2020年中考数学真题试题（含解析） 新人教 版

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‎2019年中考数学真题试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求 ‎1．﹣2的相反数是（　　）‎ A．﹣2　　　　　　B．2　　　　　　C．　　　　　　D．﹣‎ 解：﹣2的相反数是2．‎ 故选B．‎ ‎2．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）‎ A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．‎ 解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆． ‎ ‎ 故选A．‎ ‎3．方程组==x+y﹣4的解是（　　）‎ A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．‎ 解：由题可得：，消去x，可得 ‎　2（4﹣y）=3y，解得y=2，把y=2代入2x=3y，可得 x=3，∴方程组的解为．‎ 故选D．‎ ‎4．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（　　）‎ A．EG=4GC　　　　　　B．EG=3GC　　　　　　C．EG=GC　　　　　　D．EG=2GC 14‎ 解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴．‎ 故选B．‎ ‎5．下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　）‎ A．调查全国中学生心理健康现状 B．调查一片试验田里五种大麦的穗长情况 C．要查冷饮市场上冰淇淋的质量情况 D．调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况 解：A．了解全国中学生心理健康现状调查范围广，适合抽样调查，故A错误；‎ B．了解一片试验田里五种大麦的穗长情况调查范围广，适合抽样调查，故B错误；‎ C．了解冷饮市场上冰淇淋的质量情况调查范围广，适合抽样调查，故C错误；‎ D．调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况，适合全面调查，故D正确；‎ 故选D．‎ ‎6．估计+1的值，应在（　　）‎ A．1和2之间　　　　　　B．2和3之间　　　　　　C．3和4之间　　　　　　D．4和5之间 解：∵≈2.236，∴ +1≈3.236． ‎ ‎ 故选C．‎ ‎7．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”‎ 如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（　　）‎ A．13寸　　　　　　B．20寸　　　　　　C．26寸　　　　　　D．28寸 解：设⊙O的半径为r．‎ 在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸． ‎ ‎ 故选C．‎ ‎8．已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a﹣b=（　　）‎ 14‎ A．1　　　　　　B．﹣　　　　　　C．±1　　　　　　D．±‎ 解：∵a+b=2，ab=，∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，∴a2+b2=，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=1，∴a﹣b=±1． ‎ ‎ 故选C．‎ ‎9．如图，曲线C2是双曲线C1：y=（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于（　　）‎ A．　　　　　　B．6　　　　　　C．3　　　　　　D．12‎ 解：如图，将C2及直线y=x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．‎ 双曲线C3，的解析式为y=﹣‎ 过点P作PB⊥y轴于点B ‎∵PA=PB ‎∴B为OA中点，∴S△PAB=S△POB 由反比例函数比例系数k的性质，S△POB=3‎ ‎∴△POA的面积是6‎ 故选B．‎ ‎10．二次函数y=x2+（a﹣2）x+3的图象与一次函数y=x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a=3±2　　　　　　B．﹣1≤a＜2‎ C．a=3或﹣≤a＜2　　　　　　D．a=3﹣2或﹣1≤a＜﹣‎ 解：由题意可知：方程x2+（a﹣2）x+3=x在1≤x≤2上只有一个解，即x2+（a﹣3）x+3=0在1≤x≤2上只有一个解，当△=0时，即（a﹣3）2﹣12=0‎ 14‎ a=3±2‎ 当a=3+2时，此时x=﹣，不满足题意，当a=3﹣2时，此时x=，满足题意，当△＞0时，令y=x2+（a﹣3）x+3，令x=1，y=a+1，令x=2，y=2a+1‎ ‎（a+1）（2a+1）≤0‎ 解得：﹣1≤a≤，当a=﹣1时，此时x=1或3，满足题意；‎ 当a=﹣时，此时x=2或x=，不满足题意．‎ 综上所述：a=3﹣2或﹣1≤a＜． ‎ ‎ 故选D．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分 ‎11．计算：|﹣3|= ．‎ 解：|﹣3|=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎12．化简+的结果是 ‎ 解： +‎ ‎=﹣‎ ‎=‎ ‎=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎13．如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为 ．‎ 解：设点C所表示的数为x．‎ ‎∵数轴上A、B两点表示的数分别为﹣1和4，点B关于点A的对称点是点C，∴AB=4﹣（﹣1），AC=﹣1﹣x，根据题意AB=AC，∴4﹣（﹣1）=﹣1﹣x，解得x=﹣6．‎ 故答案为：﹣6．‎ ‎14．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数是 度．‎ 14‎ 解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=∠BCA=45°；‎ ‎△ACE中，AC=AE，则：‎ ‎∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°；‎ ‎∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．‎ 故答案为：22.5．‎ ‎15．如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为 ．‎ 解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，‎ ‎∵点O′的坐标是（1，），∴O′M=，OM=1．