中考数学专题复习练习：基本作图

中考数学专题复习练习：基本作图

‎1．作一个角等于已知角 分析：解作图题的方法与证明题解法不相同，它一般应包括已知，求作。对于作图首先将文字叙述转化为数学语言，即要写出题目的已知、求作、作法、证明。‎ 已知：AOB 求作：使＝AOB 图1‎ 图2‎ 图1‎ 作法：1、作射线 ‎2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D ‎3、以点为圆心，以OC长为半径作弧，交于 ‎4、以点为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于 ‎5、经过点作射线。就是所求的角 证明：连结CD、C'D'，由作法可知 ‎△C'O'D≌△COD(SSS)‎ ‎∴　 ∠C'O'D'=∠COD(全等三角形对应角相等)．‎ 即∠A'O'B'=∠AOB．‎ 说明：作图题的证明，常以作法为根据，只要“作法”中写明了作的是什么，证明中就可以用它作根据去证明．注意，在作图题的“证明”中，一般过程都写得比较简单．如这个证明三角形全等的地方，把条件省略了．‎ ‎2．平分已知角 图5‎ 已知：∠AOB如图5‎ 求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．‎ 作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．‎ ‎（2）分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C．‎ ‎(3)作射线OC．‎ OC就是所求的射线．‎ 证明：连结CD、CE，由作法可知 ‎△ODC≌△OEC(SSS)‎ ‎∴　 ∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等)．‎ 即∠AOC=∠BOC．‎ 小结：‎ ‎(1)基本作图1、2有一个不同之点，即基本作图2要把射线OC作在∠AOB内部，位置有指定性，基本作图1所作的∠A'O'B'并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠A'O'B'作在∠AOB的近旁．‎ ‎(2)作图工具只限直尺和圆规，用铅笔画图，并保留作图过程中的辅助线(作图痕迹)．‎ ‎(3)只画图的题，要求画完图，写明所求作的图形．如基本作图中要写出“∠A'O'B'就是所求的角．”‎ ‎3．经过一点作已知直线的垂线 分两种情况来考虑：‎ ‎(1)经过已知直线上的一点作这条直线的垂线．‎ ‎(2)经过已知直线外的一点作这条直线的垂线．‎ 图6‎ 分析：如果我们把D、E看成一条直线上的两点，那么点O就是这条直线外的一点，图6启发我们经过直线DE外一点O作这条直线的垂线的关键在于确定点F. ‎ ‎①已知：直线AB和AB上一点C，如图7．‎ 求作：AB的垂线，使它经过点C．‎ 图7‎ 图8‎ 作法：作平角ACB的平分线CF直线CF就是所求的垂线。‎ 证明：由作法可知，‎ 即CF是AB的垂线。‎ ‎②已知：直线AB和AB外一点C，如图8．‎ 求作：AB的垂线，使它经过点C．‎ 作法：1、任意取一点K，使K和C在AB的两旁 ‎2、以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E ‎3、分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F ‎4、作直线CF 直线CF就是所求的垂线 证明：提示：连结CD、CE、FD、FE，设CF与AB交于点O．首先证明△CDF≌△CEF，再证明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO，从而得∠DOF=∠EOF=90°．‎ 说明：几何语言要准确，严密、规范 ‎4．作线段的垂直平分线 已知：线段AB 求作：线段AB的垂直平分线。‎ 分析：注意题目有两个条件，(1)垂直，（2）平分 作法：（1）分别以点A和B为圆心，大于的长为半径的弧，两弧相交与点C和D.‎ ‎(2)作直线CD；‎ 直线CD就是线段AB的垂直平分线。‎ O A B C P 例5、如图，已知钝角，求作的补角的一半。‎ 分析：本题的实质是先作出的补角，再作这个补角的平分线。‎ 作法：（1）作OA的反向延长线OC；‎ ‎（2）作的平分线，则，就是所求得角。