2012年宜宾中考数学试卷

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2012年宜宾中考数学试卷

‎2012年四川省宜宾市中考数学试卷 一.选择题(共8小题)‎ ‎1.(2012宜宾)﹣3的倒数是(  )‎ ‎  A. B. 3 C. ﹣3 D. ﹣‎ 考点:倒数。‎ 解答:解:根据倒数的定义得:‎ ‎﹣3×(﹣)=1,‎ 因此倒数是﹣.‎ 故选:D.‎ ‎2.(2012宜宾)下面四个几何体中,其左视图为圆的是(  )‎ ‎  A. B. C. D. ‎ 考点:简单几何体的三视图。‎ 解答:解:A.圆柱的左视图是矩形,不符合题意;‎ B.三棱锥的左视图是三角形,不符合题意;‎ C.球的左视图是圆,符合题意;‎ D.长方体的左视图是矩形,不符合题意.‎ 故选C.‎ ‎3.(2012宜宾)下面运算正确的是(  )‎ ‎  A. 7a2b﹣5a2b=2 B. x8÷x4=x2 C. (a﹣b)2=a2﹣b2 D. (2x2)3=8x6‎ 考点:完全平方公式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法。‎ 解答:解:A.7a2b﹣5a2b=2a2b,故本选项错误;‎ B.x8÷x4=x4,故本选项错误;‎ C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故本选项错误;‎ D.(2x2)3=8x6,故本选项正确.‎ 故选D.‎ ‎4.(2012宜宾)宜宾今年5月某天各区县的最高气温如下表:‎ 区县 翠屏区 南溪 长宁 江安 宜宾县 珙县 高县 兴文 筠连 屏山 最高气温(℃)‎ ‎32‎ ‎32‎ ‎30‎ ‎32‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎29‎ ‎33‎ ‎30‎ ‎32‎ ‎ ‎ A.‎ ‎32,31.5‎ B.‎ ‎32,30‎ C.‎ ‎30,32‎ D.‎ ‎32,31‎ 考点:众数;中位数。‎ 解答:解:在这一组数据中32是出现次数最多的,故众数是32;‎ 按大小排列后,处于这组数据中间位置的数是31、32,那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是31.5.‎ 故选:A.‎ ‎5.(2012宜宾)将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式为(  )‎ ‎  A. (x﹣3)2+11 B. (x+3)2﹣7 C. (x+3)2﹣11 D. (x+2)2+4‎ 考点:配方法的应用。‎ 解答:解:x2+6x+2=x2+6x+9﹣9+2=(x+3)2﹣7.‎ 故选B.‎ ‎6.(2012宜宾)分式方程的解为(  )‎ ‎  A. 3 B. ﹣3 C. 无解 D. 3或﹣3‎ 考点:解分式方程。‎ 解答:解:方程的两边同乘(x+3)(x﹣3),得 ‎12﹣2(x+3)=x﹣3,‎ 解得:x=3.‎ 检验:把x=3代入(x+3)(x﹣3)=0,即x=3不是原分式方程的解.‎ 故原方程无解.‎ 故选C.‎ ‎7.(2012宜宾)如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD,CD=AB,点E、F分别为AB.AD的中点,则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为(  )‎ ‎  A. B. C. D. ‎ 考点:相似三角形的判定与性质;三角形的面积;三角形中位线定理。‎ 解答:解:过D作DM⊥AB于M,过F作FN⊥AB于N,‎ 即FN∥DM,‎ ‎∵F为AD中点,‎ ‎∴N是AM中点,‎ ‎∴FN=DM,‎ ‎∵DM⊥AB,CB⊥AB,‎ ‎∴DM∥BC,‎ ‎∵DC∥AB,‎ ‎∴四边形DCBM是平行四边形,‎ ‎∴DC=BM,BC=DM,‎ ‎∵AB=AD,CD=AB,点E、F分别为AB.AD的中点,‎ ‎∴设DC=a,AE=BE=b,则AD=AB=2a,BC=DM=2a,‎ ‎∵FN=DM,‎ ‎∴FN=a,‎ ‎∴△AEF的面积是:×AE×FN=ab,‎ 多边形BCDFE的面积是S梯形ABCD﹣S△AEF=×(DC+AB)×BC﹣ab=(a+2a)×2b﹣ab=ab,‎ ‎∴△AEF与多边形BCDFE的面积之比为=.‎ 故选C.‎ ‎8.(2012宜宾)给出定义:设一条直线与一条抛物线只有一个公共点,只这条直线与这条抛物线的对称轴不平行,就称直线与抛物线相切,这条直线是抛物线的切线.