中考数学试题分类全集04 1049圆与相似三角形
26．（本小题满分12分）
如图12-1所示，在中，，，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动．
（1）点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置．若不能，请说明理由．
（2）当时，设，，求与之间的函数解析式，写出的取值范围．
（3）在满足（2）中的条件时，若以为圆心的圆与相切（如图12-2），试探究直线与的位置关系，并证明你的结论．
图12-1
图12-2
26．解：如图，
（1）点移动的过程中，能成为的等腰三角形．
此时点的位置分别是：
①是的中点，与重合．
②．③与重合，是的中点． 3分
（2）在和中，
，，
．
又，
． 5分
．
，，，
． 8分
（3）与相切．
，
．
．
即．
又，
．
． 10分
点到和的距离相等．
与相切，
点到的距离等于的半径．
与相切． 12分
24.如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分
∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2=AF·AC，cos∠ABD=，AD=12．
⑴求证：△ANM≌△ENM；
⑵求证：FB是⊙O的切线；
⑶证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．
24.⑴证明：∵BC是⊙O的直径
∴∠BAC=90o
又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，
∴AM=ME，∠AMN=EMN
又∵MN=MN，
∴△ANM≌△ENM
⑵∵AB2=AF·AC
∴
又∵∠BAC=∠FAB=90o
∴△ABF∽△ACB
∴∠ABF=∠C
又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o
∴FB是⊙O的切线
⑶由⑴得AN=EN，AM=EM，∠AMN=EMN，
又∵AN∥ME，∴∠ANM=∠EMN，
∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM，
∴AM=ME=EN=AN
∴四边形AMEN是菱形
∵cos∠ABD=，∠ADB=90o
∴
设BD=3x，则AB=5x，，由勾股定理
而AD=12，∴x=3
∴BD=9，AB=15
∵MB平分∠AME，∴BE=AB=15
∴DE=BE-BD=6
∵ND∥ME，∴∠BND=∠BME，又∵∠NBD=∠MBE
∴△BND∽△BME，则
设ME=x，则ND=12-x，，解得x=
∴S=ME·DE=×6=45
24．（本小题满分9分）
图8-2
图8-1
如图8-1，已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心、R为半径的圆与射线AY切于点B，交射线OX于点C．连结BC，作CD⊥BC，交AY于点D．
(1) (3分) 求证：△ABC∽△ACD；
(2) (6分) 若P是AY上一点，AP=4，且sinA=，
① 如图8-2，当点D与点P重合时，求R的值；
② 当点D与点P不重合时，试求PD的长(用R表示)．
24．(1) 由已知，CD⊥BC，∴ ∠ADC=90°–∠CBD， 1分
又∵ ⊙O切AY于点B，∴ OB⊥AB，∴∠OBC=90°–∠CBD， 2分
∴ ∠ADC=∠OBC．又在⊙O中，OB=OC=R，∴∠OBC=∠ACB，∴∠ACB=∠ADC．
又∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD ． 3分
(2) 由已知，sinA=，又OB=OC=R，OB⊥AB，
∴ 在Rt△AOB中，AO===R，AB==R，
∴ AC=R+R=R ． 4分
由(1)已证，△ABC∽△ACD，∴ ， 5分
∴，因此 AD=R． 6分
① 当点D与点P重合时，AD=AP=4，∴R=4，∴R=． 7分
② 当点D与点P不重合时，有以下两种可能：
i) 若点D在线段AP上(即0
)，PD=AD–AP=R–4． 9分
综上，当点D在线段AP上(即0)时，PD=R–4．又当点D与点P重合(即R=)时，PD=0，故在题设条件下，总有PD=|R–4|(R>0)．
26. (2010广西百色，26，10分)如图1，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为B，AC交⊙O于点D.
（1）用尺规作图：过点D作DEBC，垂足为E（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，求证：△BED∽△DEC；
A
B
C
D
O
（3）若点D是AC的中点（如图2），求sin∠OCB的值.
C
B
O
D
A
图1 图2
【分析】(1)要证△BED∽△DEC，有一公共角，故只要证明∠C＝∠EDB即可.
(2)在Rt△OBC中，只要找到OB与OC的关系即可.由于∠ADB ＝， D是AC的中点，所以BD垂直平分AC，所以△ABC是等腰直角三角形.
答案：(1)如图
（2）证明：∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB＝∠CDB＝
∴∠CDE＋∠EDB＝ 又∵DE⊥BC
∴∠CED＝∠DEB＝
A
B
C
D
O
∴∠CDE＋∠C＝
∴∠C＝∠EDB
∴△BED∽△DEC
(3)解：∵∠ADB ＝， D是AC的中点
∴BD垂直平分AC
∴BC＝AB＝2OB
设OB＝k则BC＝2k
∴OC＝＝ｋ
∴sin∠OCB ＝＝＝
20（8分）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4.
（1）求证: ～；
(2) 求的值；
（3）延长BC至F，连接FD，使的面积等于，
求的度数.
２０．（１）∵点A是弧BC的中点 ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ
又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ ∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ ∴ＡＢ２＝２×６＝１２ ∴ＡＢ＝２
在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
（３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形，
∠ＥＤＦ＝６０°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
21.(10分) 如图9，已知，在△ABC中，∠ABC=，BC为⊙O的直径， AC与⊙O交于点D,点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G,交AC于点F.
（1）求证：ED是⊙O的切线.
（2）如果CF =1,CP =2，sinA =，求⊙O的直径BC.
图9
21、解：⑴ 连接OD …………………………………………1分
∵BC为直径 ∴△BDC为直角三角形。
又∵∠OBD=∠ODB
Rt△ADB中E为AB中点 ∴∠ABD=∠EDB …………………………2分
∵∠OBD+∠ABD=90 ∴∠ODB+∠EDB=90
∴ED是⊙O的切线。 …………………………………………5分
(2)∵PF⊥BC
∴∠FPC=∠PDC 又∠PCF公用
∴△PCF∽△DCP ………………………………………………………7分
∴PC=CF·CD
又∵CF=1, CP=2， ∴CD=4 …………………………………………8分
可知 sin∠DBC = sinA =
∴=即= 得直径BC= 5 ………………………………………10分
26．（本小题满分10分）
如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F。
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值.
