北京市丰台区中考二模数学试题

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丰台区 2016 年初三统一练习(二) 数学试卷 2016. 06 考 生 须 知 1. 本试卷共 8 页,共三道大题,29 道小题,满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考试号。 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。 4. 在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5. 考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分) 下列各题均有四个选项,其中只有一个..是符合题意的. 1. 截止到 2015 年底,我国已实现 31 个省市志愿服务组织区域全覆盖,志愿者总数已超 110 000 000 人. 将 110 000 000 用科学记数法表示应为 A. 610×110 B. 710×11 C. 810×1.1 D. 810×.110 2. 如图,数轴上有 A,B,C,D 四个点,其中表示绝对值相等的两个实数的点是 A. 点 A 与点 D B. 点 B 与点 D C. 点 B 与点 C D. 点 C 与点 D 3. 一枚质地均匀的正方体骰子,六个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6 六个数字,投掷这个骰子一次,则 向上一面的数字大于 4 的概率是 A. 2 1 B. 3 1 C. 3 2 D. 6 1 4. 京剧是我国的国粹,是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介. 在下面的四个京剧脸谱中,不是..轴对 称图形的是 A B C D 5. 将一副三角板按图中方式叠放,则∠α等于 A. 90° B. 75° C. 60° D. 45° 6. 如图所示,河堤横断面迎水坡 AB 的坡角是 30°,堤高 BC=5m, 则坡面 AB 的长度是 A. 10m B. 10 3 m C. 15m D. 5 3 m 1 2 3 4 5-1-2-3-4 60 BA DC 7. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人 10 次射击的平均成绩恰好都是 9.6 环,方差分别是 2 甲S =0.96, 2 乙S =1.12, 2 丙S =0.56, 2 丁S =1.58. 在本次射击测试中,成绩最稳定的是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图,经过刨平的木板上的 A,B 两个点,能弹出一条笔直的墨线,而且只能弹出一条墨线,能解释这 一实际应用的数学知识是 A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 垂线段最短 D. 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 9. 商户小李以每件 6 元的价格购进某商品若干件到市场去销 售,销售金额 y(元)与销售量 x (件)的函数关系的图象 如图所示,则降价后每件商品销售的价格为 A. 5元 B. 10 元 C. 5.12 元 D. 15 元 10. 一个观察员要到如图 1 所示的 A,B,C,D 四个观测点进行观测,行进路线由在同一平面上的 AB, BC,CD,DA,AC,BD 组成. 为记录观察员的行进路线,在 AB 的中点 M 处放置了一台定位仪器, 设观察员行进的路程为 x,观察员与定位仪器之间的距离为 y,若观察员匀速行进,且表示 y 与 x 的函 数关系的图象大致如图 2 所示,则观察员的行进路线可能为 A. A→D→C →B B. A→B→C→D C. A→C→B→D D. A→C→D→B 二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 11. 分解因式:x3-4x2+4x = . 12. 已知射线 OM. 以 O 为圆心,任意长为半径画弧,与射线 OM 交 于点 A,再以点 A 为圆心,AO 长为半径画弧,两弧交于点 B, 画射线 OB,如图所示,则∠AOB= °. 13. 关于 x 的不等式 ax<b 的解集为 x>-1,写出一组满足条件的 实数 a,b 的值:a =______,b =______. 14. 我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》 里有一道著名算题: 图 1 图 2 AB 一百馒头一百僧,大僧三个更无争, 小僧三人分一个,大小和尚各几丁? 如果译成白话文,其意思是:有 100 个和尚分 100 个馒头, 正好分完. 如果大和尚一人分 3 个,小和尚 3 人分一个,试问大、小和尚各有几人?设大和尚 x 人, 小和尚 y 人,可列方程组为 . 15. 北京市 2010-2015 年机动车保有量统计如图所示. 根据统计图中提供的信息,预估 2016 年北京市 机动车的保有量约________万辆, 你的预估理由是______________. 16. 如图,在棋盘中建立直角坐标系 xOy ,三颗棋子 A,O,B 的位置分别是(-1,1), (0,0)和(1,0).如果在其他格点位置添加一颗棋子 C,使 A,O,B,C 四颗棋 子成为一个轴对称图形,请写出所有满足条件的 棋子 C 的位置的坐标: . 