有下列命题:‎ ‎①直线y=0是抛物线y=x2的切线 ‎②直线x=﹣2与抛物线y=x2 相切于点(﹣2,1)‎ ‎③直线y=x+b与抛物线y=x2相切,则相切于点(2,1)‎ ‎④若直线y=kx﹣2与抛物线y=x2 相切,则实数k=‎ 其中正确命题的是(  )‎ ‎  A. ①②④ B. ①③ C. ②③ D. ①③④‎ 考点:二次函数的性质;根的判别式。‎ 解答:解:①∵直线y=0是x轴,抛物线y=x2的顶点在x轴上,∴直线y=0是抛物线y=x2的切线,故本小题正确;‎ ‎②∵抛物线y=x2的顶点在x轴上,开口向上,直线x=2与y轴平行,∴直线x=﹣2与抛物线y=x2 相交,故本小题错误;‎ ‎③∵直线y=x+b与抛物线y=x2相切,∴x2﹣4x﹣b=0,∴△=16+4b=0,解得b=﹣4,把b=﹣4代入x2﹣4x﹣b=0得x=2,把x=2代入抛物线解析式可知y=1,∴直线y=x+b与抛物线y=x2相切,则相切于点(2,1),故本小题正确;‎ ‎④∵直线y=kx﹣2与抛物线y=x2 相切,∴x2=kx﹣2,即x2﹣kx+2=0,△=k2﹣2=0,解得k=±,故本小题错误.‎ 故选B.‎ 二.填空题(共8小题)‎ ‎9.(2012宜宾)分解因式:3m2﹣6mn+3n2= .‎ 考点:提公因式法与公式法的综合运用。‎ 解答:解:3m2﹣6mn+3n2=3(m2﹣2mn+n2)=3(m﹣n)2.‎ 故答案为:3(m﹣n)2.‎ ‎10.(2012宜宾)一元一次不等式组的解是 .‎ 考点:解一元一次不等式组。‎ 解答:解:,‎ 由①得,x≥﹣3,‎ 由②得,x<﹣1,‎ ‎∴不等式组的解集为﹣3≤x<﹣1.‎ 故答案为﹣3≤x<﹣1.‎ ‎11.(2012宜宾)如图,已知∠1=∠2=∠3=59°,则∠4= .‎ 考点:平行线的判定与性质。‎ 解答:‎ 解:∵∠1=∠3,‎ ‎∴AB∥CD,‎ ‎∴∠5+∠4=180°,又∠5=∠2=59°,‎ ‎∴∠4=180°﹣59°=121°.‎ 故答案为:121°‎ ‎12.(2012宜宾)如图,在平面直角坐标系中,将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF,则点P的坐标为 .‎ 考点:坐标与图形变化-旋转。‎ 解答:解:连接AD,‎ ‎∵将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF,‎ ‎∴点A旋转后与点D重合,‎ ‎∵由题意可知A(0,1),D(﹣2,﹣3)‎ ‎∴对应点到旋转中心的距离相等,‎ ‎∴线段AD的中点坐标即为点P的坐标,‎ ‎∴点P的坐标为(,),即P(﹣1,﹣1).‎ 故答案为:(﹣1,﹣1).‎ ‎13.(2012宜宾)已知P=3xy﹣8x+1,Q=x﹣2xy﹣2,当x≠0时,3P﹣2Q=7恒成立,则y的值为 .‎ 考点:因式分解的应用。‎ 解答:解:∵P=3xy﹣8x+1,Q=x﹣2xy﹣2,‎ ‎∴3P﹣2Q=3(3xy﹣8x+1)﹣2(x﹣2xy﹣2)=7恒成立,‎ ‎∴9xy﹣24x+3﹣2x+4xy+4=7,‎ ‎13xy﹣26x=0,‎ ‎13x(y﹣2)=0,‎ ‎∵x≠0,‎ ‎∴y﹣2=0,‎ ‎∴y=2;‎ 故答案为:2.‎ ‎14.(2012宜宾)如图,已知正方形ABCD的边长为1,连接AC.BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE= .‎ 考点:正方形的性质;角平分线的性质。‎ 解答:解:过E作EF⊥DC于F,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ ‎∵CE平分∠ACD交BD于点E,‎ ‎∴EO=EF,‎ ‎∵正方形ABCD的边长为1,‎ ‎∴AC=,‎ ‎∴CO=AC=,‎ ‎∴CF=CO=,‎ ‎∴DF=DC﹣CF=1﹣,‎ ‎∴DE==﹣1,‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎15.(2012宜宾)如图,一次函数y1=ax+b(a≠0)与反比例函数的图象交于A(1,4)、B(4,1)两点,若使y1>y2,则x的取值范围是 .‎ 考点:反比例函数与一次函数的交点问题。‎ 解答:解:根据图形,当x<0或1<x<4时,一次函数图象在反比例函数图象上方,y1>y2.‎ 故答案为:x<0或1<x<4.‎ ‎16.