陕西省西安市碑林区中考数学二模试卷及答案解析

陕西省西安市碑林区中考数学二模试卷及答案解析

陕西省西安市碑林区2014年中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2014•碑林区二模）|﹣|的相反数是（　　）‎ ‎　 A． 2 B． C． ﹣ D． ﹣2‎ 分析： 根据绝对值的性质和相反数的定义，进行求解．‎ 解答： 解：∵|﹣|=，‎ ‎∵+（﹣）=0，‎ ‎∴|﹣|的相反数是﹣，‎ 故选C．‎ 点评： 此题主要考查绝对值的性质，当a＞0时，|a|=a；当a≤0时，|a|=﹣a，是一道好题．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2014•碑林区二模）如图，这个切角长方体的左视图是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 简单组合体的三视图．‎ 分析： 根据左视图是从左面看到的图形判定则可．图中摆放的是切角长方体，‎ 解答： 解：从左边看是下面一个矩形，上面一个矩形．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2014•碑林区二模）（﹣3x3）2÷x2运算结果正确的是（　　）‎ ‎　 A． 6x4 B． ﹣6x4 C． 9x3 D． 9x4‎ 考点： 整式的除法．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果．‎ 解答： 解：原式=9x6÷x2=9x4，‎ 故选D 点评： 此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2014•碑林区二模）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（　　）‎ 跳高成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75‎ 跳高人数 1 3 2 3 5 1‎ ‎　 A． 1.65，1.70 B． 1.70，1.65 C． 1.70，1.70 D． 3，5‎ 考点： 众数；中位数．‎ 分析： 根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，及中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．‎ 解答： 解：跳高成绩为170的人数最多，故跳高成绩的众数为176；‎ 共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为165，故中位数为165；‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义，在求中位数的时候注意数据的奇偶性．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2014•碑林区二模）正比例函数y=2x的图象向右平移m个单位后，所得直线与坐标轴围成三角形面积为3，则m的值为（　　）‎ ‎　 A． 3 B． C． D． ‎ 考点： 一次函数图象与几何变换．‎ 分析： 先根据图形平移的性质得出平移后直线的解析式，再求出此直线与x、y轴的交点，利用三角形的面积公式即可求解．‎ 解答： 解：∵正比例函数y=2x的图象向右平移m个单位后的直线方程为：y=2（x﹣m）．‎ ‎∴此直线与x、y轴的交点坐标分别为（0，﹣‎2m），（m，0），‎ ‎∴平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积=×‎2m×m=3，‎ 解得 m=（舍去负值）．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查的是一次函数的图象与几何变换，解答此题的关键是求出平移后的直线解析式及与两坐标轴的交点．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2014•碑林区二模）如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，则S△EBD：S△ABC=（　　）‎ ‎　 A． 1：2 B． 1：4 C． 1：3 D． 2：3‎ 考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．‎ 分析： 易证ED是△ABC的中位线，相似三角形△EBD∽△ABC的相似比是1：2；然后由相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行答题．‎ 解答： 解：如图，∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，‎ ‎∴点D是BC的中点．‎ 又∵DE∥AC，‎ ‎∴ED是△ABC的中位线，且△EBD∽△ABC，‎ ‎∴相似比是：ED：AC=1：2，‎ ‎∴S△EBD：S△ABC=1：4．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题综合考查了三角形中位线定了、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．根据题意判定ED是△ABC的中位线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（　　）‎ ‎　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5‎ 考点： 坐标与图形变化-平移．‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： 直接利用平移中点的变化规律求解即可．‎ 解答： 解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，‎ 由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，‎ 由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，‎ 所以点A、B均按此规律平移，‎ 由此可得a=0+1=1，b=0+1=1，‎ 故a+b=2．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是（　　）‎ ‎　 A． b=a+c B． b=ac C． b2=a2+c2 D． b=‎2a=‎‎2c 考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质．‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： 因为Rt△ABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形，所以图中三角形都相似，且与a、b、c关系密切的是△DHE和△GQF，只要它们相似即可得出所求的结论．‎ 解答： 解：∵DH∥AB∥QF ‎∴∠EDH=∠A，∠GFQ=∠B；‎ 又∵∠A+∠B=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∠GFQ+∠FGQ=90°；‎ ‎∴∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFQ；‎ ‎∴△DHE∽△GQF，‎ ‎∴=‎ ‎∴=‎ ‎∴ac=（b﹣c）（b﹣a）‎ ‎∴b2=ab+bc=b（a+c），‎ ‎∴b=a+c．‎ 故选A．‎ 点评： 此题考查了相似三角形的判定，同时还考查观察能力和分辨能力．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）如图，将半径为‎2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（　　）‎ ‎　 A． ‎2cm B． cm C． D． ‎ 考点： 垂径定理；勾股定理．‎ 分析： 在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．‎ 解答： 解：作OD⊥AB于D，连接OA．‎ 根据题意得：OD=OA=‎1cm，‎ 再根据勾股定理得：AD=cm，‎ 根据垂径定理得：AB=‎2cm．‎ 故选：C．‎ 点评： 注意由题目中的折叠即可发现OD=OA=1．考查了勾股定理以及垂径定理．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值y＜0，那么下列结论中正确的是（　　）‎ ‎　 A． m﹣1的函数值小于0 B． m﹣1的函数值大于0‎ ‎　 C． m﹣1的函数值等于0 D． m﹣1的函数值与0的大小关系不确定 考点： 二次函数的性质．‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： 根据二次函数的性质解题．‎ 解答： 解：设x1，x2是方程x2﹣x+a=0的两根，‎ ‎∴x1+x2=1，x1•x2=a，‎ ‎∴|x1﹣x2|==，‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴＜1，‎ ‎∴|x1﹣x2|＜1，‎ ‎∵当自变量x取m时，其相应的函数值y＜0，‎ ‎∴当自变量x取m﹣1时，那么m﹣1的函数值y＞0．‎ 点评： 此题考查了数形结合思想，提高了学生的分析能力．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）（2014•碑林区二模）计算：tan30°﹣=　　．‎ 考点： 二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据特殊角的三角函数值和绝对值的意义得到原式=•+，然后进行二次根式的乘除法运算后合并即可．‎ 解答： 解：原式=•+‎ ‎=1+﹣1‎ ‎=．‎ 故答案为．‎ 点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了特殊角的三角函数值．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2014•碑林区二模）如图，A、B是反比例函数，y=（k＞0）图象上的两个点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接AD、BC，则△ADB与△ACB的面积大小关系是S△ADB　=　S△ACB（填＜、＞或=）．‎ 考点： 反比例函数系数k的几何意义．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到S矩形AEOC=S矩形BFOD，它们都减去矩形PDOC的面积得到S△APD=S△BPC，然后都加上S△APB即可得到S△ADB=S△ACB．‎ 解答： 解：作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，‎ 根据题意得S矩形AEOC=S矩形BFOD，‎ ‎∴S矩形AEDP=S矩形BFCP，‎ ‎∴S△APD=S△BPC，‎ ‎∴S△APB+S△APD=S△BPC+S△APB，‎ 即S△ADB=S△ACB．