2020年江苏省泰州市中考数学试卷(含解析）

2020年江苏省泰州市中考数学试卷(含解析）

‎2020年江苏省泰州市中考数学试卷 一、选择题：（本大题共有6小题，第小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．（3分）﹣2的倒数是（　　）‎ A．2 B．‎1‎‎2‎ C．﹣2 D．‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎2．（3分）把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（　　）‎ A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 ‎3．（3分）下列等式成立的是（　　）‎ A．3+4‎2‎‎=‎7‎2‎ B．‎3‎‎×‎2‎=‎‎5‎ C．‎3‎‎÷‎1‎‎6‎=‎2‎3‎ D．‎(-3‎‎)‎‎2‎‎=‎3‎ ‎4．（3分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（　　）‎ A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 ‎ C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关 ‎5．（3分）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（　　）‎ A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣1‎ ‎6．（3分）如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．10π B．9π C．8π D．6π 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎7．（3分）9的平方根等于　 　．‎ ‎8．（3分）因式分解：x2﹣4＝　 　．‎ ‎9．（3分）据新华社2020年5月17日消息，全国各地和军队约42600名医务人员支援湖北抗击新冠肺炎疫情，将42600用科学记数法表示为　 　．‎ ‎10．（3分）方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2的值为　 　．‎ ‎11．（3分）今年6月6日是第25个全国爱眼日，某校从八年级随机抽取50名学生进行了视力调查，并根据视力值绘制成统计图（如图），这50名学生视力的中位数所在范围是　 　．‎ ‎12．（3分）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为　 　．‎ ‎13．（3分）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、…、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为（5，0°）、（4，300°），则点C的坐标表示为　 　．‎ 第25页（共25页）‎ ‎14．（3分）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为　 　．‎ ‎15．（3分）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为　 　．‎ ‎16．（3分）如图，点P在反比例函数y‎=‎‎3‎x的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数y‎=‎kx（k＜0）的图象相交于点A、B，则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为　 　．‎ 三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡规定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ 第25页（共25页）‎ ‎17．（12分）（1）计算：（﹣π）0+（‎1‎‎2‎）﹣1‎-‎‎3‎sin60°；‎ ‎（2）解不等式组：‎‎3x-1≥x+1，‎x+4＜4x-2．‎ ‎18．（8分）2020年6月1日起，公安部在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某校小交警社团在交警带领下，从5月29日起连续6天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，并将数据绘制成如下图表：‎ ‎2020年6月2日骑乘人员头盔佩戴情况统计表 骑乘摩托车 骑乘电动自行车 戴头盔人数 ‎18‎ ‎72‎ 不戴头盔人数 ‎2‎ m ‎（1）根据以上信息，小明认为6月3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为95%．你是否同意他的观点？请说明理由；‎ ‎（2）相比较而言，你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度？为什么？‎ ‎（3）求统计表中m的值．‎ ‎19．（8分）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：‎ 摸球的次数 ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎1000‎ ‎1600‎ ‎2000‎ 摸到白球的频数 ‎72‎ ‎93‎ ‎130‎ ‎334‎ ‎532‎ ‎667‎ 摸到白球的频率 ‎0.3600‎ ‎0.3100‎ ‎0.3250‎ ‎0.3340‎ ‎0.3325‎ ‎0.3335‎ ‎（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是　 　．（精确到0.01），由此估出红球有　 　个．‎ ‎（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．‎ 第25页（共25页）‎ ‎20．（10分）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．‎ ‎21．（10分）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内．‎ ‎（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）在（1）的条件下，若a≈2‎5‎，A点的坐标为（3，1），求P点的坐标．