(2012宜宾)如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是的中点,弦CE⊥AB于点F,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CF、BC于点P、Q,连接AC.给出下列结论:‎ ‎①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是△ACQ的外心;④AP•AD=CQ•CB.‎ 其中正确的是 (写出所有正确结论的序号).‎ 考点:切线的性质;圆周角定理;三角形的外接圆与外心;相似三角形的判定与性质。‎ 解答:解:∠BAD与∠ABC不一定相等,选项①错误;‎ 连接BD,如图所示:‎ ‎∵GD为圆O的切线,‎ ‎∴∠GDP=∠ABD,‎ 又AB为圆O的直径,∴∠ADB=90°,‎ ‎∵CE⊥AB,∴∠AFP=90°,‎ ‎∴∠ADB=∠AFP,又∠PAF=∠BAD,‎ ‎∴△APF∽△ABD,‎ ‎∴∠ABD=∠APF,又∠APF=∠GPD,‎ ‎∴∠GDP=∠GPD,‎ ‎∴GP=GD,选项②正确;‎ ‎∵直径AB⊥CE,‎ ‎∴A为的中点,即=,‎ 又C为的中点,∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴∠CAP=∠ACP,‎ ‎∴AP=CP,‎ 又AB为圆O的直径,∴∠ACQ=90°,‎ ‎∴∠PCQ=∠PQC,‎ ‎∴PC=PQ,‎ ‎∴AP=PQ,即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点,‎ ‎∴P为Rt△ACQ的外心,选项③正确;‎ 连接CD,如图所示:‎ ‎∵=,‎ ‎∴∠B=∠CAD,又∠ACQ=∠BCA,‎ ‎∴△ACQ∽△BCA,‎ ‎∴=,即AC2=CQ•CB,‎ ‎∵=,‎ ‎∴∠ACP=∠ADC,又∠CAP=∠DAC,‎ ‎∴△ACP∽△ADC,‎ ‎∴=,即AC2=AP•AD,‎ ‎∴AP•AD=CQ•CB,选项④正确,‎ 则正确的选项序号有②③④.‎ 故答案为:②③④‎ 三.解答题(共8小题)‎ ‎17.(2012宜宾)(1)计算:‎ ‎(2)先化简,再求值:,其中x=2tan45°.‎ 考点:分式的化简求值;零指数幂;负整数指数幂;二次根式的混合运算。‎ 解答:解:(1)原式=﹣2﹣1+1 ‎ ‎=﹣;‎ ‎(2)原式=•﹣‎ ‎=﹣‎ ‎=‎ 当x=2tan45°时,‎ 原式=2.‎ ‎18.(2012宜宾)如图,点A.B.D.E在同一直线上,AD=EB,BC∥DF,∠C=∠F.求证:AC=EF.‎ 考点:全等三角形的判定与性质。‎ 解答:证明:∵AD=EB ‎∴AD﹣BD=EB﹣BD,即AB=ED …(1分)‎ 又∵BC∥DF,∴∠CBD=∠FDB …(2分)‎ ‎∴∠ABC=∠EDF …(3分)‎ 又∵∠C=∠F,‎ ‎∴△ABC≌△EDF …(5分)‎ ‎∴AC=EF …(6分)‎ ‎19.(2012宜宾)为了解学生的艺术特长发展情况,某校音乐组决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中,你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.‎ 请你根据统计图解答下列问题:‎ ‎(1)在这次调查中一共抽查了 名学生,其中,喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为 ,喜欢“戏曲”活动项目的人数是 人;‎ ‎(2)若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”活动项目任选两项设立课外兴趣小组,请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的概率.‎ 考点:条形统计图;扇形统计图;列表法与树状图法。‎ 解答:解:(1)根据喜欢声乐的人数为8人,得出总人数=8÷16%=50,‎ 喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为:×100%=24%,‎ 喜欢“戏曲”活动项目的人数是:50﹣12﹣16﹣8﹣10=4,‎ 故答案为:50,24%,4;‎ ‎(2)(用树状图)设舞蹈、乐器、声乐、戏曲的序号依次是①②③④,‎ 故恰好选中“舞蹈、声乐”两项活动的概率是;‎ ‎(用列表法)‎ ‎ 舞蹈 ‎ 乐器 ‎ 乐声 ‎ 戏曲 ‎ 舞蹈 ‎ 舞蹈、乐器 ‎ 舞蹈、乐声 ‎ 舞蹈、戏曲 ‎ 乐器 ‎ 乐器、舞蹈 ‎ 乐器、乐声 ‎ 乐器、戏曲 ‎ 乐声 ‎ 乐声、舞蹈 ‎ 乐声、乐器 ‎ 乐声、戏曲 ‎ 戏曲 ‎ 戏曲、舞蹈 ‎ 戏曲、乐器 ‎ 戏曲、乐声 ‎20.