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文档介绍
中考数学压轴题汇编含解题过程
冲刺2010 ——2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程) 2、(2009年重庆市)26.已知:如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E. (1)求过点E、D、C的抛物线的解析式; (2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 26题图 y x D B C A E E O 26.解:(1)由已知,得,, , . . (1分) 设过点的抛物线的解析式为. 将点的坐标代入,得. 将和点的坐标分别代入,得 (2分) 解这个方程组,得 故抛物线的解析式为. (3分) (2)成立. (4分) 点在该抛物线上,且它的横坐标为, y x D B C A E E O M F K G G 点的纵坐标为. (5分) 设的解析式为, 将点的坐标分别代入,得 解得 的解析式为. (6分) ,. (7分) 过点作于点, 则. , . 又, . . . (8分) . (3)点在上,,,则设. ,,. ①若,则, 解得.,此时点与点重合. . (9分) ②若,则, 解得 ,,此时轴. 与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1, 点的纵坐标为. . (10分) ③若,则, 解得,,此时,是等腰直角三角形. y x D B C A E E O Q P H G G (P) (Q) Q (P) 过点作轴于点, 则,设, . . 解得(舍去). . (12分) 综上所述,存在三个满足条件的点, 即或或. 3、(2009年重庆綦江县)26.(11分)如图,已知抛物线经过点,抛物线的顶点为,过作射线.过顶点平行于轴的直线交射线于点,在轴正半轴上,连结. (1)求该抛物线的解析式; (2)若动点从点出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线运动,设点运动的时间为.问当为何值时,四边形分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? x y M C D P Q O A B (3)若,动点和动点分别从点和点同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为,连接,当为何值时,四边形的面积最小?并求出最小值及此时的长. *26.解:(1)抛物线经过点, 1分 二次函数的解析式为: 3分 (2)为抛物线的顶点过作于,则, 4分 x y M C D P Q O A B N E H 当时,四边形是平行四边形 5分 当时,四边形是直角梯形 过作于,则 (如果没求出可由求) 6分 当时,四边形是等腰梯形 综上所述:当、5、4时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形. 7分 (3)由(2)及已知,是等边三角形 则 过作于,则 8分 = 9分 当时,的面积最小值为 10分 此时 11分 5、(2009年河南省)23.(11分)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD 向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E ①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长? ②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值. 解.(1)点A的坐标为(4,8) …………………1分 将A (4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得a=-,b=4 ∴抛物线的解析式为:y=-x2+4x …………………3分 (2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE==,即= ∴PE=AP=t.PB=8-t. ∴点E的坐标为(4+t,8-t). ∴点G的纵坐标为:-(4+t)2+4(4+t)=-t2+8. …………………5分 ∴EG=-t2+8-(8-t) =-t2+t. ∵-<0,∴当t=4时,线段EG最长为2. …………………7分 ②共有三个时刻. …………………8分 t1=, t2=,t3= . …………………11分 8、(2009年安徽省)23.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示. 金额w(元) O 批发量m(kg) 300 200 100 20 40 60 (1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义. 【解】 O 60 20 4 批发单价(元) 5 批发量(kg) ① ② 第23题图(1) (2)写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量m(kg)之间的 函数关系式;在下图的坐标系中画出该函数图象;指出金额在什 么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果. 【解】 (3)经调查,某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 数关系如图(2)所示,该经销商拟每日售出60kg以上该种水果, 且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案, 使得当日获得的利润最大. 【解】 O 6 2 40 日 最高销量(kg) 80 零售价(元) 第23题图(2) 4 8 (6,80) (7,40) 金额w(元) O 批发量m(kg) 300 200 100 20 40 60 240 23.(1)解:图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果, 可按5元/kg批发;……3分 图②表示批发量高于60kg的该种水果,可按4元/kg批发. ………………………………………………………………3分 (2)解:由题意得:,函数图象如图所示. ………………………………………………………………7分 由图可知资金金额满足240<w≤300时,以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果.