26．（本小题满分10分）
解：（1）证明：连结AD、OD
∵AC是直径
∴AD⊥BC （2分）[来源:Z,xx,k.Com]
∵AB=AC[来源:Zxxk.Com]
∴D是BC的中点
又∵O是AC的中点
∴OD//AB （4分）
∵DE⊥AB
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线 （6分）
（2）由（1）知OD//AE
∴ （8分）
∴
∴[来源:学+科+网Z+X+X+K]
解得FC=2
∴AF=6
∴cosA= （10分）
25．（9分）如图，在中，是的中点，以为直径的交的三边，交点分别是点．的交点为，且，．
（1）求证：．
（2）求的直径的长．
（3）若，以为坐标原点，所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系，求直线的函数表达式．
E
A
D
G
B
F
C
O
M
第25题图
25．（9分）
（1）连接
是圆直径，，即
，． 1分
．在中，． 2分
（2）是斜边的中点，，，
又由（1）知，．
又，与相似 3分
4分
又，
，， 5分
设，，，
直径． 6分
（3）斜边上中线，
E
A
D
G
B
F
C
O
M
第25题图
在中，， 7分
设直线的函数表达式为，
根据题意得，
解得
直线的函数解析式为（其他方法参照评分） 9分
23．(本题满分10分)
A
B
C
E
D
O
M
已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=.
(1) 求证：；
(2) 求EM的长；
（3）求sin∠EOB的值.
23．(本题满分10分)
A
B
C
E
D
O
M
F
解：⑴ 连接AC，EB，则∠CAM=∠BEM. ……………1分
又∠AMC=∠EMB, ∴△AMC∽△EMB．
∴ ，即．………3分
(2) ∵DC为⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，EC= ………………………4分
∵OA=OB=4，M为OB的中点，∴AM=6，BM=2． …………………………………5分
设EM=x，则CM=7－x．代入(1),得 .
解得x1=3，x2=4．但EM＞MC，∴EM=4. …………………………………………7分
(3) 由(2)知，OE=EM=4．作EF⊥OB于F，则OF=MF=OB=1． ………………8分
在Rt△EOF中，EF= …………………………9分
∴sin∠EOB=. ……………………………………………………………10分
25．（本题满分10分）
如图（8）所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O 上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
·
（1）求证：DC=BC；
（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．
图（8）
25．（1）证明：连接OC 1分
∵OA＝OC
·
图（8）
∴∠OAC＝∠OCA
∵CE是⊙O的切线
∴∠OCE＝90° 2分
∵AE⊥CE
∴∠AEC＝∠OCE＝90°
∴OC∥AE 3分
∴∠OCA＝∠CAD
∴∠CAD＝∠BAC 4分
∴
∴DC＝BC 5分
（2）∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB＝90°
∴ 6分
∵∠CAE＝∠BAC ∠AEC＝∠ACB＝90°
∴△ACE∽△ABC 7分
∴
∴ 8分
∵DC＝BC＝3
∴ 9分
∴ 10分
26．（本题满分12分）
O
A
B
C
D
E
图13
如图13，四点在上，的延长线相交于点，直径，且
（1）计算（4分）
（2）计算的值（4分）
（3）探究：的取值范围（4分）
21．（8分）（1）证明：∵为⊙的直径，∴
又∵∥，∴，即：…………………（2分）
又∵，∴………………………………………………（3分）
∴∽.…………………………………………………………………（4分）
（2）过点作，垂足为.
∵与⊙相切，∴
在中，∵
∴ ∴…………………（5分）
又∴
∴ ，∴………………………………………（6分）
∴………………………………（7分）
∴…………………………（8分）
19、如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC.
A
B
C
D
O
求证：AD·BC=OB·BD
A
B
C
(第24题图)
D
O
24．(7分)已知：如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，延长AB到点C，使BC＝AB，D是⊙O上一点，DC＝．
求证：(1)△CDB∽△CAD；
(2)CD是⊙O的切线．
8．如图10，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点，BD交AC于点E.
⑴求证：
⑵若，，求DE的长
20．（本题满分9分）
A
P
D
B
C
O
如图，是圆的直径，厘米，是圆的切线，为切点．过作，交于点，连结．
（1）求证；
（2）若切线的长为12厘米，求弦的长．
27．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．
(1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
(2)求证：AE=BF；
（3）若，求⊙O的面积。
24．（本题满分6分）
如图10，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于、两点，连接，，．求证：
（1）；
（2）∽．
24．证明：（1）∵OE=OD，∴△ODE是等腰三角形， （1分）
又EC=DC，∴C是底边DE上的中点，
∴ （3分）
（2）∵AB是直径，∴∠ACB=，
∴∠B+∠BAC=， （4分）
又∠DCA+∠ACO=，∠ACO=∠BAC，
∴∠DCA=∠B．又∠ADC=∠CDB， （5分）
∴△ACD∽△CBD． （6分）
15．（满分7分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD交于点G．求证：
23．(本题满分10分)如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．
(1)求证：PA·PB=PC·PD；
(2)设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD：
(3)若AB=8，CD=6，求OP的长．
第23题图
23．(1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C．
∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴，∴PA·PB＝PC·PD；………………………3分
(2)∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．
又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，
∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．………………………………………………………7分
(3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂径定理：
∴OM2＝(2)2－42＝4，ON2＝(2)2－32＝11
又易证四边形MONP是矩形，
∴OP＝………………………………………………………………7分
23．（本小题满分12分）
如图，在中，斜边，为的中点，的外接圆与交于点，过作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
A
E
F
O
D
B
C
第23题图
（2）计算：的值．
8．如图10，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点，BD交AC于点E.
⑴求证：
⑵若，，求DE的长
24．如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D。若AC为∠BAD的平分线。
求证：（1）AB为⊙O的直径
（2）AC2＝AB·AD
24．
证明：（1）连结BC
AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠CAB
又CD切⊙O于点C
∴∠ACD＝∠B(弦切角定理)
∵AD⊥CD
∴∠ACD+∠DAC＝90°
即∠B+∠CAB＝90°
∴∠BCA＝90°
∴AB是⊙O的直径（90°圆周角所对弦是直径）
（2）∵∠ACD＝∠B
∠DAC＝∠CAB
∴△ACD∽△ABC
∴
∴AC2＝AB·AD
24．如图9，AB为⊙O的直径，OE交弦AC于点P，交于点M，且=，
A
P
O
C
B
图9
M
E
（1）求证：；
（2）如果且，求⊙O的半径．
好
27．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．
(1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
(2)求证：AE=BF；
（3）若，求⊙O的面积。
24．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC =∠BPC = 60°，
AB与PC交于Q点．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）求证：；
（3）若∠ABP = 15°，△ABC的面积为4，求PC的长．
22.（12分）如图，以的边为半径作⊙O分别交，于点.点，于，交于⊙O于，交于。
求证：。
24．（本小题满分9分）
如图，为的直径，劣弧，连接并延长交于．
求证：（1）是的切线；
第24题图
（2）．
24．（本小题满分9分）
证明：（1），
， 2分
． 3分
． 4分
是的切线． 5分
（2）连接．
是的直径，． 6分
． 7分
． 8分
． 9分
（证法二，连接，证明略）
8．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点
C作直线CD⊥AB交AB于点D，E是OB上一点，直线CE
与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G．若AC＝2，
则AG·AF＝（ ）
A
B
C
G
F
E
D
O
A．10 B．12 C．8 D．16
24．（本小题满分10分）
如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）点是的中点，交于点，若，求的值．
O
N
B
P
C
A
M
24．（10分）
O
N
B
P
C
A
M
解：（1），
又，
．
又是的直径，
，
，即，
而是的半径，
是的切线． （3分）
（2），
，
又，
． （6分）
（3）连接，
点是的中点，，，
而，，而，
，，，
又是的直径，，
．
，． （10分）
25. (本题满分6分)
如图8，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，于D,且AB=8,DB=2.