‎ ‎∵AO=2，∴AM=2﹣1=1，∴tan∠O′AM==，∴∠O′AM=60°，即旋转角为60°，∴∠CAC′=∠OAO′=60°．‎ ‎∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，∴S△OAC=S△O′AC′，∴阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′=S扇形OAO′﹣S扇形CAC′=﹣=． ‎ ‎ 故答案为：．‎ ‎16．已知直线l1：y=（k﹣1）x+k+1和直线l2：y=kx+k+2，其中k为不小于2的自然数．‎ ‎（1）当k=2时，直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积S2= ；‎ 14‎ ‎（2）当k=2、3、4，……，2018时，设直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积分别为S2，S3，S4，……，S2018，则S2+S3+S4+……+S2018= ．‎ 解：当y=0时，有（k﹣1）x+k+1=0，解得：x=﹣1﹣，∴直线l1与x轴的交点坐标为（﹣1﹣，0），同理，可得出：直线l2与x轴的交点坐标为（﹣1﹣，0），∴两直线与x轴交点间的距离d=﹣1﹣﹣（﹣1﹣）=﹣．‎ 联立直线l1、l2成方程组，得：‎ ‎，解得：，∴直线l1、l2的交点坐标为（﹣1，﹣2）．‎ ‎（1）当k=2时，d=﹣=1，∴S2=×|﹣2|d=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎（2）当k=3时，S3=﹣；当k=4时，S4=﹣；…；S2018=﹣，∴S2+S3+S4+……+S2018=﹣+﹣+﹣+…+﹣=﹣=2﹣=．‎ 故答案为：．‎ 三、简答题：本大题共3小题，每小题9分，共27分 ‎17．计算：4cos45°+（π﹣2018）0﹣‎ 解：原式=4×+1﹣2=1．‎ ‎18．解不等式组：‎ 解：．‎ ‎∵解不等式①得：x＞0，解不等式②得：x＜6，∴不等式组的解集为0＜x＜6．‎ ‎19．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．‎ 证明：∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC 在△ADB和△ACB中，，∴△ADB≌△ACB（ASA），∴BD=CD．‎ 四、本大题共3小题，每小题10分，共30分 14‎ ‎20．先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m是方程x2+x﹣2=0的根 解：原式=4m2﹣1﹣（m2﹣2m+1）+8m3÷（﹣8m）‎ ‎=4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2‎ ‎=2m2+2m﹣2‎ ‎=2（m2+m﹣1）．‎ ‎∵m是方程x2+x﹣2=0的根，∴m2+m﹣2=0，即m2+m=2，则原式=2×（2﹣1）=2．‎ ‎21．某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．‎ ‎（1）收集数据 从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下：‎ 甲班65 75 75 80 60 50 75 90 85 65‎ 乙班90 55 80 70 55 70 95 80 65 70‎ ‎（2）整理描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据：‎ 在表中：m= ，n= ．‎ ‎（3）分析数据 ‎①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：‎ 在表中：x= ，y= ．‎ ‎②若规定测试成绩在80分（含80分）以上的叙述身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有 人．‎ ‎③‎ 14‎ 现从甲班指定的2名学生（1男1女），乙班指定的3名学生（2男1女）中分别抽取1名学生去参加上级部门组织的身体素质测试，用树状图和列表法求抽到的2名同学是1男1女的概率．‎ 解：（2）由收集的数据得知m=3、n=2． ‎ ‎ 故答案为：3、2；‎ ‎（3）①甲班成绩为：50、60、65、65、75、75、75、80、85、90，∴甲班成绩的中位数x==75，乙班成绩70分出现次数最多，所以的众数y=70． ‎ ‎ 故答案为：75、70；‎ ‎②估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有50×=20人；‎ ‎③列表如下：‎ 由表可知，共有6种等可能结果，其中抽到的2名同学是1男1女的有3种结果，所以抽到的2名同学是1男1女的概率为=．‎ ‎22．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．‎ 请根据图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；‎ ‎（2）求恒温系统设定的恒定温度；‎ ‎（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？‎ 解：（1）设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0）‎ ‎∵线段AB过点（0，10），（2，14）‎ 14‎ 代入得 解得 ‎∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）‎ ‎∵B在线段AB上当x=5时，y=20‎ ‎∴B坐标为（5，20）‎ ‎∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10）‎ 设双曲线CD解析式为：y=（k2≠0）‎ ‎∵C（10，20）‎ ‎∴k2=200‎ ‎∴双曲线CD解析式为：y=（10≤x≤24）‎ ‎∴y关于x的函数解析式为：‎ y=‎ ‎（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C ‎（3）把y=10代入y=中，解得：x=20‎ ‎∴20﹣10=10‎ 答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．‎ 五、本大题共2小题，每小题10分，共20分 ‎23．已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．‎ ‎（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；‎ ‎（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．