……………………………8分 (3)解法一: 设当日零售价为x元,由图可得日最高销量 当m>60时,x<6.5 由题意,销售利润为 ………………………………12分 当x=6时,,此时m=80 即经销商应批发80kg该种水果,日零售价定为6元/kg, 当日可获得最大利润160元.……………………………………………14分 解法二: 设日最高销售量为xkg(x>60) 则由图②日零售价p满足:,于是 销售利润………………………12分 当x=80时,,此时p=6 即经销商应批发80kg该种水果,日零售价定为6元/kg, 当日可获得最大利润160元.……………………………………………14分 (2009年广东广州)25.(本小题满分14分) 10、如图13,二次函数 的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),ΔABC的面积为。 (1)求该二次函数的关系式; (2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点,求m的取值范围; (3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。 25.(本小题满分14分) 解:(1)OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=,得AB=, 设A(a,0),B(b,0)AB=b-a==,解得p=,但p<0,所以p=。 所以解析式为: (2)令y=0,解方程得,得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC 中可求得AC=,同样可求得BC=,,显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB 为斜边,所以外接圆的直径为AB=,所以. (3)存在,AC⊥BC,①若以AC为底边,则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式 为y=-2x+b,把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4,解方程组得D(,9) ②若以BC为底边,则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b,把 A(,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25,解方程组得D() 综上,所以存在两点:(,9)或()。 12、(2009 年哈尔滨市)28.(本题10分) 如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4), 点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H. (1)求直线AC的解析式; (2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围); (3)在(2)的条件下,当 t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值. 15、(2009年烟台市)26.(本题满分14分) 如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于C点,且经过点,对称轴是直线,顶点是. (1) 求抛物线对应的函数表达式; (2) 经过两点作直线与轴交于点,在抛物线上是否存在这样的点,使以点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由; (3) 设直线与y轴的交点是,在线段上任取一点(不与重合),经过三点的圆交直线于点,试判断的形状,并说明理由; O B x y A M C 1 (第26题图) (4) 当是直线上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论). 26.(本题满分14分) y x E D N O A C M P N 1 F (第26题图) 解:(1)根据题意,得 2分 解得 抛物线对应的函数表达式为. 3分 (2)存在. 在中,令,得. 令,得,. ,,. 又,顶点. 5分 容易求得直线的表达式是. 在中,令,得. ,. 6分 在中,令,得. . ,四边形为平行四边形,此时. 8分 (3)是等腰直角三角形. 理由:在中,令,得,令,得. 直线与坐标轴的交点是,. ,. 9分 又点,.. 10分 由图知,. 11分 ,且.是等腰直角三角形. 12分 (4)当点是直线上任意一点时,(3)中的结论成立. 14分 17、(2009年潍坊市)24.(本小题满分12分) 如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心在坐标原点,且与两坐标轴分别交于四点.抛物线与轴交于点,与直线交于点,且分别与圆相切于点和点. (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴交轴于点,连结,并延长交圆于,求的长. (3)过点作圆的切线交的延长线于点,判断点是否在抛物线上,说明理由. O x y N C D E F B M A 24.(本小题满分12分) 解:(1)圆心在坐标原点,圆的半径为1, 点的坐标分别为 抛物线与直线交于点,且分别与圆相切于点和点, . 2分 点在抛物线上,将的坐标代入 ,得: 解之,得: 抛物线的解析式为:. 4分 (2) 抛物线的对称轴为, O x y N C D E F B M A P . 6分 连结, ,, 又, , . 8分 (3)点在抛物线上. 9分 设过点的直线为:, 将点的坐标代入,得:, 直线为:. 10分 过点作圆的切线与轴平行,点的纵坐标为, 将代入,得:. 点的坐标为, 11分 当时,, 所以,点在抛物线上. 12分 说明:解答题各小题中只给出了1种解法,其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数. 18、(2009年山东临沂市)26.