（1）求证：△ABC∽△CBD;
图8
（2）求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1，参考数据）.
25. （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=,又，∴∠CDB=…………………………1分
在△ABC与△CBD中，
∠ACB=∠CDB=,∠B=∠B, ∴△ABC∽△CBD……………………………3分
(2)解：∵△ABC∽△CBD∴
∴ ∵AB=8,DB=2, ∴CB=4.
在Rt△ABC中，…………4分
∴…………………………5分
∴…………6分[来源:Z|xx|k.Com]
21.(8分)如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r.
(1)求证：；
(2)若BD=3，DE=4，求AE的长.
[来源:学科网ZXXK]
23．(本题满分10分)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点
(1)求证：AC·CD＝PC·BC；
(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．
第23题图
23．解：(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．
而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴．
∴AC·CD＝PC·BC；………………………………………………………………………3分
第23题图
(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝BC＝2．
又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．∴PE＝＝＝．
从而PC＝PE＋EC＝．由(1)得CD＝PC＝…………………………………7分
(3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝PC·CD．由(1)可知，CD＝PC．
∴S△PCD＝PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；
而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝×52＝．………………………………10分
C
B
A
O
F
D
E
24．（9分）如图，为⊙O的直径，于点，交
⊙O于点，于点．
（1）试说明△ABC∽△DBE；
（2）当∠A=30°，AF=时，求⊙O中劣弧 的长．
25．（本题满分10分，每小题5分）
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC．
（1）若∠B＝30°，AB＝2，求CD的长；
（2）求证：AE2＝EB·EC．
25．解：（1）解法一： 解法二：
∵AB为⊙O的直径， ∵AB为⊙O的直径，∠B＝30°，
∴∠ACB＝90°．……1分 ∴AC＝AB＝1，BC＝AB•cos30°＝…2分
∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2， ∵弦CD⊥直径AB于点M，
∴BC＝AB•cos30°＝2×.…2分 ∴CD＝2CM，AB×CM＝AC×BC……4分
∵弦CD⊥直径AB，∠B＝30°， ∴CD＝2CM＝2×
∴ CM＝BC=.……4分 ＝2×＝……5分
CD＝2CM＝．……5分 （其它解法请酌情给分）
（2）证明：∵AE切⊙O于点A，AB为⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，∠ACE＝∠ACB＝90°， 6分
∴∠ACE＝∠BAE＝90°． 7分
又∵∠E＝∠E，
∴Rt△ECA∽Rt△EAB． 8分
∴． 9分
∴AE2＝EB•EC． 10分
20．（6分）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.[来源:Zxxk.Com]
第20题图
20．证明：连结DC，DO并延长交⊙O于F，连结AF.∵AD＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E. 又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CDF＝∠DAF＝90°，故DE是⊙O的切线
•
P
B
A
E
O
C
D
26．（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径， P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连结CD交AB于点E．
求证：（1）PD=PE；
（2）．
26、证明：(1)连接OC、OD………………1分
∴OD⊥PD ，OC⊥AB
∴∠PDE=—∠ODE，
∠PED=∠CEO=—∠C
又∵∠C=∠ODE
∴∠PDE=∠PED …………………………………………4分
∴PE=PD …………………………………………5分
(2) 连接AD、BD ………………………………………6分
∴∠ADB=
∵∠BDP=—∠ODB，∠A=—∠OBD
又∵∠OBD=∠ODB ∴∠BDP=∠A
∴PDB∽PAD …………………………………………………8分
∴ ∴
∴ …………………………………………………10分
24．（本小题满分10分）
·
A
B
O
C
P
E
F
图7
如图7， AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB，CO交⊙O于点P，
CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP 、AF．
求证：
（1）AF∥BE；
（2）△ACP∽△FCA；
（3）CP=AE．
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24.（本小题满分10分）
（1）∵∠B、∠F同对劣弧AP ，∴ ∠B =∠F （1分）
∵BO=PO，∴∠B =∠B PO （2分）
∴∠F=∠B P F，∴AF∥BE （3分）
（2）∵AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴ ∠BAC=90°
∵ AB是⊙O的直径， ∴ ∠B PA=90° （4分）[来源:学科网]
∴∠EA P =90°—∠BE A，∠B=90°—∠BE A，
∴∠EA P =∠B=∠F （5分）
又∠C=∠C，∴△ACP∽△FCA （6分）
（3）∵ ∠C PE= ∠B PO=∠B=∠EA P， ∠C=∠C
∴△P C E ∽△ACP ∴ （7分）
∵∠EA P=∠B，∠E P A =∠A P B =90°
∴△EA P ∽△A B P ∴ （8分）
又AC=AB，∴ （9分）
于是有 ∴CP=AE． （10分）
8．如图10，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点，BD交AC于点E.
