中考数学压轴题分类解析汇编十专题专题10代数综合问题

中考数学压轴题分类解析汇编十专题专题10代数综合问题

专题10：代数综合问题 ‎1. （2012广东佛山10分）规律是数学研究的重要内容之一．‎ ‎　　　　初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．‎ ‎　　　　请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：‎ ‎　(1)写出奇数a用整数n表示的式子；‎ ‎　(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；‎ ‎　(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律)．‎ 下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：‎ xi ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎...‎ yi ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ ‎...‎ yi+1－yi ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎...‎ 由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5...‎ 请回答：‎ 当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？‎ 当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？‎ ‎【答案】解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1。 （2）有理数b=（n≠0）。‎ ‎（3）①当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：‎ xi ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎...‎ yi ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎...‎ yi+1－yi ‎...‎ 故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、 、 …。‎ ‎②当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：‎ xi ‎0‎ ‎...‎ yi ‎0‎ ‎...‎ yi+1－yi ‎...‎ 故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、 、 …。‎ ‎【考点】分类归纳（数字的变化类），二次函数的性质，实数。‎ ‎【分析】（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1。‎ ‎（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。‎ ‎（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。‎ ‎2. （2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．‎ ‎（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．‎ ‎【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，‎ ‎∴。‎ ‎（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。‎ ‎ 设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。‎ ‎∵d=|x1﹣x2|，‎ ‎∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4 x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4。‎ ‎∴当p=2时，d 2的最小值是4。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。‎ ‎【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。‎ ‎ 【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】‎ ‎（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。‎ ‎3. （2012广东湛江12分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：‎ 例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0‎ 解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2）‎ ‎∴x2﹣4＞0可化为 ‎ ‎（x+2）（x﹣2）＞0‎ 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 解不等式组①，得x＞2，‎ 解不等式组②，得x＜﹣2，‎ ‎∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，‎ 即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．‎ ‎（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为　 　 ；‎ ‎（2）分式不等式的解集为　 　 ；‎ ‎（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．‎ ‎【答案】解：（1）x＞4或x＜﹣4。‎ ‎ （2）x＞3或x＜1。‎ ‎ （3）∵2x2﹣3x=x（2x﹣3）‎ ‎∴2x2﹣3x＜0可化为 x（2x﹣3）＜0‎ 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得 或。‎ 解不等式组①，得0＜x＜，解不等式组②，无解。‎ ‎∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜。‎ ‎【考点】有理数的乘法法则，一元一次不等式组的应用。‎ ‎【分析】（1）将一元二次不等式的左边因式分解后根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”化为两个一元一次不等式组求解即可。‎ ‎（2）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可。