上，且 OP=2，则点 P 的坐标是（ ， ） 3．角 为第一或第四象限角的充分必要条件是 ( ) A. B. C. D. 4．知扇形的周长是 ，面积是 ，则扇形的中心角 的弧度数是 ； 当 时中心角所对的弦长为 ． 【课后作业】： 1．若将时钟拨慢 5 分钟，则时针转了 _度； 分针转了_ ___弧度；若将时钟拨快 5 分钟，则时针转 了 _度； 分针转了_ ___弧度. 2．若 ＜ ＜ ，则 = _ 3．设 是第二象限角，则点 在第 象限. 4．已知扇形的周长为 8cm,圆心角为 2rad,求该扇形的面积 5．若角β的终边上一点 A(-5,m),且 tanβ=5,则 m= , 并求β的其它三角函数值. 思考题：若 tan(cos )cot(sin )＞0,试指出 所在象限, 并指出 所在象限. §21 同角三角函数的基本关系（1） 【考点及要求】 掌握同角三角函数关系的基本关系． α 3 2cos,3 2sin ππ α 6 5π 3 2π 3 5π 6 11π α ,12,75 cmR == α )0( >CC α 2sin 1sin 2 1sin αβπα 的终边与， 6 = 3 2π θ 0tan sin <θ θ 0tan sin >θ θ 0tan cos >θ θ 0tan cos <θ θ 6cm 22cm θ 1θ > 00 360,1690 −= 的终边相同，且与αθα θ 0360 θ θ (sin(cos ),cos(cos ))P θ θ θ θ θ 2 θ 【基础知识】 同角三角函数关系的基本关系式： （1）平方关系： （ ）； （2）商数关系： （ ）； （3）倒数关系： （ ）； 【基本训练】 1．若 （ 是第四象限角），则 = , = 2．若 ，则 . 3． a 是第四象限角， 4．若 ，则 的最小值为 . 5．若 ，则使 成立的 的取值范围是　 （ ） A、 　 B、 　 　C、 　 D、 【典型例题讲练】 例 1 化简（1） ； （2） （ 为第四象限角） 例 2 已知 ， ，求 （1）m 的值 （2） 的值 例 3 求证： 练习：证明： α ∈ α ≠ α ≠ 4.0sin −=α α αcos αtan 2cossin =+ θθ =θθ cossin =∂−=∂ sin,12 5tan 则 20 πα << αα cottan + π220 ≤≤ x xx 2cos2sin1 2 =− x )4,0( π ),4 3( ππ )4 5,4( ππ ]4,0[ π ],4 3[ ππ 4 2 2 4 2 2 1 (sin sin cos cos ) 3sinsin x x x x xx − − + + α α α α cos1 cos1 cos1 cos1 − +++ − α 5 3sin + −= m mθ )2(5 24cos πθπθ <<+ −= m m θtan θθθθθθθθ cottancossin2cotcostansin 22 +=++ αα αα αα αα sintan sintan sintan sintan +=− 【课堂检测】1．已知 且 ，则 的值是 2．已知 且 ,则 的值为___________ 3． 求证： §22 同角三角函数的基本关系（2） 【典型例题讲练】 例 1 已知 且 求 － 的值 练习：已知 是三角形的内角，若 ，求 的值. 例 2 已知 求下列各式的值： (1) ；(2) ；（3）2 练习：已知 ， 求（1） ；（2） （3） ． 的值 例 3．已知 是方程 的两个根， ，求角 ． 练习：已知关于 的方程 的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求 的值． ,5 1cos =α 0tan <α αsin ,2 1tan =α )2 3,( ππα ∈ αsin cos 1 sin 1 sin cos x x x x +=− ,8 1cossin =αα 24 παπ << αcos αsin α 5 1cossin =+ αα αααα 22 cos3cossin2sin ++ ,2tan =θ θθ θθ cos9sin4 cos3sin2 − − θθ cossin θθθθ 22 cos4cossin3sin −− 2tan =θ θθ θθ sincos sincos − + θθθθ 22 cos2cos.sinsin +− 6 6 4 4 1 sin cos 1 sin cos x x x x − − − − sin ,cosθ θ 24 4 2 1 0x mx m− + − = 3 22 π θ π< < θ x 24 2( 1) 0x m x m− + + = m 【课堂检测】： 已知 ，则 【课后作业】： 1．