‎ ‎22．（10分）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m的A处测得在C处的龙舟俯角为23°；他登高6m到正上方的B处测得驶至D处的龙舟俯角为50°，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1m，参考数据：tan23°≈0.42，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan67°≈2.36）‎ ‎23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．‎ ‎（1）用含x的代数式表示AD的长；‎ ‎（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．‎ ‎24．（10分）如图，在⊙O中，点P为AB的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN．‎ ‎（1）求证：N为BE的中点．‎ ‎（2）若⊙O的半径为8，AB的度数为90°，求线段MN的长．‎ 第25页（共25页）‎ ‎25．（12分）如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G，点P、Q分别在线段EF、BC上运动，且满足∠PMQ＝60°，连接PQ．‎ ‎（1）求证：△MEP≌△MBQ．‎ ‎（2）当点Q在线段GC上时，试判断PF+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．‎ ‎（3）设∠QMB＝α，点B关于QM的对称点为B'，若点B'落在△MPQ的内部，试写出α的范围，并说明理由．‎ ‎26．（14分）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B．‎ ‎（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；‎ ‎（2）设直线PA与y轴所夹的角为α．‎ ‎①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；‎ 第25页（共25页）‎ ‎②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，PAPB的值不变；‎ ‎（3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．‎ 第25页（共25页）‎ ‎2020年江苏省泰州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共有6小题，第小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．（3分）﹣2的倒数是（　　）‎ A．2 B．‎1‎‎2‎ C．﹣2 D．‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎【解答】解：﹣2的倒数是‎-‎‎1‎‎2‎．‎ 故选：D．‎ ‎2．（3分）把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（　　）‎ A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 ‎【解答】解：观察展开图可知，几何体是三棱柱．‎ 故选：A．‎ ‎3．（3分）下列等式成立的是（　　）‎ A．3+4‎2‎‎=‎7‎2‎ B．‎3‎‎×‎2‎=‎‎5‎ C．‎3‎‎÷‎1‎‎6‎=‎2‎3‎ D．‎(-3‎‎)‎‎2‎‎=‎3‎ ‎【解答】解：A．3与4‎2‎不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；‎ B．‎3‎‎×‎2‎=‎‎6‎，此选项计算错误；‎ C．‎3‎‎÷‎1‎‎6‎=‎3‎×‎6‎=‎3‎2‎，此选项计算错误；‎ D．‎(-3‎‎)‎‎2‎‎=‎3，此选项计算正确；‎ 故选：D．‎ ‎4．（3分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 ‎ C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关 ‎【解答】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；‎ B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；‎ C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；‎ D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎5．（3分）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（　　）‎ A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣1‎ ‎【解答】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，‎ ‎∴b＝3a+2，‎ 则3a﹣b＝﹣2．‎ ‎∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝﹣4+1＝﹣3‎ 故选：C．‎ ‎6．（3分）如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A．10π B．9π C．8π D．6π ‎【解答】解：连接OC，‎ ‎∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，‎ ‎∴四边形CDOE是矩形，‎ ‎∴CD∥OE，‎ ‎∴∠DEO＝∠CDE＝36°，‎ 由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，‎ ‎∴∠COB＝∠DEO＝36°‎ ‎∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵S扇形OBC‎=‎36⋅π×1‎‎0‎‎2‎‎360‎=‎10π ‎∴图中阴影部分的面积＝10π，‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎7．