北京市丰台区中考二模数学试题

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丰台区 2016 年初三统一练习（二） 数学试卷 2016. 06 考 生 须 知 1. 本试卷共 8 页，共三道大题，29 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考试号。 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4. 在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 截止到 2015 年底，我国已实现 31 个省市志愿服务组织区域全覆盖，志愿者总数已超 110 000 000 人. 将 110 000 000 用科学记数法表示应为 A. 610×110 B. 710×11 C. 810×1.1 D. 810×.110 2. 如图，数轴上有 A，B，C，D 四个点，其中表示绝对值相等的两个实数的点是 A. 点 A 与点 D B. 点 B 与点 D C. 点 B 与点 C D. 点 C 与点 D 3. 一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6 六个数字，投掷这个骰子一次，则 向上一面的数字大于 4 的概率是 A. 2 1 B. 3 1 C. 3 2 D. 6 1 4. 京剧是我国的国粹，是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介. 在下面的四个京剧脸谱中，不是．．轴对 称图形的是 A B C D 5. 将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于 A. 90° B. 75° C. 60° D. 45° 6. 如图所示，河堤横断面迎水坡 AB 的坡角是 30°，堤高 BC=5m， 则坡面 AB 的长度是 A. 10m B. 10 3 m C. 15m D. 5 3 m 1 2 3 4 5-1-2-3-4 60 BA DC 7. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击的平均成绩恰好都是 9.6 环，方差分别是 2 甲S =0.96， 2 乙S =1.12， 2 丙S =0.56， 2 丁S =1.58. 在本次射击测试中，成绩最稳定的是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，经过刨平的木板上的 A，B 两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这 一实际应用的数学知识是 A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 垂线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 9. 商户小李以每件 6 元的价格购进某商品若干件到市场去销 售，销售金额 y（元）与销售量 x （件）的函数关系的图象 如图所示，则降价后每件商品销售的价格为 A. 5元 B. 10 元 C. 5.12 元 D. 15 元 10. 一个观察员要到如图 1 所示的 A，B，C，D 四个观测点进行观测，行进路线由在同一平面上的 AB， BC，CD，DA，AC，BD 组成. 为记录观察员的行进路线，在 AB 的中点 M 处放置了一台定位仪器， 设观察员行进的路程为 x，观察员与定位仪器之间的距离为 y，若观察员匀速行进，且表示 y 与 x 的函 数关系的图象大致如图 2 所示，则观察员的行进路线可能为 A. A→D→C →B B. A→B→C→D C. A→C→B→D D. A→C→D→B 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11. 分解因式：x3－4x2＋4x = ． 12. 已知射线 OM. 以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM 交 于点 A，再以点 A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点 B， 画射线 OB，如图所示，则∠AOB= °. 13. 关于 x 的不等式 ax＜b 的解集为 x＞-1，写出一组满足条件的 实数 a，b 的值：a =______，b =______． 14. 我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》 里有一道著名算题： 图 1 图 2 AB 一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚各几丁？ 如果译成白话文，其意思是：有 100 个和尚分 100 个馒头， 正好分完. 如果大和尚一人分 3 个，小和尚 3 人分一个，试问大、小和尚各有几人？设大和尚 x 人， 小和尚 y 人，可列方程组为 . 15. 北京市 2010-2015 年机动车保有量统计如图所示. 根据统计图中提供的信息，预估 2016 年北京市 机动车的保有量约________万辆， 你的预估理由是______________． 16. 如图，在棋盘中建立直角坐标系 xOy ，三颗棋子 A，O，B 的位置分别是（-1，1）， （0，0）和（1，0）．如果在其他格点位置添加一颗棋子 C，使 A，O，B，C 四颗棋 子成为一个轴对称图形，请写出所有满足条件的 棋子 C 的位置的坐标： ． 