已知 2．已知关于 x 的方程 的两根为 和 ， 求 （1） m 的值 （2） 方程的两根及此时θ的值 3．化简 的结果是 §23 正弦、余弦的诱导公式（1） 【考点及要求】 掌握正弦、余弦的诱导公式 【基础知识】 诱导公式： （1）角 的三角函数值与角 三角函数值的关系分别是什么？口诀为： （2）角 的三角函数值与角 三角函数值的关系分别是什么？ 口诀为： 【基本训练】 1． = = = ； = = = ； sin2100 = 。 2 ． 已 知 ， 则 ＿ ＿ ＿ ； 若 为 第 二 象 限 角 ， 则 ＿＿＿＿. 3．已知 sin（π－α）＝log8 1 4，且α∈(－ π 2 ，0)，则 tanα的值是 4．设 ，其中 都是非零实数，如果 ，那么 = 【典型例题讲练】 例 1 化简下列各式 （1）化简（1） ； （2） 1sin cos (0 )5 α α α π+ = − ≤ ≤ tanα = =−=− αααα cossin,4 5cossin 则 0)13(2 2 =++− mxx θsin θcos ),0( πθ ∈ 1cos )tan(sinsin)sin(costan + ++− α αααααα 2 ( ), ,2 ,k k Zπ α π α π α α+ ∈ ± − − α 3,2 2 π πα α± ± α 600tan π)3 17cos(− 5 4)540sin( −=+α =− )270cos( α α =+ −+− )180tan( )]360cos()180[sin( 2 α αα   ( ) ( ) ( )βπαπ +++= xbxaxf cossin βα,,,ba ( ) 12007 −=f ( )2008f sin( ) cos( )4 4 π πα α− + + 3sin( )cos(2 ) tan( )2 cot( )sin( ) π α π α α π α π π α − − − + − − − + 练习： sin2(π 3－x)＋sin2(π 6＋x)＝ . 例2 已知 是第三象限的角，且 (1) 化简 ； (2) 若 求 的值； (3) 若 求 的值 练习：已知 且 求 的值 【课堂检测】 1．若 ,且α为第二象限角，则 , , , , , . 2．若 ，则 3．若 ，则 等于 （ ） （A） (B) (C) (D) 4．已知 ，求 的值． §24 正弦、余弦的诱导公式（2） 【典型例题讲练】 例 1 判断下列函数的奇偶性 （1） （2） α )sin()cot( )2 3tan()2cos()sin( )( αππα πααπαπ α −−− +−−+ =f )(αf ,5 3)2 3cos( =− πα )(αf ,1860−=α )(αf ,3 1cos =α ,02 <<− απ αα αππα tan)cos( )2sin()cot( − +−− 5 4sin =α ( ) =+απ2sin ( ) =+απsin ( ) =−απsin ( ) =−απ2sin ( ) =+απcos ( ) =−απcos ( ) =−απ2cos 4 1cos( =−απ =− )2sin( απ a=°130cos °50tan a a 21− ± a a 21− 21 a a − ± 32 ,cos( 9 ) 5 π α π α π< < − = − αtan xxxf sin)( = x xxg sin cos1)( −= 练习：（1） （2） 例 2 函数 练习：函数 ，若 ，则 例 3 已知 cos(75°＋α)＝ 1 3，其中α为第三象限角，求 cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值. 例 4 已知 sin（π－α）－cos(π＋α)＝ 2 3 ( π 2 ＜α＜π ， 求 sinα－cosα与 sin3（ π 2 ＋α）＋cos3( π 2 ＋α)的值. 【课堂检测】 1．已知 cos(π＋θ)＝－ 4 5，θ是第一象限角，则 sin（π＋θ）= ， tanθ= 2．函数 的奇偶性为 3．化简： = 4．已知 x∈(1， 3 2)，则|cosπx|＋|cos πx 2 |－|cosπx＋cos πx 2 |的值是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.