⑴求证：
⑵若，，求DE的长
24．如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D。若AC为∠BAD的平分线。
求证：（1）AB为⊙O的直径
（2）AC2＝AB·AD
24．
证明：（1）连结BC
AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠CAB
又CD切⊙O于点C
∴∠ACD＝∠B(弦切角定理)
∵AD⊥CD
∴∠ACD+∠DAC＝90°
即∠B+∠CAB＝90°
∴∠BCA＝90°
∴AB是⊙O的直径（90°圆周角所对弦是直径）
（2）∵∠ACD＝∠B
∠DAC＝∠CAB
∴△ACD∽△ABC
∴
∴AC2＝AB·AD
24．如图9，AB为⊙O的直径，OE交弦AC于点P，交于点M，且=，
A
P
O
C
B
图9
M
E
（1）求证：；
（2）如果且，求⊙O的半径．
27．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．
(1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
(2)求证：AE=BF；
（3）若，求⊙O的面积。
24．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，
连结DE、BE，且∠C=∠BED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OA=10，AD=16，求AC的长．
C
E
D
A
F
O
B
24．（1）证明：∵∠BED=∠BAD，∠C=∠BED
∴∠BAD=∠C 1分
∵OC⊥AD于点F
∴∠BAD+∠AOC=90o 2分
∴∠C+∠AOC=90o
∴∠OAC=90o
∴OA⊥AC
∴AC是⊙O的切线. 4分
（2）∵OC⊥AD于点F，∴AF=AD=8 5分
在Rt△OAF中，OF==6 6分
∵∠AOF=∠AOC，∠OAF=∠C
∴△OAF∽△OCA 7分
∴
即 OC= 8分
在Rt△OAC中，AC=． 10分
20．如图8，半圆的直径，点C在半圆上，．
（1）求弦的长；
P
B
C
E
A
（图8）
（2）若P为AB的中点，交于点E，求的长．
20．解：是半圆的直径，点在半圆上，
．
在中， （3分）
（2），
．，
．
又，
， （6分）
（7分）
． （8分）
20．如图，是的两条割线，是的直径，．
（1）求证： （先填后证）．
（2）若，试求的值．
A
O
B
D
C
P
20．（1）求证：． （1分）
证明：，
A
O
B
D
C
P
1
2
3
．
，
．………………（2分）
．
．
． （3分）
（2）解：，
． （4分）
，，
， （5分）
，
． （6分）
是的直径，
，
． （7分）
由，设，
．
． （8分）
A
(第17题图)
C
B
D
E
F
O
17．如图，△ABC内接于⊙O，过C作CD∥AB与⊙O相交于D点，E是CD上一点，且满足AD＝DE，连接BD与AE相交于点F。求证：△ADF∽△ABC。
21.（本题满分8分）
如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，过B点作BC∥OD交⊙O于点C，连接OC、AC，AC交OD于点E.
B
C
D
A
O
E
（1）求证：△COE∽△ABC；
（2）若AB=2，AD=，求图中阴影部分的面积.
25．（本小题满分10分）
如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E．
（1）证明：BE＝CE
（2）证明：∠D＝∠AEC；
（3）若⊙O的半径为5，BC＝8，求△CDE的面积．
25．解：（1）∵BC是⊙O的弦，半径OE⊥BC
∴BE＝CE …………………2分
（2）连结OC
∵CD与⊙O相切于点C
∴∠OCD＝90° ………………………3分
∴∠OCB＋∠DCF＝90°
∵∠D＋∠DCF＝90°
∴∠OCB＝∠D ………………………4分
∵OB＝OC
∴∠OCB＝∠B
∵∠B＝∠AEC
∴∠D＝∠AEC ………………………5分
（3）在Rt△OCF中，OC＝5，CF＝4
∴ …………6分
∵∠COF＝∠DOC，∠OFC＝∠OCD
∴Rt△OCF∽Rt△ODC ………………………………8分
∴，即 …………9分
∴
∴ …………10分
注：本小题也可利用Rt△OCD∽Rt△ACB等，以及S△CDE＝S△OCD－S△OCE求解．
24．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC =∠BPC = 60°，
AB与PC交于Q点．
Q
P
C
B
A
O
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）求证：；
（3）若∠ABP = 15°，△ABC的面积为4，求PC的长．
24． （1） ∵ ∠ABC =∠APC = 60°，∠BAC =∠BPC = 60°，
∴ ∠ACB = 180°－∠ABC－∠BAC = 60°，
∴ △ABC是等边三角形．
（2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，则 ∠BDP =∠APC = 60°．
H
R
G
M
N
又 ∵ ∠AQP =∠BQD，∴ △AQP∽△BQD， ．
∵ ∠BPD =∠BDP = 60°， ∴ PB = BD． ∴ ．
（3）设正△ABC的高为h，则 h = BC· sin 60°．
∵ BC · h = 4， 即BC · BC· sin 60° = 4，解得BC = 4．
连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E．
由△ABC是正三角形知∠BOC = 120°，从而得∠OCE = 30°，
∴ ．
由∠ABP = 15° 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75°，于是 ∠POC = 2∠PBC = 150°．
∴ ∠PCO =（180°－150°）÷2 = 15°．
如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM = 15°，则∠RNG = 30°，作GH⊥RN，垂足为H．设GH = 1，则 cos∠GNM = cos15° = MN．
∵ 在Rt△GHN中，NH = GN · cos30°，GH = GN · sin30°．
于是 RH = GH，MN = RN · sin45°，∴ cos15° =．
在图中，作OF⊥PC于E，∴ PC = 2FD = 2 OC ·cos15° =．
1．如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
(1)求证：直线EF是⊙O的切线；
(2)求sin∠E的值．
1． (本小题满分5分)
(1)证明：如图，连结，则 ．
∴ ．
∵ AC=BC, ∴ ．
∴ ．
∵ ∥，∴ ．
∵ 于F，∴ ．
∴．∴ ．
∴ EF是⊙O的切线． ------------------------------------------------------------3分
( 2 ) 连结BG，∵BC是直径, ∴∠BGC=90=∠CFE．
∴ BG∥EF．∴ ．
设 ，则 ．
在Rt△BGA中,．
在Rt△BGC中, ．
∴ ．解得 ．即 ．
在Rt△BGC中, ．
∴ sin∠E． --------------------------------------------- --------------------------------5分
2．（本题满分10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：点D是BC的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如果⊙O的直径为9，cosB＝，求DE的长．
3．（本小题满分12分）
如图，在中，斜边，为的中点，的外接圆与交于点，过作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
A
E
F
O
D
B
C
第23题图
（2）计算：的值．
4．（本小题满分10分）
如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）点是的中点，交于点，若，求的值．
O
N
B
P
C
A
M
4．（10分）
O
N
B
P
C
A
M
解：（1），
又，
．
又是的直径，
，
，即，
而是的半径，
是的切线． （3分）
（2），
，
又，
． （6分）
（3）连接，
点是的中点，，，
而，，而，
，，，
又是的直径，，
．
，． （10分）
5．（本小题满分10分）
·
A
B
O
C
P
E
F
图7
如图7， AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB，CO交⊙O于点P，
CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP 、AF．
求证：
（1）AF∥BE；
（2）△ACP∽△FCA；
（3）CP=AE．
[来源:Z*xx*k.Com]
5.（本小题满分10分）
（1）∵∠B、∠F同对劣弧AP ，∴ ∠B =∠F （1分）
∵BO=PO，∴∠B =∠B PO （2分）
∴∠F=∠B P F，∴AF∥BE （3分）
（2）∵AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴ ∠BAC=90°
∵ AB是⊙O的直径， ∴ ∠B PA=90° （4分）[来源:学科网]
∴∠EA P =90°—∠BE A，∠B=90°—∠BE A，
∴∠EA P =∠B=∠F （5分）
又∠C=∠C，∴△ACP∽△FCA （6分）
（3）∵ ∠C PE= ∠B PO=∠B=∠EA P， ∠C=∠C
∴△P C E ∽△ACP ∴ （7分）
∵∠EA P=∠B，∠E P A =∠A P B =90°
∴△EA P ∽△A B P ∴ （8分）
又AC=AB，∴ （9分）
于是有 ∴CP=AE． （10分）
6（8分）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4.