三、解答题(本题共 72 分,第 17-26 题,每小题 5 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分, 第 29 题 8 分) 17. 计算: 1214.30sin322 1 02  )()(  . 18. 已知 4 3x y ,求代数式 2 2( 2 ) ( )( ) 2x y x y x y y     的值. 19. 已知关于 x 的一元二次方程 0132  mxx 有两个不相等的实数根. (1)求 m 的取值范围; (2)若 m 为负.整数..,求此时方程的根. 20. 如图,△ABC 是等边三角形, ACBD ⊥ 于 点 D,E 为 BC 的中点,连接 DE. 求证:DE =DC. 21. 2016 年 5 月 29 日,北京园博园迎来了“挑战 100,一起跑”百公里接力路跑赛事,活动里程共 100 公里, 采用 10 人×10 公里的方式展开接力竞赛.王刚是一名长跑爱好者,原来每天从家匀速跑步到单位,共 12 公里.为参加此次活动,王刚计划加强训练,速度提高到原来的 1.2 倍,结果提前 10 分钟到单位.问 王刚原来每小时跑多少公里? 22. 如图,菱形 ABCD 的对角线交于 O 点, A B O E D CB A D C A EB DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形 OCED 是矩形; (2)若 AD =5,BD =8,计算 tan∠DCE 的值. 23. 已知反比例函数 y= x k (k≠0)的图象经过点 A(-1,6). (1)求 k 的值; (2)过点 A 作直线 AC 与函数 y= x k 的图象交于点 B,与 x 轴交于点 C, 且 AB=2BC,求点 B 的坐标. 24. 如图,AB 是⊙O 的直径,BD 交⊙O 于点 C,E 为 ⌒ BC 的中点,连接 AE 交 BD 于点 F,作 ABFG ⊥ , 垂足为 G,连接 AD,且 BAED ∠2=∠ . (1)求证:AD 为⊙O 的切线; (2)若 cosD = 5 3 ,AD = 6,求 FG 的长. 25. 阅读下列材料: 日前,微信发布《2016 微信春节大数据报告》显示,2016 年除夕当日,利用微信传递春节祝福的音 视频通话时长达 4.2 亿分钟,是 2015 年除夕的 4 倍,“红包不要停”成为春节期间最热门微信表情,其作 者共获得 124508 元的“赞赏”. 报告显示,除夕当日,微信红包的参与者达 4.2 亿人,收发总量达 80.8 亿个,是 2015 年除夕的 8 倍. 除 了通常的定额红包、拼手气红包,除夕到初一期间,微信还推出可以添加照片的拜年红包、引爆朋友圈的 红包照片,以及和诸多品牌商家联合推出的摇一摇红包. 其中,在除夕当日拼手气红包的收发量约为微信 红包收发总量的 20%. 作为一款“国民社交平台”,微信在春节通过红包激活了用户的使用热情,用音视频通话、朋友圈、 微信群等串联起了五湖四海的情感,实现了科技与人文的交汇,成为“过好春节”的标配. 根据以上材料回答下列问题: (1)2016 年除夕当日,拼手气红包收发量约为 亿个; (2)选择统计表或.统计图将 2015 年和 2016 年除夕当日微信红包收发总量和音视频的通话时长表示出来. 26. 有这样一个问题:探究函数 x xy 12  的图象与性质. 小宏根据学习函数的经验,对函数 x xy 12  的图象与性质进行了探究. 下面是小宏的探究过程,请补充完整: (1)函数 x xy 12  的自变量 x 的取值范围是___________; GO F D C BA E (2)下表是 y 与 x 的几组对应值. x … 3 2 1 1 2  1 3  1 3 1 2 1 2 3 … y … 3 8 2 3 0 m 3 8 3 8 2 3 0 2 3 n … 求 m,n 的值; (3)如下图,在平面直角坐标系 xOy 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点. 根据描出的点,画出该函数的图象; (4)结合函数的图象,写出该函数的性质(一条即可):________________. 27. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 2 2 3( 0)y mx mx m    与 x 轴交于 A,B 两点,且点 A 的坐 标为(3,0). (1)求点 B 的坐标及 m 的值; (2)当 2 3x   时,结合函数图象直接写出 y 的取值范围; (3)将抛物线在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象 M.若 )0(1  kkxy直线 与图象 M 在直线 2 1x 左侧的部分只有一个公共点,结合图象求 k 的取值 范围. 28. 在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°. 点 D 为 AC 的中点.将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到线段 DF, 连接 EF,CF.过点 F 作 FH FC ,交直线 AB 于点 H. (1)若点 E 在线段 DC 上,如图 1, x y 1 1O x y 1 1O 2 3 4 5-5 1 -4 2 -3 -2 -1-1 2 3 4 5 -5 1 -4 2 -3 -2 ①依题意补全图 1; ②判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明. (2)若 E 为线段 DC 的延长线上一点,如图 2,且 CE= 的面积请求出∠ FCHCFE Δ,15=,2 0∠CFE=12°,请写出求△FCH 的面积的思 路.