20高考数学随机变量及其分布解答题

20高考数学随机变量及其分布解答题

历届高考中的“随机变量及其分布”解答题选讲 ‎1.(2007安徽理)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.‎ ‎(Ⅰ)写出ξ的分布列(不要求写出计算过程)； (Ⅱ)求数学期望Eξ； (Ⅲ)求概率P(ξ≥Eξ).‎ ‎2.(2007北京理)某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示． (I)求合唱团学生参加活动的人均次数；‎ ‎ 1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 10‎ ‎ 20‎ ‎ 30‎ ‎ 40‎ ‎50‎ 参加人数 活动次数 ‎（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．‎ ‎（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次 ‎ 数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎3.(2007湖南理)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．‎ ‎（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；‎ ‎（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望．‎ ‎4.（2007湖北理）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（Ⅰ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；‎ 分 组 频 数 ‎4‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎29‎ ‎10‎ ‎2‎ 合 计 ‎100‎ ‎（Ⅱ）估计纤度落在中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；‎ ‎（Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间 的中点值是1.32）作为代表. 据此，估计纤度的期望.‎ ‎5.（2007全国Ⅰ理）某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期为ζ的分布列为 ζ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.‎ ‎(Ⅰ)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1件位采用1期付款的概率P(A)；‎ ‎(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.‎ ‎6.（2007山东理）设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）．‎ ‎（Ⅰ）求方程有实根的概率； （Ⅱ）求的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率．‎ ‎7.（2007天津理）‎ 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．‎ ‎（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；‎ ‎（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．‎ ‎8．（2006安徽理）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。‎ ‎（Ⅰ）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）‎ ‎（Ⅱ）求的数学期望。（要求写出计算过程或说明道理）‎ ‎9、（2006江西理）‎ 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令x表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。‎ 求：（1）x的分布列 （2）x的的数学期望 ‎10.（2005全国卷Ⅱ理）甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令为本场比赛的局数．求的概率分布和数学期望．（精确到0.0001）‎ ‎11．（2004重庆理）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为 ‎，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：(1)的概率的分布列及期望E; (2)停车时最多已通过3个路口的概率。‎ ‎12．（2004全国Ⅳ卷理） 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即≥0）的概率.‎ 历届高考中的“随机变量及其分布”解答题选讲 参考答案 ‎1.(2007安徽理)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.‎ ‎(Ⅰ)写出ξ的分布列(不要求写出计算过程)； (Ⅱ)求数学期望Eξ； (Ⅲ)求概率P(ξ≥Eξ).‎ ‎1.解：以表示恰剩下k只果蝇的事件（k=0,1,…,6）,可以有多种不同的计算P的方法.‎ 方法1（组合模式）：当事件发生时，第 8-k只飞出的蝇子是苍蝇，且在前7-k只飞出的蝇子中有1只苍蝇，所以 方法2（排列模式）：当事件发生时，共飞走8-k只蝇子，其中第8-k只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能.在前7-k只飞出的蝇子中有6-k只是果蝇，有种不同的选择可能，还需考虑这7-k只蝇子的排列顺序.所以 ‎ 所以， 的分布列为 ‎（Ⅱ）数学期望为E＝‎ ‎（Ⅲ）所求的概率 ‎2.(2007北京理)某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示． (I)求合唱团学生参加活动的人均次数；‎ ‎ 1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 10‎ ‎ 20‎ ‎ 30‎ ‎ 40‎ ‎50‎ 参加人数 活动次数 ‎（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．‎ ‎（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次 ‎ 数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．‎ 解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数 分别为10、50和40．‎ ‎（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为 ‎．‎ ‎（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好 相等的概率为．‎ ‎（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知 P(ξ=0)=‎ ‎==；‎ ‎；‎ 的分布列：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的数学期望：．‎ ‎3.(2007湖南理)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．‎ ‎（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；‎ ‎（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望．‎ ‎3．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．‎ ‎（I）任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 所以该人参加过培训的概率是．‎ ‎（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布，，，即的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.001‎ ‎0.027‎ ‎0. 