2014三明中考数学试题解析版

2014三明中考数学试题解析版

数学试题 ‎2014年福建省三明市中考数学试卷 一、单项选择题（共10题，每题4分，满分40分）‎ ‎1．（4分）（2014•三明）的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎﹣‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎﹣3‎ 分析：‎ 根据只有符号不同的两个数互为相反数求解后选择即可．‎ 解答：‎ 解：﹣的相反数是．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题主要考查了互为相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2014•三明）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（a3）2=a5‎ B．‎ a6÷a3=a2‎ C．‎ ‎（ab）2=a2b2‎ D．‎ ‎（a+b）2=a2+b2‎ 考点：‎ 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式．菁优网版权所有 分析：‎ 根据幂的乘方，可判断A，根据同底数幂的除法，可判断B，根据积的乘方，可判断C，根据完全平方公式，可判断D．‎ 解答：‎ 解：A、底数不变指数相乘，故A错误；‎ B、底数不变指数相减，故B错误；‎ C、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故C正确；‎ D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了幂的乘方与积的乘方，幂的乘方底数不变指数相乘．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2014•三明）下列正方形中由阴影部分组成的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有 分析：‎ 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ 解答：‎ 解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；‎ B、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项正确；‎ C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；‎ D、是中心对称图形不是轴对称图形，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2014•三明）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.000 002 ‎5米的颗粒物，将0.000 002 5用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0.25×10﹣5‎ B．‎ ‎2.5×10﹣5‎ C．‎ ‎2.5×10﹣6‎ D．‎ ‎2.5×10﹣7‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有 分析：‎ 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ 解答：‎ 解：0.000 002 5=2.5×10﹣6；‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2014•三明）不等式组的解集是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x≥﹣1‎ B．‎ x≤2‎ C．‎ ‎1≤x≤2‎ D．‎ ‎﹣1≤x≤2‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组．菁优网版权所有 分析：‎ 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．‎ 解答：‎ 解：，‎ 解①得：x≥﹣1，‎ 解②得：x≤2，‎ 则不等式组的解集是：﹣1≤x≤2．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2014•三明）如图是由5个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的主视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．菁优网版权所有 分析：‎ 先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有2竖列，右边是1竖列，结合四个选项选出答案．‎ 解答：‎ 解：从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有2竖列，右边是1竖列．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2014•三明）小亮和其他5个同学参加百米赛跑，赛场共设1，2，3，4，5，6六个跑道，选手以随机抽签的方式确定各自的跑道．若小亮首先抽签，则小亮抽到1号跑道的概率是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎1‎ 考点：‎ 概率公式．菁优网版权所有 分析：‎ 由赛场共设1，2，3，4，5，6六个跑道，直接利用概率公式求解即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵赛场共设1，2，3，4，5，6六个跑道，‎ ‎∴小亮首先抽签，则小亮抽到1号跑道的概率是：．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2014•三明）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 四边形 B．