中考几何最值问题含答案

中考几何最值问题含答案

几何最值问题 一．选择题（共6小题）‎ ‎1．（2015•孝感一模）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有 分析：‎ 由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，‎ ‎∴BD⊥AC，EC=3，‎ 连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，‎ ‎∵点E是边BC的中点，‎ ‎∴AE⊥BC，‎ ‎∴AE===3，‎ ‎∴PE+PC的最小值是3．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（2014•鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎50‎ B．‎ ‎50‎ C．‎ ‎50﹣50‎ D．‎ ‎50+50‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交X，Y轴分别为P，Q点，此时四边形PABQ的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长．‎ 解答：‎ 解：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交x，y轴分别为P，Q点，‎ 过M点作MK⊥x轴，过N点作NK⊥y轴，两线交于K点．‎ MK=40+10=50，‎ 作BL⊥x轴交KN于L点，过A点作AS⊥BP交BP于S点．‎ ‎∵LN=AS==40．‎ ‎∴KN=60+40=100．‎ ‎∴MN==50．‎ ‎∵MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50．‎ ‎∴四边形PABQ的周长=50+50．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查轴对称﹣最短路线问题以及坐标和图形的性质，本题关键是找到何时四边形的周长最短，以及构造直角三角形，求出周长．‎ ‎　‎ ‎3．（2014秋•贵港期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=110°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎30°‎ B．‎ ‎40°‎ C．‎ ‎50°‎ D．‎ ‎60°‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有 分析：‎ 根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，进而得出∠MAB+∠NAD=70°，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，作DA延长线AH，．‎ ‎∵∠DAB=110°，‎ ‎∴∠HAA′=70°，‎ ‎∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，‎ ‎∵∠MA′A=∠MAB，∠NAD=∠A″，‎ ‎∴∠MAB+∠NAD=70°，‎ ‎∴∠MAN=110°﹣70°=40°．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．‎ ‎　‎ ‎4．（2014•无锡模拟）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ 考点：‎ 勾股定理；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有 分析：‎ 取AB的中点，连接OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，过点A作AF⊥OD于F，利用∠ADE的余弦列式求出DF，从而得到点F是OD的中点，判断出AF垂直平分OD，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=AD．‎ 解答：‎ 解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，‎ ‎∵∠MON=90°，‎ ‎∴OE=AE=AB=×2=1，‎ ‎∵三边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD=BC=，‎ 在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE===2，‎ 由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，‎ 此时，OD=OE+DE=1+2=3，‎ 过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE==，‎ 即=，‎ 解得DF=，‎ ‎∵OD=3，‎ ‎∴点F是OD的中点，‎ ‎∴AF垂直平分OD，‎ ‎∴OA=AD=．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助线并判断出OD最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观．‎ ‎　‎ ‎5．（2015•鞍山一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎1‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题；正方形的性质．菁优网版权所有 分析：‎ 根据题意得出作EF∥AC且EF=，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=，此时四边形BMNE的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案．‎ 解答：‎ 解：作EF∥AC且EF=，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=，延长DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，‎ 则四边形BMNE的周长最小，‎ 由∠FEQ=∠ACB=45°，可求得FQ=EQ=1，‎ ‎∵∠DPC=∠FPQ，∠DCP=∠FQP，‎ ‎∴△PFQ∽△PDC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得：PQ=，‎ ‎∴PC=，‎ 由对称性可求得tan∠MBC=tan∠PDC==．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出M，N的位置是解题关键．‎ ‎　‎ ‎6．（2015•江干区一模）如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE为半径⊙C．G是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ 考点：‎ 圆的综合题．菁优网版权所有 分析：‎ 根据等腰三角形的性质可得点D是AB的中点，然后根据三角形中位线定理可得DP=BG，然后利用两点之间线段最短就可解决问题．‎ 解答：‎ 解：连接BG，如图．‎ ‎∵CA=CB，CD⊥AB，AB=6，‎ ‎∴AD=BD=AB=3．‎ 又∵CD=4，‎ ‎∴BC=5．‎ ‎∵E是高线CD的中点，‎ ‎∴CE=CD=2，‎ ‎∴CG=CE=2．‎ 根据两点之间线段最短可得：BG≤CG+CB=2+5=7．‎ 当B、C、G三点共线时，BG取最大值为7．‎ ‎∵P是AG中点，D是AB的中点，‎ ‎∴PD=BG，‎ ‎∴DP最大值为．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题主要考查了圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，利用三角形中位线定理将DP转化为BG是解决本题的关键．‎ ‎　‎ 二．填空题（共3小题）‎ ‎7．（2014•江阴市校级模拟）如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是　2　．‎ 考点：‎ 等腰直角三角形．菁优网版权所有 分析：‎ 设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=x，CD′=（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．‎ 解答：‎ 解：设AC=x，BC=4﹣x，‎ ‎∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，‎ ‎∴CD=x，CD′=（4﹣x），‎ ‎∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，‎ ‎∴∠DCE=90°，‎ ‎∴DE2=CD2+CE2=x2+（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，‎ ‎∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．‎ 故答案为：2．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．‎ ‎　‎ ‎8．（2012•河南校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP=　4　时，四边形APQE的周长最小．‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度．‎ 解答：‎ 解：如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．‎ ‎∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，‎ ‎∴∠GEH=45°．‎ 设BP=x，则CQ=BC﹣BP﹣PQ=8﹣x﹣2=6﹣x，‎ 在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，‎ ‎∴CQ=EC，‎ ‎∴6﹣x=2，‎ 解得x=4．‎ 故答案为4．‎ 点评：‎ 本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．‎ ‎　‎ ‎9．（2013•武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　﹣1　．‎ 考点：‎ 正方形的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．‎ 解答：‎ 解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，‎ 在△ABE和△DCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△DCF（SAS），‎ ‎∴∠1=∠2，‎ 在△ADG和△CDG中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADG≌△CDG（SAS），‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，‎ ‎∴∠1+∠BAH=90°，‎ ‎∴∠AHB=180°﹣90°=90°，‎ 取AB的中点O，连接OH、OD，‎ 则OH=AO=AB=1，‎ 在Rt△AOD中，OD===，‎ 根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，‎ ‎∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，‎ 最小值=OD﹣OH=﹣1．‎ ‎（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）‎ 故答案为：﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．‎ ‎　‎ 三．解答题（共1小题）‎ ‎10．（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：‎ 小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．‎ 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．‎ 请你回答：AP的最大值是　6　．‎ 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：‎ 如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是　（或不化简为）　．（结果可以不化简）‎ 考点：‎ 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C即AP的长度；‎ ‎（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A′+P'B+PC）最短，即线段A'C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度．‎ 解答：‎ 解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，‎ ‎∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C ‎∴△A′BA是等边三角形，‎ ‎∴A′A=AB=BA′=2，‎ 在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，‎ 则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；‎ 故答案是：6．‎ ‎（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．‎ 以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，‎ ‎∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．‎ ‎∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，‎ ‎∴A'C=PA+PB+PC，‎ ‎∴A'C长度即为所求．‎ 过A'作A'D⊥CB延长线于D．‎ ‎∵∠A'BA=60°（由旋转可知），‎ ‎∴∠1=30°．‎ ‎∵A'B=4，‎ ‎∴A'D=2，BD=2，‎ ‎∴CD=4+2．‎ 在Rt△A'DC中A'C====2+2；‎ ‎∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．‎ 故答案是：2+2（或不化简为）．‎ 点评：‎ 本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．‎