－1 5．函数 【课后作业】 1． tan300°＋sin450°的值为 2．若α是第三象限角，则 = . 3．若 cos165°＝a，则 tan195°等于 = 4． tan（－1500）cos（－5700）cos（－11400）tan（－2400） sin（－6900） ＝ . 5．已知 ，α是第二象限角，且 ，求 的值 §25 三角函数的图象（1） xxf cos1)( −= 1cossin)( −= xxxg =−=++= )5(,7)5(,1sin)( ffxbaxxf 则若 3cos)( 2 −−= xbaxxf 5)2( =−f =)2(f ) 3cos|sin|)( +−= xxxf 1 2sin380 cos380−   ==−+−= )1(,10)1(,5cos)( ffxbxaxxf 则若 )cos()sin(21 απαπ −−− 3 1cos −=α 1)sin( =+ βα )2cos( βα + 【考点及要求】 1． 了解正弦、余弦、正切函数图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数 的简图， 2． 掌握由函数 的图象到函数 的图象的变换原理．． 【基础知识】 1 ．“ 五 点 法 ” 画 正 弦 、 余 弦 函 数 和 函 数 的 简 图 ， 五 个 特 殊 点 通 常 都 是 取 三 个 点，一个最 点，一个最 点； 2． 由函数 的图象到函数 的图象的变换方法之一为： ①将 的图象向左平移 个单位得 图象， ②再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的 得 图象， ③再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍得 图象， ④最后将所得图象向 平移 个单位得 的图象． 这种变换的顺序是：①相位变换②周期变换③振幅变换。 若将顺序改成②①③呢？ 【基本训练】 1．函数 的振幅是 ,频率是 ,初相是 2．用“五点法”画函数 的图象时，所取五点为 3．函数 的图象与直线 交点个数是 个 4．如果把函数 的图象向右平移 2 个单位后所得图象的函数解析式为 5．函数 的图象过点 则 的一个值是 【典型例题讲练】 例 1 试说明下列函数的图象与函数 图象间的变换关系： (1) (2) (3) 例 2（1）将函数 的周期扩大到原来的 2 倍，再将函数图象左移 ，得到图象对应解析式 是 （2）若函数 图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象 沿 轴向右平移 个单位，向下平移 3 个单位，恰好得到 的图象，则 ． （3）先将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象作关于 轴的对称变换，则 所得函数图象对应解析式为 ． sin( )y A xω ϕ= + siny x= sin( )y A xω ϕ= + sin( )y A xω ϕ= + siny x= 2sin(2 ) 23y x π= + + siny x= 3 π sin(2 )3y x π= + 2sin(2 )3y x π= + 2 2sin(2 ) 23y x π= + + )92sin(2 1 π−= xy ______, ______, ______ )3sin(2 π−= xy ]2,0[,sin1 π∈+= xxy 2=y _____ )cos( xy −= )2tan( ϕ+= xy ),0,12( π ϕ xy sin= );3sin( π+= xy ;2)3 22sin( −−= π xy xy sin2= 5sin( 3 )y x= − 3 π ( )f x x 2 π 1 sin2y x= ( )f x = sin 2y x= 3 π y 例 3 已知函数 ， 用“五点法”画出它的图象； 求它的振幅，周期及 初相； 说明该函数的图象可由 的图象经怎样的变换得到？ 【课堂检测】 1．要得到函数 的图象，只需将函数 图象上的点的 坐标 到 原来的 倍，再向 平移 个单位 2．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将所得的图象 向左平移 个单位，所得的图象对应的解析式是 3．如图所示为 , 在 上的图象，则它们所对应的图象 编号顺序是( ) A.①②③④ B.①③②④ C.③①②④ D.