‎ 故答案为=．‎ 点评： 本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2014•碑林区二模）分解因式：﹣3x3y+27xy=　﹣3xy（x+3）（x﹣3）　．‎ 考点： 提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析： 先提取公因式﹣3xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．‎ 解答： 解：﹣3x3y+27xy，‎ ‎=﹣3xy（x2﹣9），﹣﹣（提取公因式）‎ ‎=﹣3xy（x+3）（x﹣3）．﹣﹣（平方差公式）．‎ 点评： 本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2014•碑林区二模）如图，把△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于D点．若∠A′DC=90°，则∠A=　55　度．‎ 考点： 旋转的性质．‎ 分析： 根据旋转的性质，可得知∠ACA′=35°，从而求得∠A′的度数，又因为∠A的对应角是∠A′，则∠A度数可求．‎ 解答： 解：∵△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′‎ ‎∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°‎ ‎∴∠A′=55°，‎ ‎∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，‎ ‎∴∠A=55°．‎ 点评： 根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2014•碑林区二模）若一圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面展开图的圆心角是　180°　．‎ 考点： 圆锥的计算．‎ 分析： 圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．‎ 解答： 解：圆锥侧面展开图的弧长是：4π，‎ 设圆心角的度数是x度．则=4π，‎ 解得：x=180．‎ 故答案为180°．‎ 点评： 考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2014•碑林区二模）如图，在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是　7.2　．‎ 考点： 切线的性质；垂线段最短．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 三角形ABC中，利用勾股定理的逆定理判断得到∠C为直角，利用90度的圆周角所对的弦为直径，得到EF为圆的直径，设圆与AB的切点为D，连接CD，当CD垂直于AB时，即CD是圆的直径的时，EF长度最小，求出即可．‎ 解答： 解：∵在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，‎ ‎∴AB2=AC2+BC2，‎ ‎∴△ABC为RT△，∠C=90°，即知EF为圆的直径，‎ 设圆与AB的切点为D，连接CD，‎ 当CD垂直于AB，即CD是圆的直径时，EF长度最小，最小值是=7.2．‎ 故答案为：7.2．‎ 点评： 此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ 三、计算题（共72分）‎ ‎17．（7分）（2014•碑林区二模）先化简，再求值：，其中．‎ 考点： 分式的化简求值．‎ 分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．‎ 解答： 先化简，再求值：，其中．‎ 解：原式=•﹣•‎ ‎=3（x+1）﹣（x﹣1）‎ ‎=2x+4，‎ 当时，原式=2（﹣2）+4=2．‎ 点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（7分）已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB=DC，BE=CF，∠B=∠C．‎ 求证：OA=OD．‎ 考点： 全等三角形的判定与性质．‎ 专题： 证明题．‎ 分析： 由AB=DC，∠B=∠C，BE+EF=CF+EF，即BF=CE，可得出△ABF≌△DCE（SAS），得AF=DE，∠AFB=∠DEC，有OE=OF，由等式性质有AF﹣OF=DE﹣OE．即OA=OD．‎ 解答： 证明：∵BE=CF，‎ ‎∴BE+EF=EF+CF，‎ 即BF=CE，‎ 在△ABF与△DCE中，‎ ‎∴△ABF≌△DCE，‎ ‎∴AF=DE，∠AFB=∠DEC，‎ ‎∴OF=OE，‎ ‎∴AF﹣OF=DE﹣OE，‎ ‎∴OA=OD．‎ 点评： 本题考查了全等的证明方法以及逻辑推理能力．本题两次运用等量减等量差相等．‎ ‎　‎ ‎19．（7分）九年级一班的两位学生对本班的一次数学成绩（分数取整数，满分为100分）进行了一次初步统计，看到80分以上（含80分）有17人，但没有满分，也没有低于30分的．为更清楚了解本班的考试情况，他们分别用两种方式进行了统计分析，如图1和图2所示．请根据图中提供的信息回答下列问题：‎ ‎（1）班级共有多少名学生参加了考试；‎ ‎（2）填上两个图中三个空缺的部分；‎ ‎（3）问85分到89分的学生有多少人？