2013年中考数学易错题综合专题一

2013年中考数学易错题综合专题一

易错题数学组卷 一．选择题（共 3 小题） 1．下列各式计算正确的是（ ） A．2x3﹣x3=﹣2x6 B．（2x2）4=8x8 C．x2•x3=x6 D．（﹣x）6÷（﹣x）2=x4 2．（2008•临沂）若不等式组 的解集为 x＜0，则 a 的取值范围为（ ） A．a＞0 B．a=0 C．a＞4 D．a=4 3．（2008•临沂）如图，已知正三角形 ABC的边长为 1，E，F，G 分别是 AB，BC，CA 上 的点，且AE=BF=CG，设△EFG 的面积为 y，AE 的长为 x，则 y 关于 x 的函数的图象大致 是（ ） A． B． C． D． 二．解答题（共 4 小题） 4．（2012•鸡西）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个 9×9 的正方形网 格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为 1 个单位长度． （1）在网格中画出△ABC 向上平移 4 个单位后得到的△A1B1C1； （2）在网格中画出△ABC 绕点 A 逆时针旋转 90°后得到的△AB2C2； （3）在（1）中△ABC 向上平移过程中，求边 AC 所扫过区域的面积． 5．如图，在△ABC 中∠BAC=90°，AB=AC=2 ，圆 A 的半径 1，点 O 在 BC 边上运动（与 点 B，C 不重合），设 BO=x，△AOC 的面积是 y． （1）求 y 关于 x 的函数关系式及自变量的取值范围； （2）以点 O 为圆心，BO 为半径作圆 O，求当⊙O 与⊙A 相切时，△AOC 的面积． 6．（2009•黄石）正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在 x 轴正半轴上，D 在 y 轴的负半轴上，AB 交 y 轴正半轴于 E，BC 交 x 轴负半轴于 F，OE=1，OD=4，抛物线 y=ax2+bx ﹣4 过 A、D、F 三点． （1）求抛物线的解析式； （2）Q 是抛物线上 D、F 间的一点，过 Q 点作平行于 x 轴的直线交边 AD 于 M，交 BC 所 在直线于 N，若 S 四边形 AFQM= S△FQN，则判断四边形 AFQM 的形状； （3）在射线 DB 上是否存在动点 P，在射线 CB 上是否存在动点 H，使得 AP⊥PH 且 AP=PH？ 若存在，请给予严格证明；若不存在，请说明理由． 7．（2007•重庆）下图是我市去年夏季连续 60 天日最高气温统计图的一部分． 根据上图提供的信息，回答下列问题： （1）若日最高气温为 40℃及其以上的天数是最高气温为 30℃～35℃的天数日的两倍，那么 日最高气温为 30℃～35℃的天数有 _________ 天，日最高气温为 40℃及其以上的天数 有 _________ 天； （2）补全该条形统计图； （3）《重庆市高温天气劳动保护办法》规定，从今年 6 月 1 日起，劳动者在 37℃及其以上 的高温天气下工作，除用人单位全额支付工资外，还应享受高温补贴．具体补贴标准如下表： 某建筑企业现有职工 1000 人，根据去年我市高温天气情况，在今年夏季同期的连续 60 天 里，预计该企业最少要发放高温补贴共 _________ 元． 易错题数学组卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 3 小题） 1．下列各式计算正确的是（ ） A．2x3﹣x3=﹣2x6 B．（2x2）4=8x8 C．x2•x3=x6 D．（﹣x）6÷（﹣x） 2=x4 考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 2611734 分析： 根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；积的乘方，等于把积的每一个 因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底 数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 解答： 解：A、应为 2x3﹣x3=x3，错误； B、应为（2x2）4=16x8，错误； C、应为 x2•x3=x5，错误； D、（﹣x）6÷（﹣x）2=x4，正确． 