浙江省2017中考数学压轴题分类及解析

浙江省2017中考数学压轴题分类及解析

一、函数及函数的应用：‎ ‎4题（12+10+12+12=46分）‎ 占压轴分19.3%‎ ‎（2017•杭州）22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．‎ ‎（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；‎ ‎（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；‎ ‎（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得 ‎（a+1）（﹣a）=﹣2，‎ 解得a=﹣2，a=1，‎ 函数y1的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2；‎ 函数y1的表达式y=（x+1）（x﹣2）化简，得y=x2﹣x﹣2，‎ 综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2；‎ ‎（2）当y=0时x2﹣x﹣2=0，解得x1=﹣1，x2=2，‎ y1的图象与x轴的交点是（﹣1，0）（2，0），‎ 当y2=ax+b经过（﹣1，0）时，﹣a+b=0，即a=b；‎ 当y2=ax+b经过（2，0）时，2a+b=0，即b=﹣2a；‎ ‎（3）当P在对称轴的左侧时，y随x的增大而增大，‎ ‎（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，‎ 由m＜n，得x0＜0；‎ 当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，‎ 由m＜n，得x0＞1，‎ 综上所述：m＜n，求x0的取值范围x0＜0或x0＞1．‎ ‎　‎ ‎（2017•湖州）23．（10分）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．‎ ‎（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；‎ ‎（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．‎ ‎①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；‎ ‎②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）‎ 解：（1）由题意，得：，‎ 解得，‎ 答：a的值为0.04，b的值为30；‎ ‎（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y=k1t+n1，‎ 将（0，15）、（50，25）代入，得：，‎ 解得：，‎ ‎∴y与t的函数解析式为y=t+15；‎ 当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y=k2t+n2，‎ 将点（50，25）、（100，20）代入，得：，‎ 解得：，‎ ‎∴y与t的函数解析式为y=﹣t+30；‎ ‎②由题意，当0≤t≤50时，‎ W=20000（t+15）﹣（400t+300000）=3600t，‎ ‎∵3600＞0，‎ ‎∴当t=50时，W最大值=180000（元）；‎ 当50＜t≤100时，W=（100t+15000）（﹣t+30）﹣（400t+300000）‎ ‎=﹣10t2+1100t+150000‎ ‎=﹣10（t﹣55）2+180250，‎ ‎∵﹣10＜0，‎ ‎∴当t=55时，W最大值=180250（元），‎ 综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．‎ ‎(2017•嘉兴、舟山）24、（12分）如图，某日的钱塘江观潮信息如表：‎ 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数（，是常数）刻画．‎ ‎（1）求的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；‎ ‎（2）11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？‎ ‎（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为千米/分，小红逐渐落后，问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）．‎ ‎　‎ ‎（2017·台州）23、（12分）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的液体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征。其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数，为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间的部分数据如下表：[来源:学科网ZXXK]‎ 速度v（千米/小时）‎ ‎…[来源:学科网]‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎32‎ ‎40‎ ‎48‎ ‎…‎ 流量q（辆/小时）‎ ‎…‎ ‎550‎ ‎1000‎ ‎1600‎ ‎1792‎ ‎1600‎ ‎1152‎ ‎…‎ ‎(1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是________（只需填上正确答案的序号）①   ②      ③ ‎ ‎(2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ ‎ ‎(3)已知q，v，k满足 ，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题： ①市交通运行监控平台显示，当 时道路出现轻度拥堵，试分析当车流密度k在什么范围时，该路段出现轻度拥堵； ②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大时d的值 ‎ ‎（1）③ （2）解：∵q=-2v2+120v=-2（v-30）2+1800. ∴当v=30时，q最大=1800. （3）解：①∵q=vk, ∴k===-2v+120. ∴v=-k+60. ∵12≤v＜18, ∴12≤-k+60＜18. 解得：84＜k≤96. ②∵当v=30时，q最大=1800. 又∵v=-k+60, ∴k=60. ∴d==. ∴流量最大时d的值为米. ‎ 二、几何：‎ ‎10题（12+10+12+10+12+10+14+12+14+14=120分）‎ 占压轴分50.4%‎ ‎（2017•杭州）23．（12分）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，‎ ‎（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：‎ ɑ ‎30°‎ ‎40°‎ ‎50°‎ ‎60°‎ β ‎120°‎ ‎130°‎ ‎140°‎ ‎150°‎ γ ‎150°‎ ‎140°‎ ‎130°‎ ‎120°‎ 猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：‎ ‎（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．