武汉市2015年中考数学卷

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武汉市2015年中考数学卷

‎2015年湖北省武汉市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)下列各题中均有四个备选答案,其中有且只有一个是正确的,请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.‎ ‎1.(3分)(2015•武汉)在实数﹣3,0,5,3中,最小的实数是(  )‎ ‎  A. ﹣3 B. 0 C. 5 D. 3‎ ‎ 考点: 实数大小比较. ‎ 分析: 正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.‎ 解答: 解:根据实数比较大小的方法,可得 ‎﹣3<0<3<5,‎ 所以在实数﹣3,0,5,3中,最小的实数是﹣3.‎ 故选:A.‎ 点评: 此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小.‎ ‎2.(3分)(2015•武汉)若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ x≥﹣2‎ B.‎ x>﹣2‎ C.‎ x≥2‎ D.‎ x≤2‎ 考点: 二次根式有意义的条件. ‎ 分析: 根据二次根式的性质,被开方数大于等于0,就可以求解.‎ 解答: 解:根据题意得:x﹣2≥0,‎ 解得x≥2.‎ 故选:C.‎ 点评: 本题考查了二次根式有意义的条件,知识点为:二次根式的被开方数是非负数.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2015•武汉)把a2﹣2a分解因式,正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ a(a﹣2)‎ B.‎ a(a+2)‎ C.‎ a(a2﹣2)‎ D.‎ a(2﹣a)‎ 考点: 因式分解-提公因式法. ‎ 专题: 计算题.‎ 分析: 原式提取公因式得到结果,即可做出判断.‎ 解答: 解:原式=a(a﹣2),‎ 故选A.‎ 点评: 此题考查了因式分解﹣提公因式法,熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2015•武汉)一组数据3,8,12,17,40的中位数为(  )‎ A. 3 B. 8 C. 12 D. 17‎ 考  点: 中位数. ‎ 分析: 首先把这组数据3,8,12,17,40从小到大排列,然后判断出中间的数是多少,即可判断出这组数据的中位数为多少.‎ 解答: 解:把3,8,12,17,40从小到大排列,可得 ‎3,8,12,17,40,‎ 所以这组数据3,8,12,17,40的中位数为12.‎ 故选:C.‎ 点评: 此题主要考查了中位数的含义和求法的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2015•武汉)下列计算正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2a2﹣4a2=﹣2‎ B.‎ ‎3a+a=3a2‎ C.‎ ‎3a•a=3a2‎ D.‎ ‎4a6÷2a3=2a2‎ 解:A、原式=﹣2a2,错误;‎ B、原式=4a,错误;‎ C、原式=3a2,正确;‎ D、原式=2a3,错误.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2015•武汉)如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎(2,1)‎ B.‎ ‎(2,0)‎ C.‎ ‎(3,3)‎ D.‎ ‎(3,1)‎ 解:由题意得,△ODC∽△OBA,相似比是,‎ ‎∴=,又OB=6,AB=3,‎ ‎∴OD=2,CD=1,‎ ‎∴点C的坐标为:(2,1),‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2015•武汉)如图,是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体.其主视图是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解:从正面看下面是一个比较长的矩形,上面是一个比较宽的矩形.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2015•武汉)下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况.根据图中信息,下列说法错误的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎4:00气温最低 B.‎ ‎6:00气温为24℃‎ ‎ ‎ C.‎ ‎14:00气温最高 D.‎ 气温是30℃的时刻为16:00‎ 解:A、由横坐标看出4:00气温最低是24℃,故A正确;‎ B、由纵坐标看出6:00气温为24℃,故B正确;‎ C、由横坐标看出14:00气温最高31℃;‎ D、由横坐标看出气温是30℃的时刻是12:00,16:00,故D错误;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2015•武汉)在反比例函数y=图象上有两点A(x1,y1),B (x2,y2),x1<0<x2,y1<y2,则m的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ m>‎ B.‎ m<‎ C.‎ m≥‎ D.‎ m≤‎ 解:∵x1<0<x2时,y1<y2,‎ ‎∴反比例函数图象在第一,三象限,‎ ‎∴1﹣3m>0,‎ 解得:m<.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2015•武汉)如图,△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2﹣‎ B.‎ ‎+1‎ C.‎ D.‎ ‎﹣1‎ 解:连接AD、DG、BO、OM,如图.‎ ‎∵△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,‎ ‎∴AD⊥BC,GD⊥EF,DA=DG,DC=DF,‎ ‎∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC,=,‎ ‎∴△DAG∽△DCF,‎ ‎∴∠DAG=∠DCF.