故选 D． 点评： 本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方的性质，合并同类项法则，熟练掌握 运算性质是解题的关键． 2．（2008•临沂）若不等式组 的解集为 x＜0，则 a 的取值范围为（ ） A．a＞0 B．a=0 C．a＞4 D．a=4 考点： 解一元一次不 等式组． 2611734 分析： 解出不等式组 的解集，然后与 x＜0 比较 ，从 而得出 a 的范 围． 解答： 解：由（1）得： x＜ ． 由（2）得：x＜ 4． 又∵x＜0． ∴ =0． 解得：a=0． 故选 B． 点评： 本题是已知不 等式组的解集， 求不等式中另 一未知数的问 题．可以先将另 一未知数当作 已知处理，求出 解集与已知解 集比较，进而求 得另一个未知 数． 3．（2008•临沂）如图，已知正三角形 ABC 的边长为 1，E，F，G 分别是 AB，BC，CA 上 的点，且 AE=BF=CG，设△EFG 的面积为 y，AE 的长为 x，则 y 关于 x 的函数的图象大致 是（ ） A． B． C． D． 考点： 动点问题的函数图象． 2611734 专题： 几何图形问题． 分析： 根据题意，易得△AEG、△BEF、△CFG 三个三角形全等，且在△AEG 中，AE=x，AG=1﹣x； 可得△AEG 的面积 y 与 x 的关系；进而可判断得则 y 关于 x 的函数的图象的大致形状． 解答： 解：根据题意，有 AE=BF=CG，且正三角形 ABC 的边长为 1， 故 BE=CF=AG=1﹣x； 故△AEG、△BEF、△CFG 三个三角形全等． 在△AEG 中，AE=x，AG=1﹣x． 则 S△AEG= AE×AG×sinA= x（1﹣x）； 故 y=S△ABC﹣3S△AEG = ﹣3 x（1﹣x）= （3x2﹣3x+1）． 故可得其大致图象应类似于二次函数； 故答案为 C． 点评： 本题考查动点问题的函数图象问题，注意掌握各类函数图象的特点． 二．解答题（共 4 小题） 4．（2012•鸡西）顶点 在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个 9×9 的正方形网 格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为 1 个单位长度． （1）在网格中画出△ABC 向上平移 4 个单位后得到的△A1B1C1； （2）在网格中画出△ABC 绕点 A 逆时针旋转 90°后得到的△AB2C2； （3）在（1）中△ABC 向上平移过程中，求边 AC 所扫过区域的面积． 考点： 作图-旋转变换；作图-平移变换． 2611734 专题： 作图题． 分析： （1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1 即可； （2）根据图形旋转的性质画出△ABC 绕点 A 逆时针旋转 90°后得到的△AB2C2； （3）根据△ABC 向上平移 4 个单位后得到的△A1B1C1，△ABC 向上平移过程中，求边 AC 所扫过区域是以 4 为边长，以 2 为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论． 解答： 解：（1）、（2）如图所示： （3）∵△ABC 向上平移 4 个 单位后得到的△A1B1C1，△ABC 向上平移过程中，边 AC 所扫 过区域是以 4 为边长，以 2 为高的平行四边形， ∴边 AC 所扫过区域的面积=4×2=8． 点评： 本题考查的是平移变换及旋转变换，熟知图形经过平移与旋转后所得图形与原图形全等是解 答此题的关键． 5．如图，在△ABC 中∠BAC=90°，AB=AC=2 ，圆 A 的半径 1，点 O 在 BC 边上运动（与 点 B，C 不重合），设 BO=x，△AOC 的面积是 y． （1）求 y 关于 x 的函数关系式及自变量的取值范围； （2）以点 O 为圆心，BO 为半径作圆 O，求当⊙O 与⊙A 相切时，△AOC 的面积． 