243‎ ‎0.729‎ 的期望是．‎ ‎（或的期望是）‎ ‎4.（2007湖北理）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（Ⅰ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；‎ 分 组 频 数 ‎4‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎29‎ ‎10‎ ‎2‎ 合 计 ‎100‎ ‎（Ⅱ）估计纤度落在中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；‎ ‎（Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间 的中点值是1.32）作为代表. 据此，估计纤度的期望.‎ ‎4.本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计 总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力.‎ ‎（Ⅱ）纤度落在中的概率约为0.30+0.29+0.10＝0.69，‎ 纤度小于1.40的概率约为0.04+0.25+×0.30＝0.44.‎ ‎(Ⅲ)总体数据的期望约为 ‎1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.30+1.44×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02＝1.4088.‎ ‎5.（2007全国Ⅰ理）某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期为ζ的分布列为 ζ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.‎ ‎(Ⅰ)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1件位采用1期付款的概率P(A)；‎ ‎(Ⅱ)求η的分布列及期Eη.‎ ‎5..解：（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．‎ 知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为元，元，元．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 的分布列为 ‎（元）．‎ ‎6.（2007山东理）设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）．‎ ‎（Ⅰ）求方程有实根的概率； （Ⅱ）求的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率．‎ ‎17.【答案】:（I）基本事件总数为，‎ 若使方程有实根，则，即。‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，,‎ 目标事件个数为 因此方程 有实根的概率为 ‎(II)由题意知，，则，，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 的数学期望 ‎(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程 有实根” 为事件N，则， ， .‎ ‎7.（2007天津理）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．‎ ‎（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；‎ ‎（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．‎ ‎7.本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．‎ ‎（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，且，．‎ 故取出的4个球均为黑球的概率为．‎ ‎（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件互斥，‎ 且，．‎ 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为．‎ ‎（Ⅲ）解：可能的取值为．由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，‎ ‎．从而．‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望．‎ ‎8．（2006安徽理）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。‎ ‎（Ⅰ）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）‎ ‎（Ⅱ）求的数学期望。（要求写出计算过程或说明道理）‎ ‎8.解：（Ⅰ）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ P ‎（Ⅱ）‎ ‎9、（2006江西理）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令x表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。求：（1）x的分布列 （2）x的的数学期望 ‎9、解：（1）x的所有可能的取值为0，10，20，50，60‎ 分布列为 x ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ P ‎(2)Ex＝3.3‎ ‎10.（2005全国卷Ⅱ理）甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令为本场比赛的局数．求的概率分布和数学期望．（精确到0.0001）‎ ‎10.【正确解答】单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1-0.6=0.4.‎ 比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而 ‎，‎ 比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜，因而 ‎，‎ 比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局，乙队胜2局，第五局甲胜或乙胜，因而 ‎.‎ 所以的概率分布为 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.28‎ ‎0.3744‎ ‎0.3456‎ 的期望.‎ ‎11．（2004重庆理）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：(1)的概率的分布列及期望E; (2)停车时最多已通过3个路口的概率。‎ 解：（I）的所有可能值为0，1，2，3，4‎ 用AK表示“汽车通过第k个路口时不停（遇绿灯）”，‎ 则P（AK）=独立.‎ 故 ‎ ‎ 从而有分布列：‎ ‎ 0 1 2 3 4‎ ‎ P ‎ ‎ （II）‎ ‎ 答：停车时最多已通过3个路口的概率为.‎ ‎12．（2004全国Ⅳ卷理） 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即≥0）的概率.‎ ‎12.本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 ‎ 决实际问题的能力.满分12分.‎ ‎ 解：（Ⅰ）的可能值为－300，－100，100，300.‎ P（=－300）=0.23=0.008, P（=－100）=3×0.22×0.8=0.096,‎ P（=100）=3×0.2×0.82=0.384, P（=300）=0.83=0.512,‎ 所以的概率分布为 ‎－300‎ ‎－100‎ ‎100‎ ‎300‎ P ‎0.008‎ ‎0.096‎ ‎0.384‎ ‎0.512‎ 根据的概率分布，可得的期望 E=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.‎ ‎（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P（≥0）=0.384+0.512=0.896.‎