(可以不写....出计算...结果..) 29. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1),B(0,-1). 点 P 是平面内任意一点,直线 PA, PB 与直线 4x  分别交于 M,N 两点.若以 MN 为直径的圆恰好经过点 C(2,0),则称此时的点 P 为理想点. (1)请判断 P1(-4,0),P2(3,0)是否为理想点; (2)若直线 3x   上存在理想点,求理想点的纵坐标; (3)若动直线 ( 0)x m m  上存在理想点,直接写出 m 的取值范围. 丰台区 2016 年初三统一练习(二) 数学参考答案 一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E BC BC E BC BC F 图 2图 1 F E BC D A E D BC A 答案 C C B A B A C A B D 二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 11. x (x-2)2. 12. 60. 13. 1, 1a b=- = (答案不唯一). 14. 100, 3 100.3 x y yx ì + =ïïïíï + =ïïî 15.预估理由需包含统计图提供的信息,且支撑预估的数据. 16. 1 2 3 4(2,1), ( 1,2), ( 1, 1), (0, 1).C C C C- - - - 三、解答题(本题共 72 分,第 17—26 题,每小题 5 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分) 17.解:原式 14 2 1 2 32      -------- 4 分 4+2 3 . -------- 5 分 18. 解:原式 2 2 2 2 24 4 ( ) 2x xy y x y y      23 4y xy  -------- 3 分 (3 4 )y y x  ∵ 4 3x y ,∴3 4 0y x  . ∴原式=0. -------- 5 分 19. 解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根, ∴ 9 4(1 )m    4 5 0m   ,即 5 4m   . -------- 3 分 (2)∵ m 为负整数,∴ 1m   . ∴方程为 2 3 2 0x x   ,即 ( 1)( 2) 0x x   . 解得 1 21, 2x x    . -------- 5 分 20.证明:∵△ABC 是等边三角形,∴∠C=60°. -------- 1 分 ∵ BD AC 于点 D, ∴∠BDC=90°. ∵E 是 BC 中点, ∴ 1 .2DE BC CE  -------- 3 分 ∴△DEC 是等边三角形. -------- 4 分 ∴ .DE DC -------- 5 分 21. 解:设王刚原来每小时跑 x 公里, 则现在每小时跑 1.2 x 公里. -------- 1 分 由题意,得12 12 1 .1.2 6x x   -------- 2 分 解得 12x  . -------- 3 分 经检验, 12x  是所列方程的解,并且符合实际意义. -------- 4 分 答:王刚原来每小时跑 12 公里. -------- 5 分 22.(1)∵DE∥AC,CE∥BD ∴四边形OCED 是平行四边形. -------- 1 分 ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC BD . ∴ 90DOC   . ∴平行四边形OCED 是矩形. -------- 2 分 (2) ∵四边形 ABCD 是菱形,BD=8, ∴ 1 42OD BD  ,CD=AD=5. -------- 3 分 ∴ 2 2 3CO CD OD   . ∵四边形 OCED 是矩形, ∴DE=OC=3,CE=OD=4. -------- 4 分 ∵ 90E   , ∴在 Rt△ DEC 中, 3tan 4 DEDCE EC    . -------- 5 分 23.解:(1)由题意,得 6.k  解得 6.k   -------- 1 分 (2)①当点 B 在第二象限时,如图 1. 过点 A 作 AE⊥x 轴于 E, 过点 B 作 BF⊥x 轴于 F. ∴AE∥BF. ∴ BF CB AE CA  . ∵AB=2BC, ∴ 1 3 CB CA  . ∵AE=6, ∴BF=2. 当 y=2 时, 62 ,x   解得 x=-3. ∴B(-3,2). -------- 3 分 ②当点 B 在第四象限时,如图 2,同①可求点 B(1,-6). 综上所述,点 B 的坐标为(-3,2)或(1,-6). -------- 5 分 24.证明:连接 AC . ∵ AB 是 O 的直径 O E D CB A 图 1 x y 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5 1 2 3 4 5 6 7 8 –1 –2 –3 –4 –5 –6 B C O A FE x y 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5 1 2 3 4 5 6 7 8 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 B C O A F E ∴ 90ACB   . ∴ 90CAB B    . ∵E 为 BC 的中点, ∴ CAE EAB   . ∴ 2CAB EAB   . ∵ BAED ∠2=∠ , ∴ CAB D   . ------- 1 分 ∴ 90B D    . ∴ 90DAB   .