‎ 五边形 C．‎ 六边形 D．‎ 八边形 考点：‎ 多边形内角与外角．菁优网版权所有 分析：‎ 此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．‎ 解答：‎ 解：设所求正n边形边数为n，由题意得 ‎（n﹣2）•180°=360°×2‎ 解得n=6．‎ 则这个多边形是六边形．故选C．‎ 点评：‎ 本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，多边形的内角和为（n﹣2）•180°．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2014•三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ DE=BE B．‎ ‎=‎ ‎　‎ C．‎ ‎△BOC是等边三角形 四边形ODBC是菱形 D．‎ 考点：‎ 垂径定理．菁优网版权所有 分析：‎ 根据垂径定理判断即可．‎ 解答：‎ 解：∵AB⊥CD，AB过O，‎ ‎∴DE=CE，弧BD=弧BC，‎ 根据已知不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2014•三明）已知二次函数y=﹣x2+2bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ b≥﹣1‎ B．‎ b≤﹣1‎ C．‎ b≥1‎ D．‎ b≤1‎ 考点：‎ 二次函数的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 数形结合．‎ 分析：‎ 先根据抛物线的性质得到其对称轴为直线x=b，且当x＞b时，y随x的增大而减小，由于已知当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则可得判断b≤1．‎ 解答：‎ 解：∵抛物线y=﹣x2+2bx+c的对称轴为直线x=﹣=b，‎ 而a＜0，‎ ‎∴当x＞b时，y随x的增大而减小，‎ ‎∵当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，‎ ‎∴b≤1．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b‎2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小，‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11．（4分）（2014•三明）计算：×=　6　．‎ 考点：‎ 二次根式的乘除法．菁优网版权所有 分析：‎ 先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=2×=6．‎ 故答案为：6．‎ 点评：‎ 本题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，掌握运算法则是关键．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2014•三明）甲、乙两支仪仗队的队员人数相同，平均身高相同，身高的方差分别为S2甲=0.9，S2乙=1.1，则甲、乙两支仪仗队的队员身高更整齐的是　甲　（填“甲”或“乙”）．‎ 考点：‎ 方差．菁优网版权所有 分析：‎ 根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．‎ 解答：‎ 解：∵S2甲=0.9，S2乙=1.1，‎ ‎∴S2甲＜S2乙，‎ ‎∴甲、乙两支仪仗队的队员身高更整齐的是甲；‎ 故答案为：甲．‎ 点评：‎ 本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2014•三明）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是　AB=AD（答案不唯一）　（写出一个即可）．‎ 考点：‎ 菱形的判定．菁优网版权所有 分析：‎ 利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．‎ 解答：‎ 解：∵OA=OC，OB=OD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∵邻边相等的平行四边形是菱形，‎ ‎∴添加的条件是AB=AD（答案不唯一），‎ 故答案为：AB=AD（答案不唯一）．‎ 点评：‎ 本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2014•三明）如图，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作半圆．若AB=4，则阴影部分的面积是　2π　．‎ 考点：‎ 旋转的性质．菁优网版权所有 分析：‎ 首先计算出圆的面积，根据图示可得阴影部分面积为半圆的面积，进而可得答案．‎ 解答：‎ 解：∵AB=4，‎ ‎∴BO=2，‎ ‎∴圆的面积为：π×22=4π，‎ ‎∴阴影部分的面积是：×4π=2π，‎ 故答案为：2π．‎ 点评：‎ 此题主要考查了旋转的性质，关键是掌握圆的面积公式．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2014•三明）有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克．已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克．若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是　=　．‎ 考点：‎ 由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有 分析：‎ 设第一块试验田每亩的产量为x千克，则第二块试验田每亩的产量为（x+200）千克，根据两块地的面积相同，列出分式方程．