（1）求证: ～；
(2) 求的值；
（3）延长BC至F，连接FD，使的面积等于，
求的度数.
6．（１）∵点A是弧BC的中点 ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ
又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ ∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ ∴ＡＢ２＝２×６＝１２ ∴ＡＢ＝２
在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
（３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形，
∠ＥＤＦ＝６０°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
6．（9分）如图，在中，是的中点，以为直径的交的三边，交点分别是点．的交点为，且，．
（1）求证：．
（2）求的直径的长．
（3）若，以为坐标原点，所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系，求直线的函数表达式．
E
A
D
G
B
F
C
O
M
第25题图
6．（9分）
（1）连接
是圆直径，，即
，． 1分
．在中，． 2分
（2）是斜边的中点，，，
又由（1）知，．
又，与相似 3分
4分
又，
，， 5分
设，，，
直径． 6分
（3）斜边上中线，
E
A
D
G
B
F
C
O
M
第25题图
在中，， 7分
设直线的函数表达式为，
根据题意得，
解得
直线的函数解析式为（其他方法参照评分） 9分
7．(本题满分10分)
A
B
C
E
D
O
M
已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=.
(1) 求证：；
(2) 求EM的长；
（3）求sin∠EOB的值.
7．(本题满分10分)
A
B
C
E
D
O
M
F
解：⑴ 连接AC，EB，则∠CAM=∠BEM. ……………1分
又∠AMC=∠EMB, ∴△AMC∽△EMB．
∴ ，即．………3分
(2) ∵DC为⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，EC= ………………………4分
∵OA=OB=4，M为OB的中点，∴AM=6，BM=2． …………………………………5分
设EM=x，则CM=7－x．代入(1),得 .
解得x1=3，x2=4．但EM＞MC，∴EM=4. …………………………………………7分
(3) 由(2)知，OE=EM=4．作EF⊥OB于F，则OF=MF=OB=1． ………………8分
在Rt△EOF中，EF= …………………………9分
∴sin∠EOB=. ……………………………………………………………10分
(第21题)
21．如图，⊙O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C，过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE，E为切点，PE∥OD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K．
（1）求证：四边形OCPE是矩形；
（2）求证：HK＝HG；
（3）若EF＝2，FO＝1，求KE的长．
21.解：(1)∵AC＝BC，AB不是直径，
∴OD⊥AB，∠PCO＝90°(1分)
∵PE∥OD,∴∠P＝90°，
∵PE是切线，∴∠PEO＝90°，(2分)
∴四边形OCPE是矩形.(3分)
(2)∵OG＝OD,∴∠OGD＝∠ODG.
∵PE∥OD,∴∠K＝∠ODG.(4分)
∵∠OGD＝∠HGK,∴∠K＝∠HGK,
∴HK＝HG.(5分)
(3)∵EF＝2，OF＝1,∴EO＝DO＝3.(6分)
∵PE∥OD，∴∠KEO＝∠DOE，∠K＝∠ODG.
∴△OFD∽△EFK，(7分)∴EF∶OF＝KE∶OD＝2∶1,
∴KE＝6.(8分)
1、 （本小题满分9分）
将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由他抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD。
（1） 求证：DB∥CF。
（2） 当OD=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与
△ABC相似，求OB。
22、（本小题满分9分）
证明：（1）连接OF，如图
∵AB且半圆O于F，
∴OF⊥AB。… …… ………… …… …2分
∵CB⊥AB ，∴BC∥OF。
∵BC=OD，OD=OF，
∴BC=OF。
∴四边形OBCF是平行四边形，… …4分
∴DB∥CF。… …………………………5分
（2）
∵以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，∠OFB=∠ABC=90°，
∴∠A∠OBF∠BOF
∵∠OBF=∠BFC，∠BFC＞∠A，
∴∠OBF＞∠A
∴∠OBF与∠A不可能是对顶角。… …… ………… …… …7分
∴∠A与∠BOF是对应角。
∴∠BOF=30° ∴OB=OF/cos30°=………… …… …9分
A
(第17题图)
C
B
D
E
F
O
17．如图，△ABC内接于⊙O，过C作CD∥AB与⊙O相交于D点，E是CD上一点，且满足AD＝DE，连接BD与AE相交于点F。求证：△ADF∽△ABC。
23．(本题满分10分)
A
B
C
E
D
O
M
已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=.
(1) 求证：；
(2) 求EM的长；
（3）求sin∠EOB的值.
23．(本题满分10分)
A
B
C
E
D
O
M
F
解：⑴ 连接AC，EB，则∠CAM=∠BEM. ……………1分
又∠AMC=∠EMB, ∴△AMC∽△EMB．
∴ ，即．………3分
(2) ∵DC为⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，EC= ………………………4分
∵OA=OB=4，M为OB的中点，∴AM=6，BM=2． …………………………………5分
设EM=x，则CM=7－x．代入(1),得 .