③①④② §26 三角函数的图象（2） 【典型例题讲练】 例 1 （1）函数 的图象向右平移 （ ）个单位，得到的图象关于直线 对称，则 的最小 值为 （2）函数 的图象与 轴的交点中,离原点最近的一点是 练习：把函数 y = cos(x+ )的图象向左平移 m 个单位(m>0), 所得图象关于 y 轴对称, 则 m 的最小值是 _________。 例 2 函数 图象的一部分如图所示，则 的解析式为 ( ) A． B． )(2cos2sin3 Rxxxy ∈+= )1( )2( )3( xy sin= xy cos2= )42sin(2 π+= xy ___ _____ ____ ___ ____ )3sin( π−= xy 3 π xyxyxy tan,cos,sin === xy cot= ]2,4[ ππ sin 2y x= ϕ 0ϕ > 6x π= ϕ )3 24sin(2 π+−= xy x __________ 3 π )(xf )(xf 5.33sin4)( += xxf π 46sin5.3)( += xxf π 1 2 2 ④ ③ ② ① 4 π 2 π 4 7.5 0.5 3 90 C． D． 练习：已知如图是函数 的图象，那么( ) A. B. C. D. 例 3．设函数 的图像过点 ，且 b>0 的最大值为 ，(1)求函数 的解析式；(2)由函数y= 图像经过平移是否能得到一个奇函数 y= 的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。 【课堂检测】 1．若函数 （ ）的最小值为 ，周期为 ，且它的图象 过点 ，求此函数解析式． 2．已知函数 （ ）的一段图象如下图所示，求函数的解析式． 【课后作业】 1．已知函数 （ ），该函数的图象可由 （ ）的图象经过怎样的变换得到？ 2．已知函数 求函数 的最小正周期和最大值； 在给出的直角坐标系中，画出函数 在区间 上的图象 5.43sin5.3)( += xxf π 5.36sin4)( += xxf π )2)(sin(2 πϕϕω <+= xy ,11 10=ω 6 πϕ = ,11 10=ω 6 πϕ −= 6,2 πϕω == 6,2 πϕω −== ( ) sin cos ( )f x a b x c x x R= + + ∈ (01) ( 1)2 πA B，， ， ( )f x 2 2 1− ( )f x ( )f x ( )g x ( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0, 0,0 2A ω ϕ π> > < < 2− 2 3 π (0, 2)− sin( )y A xω ϕ= + 0,| |A ϕ π> < 2( ) 2cos sin( ) 3sin sin cos 23f x x x x x x π= + − + + x R∈ siny x= x R∈ )cos(sinsin2)( xxxxf += )1( )(xf )2( )(xfy = ]2,2[ ππ− 4 O 3 8 π 8 π− 2 2− 0 选做题：设函数 又函数 的最小正周期相同，且 ， 试确定 的解析式； §27 三角函数的性质（1） 【考点及要求】会求三角函数的定义域、值域；能解关于三角函数的不等式；了解三角函数的周期性 【基础知识】 1．正弦函数、余弦函数的定义域均为 ，值域可表示成[ ]（有界性）；正切函数的定义域为 ， 值域为 2．正弦函数、余弦函数的最小正周期 T= ，公式是 ；正切函数的最小正周期 T= ，公 式是 【基本训练】 1． 的定义域是________________ 2． 的值域是_________________ 3 ． 函 数 的 周 期 为 函 数 的 周 期 是 函 数 的周期为 4． 的图象中相邻的两条对称轴间距离为 5．已知 的最大值为 3，最小值为－１，求 的值。 【典型例题讲练】 例 1 求函数 的定义域： 练习：求下列函数的定义域 （1） （2） ( ) sin 3 cos (0 1) ( ) tan( )(0 1)6 πf x ax ax a g x mx m= + < < = + < <， ( ) ( )f x g x， (1) 2 (1)f g= ( ) ( )f x g x， x xy tan1 tan1 + −= xy sin25.0 −= )62cos( π+= xy _______; )43tan( π−= xy ______; )32sin(3 π+= xy _______ xxxf 3 2cos3 2sin)( += siny a x b= + a b， )cos21(log)( sin xxf x += −−= )2sin2lg( xy xcos21− 216sin xxy −+= 例 2 求下列函数的值域： ⑴ ⑵ ⑶ ； ⑷ 例 3 求函数 的最小正周期 练习： 函数 的周期为 ； 函数 的周期为 【课堂检测】 1． 