2011湖北荆州中考数学试题及答案

2011湖北荆州中考数学试题及答案

荆州市2011年初中升学考试 数　学　试　题 注意事项：‎ ‎1.本卷满分为120分，考试时间为120分钟．‎ ‎2.本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上，解题中的辅助线和标注角的字母、符号等务必添在答题卡的图形上.‎ ‎3.在答题卡上答题，选择题必须用２Ｂ铅笔填涂，非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔或黑色墨水钢笔作答．‎ ‎★　祝　考　试　顺　利　★‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分） 1.有理数的倒数是（ ） A.-2　 B.2 C. D.  2.下列四个图案中，轴对称图形的个数是（ ） A.1 B.2  C.3 D.4 ‎ ‎ ‎ ‎3.将代数式化成的形式为（ ） A. B.  C. D.‎ ‎4.如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为（ ） A.8cm B.20cm C.3.2cm D.10cm ‎5.有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额.某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在下列13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（ ） A.众数 B.方差 C.中位数 D.平均数 ‎6.对于非零的两个实数a、b，规定a※b=.若1※（x+1)=1，则x的值为（ ） A. B. C. D. ‎ ‎7. 如图，p为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD ‎＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中 相似三角 形有（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 ‎8.在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.关于x的方程有两个不相等的实根、,且有，则a的值是（ ） A.1 B.-1 C.1或-1 D.2 10.图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正 方形，其中完整菱形共有5个;若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱 形有13个；铺成4×4的近似正方形图案④，其中完 整的菱形有25个;如此下去，可铺成一个n×n的近似 正方形图案.当得到完整的菱形共181个时，n的值为 ‎（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 ‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11.已知A＝2x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B÷A，结果得，则B+A＝ ▲. ‎ ‎12.如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是▲. ‎ ‎13.若等式成立，则x的取值范围是 ▲.‎ ‎14.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为  ▲cm.‎ ‎15.请将含60°顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形且面积相等的六部分，用实线画出分割后的图形.‎ ‎16.如图，双曲线(x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得△，点落在OA上，则四边形OABC的面积是  ▲. 三、解答题（共66分） 17.（本题满分6分）计算：‎ ‎18.（本题满分6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来. ‎ ‎19.（本题满分7分）如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连结EB，问△ABE是什么特殊三角形？请说明理由.  ‎20.（本题满分8分）2011年国家对“酒后驾车”加大了处罚力度，出台了不准酒后驾车的禁令.某记者在一停车场对开车的司机进行了相关的调查，本次调查结果有四种情况：①偶尔喝点酒后开车；②已戒酒或从来不喝酒；③喝酒后不开车或请专业司机代驾；④平时喝酒，但开车当天不喝酒.将这次调查情况整理并绘制了如下尚不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题. (1)该记者本次一共调查了 ▲名司机. （2）求图甲中④所在扇形的圆心角，并补全图乙. （3）在本次调查中，记者随机采访其中的一名司机，求他属第②种情况的概率. （4）请估计开车的10万名司机中，不违反“酒驾”禁令的人数. ‎ ‎21.（本题满分8分）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图所示.已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i＝1∶3.7，桥下水深OP＝5米，水面宽度CD＝24米.设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上，求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长.（参考数据：π≈3，≈1.7，tan15°＝‎ ‎22.（本题满分9分）如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4,2），一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，关于x的函数y=m-(3m+k)x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值.‎  ‎23.（本题满分10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系. Ⅰ型 Ⅱ型 投资金额x（万元）‎ x ‎5‎ x ‎2‎ ‎4‎ 补贴金额y（万元）‎ ‎2‎ ‎2.4‎ ‎3.2‎ ‎（1）分别求和的函数解析式； （2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能 ‎ 获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.‎ ‎24.