解得x1=3，x2=4．但EM＞MC，∴EM=4. …………………………………………7分
(3) 由(2)知，OE=EM=4．作EF⊥OB于F，则OF=MF=OB=1． ………………8分
在Rt△EOF中，EF= …………………………9分
∴sin∠EOB=. ……………………………………………………………10分
24．（本题满分8分）
如图，四点在上，的延长线相交于点，直径为8，，．
（1）求证：；（2）计算的值，并指出的取值范围．
O
C
E
D
B
A
O
C
E
D
B
A
第24题
24．（1）证明：
3分
（2）直径
又， 6分
连接，在中，，，
8分
A
B
C
D
O
P
（第23题图）
23．（本题满分8分）
已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC。
求证：（1）BC平分∠PBD；
（2）。
23.证明：（1）连结OC。…………………………（1分）
∵PD切⊙O于点C，
又∵BD⊥PD，
∴OC∥BD。
∴∠1＝∠3。…………………………（2分）
又∵OC＝OB，
∴∠2＝∠3。……………………（3分）
∴∠1＝∠2，即BC平分∠PBD。………（4分）
（2）连结AC。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°。……………（5分）
又∵BD⊥PD，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°……………………（6分）
又∵∠1＝∠2，
∴△ABC∽△CBD ……………………（7分）
∴，∴……………………（8分）
25．（本题满分14分）
已知点在线段上，点在线段延长线上．以点为圆心，为半径作圆，点是圆上的一点．
（1）如图9，如果，．求证：；
（2）如果（是常数，且），，是，的比例中项．当点在圆上运动时，求的值（结果用含的式子表示）；
图9
（3）在（2）的条件下，讨论以为半径的圆和以为半径的圆的位置关系，并写出相应的取值范围．
25．（1）证明：，．
． （2分）
， （1分）
．，． （1分）
（2）解：设，则，，是，的比例中项，
， （1分）
得，即． （1分）
． （1分）
是，的比例中项，即，
，． （1分）
设圆与线段的延长线相交于点，当点与点，点不重合时，
，． （1分）
． （1分）
；当点与点或点重合时，可得，
当点在圆上运动时，； （1分）
（3）解：由（2）得，，且，
，圆和圆的圆心距，
显然，圆和圆的位置关系只可能相交、内切或内含．
当圆与圆相交时，，得，
，； （1分）
当圆与圆内切时，，得； （1分）
当圆与圆内含时，，得． （1分）
18．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABC；④△ADF与△CFB。其中相似的为
A、①④ B、①② C、②③④ D、①②③
·
A
B
O
图6
P
T
25.(本题满分12分)如图6，点T在⊙O上，延长⊙O的直径AB交TP于P,若PA=18,PT=12,PB=8.
(1)求证：△PTB∽△PAT；
(2)求证：PT为⊙O的切线；
(3)在上是否存在一点C,使得BT2=8TC ?若存在，请证明；若不存在，请说明理由.
25. (本题满分12分)(1)证明： 在△PBT和△PTA中，∵∠BPT=∠TPA，. …… 1分
∵ = = ， = = ， …… 2分
∴ = . …… 3分
∴△PBT∽△PTA. ……4分
(2) 解1：连结OT， ∵ OB=OT，∴∠OBT=∠BTO. ……5分
由（1）得∠PTB=∠PAT.∵AB是直径，∴∠BTA = 90.°……6分
∴∠A+∠ABT = 90°，∴∠OTB+∠BTP = 90°. ……7分
∴PT是⊙O的切线. …… 8分
解法2：连结OT，∵ AB = PA－PB = 18－8 =10 ∴ OB = OT = AB = 5. … 5分
在△POT中，PO2 = (PB+BO)2 = 132 =169， PT2 +OT2 =122+52 = 169，
∵PO2 = PT2 +OT2 . …… 6分
∴∠PTO = 90°. ……7分
∴PT是⊙O的切线. ……8分
（3）解1：∵∠ABT=∠P+∠PTB，∴∠ABT＞∠P. ……9分
过B作BC交⊙O于C，使∠BCT=∠P. ……10分
由（1）得，∠PTB =∠PAT=∠BCT，∴ △PBT∽△BTC.
∴ = . ……11分
又PB = 8，
∴ BT2= 8TC即存在一点C，使得BT2 = 8TC. …… 12分
解2：由(1)得 = = ，又由BT2+AT2=AB2=100，
得AT= ，BT= . …… 9分
当TC= 时. BT2 = 8TC， …… 10分
∵ < ，即TC∠2，∠4=∠4=900
………………………………………………5分
……………………………6分
………………………………7分
在RtΔBAD中，
…………………8分
方法一：过点O作OE⊥BC于点E，
………………………………9分
=……………………………10分
方法二：在RtΔOAP中，AP=6tan600=3,OP=2OA=6,
DP=AP－AD=3
过点C作CF⊥AP于F，∠CPF=300, CF=………9分
S四边形OADC=SΔOAP－SΔCDP
=AP·OA－DP·CF
=(
=…………………10分
24．已知：如图，点，是两圆的外公切线，、是切点，经过、，分别交于、于的直径， ．
（1）求证：；
（2）求证：；
F
B
A
D
C
M
E
（3）如果的直径长为8，，求的直径长．
24．解：（1）
1分
2分
F
B
A
D
C
M
E
（2）连接， 3分
△△ 4分
即： 5分
（3）在Rt△中，
又，
6分
由勾股定理：
由切割线定理：
7分
又
8分
由勾股定理： 9分
1.
如图7，点O是Rt⊿ABC斜边上一点，⊙O与AC，BC分别相切于点M，N．
（1）求证：⊿AMO∽⊿ONB．
（2）如果OA＝4，OB＝3，求⊙O的半径．
A
O
M
C
N
B
图 7
18．如图．AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，∠C=70°．
现给出以下四个结论：
①∠A=45°； ②AC=AB：
③； ④CE·AB=2BD2．
其中正确结论的序号是
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
A
B
C
E
D
O
23．(10分)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D＝∠BAC．
(1)求证：AD是半圆O的切线；
(2)若BC＝2，CE＝，求AD的长．
25．（本题满分10分，每小题5分）
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC．
（1）若∠B＝30°，AB＝2，求CD的长；
（2）求证：AE2＝EB·EC．
25．解：（1）解法一： 解法二：
∵AB为⊙O的直径， ∵AB为⊙O的直径，∠B＝30°，
∴∠ACB＝90°．……1分 ∴AC＝AB＝1，BC＝AB•cos30°＝…2分
∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2， ∵弦CD⊥直径AB于点M，
∴BC＝AB•cos30°＝2×.…2分 ∴CD＝2CM，AB×CM＝AC×BC……4分
∵弦CD⊥直径AB，∠B＝30°， ∴CD＝2CM＝2×
∴ CM＝BC=.……4分 ＝2×＝……5分
CD＝2CM＝．……5分 （其它解法请酌情给分）
（2）证明：∵AE切⊙O于点A，AB为⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，∠ACE＝∠ACB＝90°， 6分
∴∠ACE＝∠BAE＝90°． 7分
又∵∠E＝∠E，
∴Rt△ECA∽Rt△EAB． 8分
∴． 9分
∴AE2＝EB•EC． 10分
20．（6分）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.[来源:Zxxk.Com]
第20题图
20．证明：连结DC，DO并延长交⊙O于F，连结AF.∵AD＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E. 又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CDF＝∠DAF＝90°，故DE是⊙O的切线
•
P
B
A
E
O
C
D
26．（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径， P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连结CD交AB于点E．
求证：（1）PD=PE；
（2）．
26、证明：(1)连接OC、OD………………1分
∴OD⊥PD ，OC⊥AB
∴∠PDE=—∠ODE，
∠PED=∠CEO=—∠C
又∵∠C=∠ODE
∴∠PDE=∠PED …………………………………………4分
∴PE=PD …………………………………………5分
(2) 连接AD、BD ………………………………………6分
∴∠ADB=
∵∠BDP=—∠ODB，∠A=—∠OBD
又∵∠OBD=∠ODB ∴∠BDP=∠A
∴PDB∽PAD …………………………………………………8分
∴ ∴
∴ …………………………………………………10分
24．（本小题满分10分）
·
A
B
O
C
P
E
F
图7
如图7， AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB，CO交⊙O于点P，
CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP 、AF．
求证：
（1）AF∥BE；
（2）△ACP∽△FCA；
（3）CP=AE．
[来源:Z*xx*k.Com]
24.（本小题满分10分）
（1）∵∠B、∠F同对劣弧AP ，∴ ∠B =∠F （1分）
∵BO=PO，∴∠B =∠B PO （2分）
∴∠F=∠B P F，∴AF∥BE （3分）
（2）∵AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴ ∠BAC=90°
∵ AB是⊙O的直径， ∴ ∠B PA=90° （4分）[来源:学科网]
∴∠EA P =90°—∠BE A，∠B=90°—∠BE A，
∴∠EA P =∠B=∠F （5分）
又∠C=∠C，∴△ACP∽△FCA （6分）
（3）∵ ∠C PE= ∠B PO=∠B=∠EA P， ∠C=∠C
∴△P C E ∽△ACP ∴ （7分）
∵∠EA P=∠B，∠E P A =∠A P B =90°
∴△EA P ∽△A B P ∴ （8分）
又AC=AB，∴ （9分）
于是有 ∴CP=AE． （10分）
8．如图10，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点，BD交AC于点E.