‎ 解答：‎ 解：设第一块试验田每亩的产量为x千克，则第二块试验田每亩的产量为（x+200）千克，‎ 由题意得，=．‎ 故答案为；=．‎ 点评：‎ 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出分式方程．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2014•三明）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是　﹣1　．‎ 考点：‎ 勾股定理；线段的性质：两点之间线段最短；等腰直角三角形．菁优网版权所有 分析：‎ 找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可．‎ 解答：‎ 解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，‎ 可见，AP1+EP1＞AE，‎ 即AP2是AP的最小值，‎ ‎∵AE==，P2E=1，‎ ‎∴AP2=﹣1．‎ 故答案为﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共9小题，满分86分）‎ ‎17．（7分）（2014•三明）解不等式2（x﹣2）＜1﹣3x，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有 分析：‎ 先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．‎ 解答：‎ 解：去括号得，2x﹣4＜1﹣3x，‎ 移项得，2x+3x＜1+4，‎ 合并同类项得，5x＜5，‎ 系数化为1得，x＜1．‎ 在数轴上表示为：‎ ‎．‎ 点评：‎ 本题考查的是解一元一次不等式，熟知去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（7分）（2014•三明）先化简，再求值：（1+）•，其中x=+1．‎ 考点：‎ 分式的化简求值．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．‎ 解答：‎ 解：原式=•=，‎ 当x=+1时，原式==．‎ 点评：‎ 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2014•三明）如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（2，1），与x轴交于点B．‎ ‎（1）求k和b的值；‎ ‎（2）连接OA，求△AOB的面积．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）分别把A点坐标代入y=x+b和y=中即可计算出b和k的值；‎ ‎（2）先确定B点坐标，然后根据三角形面积公式求解．‎ 解答：‎ 解：（1）把A（2，1）代入y=x+b得2+b=1，解得b=﹣1；‎ 把A（2，1）代入y=（x＞0）得k=2×1=2；‎ ‎（2）一次函数解析式为y=x﹣1，‎ 把y=0代入y=x﹣1得x﹣1=0，解得x=1，则B点坐标为（1，0），‎ 所以△AOB的面积=×1×1=．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2014•三明）如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是‎6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～‎5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？‎ ‎（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．菁优网版权所有 分析：‎ 在直角三角形中利用20°角和AB的长求得线段AC的长后看是否在5.3﹣5.7范围内即可．‎ 解答：‎ 解：由题意得：Rt△ACB中，AB=‎6米，∠A=20°，‎ ‎∴AC=AB•cos∠A≈6×0.94=5.64，‎ ‎∴在5.3～‎5.7米范围内，‎ ‎∴符合要求．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是弄清题意，并整理出直角三角形．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2014•三明）某学校在开展“书香校园”活动期间，对学生课外阅读的喜好进行抽样调查（每人只选一种书籍），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）这次调查的学生人数为　200　人，扇形统计图中m的值为　15　；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）如果这所学校要添置学生课外阅读的书籍1500册，请你估计“科普”类书籍应添置多少册比较合适？‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）用文学的人数和所占的百分比求出总人数，用整体1减去文学、科普、军事所占的百分比，即可求出m的值；‎ ‎（2）用200乘以科普所占的百分比，求出科普的人数，再补全统计图几即可；‎ ‎（3）用课外阅读的书籍的册数乘以科普所占的百分比，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：（1）这次调查的学生人数为=200（人），‎ 扇形统计图中军事所占的百分比是：1﹣35%﹣20%﹣30%=15%，‎ 则m=15；‎ 故答案为：200，15；‎ ‎（2）科普的人数是：200×30%=60（人），‎ 补图如下：‎ ‎（3）根据题意得：1500×=450（册），‎ 答：“科普”类书籍应添置450册比较合适．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2014•三明）为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过20吨时，按每吨2元计费；每月用水量超过20吨时，其中的20吨仍按每吨2元计费，超过部分按每吨2.8元计费，设每户家庭每月用水量为x吨时，应交水费y元．