山东省泰安市中考数学试题及答案解析

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山东省泰安市中考数学试题及答案解析

‎2012年山东省泰安市中考数学试卷 一.选择题 ‎1.(2012泰安)下列各数比﹣3小的数是(  )‎ ‎  A.0  B.1  C.﹣4  D.﹣1‎ 考点:有理数大小比较。‎ 解答:解:根据两负数比较大小,其绝对值大的反而小,正数都大于负数,零大于一切负数,‎ ‎∴1>﹣3,0>﹣3,‎ ‎∵|﹣3|=3,|﹣1|=1,|﹣4|=4,‎ ‎∴比﹣3小的数是负数,是﹣4.‎ 故选C.‎ ‎2.(2012泰安)下列运算正确的是(  )‎ ‎  A.   B.  C.  D.‎ 考点:二次根式的性质与化简;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法;负整数指数幂。‎ 解答:解:A、,所以A选项不正确;‎ B、,所以B选项正确;‎ C、,所以C选项不正确;‎ D、,所以D选项不正确.‎ 故选B.‎ ‎3.(2012泰安)如图所示的几何体的主视图是(  )‎ ‎  A.  B.  C.  D.‎ 考点:简单组合体的三视图。‎ 解答:解:从正面看易得第一层有1个大长方形,第二层中间有一个小正方形.‎ 故选A.‎ ‎4.(2012泰安)已知一粒米的质量是0.000021千克,这个数字用科学记数法表示为(  )‎ ‎  A.千克  B.千克  C.千克  D.千克 考点:科学记数法—表示较小的数。‎ 解答:解:0.000021=;‎ 故选:C.‎ ‎5.(2012泰安)从下列四张卡片中任取一张,卡片上的图形是中心对称图形的概率是(  )‎ ‎  A.0  B.  C.  D.‎ 考点:概率公式;中心对称图形。‎ 解答:解:∵在这一组图形中,中心对称图形只有最后一个,‎ ‎∴卡片上的图形是中心对称图形的概率是.‎ 故选D.‎ ‎6.(2012泰安)将不等式组的解集在数轴上表示出来,正确的是(  )‎ A.   B.‎ C.   D.‎ 考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组。‎ 解答:解:,由①得,x>3;由②得,x≤4,‎ 故其解集为:3<x≤4.‎ 在数轴上表示为:‎ 故选C.‎ ‎7.(2012泰安)如图,在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,垂足为E,若∠EAD=53°,则∠BCE的度数为(  )‎ ‎  A.53°  B.37°  C.47°  D.123°‎ 考点:平行四边形的性质。‎ 解答:解:∵在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,‎ ‎∴∠E=90°,‎ ‎∵∠EAD=53°,‎ ‎∴∠EFA=90°﹣53°=37°,‎ ‎∴∠DFC=37‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,‎ ‎∴∠BCE=∠DFC=37°.‎ 故选B.‎ ‎8.(2012泰安)某校开展“节约每一滴水”活动,为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况,从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月约节水情况.见表:‎ 请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是(  )‎ ‎  A.130m3  B.135m3  C.6.5m3  D.260m3‎ 考点:用样本估计总体;加权平均数。‎ 解答:解:20名同学各自家庭一个月平均节约用水是:‎ ‎(0.2×2+0.25×4+0.3×6+04×7+0.5×1)÷20=0.325(m3),‎ 因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是:‎ ‎400×0.325=130(m3),‎ 故选A.‎ ‎9.(2012泰安)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则CE的长为(  )‎ ‎  A.3  B.3.5  C.2.5  D.2.8‎ 考点:线段垂直平分线的性质;勾股定理;矩形的性质。‎ 解答:解:∵EO是AC的垂直平分线,‎ ‎∴AE=CE,‎ 设CE=x,则ED=AD﹣AE=4﹣x,‎ 在Rt△CDE中,CE2=CD2+ED2,‎ 即 ,‎ 解得,‎ 即CE的长为2.5.‎ 故选C.‎ ‎10.(2012泰安)二次函数的图象如图,若一元二次方程有实数根,则 的最大值为(  )‎ ‎  A.  B.3  C.  D.9‎ 考点:抛物线与x轴的交点。‎ 解答:解:∵抛物线的开口向上,顶点纵坐标为﹣3,‎ ‎∴a>0.,即,‎ ‎∵一元二次方程有实数根,‎ ‎∴△=,即,即,解得,‎ ‎∴m的最大值为3.