⑴求证：
⑵若，，求DE的长
24．如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D。若AC为∠BAD的平分线。
求证：（1）AB为⊙O的直径
（2）AC2＝AB·AD
24．
证明：（1）连结BC
AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠CAB
又CD切⊙O于点C
∴∠ACD＝∠B(弦切角定理)
∵AD⊥CD
∴∠ACD+∠DAC＝90°
即∠B+∠CAB＝90°
∴∠BCA＝90°
∴AB是⊙O的直径（90°圆周角所对弦是直径）
（2）∵∠ACD＝∠B
∠DAC＝∠CAB
∴△ACD∽△ABC
∴
∴AC2＝AB·AD
25．（9分）如图，在中，是的中点，以为直径的交的三边，交点分别是点．的交点为，且，．
（1）求证：．
（2）求的直径的长．
（3）若，以为坐标原点，所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系，求直线的函数表达式．
E
A
D
G
B
F
C
O
M
第25题图
25．（9分）
（1）连接
是圆直径，，即
，． 1分
．在中，． 2分
（2）是斜边的中点，，，
又由（1）知，．
又，与相似 3分
4分
又，
，， 5分
设，，，
直径． 6分
（3）斜边上中线，
E
A
D
G
B
F
C
O
M
第25题图
在中，， 7分
设直线的函数表达式为，
根据题意得，
解得
直线的函数解析式为（其他方法参照评分） 9分
24．如图9，AB为⊙O的直径，OE交弦AC于点P，交于点M，且=，
A
P
O
C
B
图9
M
E
（1）求证：；
（2）如果且，求⊙O的半径．
24．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，
连结DE、BE，且∠C=∠BED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OA=10，AD=16，求AC的长．
C
E
D
A
F
O
B
24．（1）证明：∵∠BED=∠BAD，∠C=∠BED
∴∠BAD=∠C 1分
∵OC⊥AD于点F
∴∠BAD+∠AOC=90o 2分
∴∠C+∠AOC=90o
∴∠OAC=90o
∴OA⊥AC
∴AC是⊙O的切线. 4分
（2）∵OC⊥AD于点F，∴AF=AD=8 5分
在Rt△OAF中，OF==6 6分
∵∠AOF=∠AOC，∠OAF=∠C
∴△OAF∽△OCA 7分
∴
即 OC= 8分
在Rt△OAC中，AC=． 10分
24．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC =∠BPC = 60°，
AB与PC交于Q点．
Q
P
C
B
A
O
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）求证：；
（3）若∠ABP = 15°，△ABC的面积为4，求PC的长．
24． （1） ∵ ∠ABC =∠APC = 60°，∠BAC =∠BPC = 60°，
∴ ∠ACB = 180°－∠ABC－∠BAC = 60°，
∴ △ABC是等边三角形．
（2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，则 ∠BDP =∠APC = 60°．
H
R
G
M
N
又 ∵ ∠AQP =∠BQD，∴ △AQP∽△BQD， ．
∵ ∠BPD =∠BDP = 60°， ∴ PB = BD． ∴ ．
（3）设正△ABC的高为h，则 h = BC· sin 60°．
∵ BC · h = 4， 即BC · BC· sin 60° = 4，解得BC = 4．
连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E．
由△ABC是正三角形知∠BOC = 120°，从而得∠OCE = 30°，
∴ ．
由∠ABP = 15° 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75°，于是 ∠POC = 2∠PBC = 150°．
∴ ∠PCO =（180°－150°）÷2 = 15°．
如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM = 15°，则∠RNG = 30°，作GH⊥RN，垂足为H．设GH = 1，则 cos∠GNM = cos15° = MN．
∵ 在Rt△GHN中，NH = GN · cos30°，GH = GN · sin30°．
于是 RH = GH，MN = RN · sin45°，∴ cos15° =．
在图中，作OF⊥PC于E，∴ PC = 2FD = 2 OC ·cos15° =．
19、如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC.
A
B
C
D
O
求证：AD·BC=OB·BD
26．（本题满分12分）
O
A
B
C
D
E
图13
如图13，四点在上，的延长线相交于点，直径，且
（1）计算（4分）
（2）计算的值（4分）
（3）探究：的取值范围（4分）
21．（8分）（1）证明：∵为⊙的直径，∴
又∵∥，∴，即：…………………（2分）
又∵，∴………………………………………………（3分）
∴∽.…………………………………………………………………（4分）
（2）过点作，垂足为.
∵与⊙相切，∴
在中，∵
∴ ∴…………………（5分）
又∴
∴ ，∴………………………………………（6分）
∴………………………………（7分）
∴…………………………（8分）
A
B
C
(第24题图)
D
O
24．(7分)已知：如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，延长AB到点C，使BC＝AB，D是⊙O上一点，DC＝．
求证：(1)△CDB∽△CAD；
(2)CD是⊙O的切线．
24．如图9，AB为⊙O的直径，OE交弦AC于点P，交于点M，且=，
A
P
O
C
B
图9
M
E
（1）求证：；
（2）如果且，求⊙O的半径．
8．如图10，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点，BD交AC于点E.
