中考圆压轴题打印
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课 题
压轴题训练：圆
教学内容
知识框架
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 点在圆内；
2、点在圆上 点在圆上；
3、点在圆外 点在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2） 有一个交点 ；
相交（图3） 有两个交点 ；
内切（图4） 有一个交点 ；
内含（图5） 无交点 ；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④ 弧弧
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径 或∵
∴ ∴是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，
∵四边形是内接四边形
∴
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴
平分
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，
∴
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙中，∵直径，
∴
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线
∴
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙中，∵、是割线
∴
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：中，；
（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=
（2）圆柱的体积：
（2）圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：
【例题精讲】
1如图12所示，四边形ABCD是以O为圆心，AB为直径的半圆的内接四边形，
对角线AC、BD相交于点E。
（1）求证：△DEC～△AEB；
（2）当∠AED＝60°时，求△DEC与△AEB的面积比。
2 如图13，已知等边三角形ABC,以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、
点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F。
（1）判断EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为8，求FH的长。
（结果保留根号）
3 已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长
D
C
O
A
B
E
为半径的圆与分别交于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，求的长．
4 四川省成都 如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）.连结AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连结DE.若AB=2
.
(1)求∠C的度数；
（2）求DE的长；
（3）如果记tan∠ABC=y，=x（0
0），求sin∠CAB.
A
B
C
E
D
O
M
3 已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，
CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=.
(1) 求证：；
(2) 求EM的长；
（3）求sin∠EOB的值.
4 如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点
（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线
m相交于点D．
（1）求证：△APC∽△COD．
（2）设AP＝x，OD＝y，试用含x的代数式表示y．
（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．
C
B
O
A
D
5 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、
与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．
（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）
6 在Rt△ABC中，BC=9， CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D， DE⊥DB交AB于点E．
（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证:AC是⊙O的切线;
（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，求的值．
7 如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．
A
B
N
M
（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）
与时间t（秒）之间的函数表达式；
（2）问点A出发后多少秒两圆相切？
P
B
C
D
T
N
M
A
K
(第27题图)
8 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BM平分∠ABC交AC于M，
以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，
直线AB交⊙A于P、K两点，作MT⊥BC于T．
(1)求证：AK＝MT；
(2)求证：AD⊥BC；
C
B
A
O
F
D
E
(3)当AK＝BD时，求证：．
9 如图，为的直径，于点，交于点，于点．
（1）请写出三条与有关的正确结论；
（2）当，时，求圆中阴影部分的面积．
10 如图，已知的直径垂直于弦于点，过点作交的延长线
A
D
F
E
O
C
B
G
（第10题图）
于点，连接并延长交于点，且．
（1）试问：是的切线吗？说明理由；
（2）请证明：是的中点；
（3）若，求的长．
11 如图11，⊙P与⊙O相交于A、B两点，⊙P经过圆心O，点C是⊙P的优弧上任意一点（不与点A、B重合），连结AB、AC、BC、OC。
（1）指出图中与∠ACO相等的一个角；
（2）当点C在⊙P上什么位置时，直线CA与⊙O相切？请说明理由；
（3）当∠ACB=60°时，两圆半径有怎样的大小关系？请说明你的理由。
12 如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD．
（1）求证：∠ADB=∠E；（3分）
（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由．（3分）
（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．（4分）
（第12题图）
1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60
（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标.
（2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明.
（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式.
B1
B2
B3
A1
A2
A3
O
C3
C2
C1
图4
S2
S1
S3
2 如图（4），正方形的边长为1，以为圆心、为半径作扇形与相交于点，设正方形与扇形之间的阴影部分的面积为；然后以为对角线作正方形，又以为圆心，、为半径作扇形，与相交于点，设正方形与扇形之间的阴影部分面积为；按此规律继续作下去，设正方形与扇形之间的阴影部分面积为．
（1）求；
（2）写出；
（3）试猜想（用含的代数式表示，为正整数）．
3 (10分)如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．
（1）求证：ID=BD；
（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，，，当点A在优弧上运动时，求与的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
4 如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧的中点，AC交BD于点E， AE＝2， EC＝1．
(第4题图)
（1）求证：∽；
（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予
证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．
（3）延长AB到H，使BH ＝OB．
求证：CH是⊙O的切线．
5 如图10，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为上的一动点．
（1）问添加一个什么条件后，能使得？请说明理由；
（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；
（3）如图11，在 （1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．
D
B
A
O
C
E
·
图10
D
B
A
O
C
E
图11
6
6 如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．
（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？
（2）求四边形CDPF的周长；
·
P
D
O
G
E
M
F
B
A
C
图2
（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示． 是否存在点P，使BF*FG=CF*OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．
·
M
·
A
F
C
O
P
E
D
图1
7 如图，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上一点，与轴的正半轴交于两点，在的左侧，且的长是方程的两根，是的切线，为切点，在第四象限．
（1）求的直径．
（2）求直线的解析式．
（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形，若存在请在图2中标出点所在位置，并画出（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求的坐标）若不存在，请说明理由．
图1
图2
1 已知：如图4-7，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连结AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F.
1
图4-7
图4-8
（1） 当时，判断直线FD与以
AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；
（2） 如图4-8，点B在CG上向点C运动，
直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两
点，连结AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，
求BC的长
2、如图，矩形ABAD中，AB=3cm，BC＝4cm，△ABC和△ADC的内切圆在AC上的切点分别为E、F，求EF的长。
3、已知：在三角形ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3
A
B
C
D
E
M
F
（1）求证：AF=DF（2）求∠AED的余弦值（3）若BD=10，求△ABC的面积。
A
B
P
C
N
E
D
O2·
·
O1
4、 已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，
PB的延长线交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O1于点N
（1） 过点A作AE∥CN交⊙O1于E，求证：PA=PE
（2）连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长。
5 如图，已知线段AB上一点O，以OB为半径的⊙O交线段AB于C，以线段AO为直径的半圆交⊙O于点D，过点B作AB的垂线与AD相交于点E，
（1） 求证：AE切⊙O于D；
（2） 求的值；
（3） 如果⊙O的半径为，且，求CD、OE的长；
6已知，⊙O与⊙O外切，⊙O的半径，设⊙O的半径为，
（1） 如果⊙O与⊙O的圆心距，求的值；
（2） 如果⊙O与⊙O的公切线中有两条互相垂直，并且≤，求的值；
7如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点B的直线交⊙O1、⊙O2于C、D， 的中点为M，AM交⊙O1于E，交CD于F，连CE、AD、DM．
(1)求证：AM·EF＝DM·CE； (2)求证：；
(3)若BC＝5，BD＝7，CF＝2DF，AM＝4MF，求MF和CE的长．
8 如图，点P是⊙O上任意一点，⊙O的弦AB所在的直线与⊙P相切于点C，PF为⊙O
的直径，设⊙O与⊙P的半径分别为R和r．
(1)求证：△PCB∽△PAF； (2)求证：PA·PB＝2Rr；
(3)若点D是两圆的一个交点，连结AD交⊙P于点E，当R＝3r，PA＝6，PB＝3时，求⊙P的弦DE的长．