‎ 故选B.‎ ‎11.(2012泰安)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是(  )‎ ‎  A.CM=DM  B.  C.∠ACD=∠ADC  D.OM=MD 考点:垂径定理。‎ 解答:解:∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,‎ ‎∴M为CD的中点,即CM=DM,选项A成立;‎ B为的中点,即,选项B成立;‎ 在△ACM和△ADM中,‎ ‎∵AM=AM,∠AMC=∠AMD=90°,CM=DM,‎ ‎∴△ACM≌△ADM(SAS),‎ ‎∴∠ACD=∠ADC,选项C成立;‎ 而OM与MD不一定相等,选项D不成立.‎ 故选D ‎12.(2012泰安)将抛物线向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为(  )‎ ‎  A.  B.  C.  D.‎ 考点:二次函数图象与几何变换。‎ 解答:解:由“上加下减”的原则可知,将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:;‎ 由“左加右减”的原则可知,将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:.‎ 故选A.‎ ‎13.(2012泰安)如图,为测量某物体AB的高度,在在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20米,到达点C,再次测得点A的仰角为60°,则物体AB的高度为(  )‎ ‎  A.米  B.10米  C.米  D.米 考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 解答:解:∵在直角三角形ADC中,∠D=30°,‎ ‎∴=tan30°‎ ‎∴BD==AB ‎∴在直角三角形ABC中,∠ACB=60°,‎ ‎∴BC==AB ‎∵CD=20‎ ‎∴CD=BD﹣BC=AB﹣AB=20‎ 解得:AB=.‎ 故选A.‎ ‎14.(2012泰安)如图,菱形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A在x轴上,∠B=120°,OA=2,将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置,则点B′的坐标为(  )‎ ‎  A.(,)  B.(,)  C.(2012泰安)  D.(,)‎ 考点:坐标与图形变化-旋转;菱形的性质。‎ 解答:解:连接OB,OB′,过点B′作B′E⊥x轴于E,‎ 根据题意得:∠BOB′=105°,‎ ‎∵四边形OABC是菱形,‎ ‎∴OA=AB,∠AOB=∠AOC=∠ABC=×120°=60°,‎ ‎∴△OAB是等边三角形,‎ ‎∴OB=OA=2,‎ ‎∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=105°﹣60°=45°,OB′=OB=2,‎ ‎∴OE=B′E=OB′•sin45°=,‎ ‎∴点B′的坐标为:(,).‎ 故选A.‎ ‎15.(2012泰安)一个不透明的布袋中有分别标着数字1,2,3,4的四个乒乓球,现从袋中随机摸出两个乒乓球,则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为(  )‎ ‎  A.  B. C.  D.‎ 考点:列表法与树状图法。‎ 解答:解:列表得:‎ ‎∵共有12种等可能的结果,这两个乒乓球上的数字之和大于5的有4种情况,‎ ‎∴这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为:.‎ 故选B.‎ ‎16.(2012泰安)二次函数的图象如图,则一次函数的图象经过(  )‎ ‎  A.第一、二、三象限  B.第一、二、四象限  C.第二、三、四象限  D.第一、三、四象限 考点:二次函数的图象;一次函数的性质。‎ 解答:解:∵抛物线的顶点在第四象限,‎ ‎∴﹣m>0,n<0,‎ ‎∴m<0,‎ ‎∴一次函数的图象经过二、三、四象限,‎ 故选C.‎ ‎17.(2012泰安)如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点重合,若AB=2,BC=3,则△FCB′与△B′DG的面积之比为(  )‎ ‎  A.9:4  B.3:2  C.4:3  D.16:9‎ 考点:翻折变换(折叠问题)。‎ 解答:解:设BF=x,则CF=3﹣x,BF′=x,‎ 又点B′为CD的中点,‎ ‎∴B′C=1,‎ 在Rt△B′CF中,BF′2=B′C2+CF2,即,‎ 解得:,即可得CF=,‎ ‎∵∠DB′G=∠DGB=90°,∠DB′G+∠CB′F=90°,‎ ‎∴∠DGB=∠CB′F,‎ ‎∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′,‎ 根据面积比等于相似比的平方可得:==.