（本题满分12分）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）.若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上)，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1. （1）求B点坐标； （2）求证：ME是⊙P的切线； （3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周长的最小值；②若FQ＝t，S△ACQ＝S，直接写出S与t之间的函数关系式. ‎　　 ‎ 数学参考答案及评分标准 ‎ 一、选择题 （每选对一题得3分，共30分） 1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8. D 9. B 10.D 二、填空题（每填对一题得3分，共15分） 11. 12.50° 13.x≥0且x≠12 14.13 15.方法很多，参照给分 16.2 三、解答题（按步骤给分，其它解法参照此评分标准给分） 17.解：原式＝………………………………………………4分 ＝ ………………………………………………5分 ‎＝0 …………………………………………………………………6分 18. 解：由①得：x≤1 …………………………………………………………1分 由②得：x＞-2 …………………………………………………………2分 综合得：-2＜x≤1 ……………………………………………………4分 在数轴上表示这个解集（略） ………………………………………6分 19. 解：△ABE是等边三角形.理由如下：…………………………………… 1分 由旋转得△PAE≌△PDC ∴CD=AE，PD=PA,∠1=∠2……………………3分 ∵∠DPA=60°∴△PDA是等边三角形…………4分 ∴∠3＝∠PAD＝60°. 由矩形ABCD知，CD＝AB，∠CDA＝∠DAB＝90°. ∴∠1＝∠4＝∠2＝30°………………………6分 ∴AE＝CD＝AB，∠EAB＝∠2+∠4＝60°, ∴△ABE为等边三角形…………………………7分  ‎ ‎20. 解：（1）2÷1%=200 …………………………………………………… 1分 （2）360°×＝126°∴④所在扇形的圆心角为126°…… 2分 注：补图②110人，③18人…………………………………4分 （3）P（第②种情况）＝ ∴他是第②种情况的概率为 ……………………………6分 （4）10×（1-1%）＝9.9（万人） 即：10万名开车的司机中，不违反“酒驾”禁令的人数为9.9万人…8分 ‎21. 解：连结OD、OE、OF，由垂径定理知：PD＝CD＝12（m）………… 1分 在Rt△OPD中，OD＝＝13（m） ∴OE＝OD＝13m …………………………………………………………2分 ∵tan∠EMO=i= 1∶3.7 ，tan15°＝=≈1：3.7 ∴∠EMO＝15°…………………………………………………………3分 ‎ ‎ 由切线性质知∠OEM＝90°∴∠EOM=75° 同理得∠NOF＝75°∴∠EOF＝180°-75°×2＝30°……………4分 在Rt△OEM中，tan15°＝=≈1∶3.7‎ ‎ ∴EM＝3.7×13＝48.1（m）…………………………………………6分 又EF的弧长＝＝6.5（m）………………………………7分 ∴48.1×2+6.5＝102.7（m）, 即从M点上坡、过桥、再下坡到N点的最短路径长为102.7米…… 8分 （注：答案在102.5m—103m间只要过程正确，不扣分） ‎ ‎22. 解：过B作BE⊥AD于E，连结OB、CE交于点P，∵P为矩形OCBE的对称中心，则过P点的直线平分矩形OCBE的面积. ∵P为OB的中点，而B（4，2） ∴P点坐标为（2，1）……………1分 在Rt△ODC与Rt△EAB中，OC＝BE，AB＝CD ∴Rt△ODC≌Rt△EAB（HL）,∴S△ODC＝S△EBA ∴过点（0，-1）与P（2，1）的直线平分等腰梯形面积，这条直线为y=kx-1 ∴2k-1=1 ∴k=1 …………………………………………………3分 ∵y=m-(3m+k)x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点 ‎①当m＝0时，y＝-x+1,其图象与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）…5分 ②当m≠0时，函数y=m-(3m+k)x+2m+k的图象为抛物线，且与y轴总有一 个交点（0，2m+1） 若抛物线过原点时，2m+1=0，即m=，‎ 此时△＝=＞0 ∴抛物线与x轴有两个交点且过原点，符合题意. ………………………7分 若抛物线不过原点，且与x轴只有一个交点，也合题意， 此时△′＝=0 ∴m1=m2=-1 综上所述，m的值为m=0或或-1 ………………………………………9分 ‎23.解：（1）由题意得：①5k=2，k= ∴ …………………2分 ②∴a= b= ∴………4分 ‎（2）设购Ⅱ型设备投资t万元，购Ⅰ型设备投资（10-t）万元，共获补贴Q万元 ‎∴ ，‎ ‎∴……7分 ‎∵＜0，∴Q有最大值，即当t=3时，Q最大＝‎ ‎∴10-t=7(万元) ………………………………………………9分 即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元……………10分 ‎24.解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC＝n ∵正方形CDEF面积为1∴CD＝CF＝1 根据圆和正方形的对称性知OP＝PC＝n ∴BC＝2PC＝2n………1分 而PB＝PE， ∴ 解得n=1 (舍去) …………… 2分 ∴BC＝OC＝2 ∴B点坐标为（2，2）…………………………3分 ‎（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0） ∵A，C在抛物线上∴ ∴‎ ‎∴抛物线的解析式为 即………………………………………………… 4分 ∴抛物线的对称轴为x=3,即EF所在直线 ∵C与G关于直线x=3对称， ∴CF＝FG＝1 ∴FM＝FG＝ 在Rt△PEF与Rt△EMF中 ＝， ∴=∴△PEF∽△EMF……………5分 ∴∠EPF＝∠FEM∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90° ∴ME与⊙P相切…………………………………………………………6分 （注：其他方法，参照给分） ‎（3）①如图乙，延长AB交抛物线于，连交对称轴x=3于Q，连AQ则有AQ＝Q，△ACQ周长的最小值为（AC+C）的长……………………7分 ∵A与关于直线x=3对称∴A（0，2），（6，2） ∴C＝（6-2），‎ 而AC=…………………8分 ∴△ACQ周长的最小值为 ‎……………………………9分 ②当Q点在F点上方时，S＝t+1……‎ ‎10分 当Q点在线段FN上时，S＝1-t……11分 当Q点在N点下方时，S＝t-1……12分