考点： 切线的判定；函数自变量的取值范围；三角形的面积；等腰直角三角形． 2611734 分析： （1）由∠BAC=90°，AB=AC=2 ，根据勾股定理即可求得 BC，且∠B=∠C，然后作 AM⊥BC，由 S△AOC= OC•AM，即可求得 y 关于 x 的函数解析式； （2）由⊙O 与⊙A 外切或内切，即可求得 ON 的值，继而求得△AOC 的面积． 解答： 解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC=2 ， 由勾股定理知 BC= =4，且∠B=∠C， 作 AM⊥BC， 则∠BAM=45°，BM=CM=2=AM， ∵BO=x，则 OC=4﹣x， ∴S△AOC= OC•AM= ×（4﹣x）×2=4﹣x， 即 y=4﹣x （0＜x＜4）； （2）①作 AD⊥BC 于点 D， ∵△ABC 为等腰直角三角形，BC=4， ∴AD 为 BC 边上的中线， ∴AD= =2， ∴S△AOC= ， ∵BO=x，△AOC 的面积为 y， ∴y=4﹣x（0＜x＜4）， ②过 O 点作 OE⊥AB 交 AB 于 E， ∵⊙A 的半径为 1，OB=x， 当两圆外切时， ∴OA=1+x， ∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠B=45°， ∴BE=OE= ， ∴在△AEO 中，AO2=AE2+OE2=（AB﹣BE）2+OE2， ∴（1+x）2=（2 ﹣ ）2+（ ）2， ∴x= ， ∵△AOC 面积=y=4﹣x， ∴△AOC 面积= ； 当两圆内切时， ∴OA=x﹣1， ∵AO2=AE2+OE2 =（AB﹣BE）2+OE2， ∴（x﹣1）2=（2 ﹣ ）2+（ ）2， ∴x= ， ∴△AOC 面积=y=4﹣x=4﹣ = ， ∴△AOC 面积为 或 ． 点评： 此题考查了相切两圆的性质，三角形面积的求解方法，以及勾股定理的应用等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用． 6．（2009•黄石）正方形 ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在 x 轴正半轴上，D 在 y 轴的负半轴上，AB 交 y 轴正半轴于 E，BC 交 x 轴负半轴于 F，OE=1，OD=4，抛物线 y=ax2+bx ﹣4 过 A、D、F 三点． （1）求抛物线的解析式； （2）Q 是抛物线上 D、F 间的一点，过 Q 点作平行于 x 轴的直线交边AD 于 M，交 BC 所 在直线于 N，若 S 四边形 AFQM= S△FQN，则判断四边形 AFQM 的形状； （3）在射线 DB 上是否存在动点 P，在射线 CB 上是否存在动点 H，使得 AP⊥PH 且 AP=PH？ 若存在，请给予严格证明；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题． 2611734 专题： 压轴题． 分析： （1）根据三角形△OEA∽△ADO，D（0，﹣4），E（0，1）可求出 A 点的坐标，再根据 Rt△ADE≌Rt△ABF 可求出 F 点的坐标，把 A，F 两点的坐标代入二次函数的解析式即可取出未知数的值，进而求出其解 析式； （2）根据“过 Q 点作平行于 x 轴的直线交边 AD 于 M，交 BC 所在直线于 N”，又知 AM∥CB，可以判 断，四边形 AMNF 为平行四边形，可得 NM=AF=5，设 QM=m，可用 m 表示出 QN 的长，利用 S 四边 形 AFQM= S△FQN，可以求出 m 的值；可知若 Q（a，b）则必有 M（a+1，b），代入二次函数解析式，可 求得 M 的坐标，依据坐标特点可判断四边形的形状； （3）先根据题意画出图形，根据图形可看出，有三种情况符合题目条件： ①通过证明 Rt△PQH≌Rt△APN 得到∠APN+∠HPQ=90°，进一步得到 AP⊥PH， ②通过证明 Rt△PMH≌Rt△PAN 和 PN∥BH 得到∠HPA=∠NPA+∠HPN=∠MHP+∠HPM=90°， ③通过证明 Rt△PNH≌Rt△PMA 和 PN∥AB，得到∠HPA=90°． 