‎ 解：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°‎ 连接OB，‎ ‎∴由圆周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA，‎ ‎∵OB=OA，‎ ‎∴∠OBA=∠OAB=α，‎ ‎∴∠BOA=180°﹣2α，‎ ‎∴2β=360°﹣（180°﹣2α），‎ ‎∴β=α+90°，‎ ‎∵D是BC的中点，DE⊥BC，‎ ‎∴OE是线段BC的垂直平分线，‎ ‎∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°‎ ‎∵∠BCA=∠EDC+∠CED，‎ ‎∴β=90°+∠CED，‎ ‎∴∠CED=α，‎ ‎∴∠CED=∠OBA=α，‎ ‎∴O、A、E、B四点共圆，‎ ‎∴∠EBO+∠EAG=180°，‎ ‎∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，‎ ‎∴γ+α=180°；‎ ‎（2）当γ=135°时，此时图形如图所示，‎ ‎∴α=45°，β=135°，‎ ‎∴∠BOA=90°，∠BCE=45°，‎ 由（1）可知：O、A、E、B四点共圆，‎ ‎∴∠BEC=90°，‎ ‎∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 设CE=3x，AC=x，‎ 由（1）可知：BC=2CD=6，‎ ‎∵∠BCE=45°，‎ ‎∴CE=BE=3x，‎ ‎∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62，‎ x=，‎ ‎∴BE=CE=3，AC=，‎ ‎∴AE=AC+CE=4，‎ 在Rt△ABE中，‎ 由勾股定理可知：AB2=（3）2+（4）2，‎ ‎∴AB=5，‎ ‎∵∠BAO=45°，‎ ‎∴∠AOB=90°，‎ 在Rt△AOB中，设半径为r，‎ 由勾股定理可知：AB2=2r2，‎ ‎∴r=5，‎ ‎∴⊙O半径的长为5．‎ ‎（2017•衢州）23．（10分）问题背景 如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．‎ 类比探究 如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）‎ ‎（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．‎ ‎（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．‎ ‎（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．‎ 解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：‎ ‎∵△ABC是正三角形，‎ ‎∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，‎ ‎∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，‎ ‎∴∠ABD=∠BCE，‎ 在△ABD和△BCE中，‎{‎‎∠1=∠2‎AB=BC‎∠ABD=∠BCE，‎ ‎∴△ABD≌△BCE（ASA）；‎ ‎（2）△DEF是正三角形；理由如下：‎ ‎∵△ABD≌△BCE≌△CAF，‎ ‎∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，‎ ‎∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，‎ ‎∴△DEF是正三角形；‎ ‎（3）作AG⊥BD于G，如图所示：‎ ‎∵△DEF是正三角形，‎ ‎∴∠ADG=60°，‎ 在Rt△ADG中，DG=‎1‎‎2‎b，AG=‎3‎‎2‎b，‎ 在Rt△ABG中，c2=（a+‎1‎‎2‎b）2+（‎3‎‎2‎b）2，‎ ‎∴c2=a2+ab+b2．‎ ‎（2017•衢州）24．（12分）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．‎ ‎（1）如图1，当t=3时，求DF的长．‎ ‎（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．‎ ‎（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．‎ 解：（1）当t=3时，点E为AB的中点，‎ ‎∵A（8，0），C（0，6），‎ ‎∴OA=8，OC=6，‎ ‎∵点D为OB的中点，‎ ‎∴DE∥OA，DE=‎1‎‎2‎OA=4，‎ ‎∵四边形OABC是矩形，‎ ‎∴OA⊥AB，‎ ‎∴DE⊥AB，‎ ‎∴∠OAB=∠DEA=90°，‎ 又∵DF⊥DE，‎ ‎∴∠EDF=90°，‎ ‎∴四边形DFAE是矩形，‎ ‎∴DF=AE=3；‎ ‎（2）∠DEF的大小不变；理由如下：‎ 作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：‎ ‎∵四边形OABC是矩形，‎ ‎∴OA⊥AB，‎ ‎∴四边形DMAN是矩形，‎ ‎∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，‎ ‎∴BDDO‎=‎BNNA，DOBD=OMMA，‎ ‎∵点D为OB的中点，‎ ‎∴M、N分别是OA、AB的中点，‎ ‎∴DM=‎1‎‎2‎AB=3，DN=‎1‎‎2‎OA=4，‎ ‎∵∠EDF=90°，‎ ‎∴∠FDM=∠EDN，‎ 又∵∠DMF=∠DNE=90°，‎ ‎∴△DMF∽△DNE，‎ ‎∴DFDE‎=‎DMDN=‎3‎‎4‎，‎ ‎∵∠EDF=90°，‎ ‎∴tan∠DEF=DFDE=‎3‎‎4‎；‎ ‎（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，‎ 若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，‎ 设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；‎ ‎①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，‎ 由△DMF∽△DNE得：MF=‎3‎‎4‎（3﹣t），‎ ‎∴AF=4+MF=﹣‎3‎‎4‎t+‎25‎‎4‎，‎ ‎∵点G为EF的三等分点，‎ ‎∴G（‎3t+71‎‎12‎，‎2‎‎3‎t），‎ 设直线AD的解析式为y=kx+b，‎ 把A（8，0），D（4，3）代入得：‎&8k+b=0‎‎&4k+b=3‎，‎ 解得：‎&k=-‎‎3‎‎4‎‎&b=6‎，‎ ‎∴直线AD的解析式为y=﹣‎3‎‎4‎x+6，‎ 把G（‎3t+71‎‎12‎，‎2‎‎3‎t）代入得：t=‎75‎‎41‎；‎ ‎②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，‎ 由△DMF∽△DNE得：MF=‎3‎‎4‎（t﹣3），‎ ‎∴AF=4﹣MF=﹣‎3‎‎4‎t+‎25‎‎4‎，‎ ‎∵点G为EF的三等分点，‎ ‎∴G（‎3t+23‎‎6‎，‎1‎‎3‎t），‎ 代入直线AD的解析式y=﹣‎3‎‎4‎x+6得：t=‎75‎‎17‎；‎ 综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为‎75‎‎41‎或‎75‎‎17‎ ‎(2017•嘉兴、舟山）23、（10分）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．‎ ‎（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；‎ ‎（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.‎ ‎（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM．‎ ‎①求∠CAM的度数；‎ ‎②当，DM=4时，求DH的长．‎ ‎（2017•丽水）24、（12分）如图，在矩形中，点是上的一个动点，连接，作点关于的对称点，且点落在矩形的内部，连接，，，过点作交于点，设．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当点落在上时，用含的代数式表示的值；‎ ‎（3）若，且以点，，为顶点的三角形是直角三角形，求的值．‎ ‎（2017 金华）23、 (10分) 如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF,HG折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.‎ ‎ (1)将□ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S矩形AEFG:S□ABCD=________ 。 ‎ ‎(2)ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长. ‎ ‎(3)如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC,AD

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