‎ ‎ （3）将一元二次不等式的左边因式分解后，有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，化为两个一元一次不等式组求解即可。‎ ‎4. （2012贵州黔西南14分）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。‎ 解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以 把代入已知方程，得 化简，得：‎ 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）‎ ‎（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：‎ ‎ ；‎ ‎（2）已知关于x的一元二次方程 有两个不等于零的实数根，求一个一元二方程，使它的根分别是已知方程的倒数。‎ ‎【答案】解：（1）y2－y－2=0。‎ ‎ （2）设所求方程的根为y，则（x≠0），于是（y≠0）。‎ 把代入方程，得，‎ 去分母，得a+by+cy2=0。‎ 若c=0，有，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意。‎ ‎∴c≠0。‎ ‎∴所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）。‎ ‎【考点】一元二次方程的应用。‎ ‎【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=－x所以x=－y。‎ 把x=－y代入已知方程，得y2－y－2=0。‎ ‎（2）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即得出所求的方程。‎ ‎5. （（2012江苏南京9分）“？”的思考 下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。‎ 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留‎3m的空地，其他三侧内墙各保留‎1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是‎288m2‎？‎ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，‎ 根据题意，得x•2x=288．‎ 解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12‎ 所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）‎ 答：当温室的长为‎28m，宽为‎14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是‎288m2‎．‎ ‎？‎ 我的结果也正确 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打开了一个“？”‎ 结果为何正确呢？‎ ‎（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：‎ 变化一下会怎样…… ‎ ‎（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由。‎ 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：‎ 设温室的宽为ym，则长为2ym。‎ 则矩形蔬菜种植区域的宽为（y－1－1）m，长为（2y－3－1）m。‎ ‎∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1。‎ ‎（2）a+c b+d =2。理由如下：‎ 要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，‎ 即 ，即a+c b+d =2。‎ ‎【考点】一元二次方程的应用（几何问题），相似多边形的性质，比例的性质。‎ ‎【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可。‎ ‎（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得 ，然后利用比例的性质。‎ ‎6. （2012江苏盐城12分）‎ ‎ 知识迁移： 当且时，因为≥,所以≥,从而≥(当 时取等号).记函数,由上述结论可知：当时,该函数有最小值为.‎ ‎ 直接应用：已知函数与函数, 则当_________时,取得最小值 为_________.‎ ‎ 变形应用：已知函数与函数,求的最小值,并指出取得该 最小值时相应的的值.‎ ‎ 实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共元；二是燃油费,每 千米为元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为.设该汽车一次运输的路程为千米,‎ 求当为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？‎ ‎【答案】解：直接应用：1；2 。‎ 变形应用：∵ ，‎ ‎∴有最小值为。‎ 当，即时取得该最小值。‎ 实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为元，则 ‎， ‎ ‎∴当(千米)时, ‎ 该汽车平均每千米的运输成本最低，‎ 最低成本为元。‎ ‎【考点】二次函数的应用，几何不等式。‎ ‎【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果：‎ ‎∵函数,由上述结论可知：当时,该函数有最小值为，‎ ‎∴函数与函数，则当时，取得最小值为。‎ 变形运用：先得出的表达式，然后将看做一个整体，再运用所给结论即可。‎ 实际运用：设该汽车平均每千米的运输成本为元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所 给的结论即可得出答案。‎ ‎7. （2012四川内江12分）如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决下列问题：‎ （1） 已知关于的方程求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；‎ （2） 已知满足,求；‎ （3） 已知满足求正数的最小值。‎ ‎【答案】解：（1）设关于的方程的两根为，则有：‎ ‎，且由已知所求方程的两根为 ‎∴，。‎ ‎∴所求方程为，即。‎ ‎（2）∵满足，‎ ‎∴是方程的两根。∴ 。‎ ‎∴。‎ ‎（3）∵且 ∴。‎ ‎∴是一元二次方程的两个根，‎ 代简，得 。‎ 又∵此方程必有实数根，∴此方程的，即，。‎ 又∵ ∴。 ∴。‎ ‎∴正数的最小值为4。．‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。‎ ‎【分析】（1）设方程的两根为，得出，，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案。‎ ‎（2）根据满足，得出是一元二次方程的两个根，由，即可求出的值。