三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分， 第 29 题 8 分） 17. 计算： 1214.30sin322 1 02  ）（）（  ． 18. 已知 4 3x y ，求代数式 2 2( 2 ) ( )( ) 2x y x y x y y     的值． 19. 已知关于 x 的一元二次方程 0132  mxx 有两个不相等的实数根． （1）求 m 的取值范围； （2）若 m 为负．整数．．，求此时方程的根． 20. 如图，△ABC 是等边三角形， ACBD ⊥ 于 点 D，E 为 BC 的中点，连接 DE． 求证：DE =DC． 21. 2016 年 5 月 29 日，北京园博园迎来了“挑战 100，一起跑”百公里接力路跑赛事，活动里程共 100 公里， 采用 10 人×10 公里的方式展开接力竞赛．王刚是一名长跑爱好者，原来每天从家匀速跑步到单位，共 12 公里．为参加此次活动，王刚计划加强训练，速度提高到原来的 1.2 倍，结果提前 10 分钟到单位．问 王刚原来每小时跑多少公里？ 22. 如图，菱形 ABCD 的对角线交于 O 点， A B O E D CB A D C A EB DE∥AC，CE∥BD. （1）求证：四边形 OCED 是矩形； （2）若 AD =5，BD =8，计算 tan∠DCE 的值． 23. 已知反比例函数 y＝ x k （k≠0）的图象经过点 A（－1，6）． （1）求 k 的值； （2）过点 A 作直线 AC 与函数 y＝ x k 的图象交于点 B，与 x 轴交于点 C， 且 AB＝2BC，求点 B 的坐标． 24. 如图，AB 是⊙O 的直径，BD 交⊙O 于点 C，E 为 ⌒ BC 的中点，连接 AE 交 BD 于点 F，作 ABFG ⊥ ， 垂足为 G，连接 AD，且 BAED ∠2=∠ ． （1）求证：AD 为⊙O 的切线； （2）若 cosD = 5 3 ，AD = 6，求 FG 的长． 25. 阅读下列材料： 日前，微信发布《2016 微信春节大数据报告》显示，2016 年除夕当日，利用微信传递春节祝福的音 视频通话时长达 4.2 亿分钟，是 2015 年除夕的 4 倍，“红包不要停”成为春节期间最热门微信表情，其作 者共获得 124508 元的“赞赏”. 报告显示，除夕当日，微信红包的参与者达 4.2 亿人，收发总量达 80.8 亿个，是 2015 年除夕的 8 倍. 除 了通常的定额红包、拼手气红包，除夕到初一期间，微信还推出可以添加照片的拜年红包、引爆朋友圈的 红包照片，以及和诸多品牌商家联合推出的摇一摇红包. 其中，在除夕当日拼手气红包的收发量约为微信 红包收发总量的 20%. 作为一款“国民社交平台”，微信在春节通过红包激活了用户的使用热情，用音视频通话、朋友圈、 微信群等串联起了五湖四海的情感，实现了科技与人文的交汇，成为“过好春节”的标配. 根据以上材料回答下列问题： （1）2016 年除夕当日，拼手气红包收发量约为 亿个； （2）选择统计表或．统计图将 2015 年和 2016 年除夕当日微信红包收发总量和音视频的通话时长表示出来． 26. 有这样一个问题：探究函数 x xy 12  的图象与性质. 小宏根据学习函数的经验，对函数 x xy 12  的图象与性质进行了探究. 下面是小宏的探究过程，请补充完整： （1）函数 x xy 12  的自变量 x 的取值范围是___________； GO F D C BA E （2）下表是 y 与 x 的几组对应值. x … 3 2 1 1 2  1 3  1 3 1 2 1 2 3 … y … 3 8 2 3 0 m 3 8 3 8 2 3 0 2 3 n … 求 m，n 的值； （3）如下图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点. 根据描出的点，画出该函数的图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）：________________. 27. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 2 3( 0)y mx mx m    与 x 轴交于 A，B 两点，且点 A 的坐 标为（3，0）． （1）求点 B 的坐标及 m 的值； （2）当 2 3x   时，结合函数图象直接写出 y 的取值范围； （3）将抛物线在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象 M．若 )0(1  kkxy直线 与图象 M 在直线 2 1x 左侧的部分只有一个公共点，结合图象求 k 的取值 范围． 28. 在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°. 点 D 为 AC 的中点．将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到线段 DF， 连接 EF，CF．过点 F 作 FH FC ，交直线 AB 于点 H． （1）若点 E 在线段 DC 上，如图 1， x y 1 1O x y 1 1O 2 3 4 5-5 1 -4 2 -3 -2 -1-1 2 3 4 5 -5 1 -4 2 -3 -2 ①依题意补全图 1； ②判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明． （2）若 E 为线段 DC 的延长线上一点，如图 2，且 CE= 的面积请求出∠ FCHCFE Δ,15=,2 0∠CFE=12°，请写出求△FCH 的面积的思 路.