(本小题满分13分) 如图,抛物线经过三点. (1)求出抛物线的解析式; (2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得的面积最大,求出点D的坐标. O x y A B C 4 1 (第26题图) 26.解:(1)该抛物线过点,可设该抛物线的解析式为. 将,代入, 得解得 此抛物线的解析式为. (3分) (2)存在. (4分) 如图,设点的横坐标为, O x y A B C 4 1 (第26题图) D P M E 则点的纵坐标为, 当时, ,. 又, ①当时, , 即. 解得(舍去),. (6分) ②当时,,即. 解得,(均不合题意,舍去) 当时,. (7分) 类似地可求出当时,. (8分) 当时,. 综上所述,符合条件的点为或或. (9分) (3)如图,设点的横坐标为,则点的纵坐标为. 过作轴的平行线交于. 由题意可求得直线的解析式为. (10分) 点的坐标为. . (11分) . 当时,面积最大. . (13分) 20、(2009年四川遂宁市)25.如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由. 25.⑴设二次函数的解析式为:y=a(x-h)2+k ∵顶点C的横坐标为4,且过点(0,) ∴y=a(x-4)2+k ………………① 又∵对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6 ∴A(1,0),B(7,0) ∴0=9a+k ………………② 由①②解得a=,k= ∴二次函数的解析式为:y=(x-4)2- ⑵∵点A、B关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO ∴ ∴ ∴点P的坐标为(4,) ⑶由⑴知点C(4,), 又∵AM=3,∴在Rt△AMC中,cot∠ACM=, ∴∠ACM=60o,∵AC=BC,∴∠ACB=120o ①当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ有 BQ=6,∠ABQ=120o,则∠QBN=60o ∴QN=3,BN=3,ON=10, 此时点Q(10,), 如果AB=AQ,由对称性知Q(-2,) ②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB, 此时点Q的坐标是(4,), 经检验,点(10,)与(-2,)都在抛物线上 综上所述,存在这样的点Q,使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为(10,)或(-2,)或(4,). 21、(2009年四川南充市)21.如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点. (1)求正比例函数和反比例函数的解析式; (2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点,求的值和这个一次函数的解析式; (3)第(2)问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式; (4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足:?若存在,求点E的坐标; 若不存在,请说明理由. y x O C D B A 3 3 6 21.解:(1)设正比例函数的解析式为, 因为的图象过点,所以 ,解得. 这个正比例函数的解析式为. (1分) 设反比例函数的解析式为. 因为的图象过点,所以 ,解得. 这个反比例函数的解析式为. (2分) (2)因为点在的图象上,所以 ,则点. (3分) 设一次函数解析式为. 因为的图象是由平移得到的, 所以,即. 又因为的图象过点,所以 ,解得, 一次函数的解析式为. (4分) (3)因为的图象交轴于点,所以的坐标为. 设二次函数的解析式为. 因为的图象过点、、和, 所以 (5分) 解得 y x O C D B A 3 3 6 E 这个二次函数的解析式为. (6分) (4)交轴于点,点的坐标是, 如图所示, . 假设存在点,使. 四边形的顶点只能在轴上方,, . ,. (7分) 在二次函数的图象上, . 解得或. 当时,点与点重合,这时不是四边形,故舍去, 点的坐标为. (8分) 22、(2009年四川凉山州)26.如图,已知抛物线经过,两点,顶点为. (1)求抛物线的解析式; (2)将绕点顺时针旋转90°后,点落到点的位置,将抛物线沿轴平移后经过点,求平移后所得图象的函数关系式; y x B A O D (第26题) (3)设(2)中平移后,所得抛物线与轴的交点为,顶点为,若点在平移后的抛物线上,且满足的面积是面积的2倍,求点的坐标. 26.解:(1)已知抛物线经过, 解得 所求抛物线的解析式为. 2分 (2),, 可得旋转后点的坐标为 3分 当时,由得, 可知抛物线过点 将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点. 平移后的抛物线解析式为:. 5分 (3)点在上,可设点坐标为 y x C B A O N D B1 D1 图① 将配方得,其对称轴为. 6分 ①当时,如图①, 此时 y x C B A O D B1 D1 图② N 点的坐标为. 8分 ②当时,如图② 同理可得 此时 点的坐标为. 综上,点的坐标为或. 10分 23、(2009年武汉市)25.(本题满分12分) 如图,抛物线经过、两点,与轴交于另一点. (1)求抛物线的解析式; (2)已知点在第一象限的抛物线上,求点关于直线对称的点的坐标; y x O A B C (3)在(2)的条件下,连接,点为抛物线上一点,且,求点的坐标. 25.解:(1)抛物线经过,两点, 解得 抛物线的解析式为. y x O A B C D E (2)点在抛物线上,, 即,或. 点在第一象限,点的坐标为. 由(1)知. 设点关于直线的对称点为点. ,,且, , 点在轴上,且. ,. 即点关于直线对称的点的坐标为(0,1). (3)方法一:作于,于. y x O A B C D E P F 由(1)有:, . ,且. , . ,,, . 设,则,, . 点在抛物线上, , (舍去)或,. y x O A B C D P Q G H 方法二:过点作的垂线交直线于点,过点作轴于.过点作于. . , 又,. ,,. 由(2)知,. ,直线的解析式为. 