(2012宜宾)如图,在平面直角坐标系中,已知四边形ABCD为菱形,且A(0,3)、B(﹣4,0).‎ ‎(1)求经过点C的反比例函数的解析式;‎ ‎(2)设P是(1)中所求函数图象上一点,以P、O、A顶点的三角形的面积与△COD的面积相等.求点P的坐标.‎ 考点:反比例函数综合题。‎ 解答:解:(1)由题意知,OA=3,OB=4‎ 在Rt△AOB中,AB=‎ ‎∵四边形ABCD为菱形 ‎∴AD=BC=AB=5,‎ ‎∴C(﹣4,5).‎ 设经过点C的反比例函数的解析式为,∴,k=20‎ ‎∴所求的反比例函数的解析式为.‎ ‎(2)设P(x,y)‎ ‎∵AD=AB=5,‎ ‎∴OA=3,‎ ‎∴OD=2,S△=‎ 即,‎ ‎∴|x|=,‎ ‎∴‎ 当x=时,y=,当x=﹣时,y=﹣‎ ‎∴P()或().‎ ‎21.(2012宜宾)某市政府为落实“保障性住房政策,2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设,并规划投入资金逐年增加,到2013年底,将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设.‎ ‎(1)求到2013年底,这两年中投入资金的平均年增长率(只需列出方程);‎ ‎(2)设(1)中方程的两根分别为x1,x2,且mx12﹣4m2x1x2+mx22的值为12,求m的值.‎ 考点:一元二次方程的应用;根与系数的关系。‎ 解答:解:(1)设到2013年底,这两年中投入资金的平均年增长率为x,‎ 根据题意得:‎ ‎3+3(x+1)+3(x+1)2=10.5…(3分)‎ ‎(2)由(1)得,x2+3x﹣0.5=0…(4分)‎ 由根与系数的关系得,x1+x2=﹣3,x1x2=﹣0.5…(5分)‎ 又∵mx12﹣4m2x1x2+mx22=12‎ m[(x1+x2)2﹣2x1x2]﹣4m2x1x2=12‎ m[9+1]﹣4m2(﹣0.5)=12‎ ‎∴m2+5m﹣6=0‎ 解得,m=﹣6或m=1…(8分)‎ ‎22.(2012宜宾)如图,抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l:y=x﹣5上.‎ ‎(1)求抛物线顶点A的坐标;‎ ‎(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C.D(C点在D点的左侧),试判断△ABD的形状;‎ ‎(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A.B.D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 考点:二次函数综合题。‎ 解答:解:(1)∵顶点A的横坐标为x==1,且顶点A在y=x﹣5上,‎ ‎∴当x=1时,y=1﹣5=﹣4,‎ ‎∴A(1,﹣4).‎ ‎(2)△ABD是直角三角形.‎ 将A(1,﹣4)代入y=x2﹣2x+c,可得,1﹣2+c=﹣4,∴c=﹣3,‎ ‎∴y=x2﹣2x﹣3,∴B(0,﹣3)‎ 当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,x1=﹣1,x2=3‎ ‎∴C(﹣1,0),D(3,0),‎ BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4﹣3)2+12=2,AD2=(3﹣1)2+42=20,‎ BD2+AB2=AD2,‎ ‎∴∠ABD=90°,即△ABD是直角三角形.‎ ‎(3)存在.‎ 由题意知:直线y=x﹣5交y轴于点A(0,﹣5),交x轴于点F(5,0)‎ ‎∴OE=OF=5,又∵OB=OD=3‎ ‎∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形 ‎∴BD∥l,即PA∥BD 则构成平行四边形只能是PADB或PABD,如图,‎ 过点P作y轴的垂线,过点A作x轴的垂线并交于点C 设P(x1,x1﹣5),则G(1,x1﹣5)‎ 则PC=|1﹣x1|,AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|‎ PA=BD=3‎ 由勾股定理得:‎ ‎(1﹣x1)2+(1﹣x1)2=18,x12﹣2x1﹣8=0,x1=﹣2,4‎ ‎∴P(﹣2,﹣7),P(4,﹣1)‎ 存在点P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1)使以点A.B.D.P为顶点的四边形是平行四边形.