（可以不写．．．．出计算．．．结果．．） 29. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，1），B（0，－1）. 点 P 是平面内任意一点，直线 PA， PB 与直线 4x  分别交于 M，N 两点．若以 MN 为直径的圆恰好经过点 C（2，0），则称此时的点 P 为理想点． （1）请判断 P1（－4，0），P2（3，0）是否为理想点； （2）若直线 3x   上存在理想点，求理想点的纵坐标； （3）若动直线 ( 0)x m m  上存在理想点，直接写出 m 的取值范围. 丰台区 2016 年初三统一练习（二） 数学参考答案 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E BC BC E BC BC F 图 2图 1 F E BC D A E D BC A 答案 C C B A B A C A B D 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11. x (x-2)2. 12. 60. 13. 1, 1a b=- = （答案不唯一）. 14. 100, 3 100.3 x y yx ì + =ïïïíï + =ïïî 15.预估理由需包含统计图提供的信息，且支撑预估的数据. 16. 1 2 3 4(2,1), ( 1,2), ( 1, 1), (0, 1).C C C C- - - - 三、解答题（本题共 72 分，第 17—26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 17．解：原式 14 2 1 2 32      -------- 4 分 4+2 3 . -------- 5 分 18. 解：原式 2 2 2 2 24 4 ( ) 2x xy y x y y      23 4y xy  -------- 3 分 (3 4 )y y x  ∵ 4 3x y ，∴3 4 0y x  . ∴原式=0. -------- 5 分 19. 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根, ∴ 9 4(1 )m    4 5 0m   ，即 5 4m   . -------- 3 分 （2）∵ m 为负整数，∴ 1m   . ∴方程为 2 3 2 0x x   ，即 ( 1)( 2) 0x x   . 解得 1 21, 2x x    . -------- 5 分 20．证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠C＝60°. -------- 1 分 ∵ BD AC 于点 D， ∴∠BDC＝90°. ∵E 是 BC 中点， ∴ 1 .2DE BC CE  -------- 3 分 ∴△DEC 是等边三角形. -------- 4 分 ∴ .DE DC -------- 5 分 21. 解：设王刚原来每小时跑 x 公里， 则现在每小时跑 1.2 x 公里. -------- 1 分 由题意，得12 12 1 .1.2 6x x   -------- 2 分 解得 12x  . -------- 3 分 经检验， 12x  是所列方程的解，并且符合实际意义. -------- 4 分 答：王刚原来每小时跑 12 公里. -------- 5 分 22.（1）∵DE∥AC，CE∥BD ∴四边形OCED 是平行四边形. -------- 1 分 ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC BD . ∴ 90DOC   . ∴平行四边形OCED 是矩形. -------- 2 分 （2） ∵四边形 ABCD 是菱形，BD=8, ∴ 1 42OD BD  ，CD=AD=5. -------- 3 分 ∴ 2 2 3CO CD OD   . ∵四边形 OCED 是矩形, ∴DE=OC=3，CE=OD=4. -------- 4 分 ∵ 90E   , ∴在 Rt△ DEC 中， 3tan 4 DEDCE EC    . -------- 5 分 23.解：（1）由题意，得 6.k  解得 6.k   -------- 1 分 （2）①当点 B 在第二象限时，如图 1. 过点 A 作 AE⊥x 轴于 E, 过点 B 作 BF⊥x 轴于 F. ∴AE∥BF. ∴ BF CB AE CA  . ∵AB＝2BC, ∴ 1 3 CB CA  . ∵AE＝6, ∴BF＝2. 当 y=2 时， 62 ,x   解得 x=-3. ∴B(-3，2). -------- 3 分 ②当点 B 在第四象限时，如图 2，同①可求点 B(1，-6). 综上所述，点 B 的坐标为(-3，2)或(1，-6). -------- 5 分 24.证明：连接 AC . ∵ AB 是 O 的直径 O E D CB A 图 1 x y 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5 1 2 3 4 5 6 7 8 –1 –2 –3 –4 –5 –6 B C O A FE x y 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5 1 2 3 4 5 6 7 8 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 B C O A F E ∴ 90ACB   . ∴ 90CAB B    . ∵E 为 BC 的中点, ∴ CAE EAB   . ∴ 2CAB EAB   . ∵ BAED ∠2=∠ , ∴ CAB D   . ------- 1 分 ∴ 90B D    . ∴ 90DAB   .