‎ 故选D.‎ ‎18.(2012泰安)如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,若∠ABC=120°,OC=3,则的长为(  )‎ ‎  A.π  B.2π  C.3π  D.5π 考点:切线的性质;弧长的计算。‎ 解答:解:连接OB,‎ ‎∵AB与⊙O相切于点B,‎ ‎∴∠ABO=90°,‎ ‎∵∠ABC=120°,‎ ‎∴∠OBC=30°,‎ ‎∵OB=OC,‎ ‎∴∠OCB=30°,‎ ‎∴∠BOC=120°,‎ ‎∴的长为,‎ 故选B.‎ ‎19.(2012泰安)设A,B,C是抛物线上的三点,则,,的大小关系为(  )‎ ‎  A.  B.  C.  D.‎ 考点:二次函数图象上点的坐标特征。‎ 解答:解:∵函数的解析式是,如右图,‎ ‎∴对称轴是,‎ ‎∴点A关于对称轴的点A′是(0,y1),‎ 那么点A′、B、C都在对称轴的右边,而对称轴右边y随x的增大而减小,‎ 于是.‎ 故选A.‎ ‎20.(2012泰安)如图,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3,则EF的长是(  )‎ ‎  A.4  B.3  C.2  D.1‎ 考点:三角形中位线定理;全等三角形的判定与性质。‎ 解答:解:连接DE并延长交AB于H,‎ ‎∵CD∥AB,‎ ‎∴∠C=∠A,∠CDE=∠AHE,‎ ‎∵E是AC中点,‎ ‎∴DE=EH,‎ ‎∴△DCE≌△HAE,‎ ‎∴DE=HE,DC=AH,‎ ‎∵F是BD中点,‎ ‎∴EF是三角形DHB的中位线,‎ ‎∴EF=BH,‎ ‎∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2,‎ ‎∴EF=1.‎ 故选D.‎ 二、填空题 ‎21.(2012泰安)分解因式:= .‎ 考点:提公因式法与公式法的综合运用。‎ 解答:解:,‎ ‎=.‎ ‎22.(2012泰安)化简:= .‎ 考点:分式的混合运算。‎ 解答:解:原式=‎ ‎=.‎ ‎23.(2012泰安)如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,点C是优弧上一点(不与A,B重合),则cosC的值为 .‎ 考点:圆周角定理;勾股定理;垂径定理;锐角三角函数的定义。‎ 解答:解:连接AO并延长到圆上一点D,连接BD,‎ 可得AD为⊙O直径,故∠ABD=90°,‎ ‎∵半径为5的⊙O中,弦AB=6,则AD=10,‎ ‎∴BD=,‎ ‎∵∠D=∠C,‎ ‎∴cosC=cosD=,‎ 故答案为:.‎ ‎24.(2012泰安)如图,在平面直角坐标系中,有若干个横坐标分别为整数的点,其顺序按图中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2)…根据这个规律,第2012个点的横坐标为 .‎ 考点:点的坐标。‎ 解答:解:根据图形,到横坐标结束时,点的个数等于横坐标的平方,‎ 例如:横坐标为1的点结束,共有1个,1=12,‎ 横坐标为2的点结束,共有2个,4=22,‎ 横坐标为3的点结束,共有9个,9=32,‎ 横坐标为4的点结束,共有16个,16=42,‎ ‎…‎ 横坐标为n的点结束,共有n2个,‎ ‎∵452=2025,‎ ‎∴第2025个点是(45,0),‎ 第2012个点是(45,13),‎ 所以,第2012个点的横坐标为45.‎ 故答案为:45.‎ 三、解答题 ‎25.(2012泰安)如图,一次函数的图象与坐标轴分别交于A,B两点,与反比例函数的图象在第二象限的交点为C,CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2,OD=4,△AOB的面积为1.‎ ‎(1)求一次函数与反比例的解析式;‎ ‎(2)直接写出当时,的解集.‎ 考点:反比例函数与一次函数的交点问题。‎ 解答:解:(1)∵OB=2,△AOB的面积为1‎ ‎∴B(﹣2,0),OA=1,‎ ‎∴A(0,﹣1)‎ ‎∴ ,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ 又∵OD=4,OD⊥x轴,‎ ‎∴C(﹣4,y),‎ 将代入得y=1,‎ ‎∴C(﹣4,1)‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎(2)当时,的解集是.‎ ‎26.(2012泰安)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.‎ ‎(1)线段BH与AC相等吗?若相等给予证明,若不相等请说明理由;‎ ‎(2)求证:BG2﹣GE2=EA2.