‎ ‎23.(2012宜宾)如图,⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点,其中⊙O1的半径r1=2,⊙O2的半径r2=.过点Q作CD⊥PQ,分别交⊙O1和⊙O2于点C.D,连接CP、DP,过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A.B,连接AP、BP、AC.DB,且AC与DB的延长线交于点E.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若PQ=2,试求∠E度数.‎ 考点:相交两圆的性质;三角形内角和定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形。‎ 解答:(1)证明:∵⊙O1的半径r1=2,⊙O2的半径r2=,‎ ‎∴PC=4,PD=2,‎ ‎∵CD⊥PQ,‎ ‎∴∠PQC=∠PQD=90°,‎ ‎∴PC.PD分别是⊙O1、⊙O2的直径,‎ 在⊙O1中,∠PAB=∠PCD,‎ 在⊙O2中,∠PBA=∠PDC,‎ ‎∴△PAB∽△PCD,‎ ‎∴===,‎ 即=.‎ ‎(2)解:在Rt△PCQ中,∵PC=2r1=4,PQ=2,‎ ‎∴cos∠CPQ=,‎ ‎∴∠CPQ=60°,‎ ‎∵在Rt△PDQ中,PD=2r2=2,PQ=2,‎ ‎∴sin∠PDQ=,‎ ‎∴∠PDQ=45°,‎ ‎∴∠CAQ=∠CPQ=60°,∠PBQ=∠PDQ=45°,‎ 又∵PD是⊙O2的直径,‎ ‎∴∠PBD=90°,‎ ‎∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°‎ 在△EAB中,∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°,‎ 答:∠E的度数是75°.‎ ‎24.(2012宜宾)如图,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动,△ABC不动,△DEF运动,并满足:点E在边BC上沿B到C的方向运动,且DE、始终经过点A,EF与AC交于M点.‎ ‎(1)求证:△ABE∽△ECM;‎ ‎(2)探究:在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由;‎ ‎(3)当线段AM最短时,求重叠部分的面积.‎ 考点:相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;全等三角形的判定与性质;勾股定理。‎ 解答:(1)证明:∵AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠C,‎ ‎∵△ABC≌△DEF,‎ ‎∴∠AEF=∠B,‎ 又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,‎ ‎∴∠CEM=∠BAE,‎ ‎∴△ABE∽△ECM;‎ ‎(2)解:∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,‎ ‎∴∠AME>∠AEF,‎ ‎∴AE≠AM;‎ 当AE=EM时,则△ABE≌△ECM,‎ ‎∴CE=AB=5,‎ ‎∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1,‎ 当AM=EM时,则∠MAE=∠MEA,‎ ‎∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,‎ 即∠CAB=∠CEA,‎ 又∵∠C=∠C,‎ ‎∴△CAE∽△CBA,‎ ‎∴,‎ ‎∴CE=,‎ ‎∴BE=6﹣=;‎ ‎(3)解:设BE=x,‎ 又∵△ABE∽△ECM,‎ ‎∴,‎ 即:,‎ ‎∴CM=﹣+x=﹣(x﹣3)2+,‎ ‎∴AM=﹣5﹣CM═(x﹣3)2+,‎ ‎∴当x=3时,AM最短为,‎ 又∵当BE=x=3=BC时,‎ ‎∴点E为BC的中点,‎ ‎∴AE⊥BC,‎ ‎∴AE==4,‎ 此时,EF⊥AC,‎ ‎∴EM==,‎ S△AEM=.‎
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