‎ ‎（1）分别求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数表达式；‎ ‎（2）小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元、38元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？‎ 考点：‎ 一次函数的应用．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）因为月用水量不超过20吨时，按2元/吨计费，所以当0≤x≤20时，y与x的函数表达式是y=2x；因为月用水量超过20吨时，其中的20吨仍按2元/吨收费，超过部分按2.8元/吨计费，所以当x＞20时，y与x的函数表达式是y=2×20+2.8（x﹣20），即y=2.6x﹣12；‎ ‎（2）由题意可得：因为五月份缴费金额不超过40元，所以用y=2x计算用水量；四月份缴费金额超过40元，所以用y=2.8x﹣16计算用水量，进一步得出结果即可．‎ 解答：‎ 解：（1）当0≤x≤20时，y与x的函数表达式是y=2x；‎ 当x＞20时，y与x的函数表达式是y=2×20+2.8（x﹣20）=2.8x﹣16；‎ ‎（2）因为小颖家五月份的水费都不超过40元，四月份的水费超过40元，‎ 所以把y=38代入y=2x中，得x=19；‎ 把y=45.6代入y=2.8x﹣16中，得x=22．‎ 所以22﹣19=3吨．‎ 答：小颖家五月份比四月份节约用水3吨．‎ 点评：‎ 此题考查一次函数的实际运用，根据题目蕴含的数量关系解决问题．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2014•三明）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．‎ ‎（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；‎ ‎（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，‎ ‎①AE与OD的大小有什么关系？为什么？‎ ‎②求∠ODC的度数．‎ 考点：‎ 直线与圆的位置关系；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）连接OC，因为CD是⊙O的切线，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD，即可求得．‎ ‎（2）连接OE，‎ ‎①证明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；‎ ‎②利用等腰三角形及平行线的性质，可求得∠ODC的度数．‎ 解答：‎ 解：（1）如图①，连接OC，‎ ‎∵OC=OA，CD=OA，‎ ‎∴OC=CD，‎ ‎∴∠ODC=∠COD，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OCD=90°，‎ ‎∴∠ODC=45°；‎ ‎（2）如图②，连接OE．‎ ‎∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，‎ ‎∴∠1=∠2，∠3=∠4．‎ ‎∵AE∥OC，‎ ‎∴∠2=∠3．‎ 设∠ODC=∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x．‎ ‎∴∠AOE=∠OCD=180°﹣2x．‎ ‎①AE=OD．理由如下：‎ 在△AOE与△OCD中，‎ ‎∴△AOE≌△OCD（SAS），‎ ‎∴AE=OD．‎ ‎②∠6=∠1+∠2=2x．‎ ‎∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．‎ ‎∵AE∥OC，‎ ‎∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，‎ ‎∴x=36°．‎ ‎∴∠ODC=36°．‎ 点评：‎ 本题考查了切线性质，全等三角形，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2014•三明）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．‎ ‎（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；‎ ‎（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？‎ 考点：‎ 圆的综合题；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；分类讨论．‎ 分析：‎ ‎（1）易证∠OCB=∠B，由条件∠DOE=∠B可得∠OCB=∠DOE，从而得到△COF是等腰三角形，过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，由等腰三角形的三线合一可求出CH，易证△CHF∽△BCA，从而可求出CF长．‎ ‎（2）题中要求“△OMN与△BCO相似”，并没有指明对应关系，故需分情况讨论，由于∠DOE=∠B，因此△OMN中的点O与△BCO中的点B对应，因而只需分两种情况讨论：①△OMN∽△BCO，②△OMN∽△BOC．当△OMN∽△BCO时，可证到△AOM∽△ACB，从而求出AM长，进而求出CM长；当△OMN∽△BOC时，可证到△CON∽△ACB，从而求出ON，CN长．然后过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，可以求出NG．并可以证到△MGN∽△ACB，从而求出MN长，进而求出CM长．‎ 解答：‎ 解：（1）∵∠ACB=90°，点O是AB的中点，‎ ‎∴OC=0B=OA=5．‎ ‎∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．