（3分）9的平方根等于　±3　．‎ ‎【解答】解：∵（±3）2＝9，‎ ‎∴9的平方根是±3．‎ 故答案为：±3．‎ ‎8．（3分）因式分解：x2﹣4＝　（x+2）（x﹣2）　．‎ ‎【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．‎ 故答案为：（x+2）（x﹣2）．‎ ‎9．（3分）据新华社2020年5月17日消息，全国各地和军队约42600名医务人员支援湖北抗击新冠肺炎疫情，将42600用科学记数法表示为　4.26×104　．‎ ‎【解答】解：将42600用科学记数法表示为4.26×104，‎ 故答案为：4.26×104．‎ ‎10．（3分）方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2的值为　﹣3　．‎ ‎【解答】解：∵方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1、x2，‎ ‎∴x1•x2‎=ca=-‎3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎11．（3分）今年6月6日是第25个全国爱眼日，某校从八年级随机抽取50名学生进行了视力调查，并根据视力值绘制成统计图（如图），这50名学生视力的中位数所在范围是　4.65﹣4.95　．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：∵一共调查了50名学生的视力情况，‎ ‎∴这50个数据的中位数是第25、26个数据的平均数，‎ 由频数分布直方图知第25、26个数据都落在4.65﹣4.95之间，‎ ‎∴这50名学生视力的中位数所在范围是4.65﹣4.95，‎ 故答案为：4.65﹣4.95．‎ ‎12．（3分）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为　140°　．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵∠ACB＝90°，∠DCB＝65°，‎ ‎∴∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣65°＝25°，‎ ‎∵∠A＝60°，‎ ‎∴∠DFB＝∠AFC＝180°﹣∠ACD﹣∠A＝180°﹣25°﹣60°＝95°，‎ ‎∵∠D＝45°，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，‎ 故答案为：140°．‎ ‎13．（3分）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、…、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为（5，0°）、（4，300°），则点C的坐标表示为　（3，240°）　．‎ ‎【解答】解：如图所示：点C的坐标表示为（3，240°）．‎ 故答案为：（3，240°）．‎ ‎14．（3分）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为　3cm或5cm　．‎ ‎【解答】解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，‎ ‎∴⊙O与直线a相切时，切点为H，‎ ‎∴OH＝1cm，‎ 当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：‎ 第25页（共25页）‎ OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；‎ 当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：‎ OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；‎ ‎∴⊙O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，‎ 故答案为：3cm或5cm．‎ ‎15．（3分）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为　（2，3）　．‎ ‎【解答】解：如图，点I即为△ABC的内心．‎ 所以△ABC内心I的坐标为（2，3）．‎ 故答案为：（2，3）．‎ ‎16．（3分）如图，点P在反比例函数y‎=‎‎3‎x的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数y‎=‎kx（k＜0）的图象相交于点A、B，则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为　3　．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：点P在反比例函数y‎=‎‎3‎x的图象上，且横坐标为1，则点P（1，3），‎ 则点A、B的坐标分别为（1，k），（‎1‎‎3‎k，3），‎ 设直线AB的表达式为：y＝mx+t，将点A、B的坐标代入上式得k=m+t‎3=-‎1‎‎3‎km+t，解得m＝﹣3，‎ 故直线AB与x轴所夹锐角的正切值为3，‎ 故答案为3．‎ 三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡规定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（12分）（1）计算：（﹣π）0+（‎1‎‎2‎）﹣1‎-‎‎3‎sin60°；‎ ‎（2）解不等式组：‎‎3x-1≥x+1，‎x+4＜4x-2．‎ ‎【解答】解：（1）原式＝1+2‎‎-‎3‎×‎‎3‎‎2‎ ‎＝1+2‎‎-‎‎3‎‎2‎ ‎=‎‎3‎‎2‎‎；‎ ‎（2）解不等式3x﹣1≥x+1，得：x≥1，‎ 解不等式x+4＜4x﹣2，得：x＞2，‎ 则不等式组的解集为x＞2．‎ ‎18．（8分）2020年6月1日起，公安部在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某校小交警社团在交警带领下，从5月29日起连续6天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，并将数据绘制成如下图表：‎ ‎2020年6月2日骑乘人员头盔佩戴情况统计表 骑乘摩托车 骑乘电动自行车 第25页（共25页）‎ 戴头盔人数 ‎18‎ ‎72‎ 不戴头盔人数 ‎2‎ m ‎（1）根据以上信息，小明认为6月3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为95%．