‎ 考点： 频数（率）分布直方图；扇形统计图．‎ 分析： 解决本题需要从由统计图获取信息，由此关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息．本题主要考查扇形统计图的定义，其中各部分的数量=总体×其所占的百分比．‎ 解答： 解：（1）（2+3+5）÷20%=50（人）；‎ ‎（2）如图所示．‎ ‎（3）85～100分：1﹣20%﹣62%=18%，‎ 所以，含有18%×50=9（人），‎ 又90～100有17﹣11=6（人），‎ 则85分至89分的有9﹣6=3（人）．‎ 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎20．（7分）某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB返回山脚下的B处．在同一平面内，若测得斜坡BD的长为‎100米，坡角∠DBC=10°，在B处测得A的仰角∠ABC=40°，在D处测得A的仰角∠ADF=85°，过D点作地面BE的垂线，垂足为C．‎ ‎（1）求∠ADB的度数；‎ ‎（2）求索道AB的长．（结果保留根号）‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 专题： 转化思想．‎ 分析： （1）利用点D处的周角即可求得∠ADB的度数；‎ ‎（2）首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．‎ 解答： 解：（1）∵DC⊥CE，‎ ‎∴∠BCD=90°．‎ 又∵∠DBC=10°，‎ ‎∴∠BDC=80°． （1分）‎ ‎∵∠ADF=85°，‎ ‎∴∠ADB=360°﹣80°﹣90°﹣85°=105°． （2分）‎ ‎（2）过点D作DG⊥AB于点G． （3分）‎ 在Rt△GDB中，‎ ‎∠GBD=40°﹣10°=30°，‎ ‎∴∠BDG=90°﹣30°=60°． （4分）‎ 又∵BD=‎100米，‎ ‎∴GD=BD=100×=‎50米．‎ ‎∴GB=BD×cos30°=100×=‎50‎米． （6分）‎ 在Rt△ADG中，∠ADG=105°﹣60°=45°，（7分）‎ ‎∴GD=GA=‎50米． （8分）‎ ‎∴AB=AG+GB=（50+50）米． （9分）‎ 答：索道长（50+50）米． （10分）‎ 点评： 本题考查仰角的定义及直角三角形的解法，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2014•碑林区二模）某市出租车管理处公示的出租车运价如图：‎ ‎（1）某乘客工作单位离家的距离超过‎8公里，他每天乘出租车上下班，写出他乘车费用y与乘车距离x之间的函数关系式．‎ ‎（2）有同事告诉他，当乘车距离较远时，可以考虑中途岛‎8公里时下车换乘出租车，节省费用，他试了一下，发现第二次乘车距离超过‎2公里，但未超过‎8公里，而且他还发现与之前不换车费用相同，请你算算他的工作单位离家的距离．‎ 考点： 一次函数的应用．‎ 分析： （1）根据自变量的取值范围，写出乘车费用y（元）与路程x（公里）之间的函数关系式；‎ ‎（2）由题意可知分2种情况收费，x=8和2＜x＜8两者收费相加和（1）联立方程解决问题．‎ 解答： 解：（1）当x＞8时，y=6+（8﹣2）×1.6+（x﹣8）×1.6×50%，即y=0.8x+9.2；‎ ‎（2）设他的工作单位离家的距离为x公里，由题意得 ‎6+（8﹣2）×1.6+6+（x﹣2）×1.6=0.8x+9.2‎ 解得：x=11.5．‎ 答：他的工作单位离家的距离为‎11.5公里．‎ 点评： 本题主要考查一次函数的应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．‎ ‎（1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；‎ ‎（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．‎ 考点： 游戏公平性；列表法与树状图法．‎ 专题： 阅读型．‎ 分析： 游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即小明先挑选或小亮先挑选的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．‎ 解答： 解：（1）根据题意可列表或树状图如下：‎ ‎ 第一次 第二次 1 2 3 4 ‎ ‎ 1 （1，2） （1，3） （1，4）‎ ‎ 2 （2，1） （2，3） （2，4）‎ ‎ 3 （3，1） （3，2） （3，4）‎ ‎ 4 （4，1） （4，2） （4，3） ‎ ‎（5分）‎ 从表可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种，‎ ‎∴P（和为奇数）=；（7分）‎ ‎（2）不公平．（8分）‎ ‎∵小明先挑选的概率是P（和为奇数）=，小亮先挑选的概率是P（和为偶数）=，∵，∴不公平．（10分）‎ 点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2014•碑林区二模）如图，已知AB=2，AB、CD是⊙O的两条直径，M为弧AB的中点，C在弧MB上运动，点P在AB的延长上，且PC=AC，作CE⊥AP于E，连接DP交⊙O于F．‎ ‎（1）求证：当AC=时，PC与⊙O相切；‎ ‎（2）在PC与⊙O相切的条件下，求sin∠APD的值？