‎ ‎（3）根据，得出，是一元二次方程的两个根，再根据，即可求出c的最小值。‎ ‎8. （2012山东济宁8分）有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D，正面分别写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．‎ ‎（1）请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；‎ ‎（2）如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率；‎ ‎（3）若两种正多边形构成平面镶嵌，p、q表示这两种正多边形的个数，x、y表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px+qy=360，求每种平面镶嵌中p、q的值．‎ ‎【答案】解：（1）画树形图如下：‎ 所有出现的结果共有12种。‎ ‎（2）∵两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的情况有4种：AB，AD，BA，DA，‎ ‎∴P（两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌）=。‎ ‎（3）当正三角形和正方形构成平面镶嵌时，则有60p+90q=360，即2p+3q=12。‎ ‎∵p、q是正整数，∴p=3，q=2。‎ 当正三角形和六边形构成平面镶嵌时，则有60p+120q=360，即p+2q=6。‎ ‎∵p、q是正整数，∴p=4，q=1或p=2，q=2。‎ ‎【考点】列表法和树状图法，概率，多边形内角和定理，平面镶嵌（密铺）。‎ ‎【分析】（1）列表或画树状图即可得到所有的可能情况。‎ ‎ （2）根据平面镶嵌的定义，能构成平面镶嵌的多边形有正三角形与正方形，正三角形与正六边形，然后根据概率公式列式计算即可得解。‎ ‎（3）对两种平面镶嵌的情况，根据方程代入数据整理，再根据p、q都是整数解答。‎ ‎9. （2012浙江湖州10分）为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵．‎ ‎（1）求乙、丙两种树每棵各多少元？‎ ‎（2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？‎ ‎（3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？ ‎ ‎【答案】解：（1）已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，‎ ‎ ∴乙种树每棵200元，丙种树每棵×200=300（元）。‎ ‎ （2）设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树（1000－3x）棵．‎ 根据题意：200·2x＋200x＋300（1000－3x）=210000，‎ 解得x=30。‎ ‎∴2x=600，1000－3x=100，‎ 答：能购买甲种树600棵，乙种树300棵，丙种树100棵。‎ ‎（3）设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共（1000－y）棵，‎ 根据题意得：200（1000－y）＋300y≤210000＋10120，‎ 解得：y≤201.2。‎ ‎∵y为正整数，∴y最大为201。‎ 答：丙种树最多可以购买201棵。‎ ‎【考点】一元一次方程和一元一次不等式的应用。‎ ‎【分析】（1）利用已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，即可求出乙、丙两种树每棵钱数。‎ ‎（2）设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树（1000-3x）棵，利用（1）中所求树木价格以及现计划用210000元资金购买这三种树共1000棵，得出等式方程，求出即可。‎ ‎（3）设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共（1000－y）棵，根据题意列不等式，求出即可。‎ ‎10. （2012内蒙古赤峰14分）阅读材料：‎ ‎（1）对于任意两个数的大小比较，有下面的方法：‎ 当时，一定有；‎ 当时，一定有；‎ 当时，一定有．‎ 反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．‎ ‎（2）对于比较两个正数的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：‎ ‎∵，‎ ‎∴（）与（）的符号相同 当＞0时，＞0，得 当=0时，=0，得 当＜0时，＜0，得 解决下列实际问题：‎ ‎（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：‎ ‎①W1= （用x、y的式子表示）‎ W2= （用x、y的式子表示）‎ ‎②请你分析谁用的纸面积最大．‎ ‎（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A．B两镇供气，已知A．B到l的距离分别是‎3km、‎4km（即AC=‎3km，BE=‎4km），AB=xkm，现设计两种方案：‎ 方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．‎ 方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．‎ ‎①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；‎ ‎②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；‎ ‎③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．‎ ‎【答案】解：（1）①3x+7y；2x+8y。‎ ‎②W1﹣W2=（3x+7y）﹣（2x+8y）=x﹣y，‎ ‎∵x＞y，∴x﹣y＞0。∴W1﹣W2＞0。‎ ‎∴W1＞W2，所以张丽同学用纸的总面积大。 ‎ ‎（2）①x+3。‎ ‎②。‎ ‎③∵‎ ‎∴当＞0（即a1﹣a2＞0，a1＞a2）时，6x﹣39＞0，解得x＞6.5；‎ 当=0（即a1﹣a2=0，a1=a2）时，6x﹣39=0，解得x=6.5；‎ 当＜0（即a1﹣a2＜0，a1＜a2）时，6x﹣39＜0，解得x＜6.5。‎ 综上所述，当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，‎ 当x=6.5时，两种方案一样，‎ 当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短。‎ ‎【考点】整式的混合运算，轴对称（最短路线问题）。‎ ‎【分析】（1）①W1=3x+7y，W2=2x+8y。‎ ‎（2）①a1=AB+AP=x+3。‎ ‎②过B作BM⊥AC于M，则AM=4﹣3=1，‎ 在△ABM中，由勾股定理得：BM2=AB2﹣12=x2﹣1，‎ 在△A′MB中，由勾股定理得：‎ AP+BP=A′B=。‎ ‎③根据阅读材料的方法求解。‎