中考数学函数与等腰三角形题型分析

中考数学函数与等腰三角形题型分析

中考数学函数与等腰三角形经典题型分析 例1 ‎ 如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．‎ ‎（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；‎ ‎（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；‎ ‎（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．‎ 图1 图2‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，△APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”， 拖动点P由O向C运动，可以体验到，点H在以OM为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．‎ 思路点拨 ‎1．用含m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备．‎ ‎2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解．‎ ‎3．猜想点H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt△OHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C．‎ 满分解答 ‎（1）因为PC//DB，所以．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到点D的坐标为(2，4－m)．‎ ‎（2）在△APD中，，，．‎ ‎①当AP＝AD时，．解得（如图3）．‎ ‎②当PA＝PD时，．解得（如图4）或（不合题意，舍去）．‎ ‎③当DA＝DP时，．解得（如图5）或（不合题意，舍去）．‎ 综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为，或．‎ 图3 图4 图5‎ ‎（3）点H所经过的路径长为．‎ 考点伸展 第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：‎ ‎①如图3，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以．因此，．‎ ‎②如图4，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此．解得．‎ 第（2）题的思路是这样的：‎ 如图6，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．‎ 图6 图7‎ 例2 ‎ 如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B．‎ ‎（1）求点A和点B的坐标；‎ ‎（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．‎ ‎①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？‎ ‎②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 图1 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图像中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．‎ 思路点拨 ‎1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．‎ ‎2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．‎ ‎3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．‎ 满分解答 ‎（1）解方程组 得 所以点A的坐标是(3，4)．‎ 令，得．所以点B的坐标是(7，0)．‎ ‎（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．‎ 因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．‎ 图2 图3 图4‎ ‎②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．‎ 如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．‎ 如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．‎ 因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．‎ 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．‎ 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．‎ 在△APQ中， 为定值，，．‎ 如图5，当AP＝AQ时，解方程，得．‎ 如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．‎ 如7，当PA＝PQ时，那么．因此．解方程，得．‎ 综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形． ‎ 图5 图6 图7‎ 考点伸展 当P在CA上，QP＝QA时，也可以用来求解 ‎．例3 ‎ 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．‎ ‎(1)求证：MN∶NP为定值；‎ ‎(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；‎ ‎(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．‎ 思路点拨 ‎1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．‎ ‎2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．‎ ‎3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．‎ ‎4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B 的两边的长先表示出来，再分类计算．‎ 满分解答 ‎(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒．‎ 在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t ，AQ＝3t．‎ 在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．‎ 在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．‎ ‎(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．‎ 如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，，所以．解得．此时CM．‎ ‎ ‎ 图2 图3 图4‎ ‎(3)如图5，图6，图7中，，即．所以．‎ ‎①当N在AB上时，在△BNP中，∠B是确定的，，．‎ ‎(Ⅰ)如图5，当BP＝BN时，解方程，得．此时CM．‎ ‎(Ⅱ)如图6，当NB＝NP时，．解方程，得．此时CM．‎ ‎(Ⅲ)当PB＝PN时，．解方程，得t的值为负数，因此不存在PB＝PN的情况．‎ ‎②如图7，当点N在线段AB的延长线上时，∠B是钝角，只存在BP＝BN的可能，此时．解方程，得．此时CM．‎ ‎ ‎ 图5 图6 图7‎ 考点伸展 如图6，当NB＝NP时，△NMA是等腰三角形，，这样计算简便一些．‎ 例4 ‎ 如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式； ‎ ‎（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ ‎（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图像，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图像，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC 的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．‎ 拖动点A可以改变m的值，再拖动图像中标签为“y随x” 的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．‎ 思路点拨 ‎1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．‎ ‎2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．‎ ‎3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．‎ 满分解答 ‎(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此，即．整理，得y关于x的函数关系为．‎ ‎(2)如图2，当m＝8时，．因此当x＝4时，y取得最大值为2．‎ ‎(3) 若，那么．整理，得．解得x＝2或x＝6．要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y ＝2代入，得m＝6（如图3）；将x＝y ＝6代入，得m＝2（如图4）．‎ ‎ ‎ 图2 图3 图4‎ 考点伸展 本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：‎ 由第（1）题得到，‎ 那么不论m为何值，当x＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB边为多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值．第（2）题m＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．‎ 再如，不论m为小于8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程 总有一个根的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