2009年湖北省荆门市中考数学试题及答案

2009年湖北省荆门市中考数学试题及答案

湖北省荆门市二00九年初中毕业生学业考试数学 ‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．答在试卷上无效．‎ ‎3．填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试卷上无效．‎ ‎4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．‎ 录入者注：荆门市2009年中考采取网上阅卷．‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分)‎ ‎1．|－9|的平方根是( )‎ ‎(A)81． (B)±3． (C)3． (D)－3．‎ ‎2．计算的结果是( )‎ ‎(A)a． (B)b． (C)1． (D)－b．‎ ‎3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=( )‎ ‎(A)40°． (B)30°． (C)20°． (D)10°．‎ 第3题图 ‎4．从只装有4个红球的袋中随机摸出一球，若摸到白球的概率是p1，摸到红球的概率是p2，则( )‎ ‎(A)p1=1，p2=1． (B)p1=0，p2=1． (C)p1=0，p2=． (D)p1=p2=．‎ ‎5．若=(x＋y)2，则x－y的值为( )‎ ‎(A)－1． (B)1． (C)2． (D)3．‎ ‎6．等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点，则四边形EFGH的形状是( )‎ ‎(A)平行四边形． (B)矩形． (C)菱形． (D)正方形．‎ ‎7．关于x的方程ax2－(a＋2)x＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a的值为( )‎ ‎(A)a=0． (B)a=2． (C)a=1． (D)a=0或a=2．‎ ‎8．函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1(a≠0)的图象可能是( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎9．长方体的主视图与左视图如图所示(单位 ‎：cm)，则其俯视图的面积是( )‎ ‎(A)‎12cm2． (B)‎8cm2． (C)‎6cm2． (D)‎4cm2．‎ 第9题图 ‎10．若不等式组有解，则a的取值范围是( )‎ ‎(A)a＞－1． (B)a≥－1． (C)a≤1． (D)a＜1．‎ 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)‎ ‎11．=______．‎ ‎12．定义a※b=a2－b，则(1※2)※3=______．‎ ‎13．将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P′(－1，3)，则点P的坐标是______．‎ ‎14．函数y=(x－2)(3－x)取得最大值时，x=______．‎ ‎15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=______．‎ 第15题图 ‎16．从分别标有1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽2张，其中和为奇数的概率是______．‎ ‎17．直线y=ax(a＞0)与双曲线y=交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则4x1y2－3x2y1=______．‎ ‎18．如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为______；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为______(用含自然数n的式子表示)．‎ 第18题图 三、解答题(本大题共7个小题，满分66分)‎ ‎19．(本题满分6分)已知x=2＋，y=2－，计算代数式的值．‎ ‎20．(本题满分8分)如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．‎ ‎(1)求证：A、E、C、F四点共圆；‎ ‎(2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM=ND．‎ 第20题图 ‎21．(本题满分10分)星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完．‎ ‎(1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？‎ ‎(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？‎ ‎22．(本题满分10分)某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形高度之比为3∶4∶5∶8∶2，又知此次调查中捐15元和20元的人数共39人．‎ ‎(1)他们一共抽查了多少人？捐款数不少于20元的概率是多少？‎ ‎(2)这组数据的众数、中位数各是多少？‎ ‎(3)若该校共有2310名学生，请估算全校学生共捐款多少元？‎ 第22题图 ‎23．(本题满分10分)如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．‎ ‎(1)求证：PA·PB=PC·PD；‎ ‎(2)设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD：‎ ‎(3)若AB=8，CD=6，求OP的长．‎ 第23题图 ‎24．(本题满分10分)一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．‎ ‎(1)求该函数的解析式；‎ ‎(2)O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．‎ ‎ 第24题图 ‎25．(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．‎ ‎(1)若m为常数，求抛物线的解析式；‎ ‎(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？‎ ‎(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 第25题图 湖北省荆门市二00九年初中毕业生学业考试试卷 数学试题参考答案及评分标准 说明：除本答案给出的解法外，如有其它正确解法，可按步骤相应给分．‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B B D B C C D C A A 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)‎ ‎11．；12．－2；13．(1，2)；14．；15．2；16．；17．－3；18．点B；4n＋3（录入者注：填4n－1(n为正整数)更合适）‎ 三、解答题(本大题共7个小题，满分66分)‎ ‎19．解：＝‎ ‎ ＝＝…………………………………………………………………4分 当x＝2＋，y＝2－时，＝－4…………………………6分 ‎20．解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°．‎ ‎∴∠AEC＋∠AFC＝180°．∴A、E、C、F四点共圆；…………………………………4分 ‎(2)由(1)可知，圆的直径是AC，设AC、BD相交于点O，‎ ‎∵ABCD是平行四边形，∴O为圆心．‎ ‎∴OM＝ON．∴BM＝DN．…………………………………………………………………8分 ‎21．解：(1)设买可乐、奶茶分别为x、y杯，根据题意得 ‎2x＋3y＝20(且x、y均为自然数) …………………………………………………………2分 ‎∴x＝≥0 解得y≤‎ ‎∴y＝0，1，2，3，4，5，6．代入2x＋3y＝20 并检验得 ‎……………………………………………………………6分 所以有四种购买方式，每种方式可乐和奶茶的杯数分别为：(亦可直接列举法求得)‎ ‎10，0；7，2；4，4；1，6．………………………………………………………………7分 ‎(2)根据题意：每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，即y≥2且x＋y≥8‎ 由(1)可知，有二种购买方式．……………………………………………………………10分 ‎22．解：(1)设捐15元的人数为5x，则根据题意捐20元的人数为8x．‎ ‎∴5x＋8x＝39，∴x＝3‎ ‎∴一共调查了3x＋4x＋5x＋8x＋2x＝66(人) ……………………………………………3分 ‎∴捐款数不少于20元的概率是．…………………………………………………5分 ‎(2)由(1)可知，这组数据的众数是20(元)，中位数是15(元)．……………………………7分 ‎(3)全校学生共捐款 ‎(9×5＋12×10＋15×15＋24×20＋6×30)÷66×2310＝36750(元) …………………10分 ‎23．(1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C．‎ ‎∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴，∴PA·PB＝PC·PD；………………………3分 ‎(2)∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．‎ 又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，‎ ‎∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．………………………………………………………7分 ‎(3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂径定理：‎ ‎∴OM2＝(2)2－42＝4，ON2＝(2)2－32＝11‎ 又易证四边形MONP是矩形，‎ ‎∴OP＝………………………………………………………………7分 ‎24．解：(1)将点A、B的坐标代入y＝kx＋b并计算得k＝－2，b＝4．‎ ‎∴解析式为：y＝－2x＋4；…………………………………………………………………5分 ‎(2)设点C关于点O的对称点为C′，连结PC′、DC′，则PC＝PC′．‎ ‎∴PC＋PD＝PC′＋PD≥C′D，即C′、P、D共线时，PC＋PD的最小值是C′D．‎ 连结CD，在Rt△DCC′中，C′D＝＝2；‎ 易得点P的坐标为(0，1)．………………………………………………………………10分 ‎(亦可作Rt△AOB关于y轴对称的△)‎ ‎25．解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－‎4a．…………2分 ‎∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，‎ ‎∴C(m，－2)代入得a＝．∴解析式为：y＝(x－m)2－2．…………………………5分 ‎(亦可求C点，设顶点式)‎ ‎(2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝(x－m)2－2顶点在坐标原点．………………………………………7分 ‎(3)由(1)得D(0，m2－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．‎ ‎∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．……………………………………………9分 ‎∴m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．‎ 当m＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；‎ 当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍)‎ 综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．……………………………12分