‎ ‎∴A、D、C、M四点共圆.‎ 根据两点之间线段最短可得:BO≤BM+OM,即BM≥BO﹣OM,‎ 当M在线段BO与该圆的交点处时,线段BM最小,‎ 此时,BO===,OM=AC=1,‎ 则BM=BO﹣OM=﹣1.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)请将答案填在答题卡对应题号的位置上.‎ ‎11.(3分)(2015•武汉)计算:﹣10+(+6)= ﹣4 .‎ 考点: 有理数的加法. ‎ 专题: 计算题.‎ 分析: 原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果.‎ 解答: 解:原式=﹣(10﹣6)=﹣4.‎ 故答案为:﹣4.‎ 点评: 此题考查了有理数的加法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2015•武汉)中国的领水面积约为370 000km2,将数370 000用科学记数法表示为 3.7×105 .‎ 解:370 000=3.7×105,‎ 故答案为:3.7×105.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2015•武汉)一组数据2,3,6,8,11的平均数是 6 .‎ 解:(2+3+6+8+11)÷5‎ ‎=30÷5‎ ‎=6‎ 所以一组数据2,3,6,8,11的平均数是6.‎ 故答案为:6.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2015•武汉)如图所示,购买一种苹果,所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 2 元.‎ 解:由线段OA的图象可知,当0<x<2时,y=10x,‎ ‎1千克苹果的价钱为:y=10,‎ 设射线AB的解析式为y=kx+b(x≥2),‎ 把(2,20),(4,36)代入得:,‎ 解得:,‎ ‎∴y=8x+4,‎ 当x=3时,y=8×3+4=28.‎ 当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时,所花钱为:10×3=30(元),‎ ‎30﹣28=2(元).‎ 则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2015•武汉)定义运算“*”,规定x*y=ax2+by,其中a、b为常数,且1*2=5,2*1=6,则2*3= 10 .‎ 解:根据题中的新定义化简已知等式得:,‎ 解得:a=1,b=2,‎ 则2*3=4a+3b=4+6=10,‎ 故答案为:10.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2015•武汉)如图,∠AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是  .‎ 解:作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,‎ 连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值.‎ 根据轴对称的定义可知:∠N′OQ=∠M′OB=30°,∠ONN′=60°,‎ ‎∴△ONN′为等边三角形,△OMM′为等边三角形,‎ ‎∴∠N′OM′=90°,‎ ‎∴在Rt△M′ON′中,‎ M′N′==.‎ 故答案为.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共8小题,共72分)下列各题解答应写出文字说明,证明过程或演算过程.‎ ‎17.(8分)(2015•武汉)已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4).‎ ‎(1)求这个一次函数的解析式;‎ ‎(2)求关于x的不等式kx+3≤6的解集.‎ 解:(1)∵一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4),‎ ‎∴4=k+3,‎ ‎∴k=1,‎ ‎∴这个一次函数的解析式是:y=x+3.‎ ‎(2)∵k=1,‎ ‎∴x+3≤6,‎ ‎∴x≤3,‎ 即关于x的不等式kx+3≤6的解集是:x≤3.‎ ‎ ‎ ‎18.(8分)(2015•武汉)如图,点B、C、E、F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF.求证:‎ ‎(1)△ABC≌△DEF;‎ ‎(2)AB∥DE.‎ 证明:(1)∵AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,‎ ‎∴∠ACB=∠DFE=90°,‎ 在△ABC和△DEF中,,‎ ‎∴△ABC≌△DEF(SAS);‎ ‎(2)∵△ABC≌△DEF,‎ ‎∴∠B=∠DEF,‎ ‎∴AB∥DE.‎ ‎ ‎ ‎19.(8分)(2015•武汉)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4.‎ ‎(1)随机摸取一个小球,直接写出“摸出的小球标号是3”的概率;‎ ‎(2)随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,直接写出下列结果:‎ ‎①两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率;‎ ‎②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率.‎ 解:(1)∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4,‎ ‎∴随机摸取一个小球,直接写出“摸出的小球标号是3”的概率为:;‎ ‎(2)画树状图得:‎ 则共有16种等可能的结果;‎ ‎①∵两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的有2种情况,‎ ‎∴两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率为:=;‎ ‎②∵第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的只有1种情况,‎ ‎∴第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率为:.‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)(2015•武汉)如图,已知点A(﹣4,2),B(﹣1,﹣2),平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O.‎ ‎(1)请直接写出点C、D的坐标;‎ ‎(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程;‎ ‎(3)直接写出平行四边形ABCD的面积.‎ 解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴四边形ABCD关于O中心对称,‎ ‎∵A(﹣4,2),B(﹣1,﹣2),‎ ‎∴C(4,﹣2),D(1,2);‎ ‎(2)线段AB到线段CD的变换过程是:线段AB向右平移5个单位得到线段CD;‎ ‎(3)由(1)得:A到y轴距离为:4,D到y轴距离为:1,‎ A到x轴距离为:2,B到x轴距离为:2,‎ ‎∴SABCD的可以转化为边长为;5和4的矩形面积,‎ ‎∴SABCD=5×4=20.‎ ‎ ‎ ‎21.(8分)(2015•武汉)如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.‎ ‎(1)求证:AT是⊙O的切线;‎ ‎(2)连接OT交⊙O于点C,连接AC,求tan∠TAC.‎ 解:(1)∵∠ABT=45°,AT=AB. ‎ ‎∴∠TAB=90°,‎ ‎∴TA⊥AB,‎ ‎∴AT是⊙O的切线;‎ ‎(2)作CD⊥AT于D,‎ ‎∵TA⊥AB,TA=AB=2OA,‎ 设OA=x,则AT=2x,‎ ‎∴OT=x,‎ ‎∴TC=(﹣1)x,‎ ‎∵CD⊥AT,TA⊥AB ‎∴CD∥AB,‎ ‎∴==,即==,‎ ‎∴CD=(1﹣)x,TD=2(1﹣)x,‎ ‎∴AD=2x﹣2(1﹣)x=x,‎ ‎∴tan∠TAC===﹣1.‎ ‎ ‎ ‎22.(10分)(2015•武汉)已知锐角△ABC中,边BC长为12,高AD长为8.‎ ‎(1)如图,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上,EF交AD于点K.‎ ‎①求的值;‎ ‎②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式,并求S的最大值;‎ ‎(2)若AB=AC,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长.‎ 解:(1)①∵EF∥BC,‎ ‎∴,‎ ‎∴=,‎ 即的值是.‎ ‎②∵EH=x,‎ ‎∴KD=EH=x,AK=8﹣x,‎ ‎∵=,‎ ‎∴EF=,‎ ‎∴S=EH•EF=x(8﹣x)=﹣+24,‎ ‎∴当x=4时,S的最大值是24.‎ ‎(2)设正方形的边长为a,‎ ‎①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时,‎ ‎,‎ 解得a=.‎ ‎②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时,‎ ‎∵AB=AC,AD⊥BC,‎ ‎∴BD=CD=12÷2=6,‎ ‎∴AB=AC=,‎ ‎∴AB或AC边上的高等于:‎ AD•BC÷AB ‎=8×12÷10‎ ‎=‎ ‎∴,‎ 解得a=.‎ 综上,可得 正方形PQMN的边长是或.‎ ‎ ‎ ‎23.(10分)(2015•武汉)如图,△ABC中,点E、P在边AB上,且AE=BP,过点E、P作BC的平行线,分别交AC于点F、Q,记△AEF的面积为S1,四边形EFQP的面积为S2,四边形PQCB的面积为S3.‎ ‎(1)求证:EF+PQ=BC;‎ ‎(2)若S1+S3=S2,求的值;‎ ‎(3)若S3+S1=S2,直接写出的值.‎ ‎(1)证明:∵EF∥BC,PQ∥BC,‎ ‎∴,,‎ ‎∵AE=BP,‎ ‎∴AP=BE,‎ ‎∴==1,‎ ‎∴=1,‎ ‎∴EF+PQ=BC;‎ ‎(2)解:过点A作AH⊥BC于H,分别交PQ于M、N,如图所示:‎ 设EF=a,PQ=b,AM=h,‎ 则BC=a+b,‎ ‎∵EF∥PQ,‎ ‎∴△AEF∽△APQ,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AN=,MN=(﹣1)h,‎ ‎∴S1=ah,S2=(a+b)(﹣1)h,S3=(b+a+b)h,‎ ‎∵S1+S3=S2,‎ ‎∴ah+(a+b+b)h=(a+b)(﹣1)h,‎ 解得:b=3a,‎ ‎∴=3,‎ ‎∴=2;‎ ‎(3)解:∵S3﹣S1=S2,‎ ‎∴(a+b+b)h﹣ah=(a+b)(﹣1)h,‎ 解得:b=(1±)a(负值舍去),‎ ‎∴b=(1+)a,‎ ‎∴=1+,‎ ‎∴=.‎ ‎ ‎ ‎24.(12分)(2015•武汉)已知抛物线y=x2+c与x轴交于A(﹣1,0),B两点,交y轴于点C.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点E(m,n)是第二象限内一点,过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F,过点F作FG⊥y轴于点G,连接CE、CF,若∠CEF=∠CFG.求n的值并直接写出m的取值范围(利用图1完成你的探究).‎ ‎(3)如图2,点P是线段OB上一动点(不包括点O、B),PM⊥x轴交抛物线于点M,∠OBQ=∠OMP,BQ交直线PM于点Q,设点P的横坐标为t,求△PBQ的周长.‎ 解:(1)把A(﹣1,0)代入 得c=﹣,‎ ‎∴抛物线解析式为 ‎(2)如图1,过点C作CH⊥EF于点H,‎ ‎∵∠CEF=∠CFG,FG⊥y轴于点G ‎∴△EHC∽△FGC ‎∵E(m,n)‎ ‎∴F(m,)‎ 又∵C(0,)‎ ‎∴EH=n+,CH=﹣m,FG=﹣m,CG=m2‎ 又∵,‎ 则 ‎∴n+=2‎ ‎∴n=(﹣2<m<0)‎ ‎(3)由题意可知P(t,0),M(t,)‎ ‎∵PM⊥x轴交抛物线于点M,∠OBQ=∠OMP,‎ ‎∴△OPM∽△QPB.‎ ‎∴.‎ 其中OP=t,PM=,PB=1﹣t,‎ ‎∴PQ=.‎ BQ=‎ ‎∴PQ+BQ+PB=.‎ ‎∴△PBQ的周长为2.‎ ‎ 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