‎ ‎∵∠DOE=∠B，‎ ‎∴∠FOC=∠OCF．‎ ‎∴FC=FO．‎ ‎∴△COF是等腰三角形．‎ 过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，‎ ‎∵FC=FO，FH⊥OC，‎ ‎∴CH=OH=，∠CHF=90°．‎ ‎∵∠HCF=∠B，∠CHF=∠BCA=90°，‎ ‎∴△CHF∽△BCA．‎ ‎∴=．‎ ‎∵CH=，AB=10，BC=6，‎ ‎∴CF=．‎ ‎∴CF的长为．‎ ‎（2）①若△OMN∽△BCO，如图2，‎ 则有∠NMO=∠OCB．‎ ‎∵∠OCB=∠B，‎ ‎∴∠NMO=∠B．‎ ‎∵∠A=∠A，‎ ‎∴△AOM∽△ACB．‎ ‎∴=．‎ ‎∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，‎ ‎∴AC=8．‎ ‎∵AO=5，AC=8，AB=10，‎ ‎∴AM=．‎ ‎∴CM=AC﹣AM=．‎ ‎②若△OMN∽△BOC，如图3，‎ 则有∠MNO=∠OCB．‎ ‎∵∠OCB=∠B，‎ ‎∴∠MNO=∠B．‎ ‎∵∠ACO=∠A，‎ ‎∴△CON∽△ACB．‎ ‎∴==．‎ ‎∵BC=6，AB=10，AC=8，CO=5，‎ ‎∴ON=，CN=．‎ 过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，‎ ‎∵∠MNO=∠B，∠MON=∠B，‎ ‎∴∠MNO=∠MON．‎ ‎∴MN=MO．‎ ‎∵MG⊥ON，即∠MGN=90°，‎ ‎∴NG=OG=．‎ ‎∵∠MNG=∠B，∠MGN=∠ACB=90°，‎ ‎∴△MGN∽△ACB．‎ ‎∴=．‎ ‎∵GN=，BC=6，AB=10，‎ ‎∴MN=．‎ ‎∴CM=CN﹣MN=﹣=．‎ ‎∴当CM的长是或时，△OMN与△BCO相似．‎ 点评：‎ 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，而将等腰三角形的三线合一与三角形相似相结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）（2014•三明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；‎ ‎（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）解析式已存在，y=ax2+bx+4，我们只需要根据特点描述求出a，b即可．由对称轴为﹣，又过点A（﹣2，0），所以函数表达式易得．‎ ‎（2）四边形为平行四边形，则必定对边平行且相等．因为已知MN∥BC，所以MN=BC，即M、N的位置如B、C位置关系，则可分2种情形，①N点在M点右下方，即M向下平行4个单位，向右2个单位与N重合；②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合．因为M在抛物线，可设坐标为（x，﹣x2+x+4），易得N坐标．由N在x轴上，所以其纵坐标为0，则可得关于x的方程，进而求出x，求出M的坐标．‎ ‎（3）使△PBD≌△PBC，易考虑∠CBD的平分线与抛物线的交点．确定平分线可因为BC=BD，可作等腰△BCD，利用三线合一，求其中线所在方程，进而与抛物线联立得方程组，解出P即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0），‎ ‎∴0=‎4a﹣2b+4，‎ ‎∵对称轴是x=3，‎ ‎∴﹣=3，即‎6a+b=0，‎ 两关于a、b的方程联立解得 a=﹣，b=，‎ ‎∴抛物线为y=﹣x2+x+4．‎ ‎（2）∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，‎ ‎∴BC=MN．‎ ‎①N点在M点右下方，即M向下平移4个单位，向右平移2个单位与N重合．‎ 设M（x，﹣x2+x+4），则N（x+2，﹣x2+x），‎ ‎∵N在x轴上，‎ ‎∴﹣x2+x=0，‎ 解得 x=0（M与C重合，舍去），或x=6，‎ ‎∴xM=6，‎ ‎∴M（6，4）．‎ ‎②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合．‎ 设M（x，﹣x2+x+4），则N（x﹣2，﹣x2+x+8），‎ ‎∵N在x轴上，‎ ‎∴﹣x2+x+8=0，‎ 解得 x=3﹣，或x=3+，‎ ‎∴xM=3﹣，或3+．‎ ‎∴M（3﹣，﹣4）或（3+，﹣4）‎ 综上所述，M的坐标为（6，4）或（3﹣，﹣4）或（3+，﹣4）．‎ ‎（3）∵OC=4，OB=3，‎ ‎∴BC=5．‎ 如果△PBD≌△PBC，那么BD=BC=5，‎ ‎∵D在x轴上，‎ ‎∴D为（﹣2，0）或（8，0）．‎ ‎①当D为（﹣2，0）时，连接CD，过B作直线BE平分∠DBC交CD于E，交抛物线于P1，P2，‎ 此时△P1BC≌△P1BD，△P2BC≌△P2BD，‎ ‎∵BC=BD，‎ ‎∴E为CD的中点，即E（﹣1，2），‎ 设过E（﹣1，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，则 ，‎ 解得 ，‎ ‎∴BE：y=﹣x+．‎ 设P（x，y），则有，‎ 解得 ，或，‎ 则P1（4+，），P2（4﹣，）．‎ ‎②当D为（8，0）时，连接CD，过B作直线BF平分∠DBC交CD于F，交抛物线于P3，P4，‎ 此时△P3BC≌△P3BD，△P4BC≌△P4BD，‎ ‎∵BC=BD，‎ ‎∴F为CD的中点，即E（4，2），‎ 设过E（4，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，则，‎ 解得 ，‎ ‎∴BF：y=2x﹣6．‎ 设P（x，y），则有，‎ 解得 或 ，‎ 则P3（﹣1+，﹣8+2），P4（﹣1﹣，﹣8﹣2）．‎ 综上所述，点P的坐标为（4+，）或（4﹣，）或（﹣1+，﹣8+2）或（﹣1﹣，﹣8﹣2）．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质，函数的意义，平移及二元一次方程求解等知识，本题难度适中，但想做全答案并不容易，是道非常值得学生练习的题目．‎ ‎　‎