解答： 解：（1）依条件有 D（0，﹣4），E（0，1）． ∵∠EAO+∠OAD=90°， ∠ADO+∠OAD=90°， ∴∠EAO=∠ADO， 又∵∠AOE=∠AOD=90°， ∴△OEA∽△ADO 知 OA2=OE•OD=4． ∴A（2，0）由 Rt△ADE≌Rt△ABF 得 DE=AF． ∴F（﹣3，0）． 将 A，F 的坐标代入抛物线方程， 得 ∴a=b= ． ∴抛物线的解析式为 y= x2+ x﹣4； （2）设 QM=m， S 四边形 AFQM= （m+5）•|yQ|，S△FQN= （5﹣m）•|yQ|． ∴（m+5）•|yQ|= （5﹣m）•|yQ| ∴m=1 设 Q（a，b），则 M（a+1，b）， ∴ ∴a2﹣2a﹣3=0， ∴a=﹣1（舍去 a=3），b=﹣4， 此时点 M 坐标为（0，﹣4）与点 D 重合，QF=AM，AF＞QM，AF∥QM， 则 AFQM 为等腰梯形； （3）在射线 DB 上存在一点 P，在射线 CB 上存在一点 H． 使得 AP⊥PH，且 AP=PH 成立，证明如下： 当点 P 如图①所示位置时，不妨设 PA=PH，过点 P 作 PQ⊥BC，PM⊥CD，PN⊥AD，垂足分别为 Q、 M、N． 若 PA=PH．由 PM=PN 得： AN=PQ， ∴Rt△PQH≌Rt△AP N ∴∠HPQ=∠PAN． 又∠PAN+∠APN=90° ∴∠APN+∠HPQ=90° ∴AP⊥PH． 当点 P 在如图②所示位置时， 过点 P 作 PM⊥BC，PN⊥AB， 垂足分别为 M，N． 同理可证 Rt△PMH≌Rt△PAN． ∠MHP=∠NAP． 又∠MHP=∠HPN， ∠HPA=∠NPA+∠HPN=∠MHP+∠HPM=90°， ∴PH⊥PA．（1 分） 当 P 在如图③所示位置时，过点 P 作 PN⊥BH，垂足为 N，PM⊥AB 延长线，垂足为 M． 同理可证 Rt△PNH≌Rt△PMA． ∴PH⊥PA． 注意：分三种情况讨论，作图正确并给出一种情况证明正确的，同理可证出其他两种情况的给予（4 分）； 若只给出一种正确证明，其他两种情况未作出说明，可给（2 分）； 若用四点共圆知识证明且证明过程正确的也没有讨论三种情况的．只给（2 分）． [来 源:学&科&网] 点评： 此题是一道综合题，考查了以下内容： （1）知识：用待定系数法求函数解析式、根据二次函数的坐标特点判断四边形的形状、存在性动点问 题； （2）技能：对开放型问题进行探索的能力和清晰的逻辑思维能力以及强大的计算能力． 7．（2007•重庆）下图是我市去年 夏季连续 60 天日最高气温统计图的一部分． 根据上图提供的信息，回答下列问题： （1）若日最高气温为 40℃及其以上的天数是最高气温为 30℃～35℃的天数日的两倍，那么 日最高气温为 30℃～35℃的天数有 6 天，日最高气温为 40℃及其以上的天数有 12 天； （2）补全该条形统计图； （3）《重庆市高温天气劳动保护办法》规定，从今年 6 月 1 日起，劳动者在 37℃及其以上 的高温天气下工作，除用人单位全额支付工资外，还应享受高温补贴．具体补贴标准如下表： 某建筑企业现有职工 1000 人，根据去年我市高温天气情况，在今年夏季同期的连续 60 天里， 预计该企业最少要发放高温补贴共 240000 元． 考点： 条形统计图． 2611734 专题： 图表型． 分析： 由图可知：（1）可按一元一次方程的应用解答，等量关系：各温度段的天数和=60 天； （2）由（1）的结论．补全图形即可； （3）建筑企业现有职工 1000 人，根据去年我市高温天气情况，在今年夏季同期的连续 60 天里， 预计该企业最少要发放高温补贴共 1000×（5×24+10×12）=240000 元． 解答： 解：（1）设最高气温为 30℃～35℃的天数为 x 天，则日最高气温为 40℃及其以上的天数是 2x 天， 则 3+x+15+24+2x=60， 解得：x=6， ∴2x=12， 即日最高气温为 30℃～35℃的天数有 6 天，日最高气温为 40℃及其以上的天数有 12 天； （2）如图； （3）1000×（5×24+10×12）=240000 元． 点评： 本题考查读条形统计图的能力，以及动手画图的能力．