解方程组得 点的坐标为. 24、(2009年鄂州市)27.如图所示,将矩形OABC沿AE折叠,使点O恰好落在BC上F处,以CF为边作正方形CFGH,延长BC至M,使CM=|CF—EO|,再以CM、CO为边作矩形CMNO (1)试比较EO、EC的大小,并说明理由 (2)令,请问m是否为定值?若是,请求出m的值;若不是,请说明理由 (3)在(2)的条件下,若CO=1,CE=,Q为AE上一点且QF=,抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点,请求出此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下,若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在,请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在,请说明理由。 27、(1)EO>EC,理由如下: 由折叠知,EO=EF,在Rt△EFC中,EF为斜边,∴EF>EC, 故EO>EC …2分 (2)m为定值 ∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC) S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ∴ ……………………………………………………4分 (3)∵CO=1, ∴EF=EO= ∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°, ∴ ∴△EFQ为等边三角形, …………………………………………5分 作QI⊥EO于I,EI=,IQ= ∴IO= ∴Q点坐标为 ……………………………………6分 ∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0,1), Q ,m=1 ∴可求得,c=1 ∴抛物线解析式为 ……………………………………7分 (4)由(3), 当时,<AB ∴P点坐标为 …………………8分 ∴BP=AO 方法1:若△PBK与△AEF相似,而△AEF≌△AEO,则分情况如下: ①时,∴K点坐标为或 ②时, ∴K点坐标为或…………10分 故直线KP与y轴交点T的坐标为 …………………………………………12分 方法2:若△BPK与△AEF相似,由(3)得:∠BPK=30°或60°,过P作PR⊥y轴于R,则∠RTP=60°或30° ①当∠RTP=30°时, ②当∠RTP=60°时, ∴ ……………………………12分 27、(2009年湖北省荆门市)25.(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC. (1)若m为常数,求抛物线的解析式; (2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点? (3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BCD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 第25题图 25.解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-m+2)(x-m-2)=a(x-m)2-4a.…………2分 ∵AC⊥BC,由抛物线的对称性可知:△ACB是等腰直角三角形,又AB=4, ∴C(m,-2)代入得a=.∴解析式为:y=(x-m)2-2.…………………………5分 (亦可求C点,设顶点式) (2)∵m为小于零的常数,∴只需将抛物线向右平移-m个单位,再向上平移2个单位,可以使抛物线y=(x-m)2-2顶点在坐标原点.………………………………………7分 (3)由(1)得D(0,m2-2),设存在实数m,使得△BOD为等腰三角形. ∵△BOD为直角三角形,∴只能OD=OB.……………………………………………9分 ∴m2-2=|m+2|,当m+2>0时,解得m=4或m=-2(舍). 当m+2<0时,解得m=0(舍)或m=-2(舍); 当m+2=0时,即m=-2时,B、O、D三点重合(不合题意,舍) 综上所述:存在实数m=4,使得△BOD为等腰三角形.……………………………12分 (2009年湖南省株洲市)23.(本题满分12分)如图,已知为直角三角形,,,点、在轴上,点坐标为(,)(),线段 与轴相交于点,以(1,0)为顶点的抛物线过点、. (1)求点的坐标(用表示); (2)求抛物线的解析式; (3)设点为抛物线上点至点之间的一动点,连结并延长交于点,连结 并延长交于点,试证明:为定值. 23.(1)由可知,,又△ABC为等腰直角三角形,∴,,所以点A的坐标是(). ………………… 3分 (2)∵ ∴,则点的坐标是(). 又抛物线顶点为,且过点、,所以可设抛物线的解析式为:,得: 解得 ∴抛物线的解析式为 ………7分 (3)过点作于点,过点作于点,设点的坐标是,则,. ∵ ∴∽ ∴ 即,得 ∵ ∴∽ ∴ 即,得 又∵ ∴ 即为定值8. ……………………12分 本答案仅供参考,若有其他解法,请参照本评分标准评分. 29、(2009年衡阳市)26、(本小题满分9分) 如图12,直线与两坐标轴分别相交于A、B点,点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外),过M分别作MC⊥OA于点C,MD⊥OB于D. (1)当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD的周长是否发生变化?并说明理由; (2)当点M运动到什么位置时,四边形OCMD的面积有最大值?最大值是多少? (3)当四边形OCMD为正方形时,将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为,正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S.试求S与的函数关系式并画出该函数的图象. B x y M C D O A 图12(1) B x y O A 图12(2) B x y O A 图12(3) 解:(1)设点M的横坐标为x,则点M的纵坐标为-x+4(0查看更多
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