即 AB AD . 又∵ AB 是直径, ∴ AD 是 O 的切线. ------- 2 分 （2）∵在 Rt△ ACD 中, 3cos 5 DCD AD   ， 6AD  , 18.5DC  ------- 3 分 ∵在 Rt△ ABD中, 3cos 5 ADD BD   ， 6AD  , ∴ 10BD  . ∵ CAF EAB   , 90ACB   , ABFG ⊥ ， ∴CF FG . ------- 4 分 设CF FG x  . ∵ ABFG ⊥ ， ∴ GFB D   . ∴ 3cos 5 FGGFB FB    . ∴ 5 3FB x . ∵ 10DC CF FB   . ∴18 5 105 3x x   . 解得 12 5x  .∴ 12 5FG  . ------- 5 分 25. 解：（1）16.16； ------- 1 分 （2）统计表如下： 2015 年和 2016 年除夕当日微信红包收发总量 和音视频的通话时长统计表 微信红包收发总量 音视频通话时长 2015 年 10.1 亿个 1.05 亿分钟 2016 年 80.8 亿个 4.2 亿分钟 GO F D C BA E ------- 5 分 26. 解：（1） 0x  . ------- 1 分 （2） 3 8,2 3m n  . ------- 3 分 （3）该函数的图象如下图所示. ------- 4 分 （4）该函数的性质： ①当 x <0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x >0 时，y 随 x 的增大而增大； ②函数的图象与 y 轴无交点,图象由两部分组成. ③关于原点成中心对称. …… （写出一条即可） ------- 5 分 27．（1）将  3,0A 代入，得 1m  ． -------1 分 ∴抛物线的表达式为 2 2 3y x x   ． ∴ B 点的坐标  1,0 ． -------2 分 （2） y 的取值范围是 4 5y   ． -------5 分 （3） 当 x= 2 1 时，y= 4 15 . 代入 1y kx  得 2 19k . 当 x=-1 时，y=0,代入 1y kx  得 k=1. 结合图象可得， k 的取值范围是 1k 或 19 2k <- . -------7 分 28．解：（1）①补全图形，如图 1 所示. ----1 分 ②FH 与 FC 的数量关系是： FH FC ．----2 分 证明：延长 DF 交 AB 于点 G. ∵ ABC△ 中，AC=BC， 90ACB   ， ∴∠A=∠B=45°. ∵∠FDE=90°, x y O x y 1 1O 2 3 4 5- -4 -3 -2 -1-1 2 3 4 5 -4 -3 -2 图 1 ∴∠A=∠AGD=45°. ∴AD=DG. ∵点 D 为 AC 的中点， ∴AD=DC. ∴DC=DG. ∵DE=DF, ∴DC- DE =DG- DF，即 EC =FG． ∵∠EDF =90°， FH FC ， ∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°． ∴∠1 =∠2． ∵ DEF△ 等腰直角三角形， ∴∠DEF =∠DFE = 45°． ∴∠CEF =∠FGH = 135°． ∴△CEF ≌△FGH． ∴ CF=FH． ----5 分 (2)求解思路如下： a.画出图形，如图 3 所示. b.与②同理，可证△CEF ≌△FGH，可得 CF=FH； 从而得出 FCHD 是等腰直角三角形； c. 作 PEFCP 于 ，由 2CE = 可得 CP 的长； d.在 Rt△CPF 中，由sin12 CP CF° = ,可求 CF 的长,进而求出 FCHD 的面积. ----7 分 29．（1） 1( 4,0)P  是理想点, 2 (3,0)P 不是理想点. ----2 分 （2）解法 1: 设 MN 与 x 轴交于点 F ，设理想点的纵坐标为 0y ，则 0( 3, )P y . ∵ (0,1)A ，∴ 01 13AP yy x  . 令 4x  ，得 04(1 ) 13 yy   ，即 04(1 )(4, 1)3 yM   . 同理 04(1 )(4, 1)3 yN   . ∵设G 是 MN 的中点，∴ 04(4, )3 yG  . 1 7( )2 3M NMG y y   ， 2FC  . 在 Rt GFC 中， 2 2 2GC FG FC  ， ∴ 2 2047( ) ( ) 43 3 y  .解得 0 13 4y   ，即理想点的纵坐标为 13 4  .----6 分 图 2 图 3 A F C E P D H B G 解法 2:连接 PO 并延长交 MN 于点 G . ∵ MN ∥ y 轴， ∴ OA PO GM PG  ， OB PO GN PG  ， 即 OA OB GM GN  . ∵OA OB ，∴GM GN ，即点G 是 MN 的中点. 设直线 3x   与 x 轴交于 E, MN 与 x 轴交于点 F . ∵ OA PO GM PG  ， EO PO EF PG  ， ∴ OA GM EO EF  ,即 1 3 7MG  . ∴ 7 3MG  . ∴ 7 3CG MG  .在 Rt△CFG 中，CF=2,由勾股定理得 13 3FG  .∵ PE EO FG FO  ，∴ 13 4PE  . ∴理想点的纵坐标为 13 4  . (3) 44 0 0 3m m或     . ----8 分