⑴求证：
⑵若，，求DE的长
20．（本题满分9分）
A
P
D
B
C
O
如图，是圆的直径，厘米，是圆的切线，为切点．过作，交于点，连结．
（1）求证；
（2）若切线的长为12厘米，求弦的长．
24．（本题满分6分）
如图10，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于、两点，连接，，．求证：
（1）；
（2）∽．
24．证明：（1）∵OE=OD，∴△ODE是等腰三角形， （1分）
又EC=DC，∴C是底边DE上的中点，
∴ （3分）
（2）∵AB是直径，∴∠ACB=，
∴∠B+∠BAC=， （4分）
又∠DCA+∠ACO=，∠ACO=∠BAC，
∴∠DCA=∠B．又∠ADC=∠CDB， （5分）
∴△ACD∽△CBD． （6分）
15．（满分7分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD交于点G．求证：
23．(本题满分10分)如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．
(1)求证：PA·PB=PC·PD；
(2)设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD：
(3)若AB=8，CD=6，求OP的长．
第23题图
23．(1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C．
∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴，∴PA·PB＝PC·PD；………………………3分
(2)∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．
又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，
∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．………………………………………………………7分
(3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂径定理：
∴OM2＝(2)2－42＝4，ON2＝(2)2－32＝11
又易证四边形MONP是矩形，
∴OP＝………………………………………………………………7分
8．如图10，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点，BD交AC于点E.
⑴求证：
⑵若，，求DE的长
24．如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D。若AC为∠BAD的平分线。
求证：（1）AB为⊙O的直径
（2）AC2＝AB·AD
24．
证明：（1）连结BC
AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠CAB
又CD切⊙O于点C
∴∠ACD＝∠B(弦切角定理)
∵AD⊥CD
∴∠ACD+∠DAC＝90°
即∠B+∠CAB＝90°
∴∠BCA＝90°
∴AB是⊙O的直径（90°圆周角所对弦是直径）
（2）∵∠ACD＝∠B
∠DAC＝∠CAB
∴△ACD∽△ABC
∴
∴AC2＝AB·AD
24．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC =∠BPC = 60°，
AB与PC交于Q点．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）求证：；
（3）若∠ABP = 15°，△ABC的面积为4，求PC的长．
26. (2010广西百色，26，10分)如图1，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为B，AC交⊙O于点D.
（1）用尺规作图：过点D作DEBC，垂足为E（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，求证：△BED∽△DEC；
A
B
C
D
O
（3）若点D是AC的中点（如图2），求sin∠OCB的值.
C
B
O
D
A
图1 图2
【分析】(1)要证△BED∽△DEC，有一公共角，故只要证明∠C＝∠EDB即可.
(2)在Rt△OBC中，只要找到OB与OC的关系即可.由于∠ADB ＝， D是AC的中点，所以BD垂直平分AC，所以△ABC是等腰直角三角形.
答案：(1)如图
（2）证明：∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB＝∠CDB＝
∴∠CDE＋∠EDB＝ 又∵DE⊥BC
∴∠CED＝∠DEB＝
A
B
C
D
O
∴∠CDE＋∠C＝
∴∠C＝∠EDB
∴△BED∽△DEC
(3)解：∵∠ADB ＝， D是AC的中点
∴BD垂直平分AC
∴BC＝AB＝2OB
设OB＝k则BC＝2k
∴OC＝＝ｋ
∴sin∠OCB ＝＝＝
22.（12分）如图，以的边为半径作⊙O分别交，于点.点，于，交于⊙O于，交于。
求证：。
20（8分）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4.
（1）求证: ～；
(2) 求的值；
（3）延长BC至F，连接FD，使的面积等于，
求的度数.
２０．（１）∵点A是弧BC的中点 ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ
又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ ∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ ∴ＡＢ２＝２×６＝１２ ∴ＡＢ＝２
在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
（３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形，
∠ＥＤＦ＝６０°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
24．（本小题满分9分）
如图，为的直径，劣弧，连接并延长交于．
求证：（1）是的切线；
第24题图
（2）．
24．（本小题满分9分）
证明：（1），
， 2分
． 3分
． 4分
是的切线． 5分
（2）连接．
是的直径，． 6分
． 7分
． 8分
． 9分
（证法二，连接，证明略）
26. (2010广西百色，26，10分)如图1，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为B，AC交⊙O于点D.
（1）用尺规作图：过点D作DEBC，垂足为E（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，求证：△BED∽△DEC；
A
B
C
D
O
（3）若点D是AC的中点（如图2），求sin∠OCB的值.
C
B
O
D
A
图1 图2
【分析】(1)要证△BED∽△DEC，有一公共角，故只要证明∠C＝∠EDB即可.
(2)在Rt△OBC中，只要找到OB与OC的关系即可.由于∠ADB ＝， D是AC的中点，所以BD垂直平分AC，所以△ABC是等腰直角三角形.
答案：(1)如图
（2）证明：∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB＝∠CDB＝
∴∠CDE＋∠EDB＝ 又∵DE⊥BC
∴∠CED＝∠DEB＝
A
B
C
D
O
∴∠CDE＋∠C＝
∴∠C＝∠EDB
∴△BED∽△DEC
(3)解：∵∠ADB ＝， D是AC的中点
∴BD垂直平分AC
∴BC＝AB＝2OB
设OB＝k则BC＝2k
∴OC＝＝ｋ
∴sin∠OCB ＝＝＝
24．（本小题满分10分）
如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）点是的中点，交于点，若，求的值．
O
N
B
P
C
A
M
24．（10分）
O
N
B
P
C
A
M
解：（1），
又，
．
又是的直径，
，
，即，
而是的半径，
是的切线． （3分）
（2），
，
又，
． （6分）
（3）连接，
点是的中点，，，
而，，而，
，，，
又是的直径，，
．
，． （10分）
21.(8分)如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r.
(1)求证：；
(2)若BD=3，DE=4，求AE的长.
[来源:学科网ZXXK]
23．(本题满分10分)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点
(1)求证：AC·CD＝PC·BC；
(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．
第23题图
23．解：(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．
而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴．
∴AC·CD＝PC·BC；………………………………………………………………………3分
第23题图
(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝BC＝2．
又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．∴PE＝＝＝．
从而PC＝PE＋EC＝．由(1)得CD＝PC＝…………………………………7分
(3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝PC·CD．由(1)可知，CD＝PC．
∴S△PCD＝PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；
而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝×52＝．………………………………10分
24．（9分）如图，为⊙O的直径，于点，交
⊙O于点，于点．
（1）试说明△ABC∽△DBE；
（2）当∠A=30°，AF=时，求⊙O中劣弧 的长．
C
B
A
O
F
D
E