‎ 考点:全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;勾股定理。‎ 解答:证明:(1)∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°,∠ABC=45°,‎ ‎∴∠BCD=45°=∠ABC,∠A+∠DCA=90°,∠A+∠ABE=90°,‎ ‎∴DB=DC,∠ABE=∠DCA,‎ ‎∵在△DBH和△DCA中 ‎∵∠DBH=∠DCA,∠BDH=∠CDA,BD=CD,‎ ‎∴△DBH≌△DCA,‎ ‎∴BH=AC.‎ ‎(2)连接CG,‎ ‎∵F为BC的中点,DB=DC,‎ ‎∴DF垂直平分BC,‎ ‎∴BG=CG,‎ ‎∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,‎ ‎∴∠AEB=∠CEB,‎ 在△ABE和△CBE中 ‎∵∠AEB=∠CEB,BE=BE,∠CBE=∠ABE,‎ ‎∴△ABE≌△CBE,‎ ‎∴EC=EA,‎ 在Rt△CGE中,由勾股定理得:BG2﹣GE2=EA2.‎ ‎27.(2012泰安)一项工程,甲,乙两公司合做,12天可以完成,共需付施工费102000元;如果甲,乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.‎ ‎(1)甲,乙两公司单独完成此项工程,各需多少天?‎ ‎(2)若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少?‎ 考点:分式方程的应用;一元一次方程的应用。‎ 解答:解:(1)设甲公司单独完成此项工程需x天,则乙公司单独完成此项工程需1.5x天.‎ 根据题意,得,‎ 解得,‎ 经检验知是方程的解且符合题意.‎ ‎,‎ 故甲,乙两公司单独完成此项工程,各需20天,30天;‎ ‎(2)设甲公司每天的施工费为y元,则乙公司每天的施工费为(y﹣1500)元,‎ 根据题意得12(y+y﹣1500)=102000解得y=5000,‎ 甲公司单独完成此项工程所需的施工费:20×5000=100000(元);‎ 乙公司单独完成此项工程所需的施工费:30×(5000﹣1500)=105000(元);‎ 故甲公司的施工费较少.‎ ‎28.(2012泰安)如图,E是矩形ABCD的边BC上一点,EF⊥AE,EF分别交AC,CD于点M,F,BG⊥AC,垂足为C,BG交AE于点H.‎ ‎(1)求证:△ABE∽△ECF;‎ ‎(2)找出与△ABH相似的三角形,并证明;‎ ‎(3)若E是BC中点,BC=2AB,AB=2,求EM的长.‎ 考点:相似三角形的判定与性质;矩形的性质;解直角三角形。‎ 解答:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠ABE=∠ECF=90°.‎ ‎∵AE⊥EF,∠AEB+∠FEC=90°.‎ ‎∴∠AEB+∠BEA=90°,‎ ‎∴∠BAE=∠CEF,‎ ‎∴△ABE∽△ECF;‎ ‎(2)△ABH∽△ECM.‎ 证明:∵BG⊥AC,‎ ‎∴∠ABG+∠BAG=90°,‎ ‎∴∠ABH=∠ECM,‎ 由(1)知,∠BAH=∠CEM,‎ ‎∴△ABH∽△ECM;‎ ‎(3)解:作MR⊥BC,垂足为R,‎ ‎∵AB=BE=EC=2,‎ ‎∴AB:BC=MR:RC=2,∠AEB=45°,‎ ‎∴∠MER=45°,CR=2MR,‎ ‎∴MR=ER=RC=,‎ ‎∴EM=.‎ ‎29.(2012泰安)如图,半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,点C的坐标为(1,0).若抛物线过A、B两点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)在抛物线上是否存在点P,使得∠PBO=∠POB?若存在,求出点P的坐标;若不存在说明理由;‎ ‎(3)若点M是抛物线(在第一象限内的部分)上一点,△MAB的面积为S,求S的最大(小)值.‎ 考点:二次函数综合题。‎ 解答:解:(1)如答图1,连接OB.‎ ‎∵BC=2,OC=1‎ ‎∴OB=‎ ‎∴B(0,)‎ 将A(3,0),B(0,)代入二次函数的表达式 得 ,解得: ,‎ ‎∴.‎ ‎(2)存在.‎ 如答图2,作线段OB的垂直平分线l,与抛物线的交点即为点P.‎ ‎∵B(0,),O(0,0),‎ ‎∴直线l的表达式为.代入抛物线的表达式,‎ 得;‎ 解得,‎ ‎∴P().‎ ‎(3)如答图3,作MH⊥x轴于点H.‎ 设M( ),‎ 则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=(MH+OB)•OH+HA•MH﹣OA•OB ‎=‎ ‎= ‎ ‎∵,‎ ‎∴ ‎ ‎= ‎ ‎∴当时,取得最大值,最大值为.‎
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