你是否同意他的观点？请说明理由；‎ ‎（2）相比较而言，你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度？为什么？‎ ‎（3）求统计表中m的值．‎ ‎【解答】解：（1）不同意，虽然可用某地区一路口的摩托车骑乘人员佩戴头盔情况来估计该地区的摩托车骑乘人员佩戴头盔情况，但是，只用6月3日的来估计，具有片面性，不能代表该地区的真实情况，可用某地区一路口一段时间内的平均值进行估计，就比较客观、具有代表性．‎ ‎（2）通过折线统计图中，摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔的百分比的变化情况，可以得出：电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行宣传，毕竟这5天，其佩戴的百分比增长速度较慢，且数值减低；‎ ‎（3）由题意得，‎72‎‎72+m‎=‎45%，解得，m＝88，‎ 答：统计表中的m的值为88人．‎ ‎19．（8分）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：‎ 摸球的次数 ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎1000‎ ‎1600‎ ‎2000‎ 摸到白球的频数 ‎72‎ ‎93‎ ‎130‎ ‎334‎ ‎532‎ ‎667‎ 摸到白球的频率 ‎0.3600‎ ‎0.3100‎ ‎0.3250‎ ‎0.3340‎ ‎0.3325‎ ‎0.3335‎ ‎（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是　0.33　．（精确到0.01），由此估出红球有　2　个．‎ 第25页（共25页）‎ ‎（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．‎ ‎【解答】解：（1）观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，由此估出红球有2个．‎ 故答案为：0.33，2；‎ ‎（2）画树状图为：‎ 由图可知，共有9种等可能的结果数，其中恰好摸到1个白球、1个红球的结果数为4，‎ 所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为‎4‎‎9‎．‎ ‎20．（10分）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．‎ ‎【解答】解：设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为（1+50%）xkm/h，‎ 依题意，得：‎25‎x‎-‎30‎‎(1+50%)x=‎‎6‎‎60‎，‎ 解得：x＝50，‎ 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，‎ ‎∴（1+50%）x＝75．‎ 答：走路线B的平均速度为75km/h．‎ ‎21．（10分）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内．‎ ‎（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）在（1）的条件下，若a≈2‎5‎，A点的坐标为（3，1），求P点的坐标．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：（1）如图，点P即为所求；‎ ‎（2）由（1）可得OP是角平分线，设点P（x，x），‎ 过点P作PE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，AD⊥PE于点D，‎ ‎∵PA＝a≈2‎5‎，A点的坐标为（3，1），‎ ‎∴PD＝x﹣1，AD＝x﹣3，‎ 根据勾股定理，得 PA2＝PD2+AD2，‎ ‎∴（2‎5‎）2＝（x﹣1）2+（x﹣3）2，‎ 解得x＝5，x＝﹣1（舍去）．‎ 所以P点的坐标为（5，5）．‎ ‎22．（10分）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m的A处测得在C处的龙舟俯角为23°；他登高6m到正上方的B处测得驶至D处的龙舟俯角为50°，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1m，参考数据：tan23°≈0.42，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan67°≈2.36）‎ ‎【解答】解：如图，根据题意得，∠C＝23°，∠BDE＝50°，AE＝15m，BE＝21m，‎ 在Rt△ACE中，tanC＝tan23°‎=AECE=‎15‎CE=‎0.42，‎ 解得：CE≈35.7，‎ 在Rt△BDE中，tan∠BDE＝tan50°‎=BEDE=‎21‎DE=‎1.19，‎ 解得：DE≈17.6，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴CD＝CE﹣DE＝35.7﹣17.6＝18.1≈18m，‎ 答：两次观测期间龙舟前进了18m．‎ ‎23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．‎ ‎（1）用含x的代数式表示AD的长；‎ ‎（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵PD∥AB，‎ ‎∴CPCB‎=‎CDCA，‎ ‎∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，‎ ‎∴x‎4‎‎=‎CD‎3‎，‎ ‎∴CD‎=‎3‎‎4‎x，‎ ‎∴AD＝AC﹣CD＝3‎-‎3‎‎4‎x，‎ 即AD‎=-‎3‎‎4‎x+3‎；‎ ‎（2）根据题意得，S‎=‎1‎‎2‎AD⋅CP=‎1‎‎2‎x(-‎3‎‎4‎x+3)=-‎3‎‎8‎(x-2‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴当x≥2时，S随x的增大而减小，‎ ‎∵0＜x＜4，‎ ‎∴当S随x增大而减小时x的取值范围为2≤x＜4．‎ ‎24．（10分）如图，在⊙O中，点P为AB的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN．‎ 第25页（共25页）‎ ‎（1）求证：N为BE的中点．‎ ‎（2）若⊙O的半径为8，AB的度数为90°，求线段MN的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AD⊥PC，‎ ‎∴∠EMC＝90°，‎ ‎∵点P为AB的中点，‎ ‎∴PA‎=‎PB，‎ ‎∴∠ADP＝∠BCP，‎ ‎∵∠CEM＝∠DEN，‎ ‎∴∠DNE＝∠EMC＝90°＝∠DNB，‎ ‎∵PA‎=‎PB，‎ ‎∴∠BDP＝∠ADP，‎ ‎∴∠DEN＝∠DBN，‎ ‎∴DE＝DB，‎ ‎∴EN＝BN，‎ ‎∴N为BE的中点；‎ ‎（2）解：连接OA，OB，AB，AC，‎ ‎∵AB的度数为90°，‎ ‎∴∠AOB＝90°，‎ ‎∵OA＝OB＝8，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴AB＝8‎2‎，‎ 由（1）同理得：AM＝EM，‎ ‎∵EN＝BN，‎ ‎∴MN是△AEB的中位线，‎ ‎∴MN‎=‎‎1‎‎2‎AB＝4‎2‎．‎ ‎25．（12分）如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G，点P、Q分别在线段EF、BC上运动，且满足∠PMQ＝60°，连接PQ．‎ ‎（1）求证：△MEP≌△MBQ．‎ ‎（2）当点Q在线段GC上时，试判断PF+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．‎ ‎（3）设∠QMB＝α，点B关于QM的对称点为B'，若点B'落在△MPQ的内部，试写出α的范围，并说明理由．‎ ‎【解答】证明：（1）∵正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，‎ ‎∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，AM＝BM＝3，‎ ‎∵△MBE是等边三角形，‎ ‎∴MB＝ME＝BE，∠BME＝∠PMQ＝60°，‎ ‎∴∠BMQ＝∠PME，‎ 又∵∠ABC＝∠MEP＝90°，‎ ‎∴△MBQ≌△MEP（ASA）；‎ ‎（2）PF+GQ的值不变，‎ 理由如下：如图1，连接MG，过点F作FH⊥BC于H，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵ME＝MB，MG＝MG，‎ ‎∴Rt△MBG≌Rt△MEG（HL），‎ ‎∴BG＝GE，∠BMG＝∠EMG＝30°，∠BGM＝∠EGM，‎ ‎∴MB‎=‎‎3‎BG＝3，∠BGM＝∠EGM＝60°，‎ ‎∴GE‎=‎‎3‎，∠FGH＝60°，‎ ‎∵FH⊥BC，∠C＝∠D＝90°，‎ ‎∴四边形DCHF是矩形，‎ ‎∴FH＝CD＝6，‎ ‎∵sin∠FGH‎=FHGF=‎3‎‎2‎=‎‎6‎FG，‎ ‎∴FG＝4‎3‎，‎ ‎∵△MBQ≌△MEP，‎ ‎∴BQ＝PE，‎ ‎∴PE＝BQ＝BG+GQ，‎ ‎∵FG＝EG+PE+FP＝EG+BG+GQ+PF＝2‎3‎‎+‎GQ+PF，‎ ‎∴GQ+PF＝2‎3‎；‎ ‎（3）如图2，当点B'落在PQ上时，‎ ‎∵△MBQ≌△MEP，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴MQ＝MP，‎ ‎∵∠QMP＝60°，‎ ‎∴△MPQ是等边三角形，‎ 当点B'落在PQ上时，点B关于QM的对称点为B'，‎ ‎∴△MBQ≌△MB'Q，‎ ‎∴∠MBQ＝∠MB'Q＝90°‎ ‎∴∠QME＝30°‎ ‎∴点B'与点E重合，点Q与点G重合，‎ ‎∴∠QMB＝∠QMB'＝α＝30°，‎ 如图3，当点B'落在MP上时，‎ 同理可求：∠QMB＝∠QMB'＝α＝60°，‎ ‎∴当30°＜α＜60°时，点B'落在△MPQ的内部．‎ ‎26．（14分）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B．‎ ‎（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；‎ ‎（2）设直线PA与y轴所夹的角为α．‎ ‎①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；‎ 第25页（共25页）‎ ‎②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，PAPB的值不变；‎ ‎（3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）由题意m＝2，n＝4，‎ ‎∴y1＝a（x﹣2）2+4，‎ 把（0，2）代入得到a‎=-‎‎1‎‎2‎．‎ ‎（2）①如图1中，过点A作AN⊥x轴于N，过点P作PM⊥AN于M．‎ ‎∵y1＝a（x﹣m）2+n＝ax2﹣2amx+am2+n，‎ ‎∴P（0，am2+n），‎ ‎∵A（m，n），‎ ‎∴PM＝m，AN＝n，‎ ‎∵∠APM＝45°，‎ ‎∴AM＝PM＝m，‎ ‎∴m+am2+n＝n，‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴am＝﹣1．‎ ‎②如图2中，由题意AB⊥y中，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵P（0，am2+n），‎ 当y＝am2+n时，am2+n＝6ax2+n，‎ 解得x＝±‎6‎‎6‎m，‎ ‎∴B（‎-‎‎6‎‎6‎m，am2+n），‎ ‎∴PB‎=‎‎6‎‎6‎m，‎ ‎∵AP＝2m，‎ ‎∴PAPB‎=‎2m‎6‎‎6‎m=‎2‎6‎．‎ ‎（3）如图3中，过点A作AH⊥x轴于H，过点P作PK⊥AH于K，过点B作BE⊥KP交KP的延长线于E．‎ 设B（b，6ab2+n），‎ ‎∵PA＝2PB，‎ ‎∴A[﹣2b，a（﹣2b﹣m）2+n]，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵BE∥AK，‎ ‎∴BEAK‎=PBPA=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴AK＝2BE，‎ ‎∴a（﹣2b﹣m）2+n﹣am2﹣n＝2（am2+n﹣6ab2﹣n），‎ 整理得：m2﹣2bm﹣8b2＝0，‎ ‎∴（m﹣4b）（m+2b）＝0，‎ ‎∵m﹣4b＞0，‎ ‎∴m+2b＝0，‎ ‎∴m＝﹣2b，‎ ‎∴A（m，n），‎ ‎∴点A是抛物线C1的顶点．‎ 第25页（共25页）‎