‎ 考点： 切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．‎ 分析： （1）连接BC，AB为直径，解直角三角形ABC得∠A=30°，又PC=AC，得∠CPE=∠A=30°，∠COP=∠A+∠ACO=2∠A=60°，利用内角和定理证明∠OCP=90°；‎ ‎（2）作DH⊥AP垂足为H，可证DH=CE，利用解直角三角形求CE，在Rt△CDP中，由CD=2，CP=，利用勾股定理求DP，由sin∠APD=求解．‎ 解答： （1）证明：连接BC，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ 在Rt△ABC中，cosA==，‎ ‎∴∠A=30°，‎ 又∵PC=AC，‎ ‎∴∠CPE=∠A=30°，‎ ‎∴∠COP=∠A+∠ACO=2∠A=60°，‎ ‎∴∠OCP=180°﹣∠CPE﹣∠COP=90°，‎ ‎∴PC与⊙O相切；‎ ‎（2）解：在Rt△CDP中，‎ ‎∵CD=2，CP=‎ ‎∴DP=（1分）‎ 作DH⊥AP垂足为H（1分）‎ ‎∵∠HOD=∠COE，OC=OD，∠CEO=∠DHO=90°，‎ ‎∴Rt△DHO≌Rt△CEO（1分）‎ 可得DH=CE=AC•sin30°=（1分）‎ 在Rt△DHP中：sin∠APD===‎ 点评： 本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形的知识．关键是作辅助线，将问题转化到特殊三角形中求解．‎ ‎　‎ ‎24．（8分）（2014•碑林区二模）如图，在直角坐标系内有点P（1，1）、点C（1，3）和二次函数y=﹣x2．‎ ‎（1）若二次函数y=﹣x2的图象经过平移后以C为顶点，请写出平移后的抛物线的解析式及一种平移的方法；‎ ‎（2）若（1）中平移后的抛物线与x轴交于点A、点B（A点在B点的左侧），求cos∠PBO的值；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出D点的坐标；若不存在，说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 专题： 综合题．‎ 分析： （1）根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，利用顶点式解析式写出平移后的抛物线解析式即可，根据顶点从坐标原点到点C写出平移方法；‎ ‎（2）令y=0，求出点A、B的横坐标，过点P作PM⊥x轴于点M，从而求出BM、PM的长度，再根据勾股定理求出PB的长度，最后根据余弦的定义列式求解即可；‎ ‎（3）存在．根据互相垂直平分的四边形是平行四边形，可以证明当点D为抛物线与y轴的交点时，四边形OPCD正好是平行四边形．‎ 解答： 解：（1）平移后以C为顶点的点抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+3，‎ 所以一种移动方式是将y=﹣x2向右平移一个单位长度，再向上平移三个单位长度；‎ ‎（2）由（1）知移动后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+3=x2+2x+2．‎ 令﹣x2+2x+2=0，‎ 解出x1=1﹣，x2=1+，‎ 连接PB，过点P作PM⊥x轴于点M，‎ ‎∴BM=，PM=1，‎ 根据勾股定理，PB===2，‎ ‎∴cos∠PBO==；‎ ‎（3）存在这样的点D．‎ 理由如下：欲使OC与PD互相平分，‎ 只要使四边形OPCD为平行四边形，‎ 由题设知，PC∥OD，‎ 又PC=2，PC∥y轴，‎ ‎∵点D在y轴上，‎ ‎∴OD=2，‎ 即D（0，2）．‎ 又点D（0，2）在抛物线y=﹣x2+2x+2上，‎ 故存在点D（0，2），‎ 即OD与PC平行且相等，使线段OC与PD相互平分．‎ 点评： 本题综合考查了二次函数的问题，有平移变换的性质，抛物线与y轴的交点问题，勾股定理，余弦的定义，平行四边形的性质，综合性较强但难度不大，计算后利用数据的关系得解比较巧妙．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2014•碑林区二模）（1）如图1，已知△ABC，过点A画一条平分三角形面积的直线；‎ ‎（2）如图2，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等；‎ ‎（3）如图3，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线．‎ 考点： 三角形的面积．‎ 分析： （1）根据三角形的面积公式，只需过点A和BC的中点画直线即可；‎ ‎（2）结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明；‎ ‎（3）结合（1）和（2）的结论进行求作．‎ 解答： （1）解：取BC的中点D，过A、D画直线，则直线AD为所求；‎ ‎（2）证明：∵l1∥l2，‎ ‎∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h．‎ ‎∴S△EGH=GH•h，S△FGH=GH•h，‎ ‎∴S△EGH=S△FGH，‎ ‎∴S△EGH﹣S△GOH=S△FGH﹣S△GOH，‎ ‎∴△EGO的面积等于△FHO的面积；‎ ‎（3）解：取BC的中点D，连接MD，过点A作AN∥MD交BC于点N，过M、N画直线，则直线MN为所求．‎ 点评： 此题主要是根据三角形的面积公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等．‎