的定义域是_________________ 2．已知函数 的最小正周期为 3，则 = 设函数 若对任意 ，都有 成立，则 的最小值 是_______ 3．不等式 的解集是 ，不等式 的解集是 ， 4．函数 的值域是 思考题： 求函数 的值域 （ 的值域） §28 三角函数的性质（2） 【考点及要求】 能判断三角函数的奇偶性（对称性）和单调性，能求一些简单函数的单调区间. 【基本训练】 1．判断函数的奇偶性：① __________② __________ 2.函数 的对称中心是___________,函数 的对称轴方程是___________ 3 ． 的 单 调 递 减 区 间 为 ___________________ ； 的 单 调 递 增 区 间 为 ___________________； 的单调递减区间为_____________________ );1(tan3 ≤= xxy );2(cos3sin π≤+= xxxy )3(1sincos2 π≤++= xxxy 3sin 1( ) sin 2 xf x x −= + xxxxxy cossinsin3)3sin(cos2 2 +−+= π xxy 2cos)23sin( +−= π _______ 1cos2 2 += xy _______ x xy cos 2sin= )3sin( πω += xy ω ),52sin(2)( ππ += xxf Rx ∈ )()()( 21 xfxfxf ≤≤ 21 xx − 1tan −− xx 2cos 3cos + += x xy xxxxy cossincossin ++= 1cos3cossin2sin 22 +++= xxxxy xy coslg= )2 3sin( xy += π )4tan( π+= xy )32sin( π−= xy xy 2cos= )sin(2 xy −= xy tan= 4．若 是奇函数，当 时， 则 时 5.若函数 对任意实数 都有 则 【典型例题讲练】 例 1 设函数 图象的一条对称轴是直线 求 ； 求函数 的单调减区间； 证明直线 与函数 的图象不相切 例 2 求下列函数的单调区间: 例 3 已知函数 是 R 上的偶函数,其图象关于点 对称,且在 区间 上是单调函数,求 和 的值. 练习：若函数 的图象和 的图象关于点 对称，则 的表达式是 _________________ 【课堂检测】 1．函数 的对称轴方程为 ， 函数 的对称中心坐标为 2．求下列函数的单调区间 （1） ；（2） 3．已知 为偶函数，求 的值. 【课后作业】 1．已知函数 的最小正周期为 ，且当 时，函数 有最小值，(1)求 的解析式；(2)求 的单调递增区间。 2．求函数 的单调区间 )(xf 0>x ,sin)( 2 xxxf −= 0+= xxf )0,4 3( π M ]2,0[ π ϕ ω )(xfy = )4sin( π+= xy )0,4( π M )(xf xy 2sin= _________ )2cos( π+= xy _________ )34sin( xy −= π )cos(sinsin)( xxxxf −= )sin(3)sin()( θθ −++= xxxf θ 23sin cos cos ( )y ωx ωx ω x R ω R= − ∈ ∈3x+ ， ， 2 π 6 πx = ( )f x ( )f x )]43[cos(log 2 1 π+= xy 3．已知向量 . 求函数 f(x)的最大值，最小正周期，并写出 f(x)在[0，π]上的单调区间. §29 三角函数的最值问题（1） 【考点及要求】 掌握求三角函数的最值的基本方法． 【基本训练】 1．(1)设 M 和 N 分别表示函数 的最大值和最小值,则 M+N 等于_______. (2)函数 在区间[0, ]上的最大值为_______,最小值为_______. 2．(1)函数 的最大值为_______,最小值为_______. (2)函数 的最大值为_______. 3．函数 的最大值为_______,最小值为_______. 4．函数 , ,则 的最小值是_______. 