‎ ‎（1）证明：由题意可得：‎ ‎△=（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）‎ ‎=1+25m2﹣20m+20m 14‎ ‎=25m2+1＞0，故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；‎ ‎（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5=0，解得：x1=﹣，x2=5，由|x1﹣x2|=6，得|﹣﹣5|=6，解得：m=1或m=﹣；‎ ‎（3）解：由（2）得：当m＞0时，m=1，此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2，由题已知，P，Q关于x=2对称，∴ =2，即2a=4﹣n，∴4a2﹣n2+8n=（4﹣n）2﹣n2+8n=16．‎ ‎24．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．‎ ‎（1）求证：AC∥PO；‎ ‎（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．‎ ‎（1）证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，∴PA=PB，且PO平分∠BPA，∴PO⊥AB．‎ ‎∵BC是直径，∴∠CAB=90°，∴AC⊥AB，∴AC∥PO；‎ ‎（2）解：连结OA、DF，如图，‎ ‎ ∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，∴∠OAQ=∠PBQ=90°．‎ 在Rt△OAQ中，OA=OC=3，∴OQ=5．‎ 由QA2+OA2=OQ2，得QA=4．‎ 在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，∴PA=PB=6．‎ ‎∵OP⊥AB，∴BF=AF=AB．‎ 又∵D为PB的中点，∴DF∥AP，DF=PA=3，∴△DFE∽△QEA，∴ ==，设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，∴ ==．‎ 14‎ 六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分 ‎25．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：‎ ‎（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为 ；‎ ‎（2）如图2，若k=，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．‎ ‎（3）如图3，若k=，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．‎ 解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD．‎ ‎∵AC=BD，CD=AE，∴AF=AC．‎ ‎∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE≌△ACD，∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC．‎ ‎∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD．‎ ‎∵AD∥BF，∴∠EFB=90°．‎ ‎∵EF=BF，∴∠FBE=45°，∴∠APE=45°． ‎ ‎ 故答案为：45°．‎ ‎（2）（1）中结论不成立，理由如下：‎ 如图2，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD．‎ ‎∵AC=BD，CD=AE，∴．‎ ‎∵BD=AF，∴．‎ ‎∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE∽△ACD，∴ =，∠FEA=∠ADC．‎ ‎∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD．∵AD∥BF，∴∠EFB=90°．在Rt△EFB中，tan∠FBE=，∴∠FBE=30°，∴∠APE=30°，（3）（2）中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH，∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH是平行四边形，∴BE=DH，EH=BD．‎ 14‎ ‎∵AC=BD，CD=AE，∴．‎ ‎∵∠HEA=∠C=90°，∴△ACD∽△HEA，∴，∠ADC=∠HAE．‎ ‎∵∠CAD+∠ADC=90°，∴∠HAE+∠CAD=90°，∴∠HAD=90°．在Rt△DAH中，tan∠ADH==，∴∠ADH=30°，∴∠APE=30°．‎ ‎26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．‎ ‎①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△‎ 14‎ CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）∵OA=1，OB=4‎ ‎∴A（1，0），B（﹣4，0）‎ 设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1）‎ ‎∵点C（0，﹣）在抛物线上 ‎∴﹣‎ 解得a=‎ ‎∴抛物线的解析式为y=‎ ‎（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似．‎ 理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=‎ 则tan∠ACO=‎ ‎∵tan∠OAD=‎ ‎∴∠OAD=∠ACO ‎∵直线l的解析式为y=‎ ‎∴D（0，﹣）‎ ‎∵点C（0，﹣）‎ ‎∴CD=‎ 由AC2=OC2+OA2，得AC=‎ 在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t 由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似 14‎ 只需或 则有或 解得t1=，t2=‎ ‎∵t1＜2.5，t2＜2.5‎ ‎∴存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似 ‎②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大 理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N 在△APF中，PF=AP•sin∠PAF=‎ 在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=‎ 在△ADC中，由S△ADC=‎ ‎∴CN=‎ ‎∴S△AQP+S△AQC=‎ ‎=﹣‎ ‎∴当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大 14‎