即 AB AD . 又∵ AB 是直径, ∴ AD 是 O 的切线. ------- 2 分 (2)∵在 Rt△ ACD 中, 3cos 5 DCD AD   , 6AD  , 18.5DC  ------- 3 分 ∵在 Rt△ ABD中, 3cos 5 ADD BD   , 6AD  , ∴ 10BD  . ∵ CAF EAB   , 90ACB   , ABFG ⊥ , ∴CF FG . ------- 4 分 设CF FG x  . ∵ ABFG ⊥ , ∴ GFB D   . ∴ 3cos 5 FGGFB FB    . ∴ 5 3FB x . ∵ 10DC CF FB   . ∴18 5 105 3x x   . 解得 12 5x  .∴ 12 5FG  . ------- 5 分 25. 解:(1)16.16; ------- 1 分 (2)统计表如下: 2015 年和 2016 年除夕当日微信红包收发总量 和音视频的通话时长统计表 微信红包收发总量 音视频通话时长 2015 年 10.1 亿个 1.05 亿分钟 2016 年 80.8 亿个 4.2 亿分钟 GO F D C BA E ------- 5 分 26. 解:(1) 0x  . ------- 1 分 (2) 3 8,2 3m n  . ------- 3 分 (3)该函数的图象如下图所示. ------- 4 分 (4)该函数的性质: ①当 x <0 时,y 随 x 的增大而增大;当 x >0 时,y 随 x 的增大而增大; ②函数的图象与 y 轴无交点,图象由两部分组成. ③关于原点成中心对称. …… (写出一条即可) ------- 5 分 27.(1)将  3,0A 代入,得 1m  . -------1 分 ∴抛物线的表达式为 2 2 3y x x   . ∴ B 点的坐标  1,0 . -------2 分 (2) y 的取值范围是 4 5y   . -------5 分 (3) 当 x= 2 1 时,y= 4 15 . 代入 1y kx  得 2 19k . 当 x=-1 时,y=0,代入 1y kx  得 k=1. 结合图象可得, k 的取值范围是 1k 或 19 2k <- . -------7 分 28.解:(1)①补全图形,如图 1 所示. ----1 分 ②FH 与 FC 的数量关系是: FH FC .----2 分 证明:延长 DF 交 AB 于点 G. ∵ ABC△ 中,AC=BC, 90ACB   , ∴∠A=∠B=45°. ∵∠FDE=90°, x y O x y 1 1O 2 3 4 5- -4 -3 -2 -1-1 2 3 4 5 -4 -3 -2 图 1 ∴∠A=∠AGD=45°. ∴AD=DG. ∵点 D 为 AC 的中点, ∴AD=DC. ∴DC=DG. ∵DE=DF, ∴DC- DE =DG- DF,即 EC =FG. ∵∠EDF =90°, FH FC , ∴∠1+∠CFD =90°,∠2+∠CFD=90°. ∴∠1 =∠2. ∵ DEF△ 等腰直角三角形, ∴∠DEF =∠DFE = 45°. ∴∠CEF =∠FGH = 135°. ∴△CEF ≌△FGH. ∴ CF=FH. ----5 分 (2)求解思路如下: a.画出图形,如图 3 所示. b.与②同理,可证△CEF ≌△FGH,可得 CF=FH; 从而得出 FCHD 是等腰直角三角形; c. 作 PEFCP 于 ,由 2CE = 可得 CP 的长; d.在 Rt△CPF 中,由sin12 CP CF° = ,可求 CF 的长,进而求出 FCHD 的面积. ----7 分 29.(1) 1( 4,0)P  是理想点, 2 (3,0)P 不是理想点. ----2 分 (2)解法 1: 设 MN 与 x 轴交于点 F ,设理想点的纵坐标为 0y ,则 0( 3, )P y . ∵ (0,1)A ,∴ 01 13AP yy x  . 令 4x  ,得 04(1 ) 13 yy   ,即 04(1 )(4, 1)3 yM   . 同理 04(1 )(4, 1)3 yN   . ∵设G 是 MN 的中点,∴ 04(4, )3 yG  . 1 7( )2 3M NMG y y   , 2FC  . 在 Rt GFC 中, 2 2 2GC FG FC  , ∴ 2 2047( ) ( ) 43 3 y  .解得 0 13 4y   ,即理想点的纵坐标为 13 4  .----6 分 图 2 图 3 A F C E P D H B G 解法 2:连接 PO 并延长交 MN 于点 G . ∵ MN ∥ y 轴, ∴ OA PO GM PG  , OB PO GN PG  , 即 OA OB GM GN  . ∵OA OB ,∴GM GN ,即点G 是 MN 的中点. 设直线 3x   与 x 轴交于 E, MN 与 x 轴交于点 F . ∵ OA PO GM PG  , EO PO EF PG  , ∴ OA GM EO EF  ,即 1 3 7MG  . ∴ 7 3MG  . ∴ 7 3CG MG  .在 Rt△CFG 中,CF=2,由勾股定理得 13 3FG  .∵ PE EO FG FO  ,∴ 13 4PE  . ∴理想点的纵坐标为 13 4  . (3) 44 0 0 3m m或     . ----8 分
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