5．函数 的最大值为_______. 【典型例题讲练】 例 1 求函数 在区间[ ]上的最大值与最小值. 练习： 函数 的最大值是 例 2 函数 的最大值等于_______ 练习： 已知 则函数 +1 的最小值是多少? 例 3 求函数 的最小值. 练习： 求函数 的最大值与最小值(其中 . 【课堂检测】 已知 ,求 的最大值与最小值. baxfxxbxxa ⋅=−+=+= )()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2( 令πππ 1cos3 1 −= xy xxy cossin4= π 3 2 xxy cossin += )6sin()3sin(2 xxy ++−= ππ 2 5sin2 5sin 2 +−= xxy xxxf sin 1sin)( += ),0( π∈x )(xf 1cos cos += x xy xxy cos3sin += 2,2 ππ− )40)(sin(cossin π<<−= xxxxy )(2cos2 1cos)( Rxxxxf ∈−= ,4− sin sinA B> 4 1 4, 7,AB AC= = M BC 3 5AM = ⋅ BC = ABC△ 1tan 3A = 150C =  1BC = AB = 3 2 ABC△ a b c， ， A B C， ， 4 π,2 == Ca 5 52 2cos =B ABC△ S 2cos sin sinB A C= ABCCbaBAbaABC ∆−=−+∆ 则中若 sin)()sin()( 2222 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形。 【课堂小结】利用正弦,余弦定理，可以解决以下几类有关三角形的问题. 【课堂检测】1．下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 A．sinA+cosA= 　　　　　　　　B． C．tanA+tanB+tanC＞0　　　　　　D．b=3，c=3 ，B=30° 2．△ABC 中，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，如果 a、b、c 成等差数列，∠B=30 △ABC 的面积 为 ，那么 b 等于 A． 　 B．1+ C． D．2+ 3．在△ABC 中，“A＞30°”是“sinA＞ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 §36 解三角形 (2) 【典型例题讲练】 例 3 在△ABC 中 A=45°，B：C = 4：5 最大边长为 10，求角 B、C、外接圆半径及面积 S 变式:在△ABC 中以知 A=30°a、b 分别为角 A、B 对边，且 a=4= b 解此三角形 例 4．△ABC 的周长为 12， 且 sinA·cosB－sinB=sinC－sinA·cosC，则其面积最大值为 。 变式:△ABC 三内角 A、B、C 成等差数列，则 cos 的最小值为 。 【课堂小结】常用方法： （1）A+B+C=180° 可进行角的代换 （2） 可进行边角互换（3） 可进行角转化为边 （4） 面积与边角联系。 【课堂检测】 1．△ABC 中已知∠A=60°，AB ：AC=8：5，面积为 10 ，则其周长为 。 2．△ABC 中 A：B：C=1：2：3 则 a：b： c= 。 3．下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 （ ） A．sinA+cosA= 　　　　　　　　B． C． 　　　　　　D．b=3，c=3 ，B=30° 【课后作业】 5 1 0AB BC⋅ >  3 0 2 3 2 31+ 3 2 32 + 3 2 1 3 3 CA 22 cos+ RA a 2sin = ab cbaC 2cos 222 −+= CabS sin2 1=∆ 3 5 1 0AB BC⋅ >  1 tan tan 0A B− < 3 1. 若 a、a+1、a+2 为钝角三角形的三边求 a 的范围 2．在 中， 则 . 3. 在 中，已知 ， ， ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值 ABC△ tan 2 ,tan A c b B b −= A∠ = ABC△ 2AC = 3BC = 4cos 5A = − sin B sin 2 6B π +  