‎ 例6、已知：线段 B C A 求作：，使 作法：1、作线段BC＝a ‎2、分别以点B、C为圆心，以为半径作弧，两弧交于点A ‎3、连结AB、AC 就是所求作的三角形 a 例7、已知两角和其中一角的对边，求作三角形 已知：‎ 求作：‎ 作法：1、作线段 ‎2、在BC的同侧作 DE、EC交于点A。‎ 为所求的三角形 证明：（略）‎ 例01．如下图中，将四等分，‎ 已知： ‎ 求作：三条射线把四等分 分析：可以将平分再将分得的两个角再平分即可. ‎ 作法：（1）作的平分线OC；‎ ‎（2）分别作和的平分线OD，OE；‎ ‎（3）OE，OC，OD三条射线将四等分. ‎ 例02．如下图中，在直线MN上求一点P，使点P到的两边的距离相等. ‎ 已知：及直线MN 求作：点P，使点P在直线MN上，且OA、OB的距离相等 作法：（1）在OA、OB上分别截取OD、OE使 ‎（2）分别以D、E为圆心，大于DE为半径作弧，在内，两弧交于点C ‎（3）作射线OC交直线MN于点P，点P为所求. ‎ 说明 基本作图是关键.‎ 例03．已知：和点C、点D（如图）‎ 求作：一点P使它到的两边的距离相等，且. ‎ 作法：（1）连结CD，作CD的垂直平分线MN ‎（2）作的平分线OE ‎（3）OE和MN相交于点P，则点P为所求. ‎ 说明 基本作图是关键.‎ 例04．已知：（下图）‎ 求作：，使 分析 根据三角形全等的SSS公理，依次作出对应等的3条边即可. ‎ 作法 1．作. ‎ ‎2．分别以点、点为圆心，以AB、AC长为半径作弧，两弧交于点. ‎ ‎3．连结，. ‎ 即为所求. ‎ 说明 基本作图是各种作图的基础，许多几何作图都是由基本作图构成的，一定要熟练掌握.‎ 例05．已知：（下图）‎ 求作：，使. ‎ 分析 所求作的角与已知角的一半互余，因此的余角与它的一半的和即为所求. ‎ 作法 1．过点O作OM的垂线OY. ‎ ‎2．作的角平分线OX. 则即为所求. ‎ 说明 学过基本作图后遇到有基本作图的地方，写作法时不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了. ‎ 例06．如图，和有一条公共边. ‎ 求作：一点P，使P点到AB，AC，BD三边所在的直线的距离相等. ‎ 分析：P点到BD，AB的距离相等，说明P点在的平分线上，同理，P点到AB，AC的距离相等，说明P点也在的平分线上，因此，与的平分线的交点即为P点. ‎ 作法 （1）作的平分线BM，‎ ‎（2）作的平分线AN，则BM与AN的交点即为点P. ‎ 说明：每一个作图题的作法都由一些基本作图组成，所以一定要熟练掌握基本作图. ‎ 判断题 ‎1．根据下列要求，判断是否一定能作出图形 ‎（1）过任意三点A、B、C作一条直线.（）‎ ‎（2）延长射线OM到点A.（）‎ ‎（3）延长线段.（）‎ ‎（4）作直线AB的垂直平分线MN.（）‎ ‎（5）过点A作线段的垂线.（）‎ ‎（6）过点A作线段MN的垂直平分线AB.（）‎ ‎（7）以点O为圆心作弧.（）‎ ‎（8）以为半径作弧.（）‎ ‎2．判断下列描述的作图过程语言的对错 ‎（1）以AB的长为半径画圆弧（）‎ ‎（2）过一点M作的平分线（）‎ ‎（3）过一点M作已知线段AB的中垂线（）‎ ‎（4）过一点M作已知直线AB的垂线（）‎ ‎（5）作已知线段AB的中垂线（）‎ ‎（6）作已知直线的中垂线（）‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）×（2）×（3）×（4）×（5）√（6）×（7）×（8）√‎ ‎2．（1）×（2）×（3）×（4）√（5）√（6）×‎ 解答题 ‎1．如图，中，用尺规作图法完成下列要求 ‎（1）作BC边上的高；‎ ‎（2）作线段BC的垂直平分线；‎ ‎（3）作的平分线；‎ ‎（4）过C点作AB所在直线的平行线.‎ ‎2．按下列要求作图 ‎（1）连结A、B两点 ‎（2）作直线AB；‎ ‎（3）作射线AB；‎ ‎（4）作射线BA；‎ ‎（5）延长线段AB至D使；‎ ‎（6）以A为圆心，为半径作图；‎ ‎（7）在射线AC的反向延长线上截取；‎ ‎（8）在射线AC上截取.‎ ‎3．如图，‎ ‎（1）作的三边的垂直平分线，发现并总结规律；‎ ‎（2）作的三条角平分线，发现并总结规律；‎ ‎（3）作的三条边上的高所在的直线，发现并总结规律；‎ ‎（4）作的三边上的中线，发现并总结规律.‎ 参考答案：略 习题精选 ‎1、看图填空：‎ （1） 过点＿＿和点＿＿作直线；（2）延长线段＿＿到＿＿，且使＿＿＿＝＿＿；‎ A C B O ‎（3）过点＿＿＿作直线＿＿的垂线；（4）作射线＿＿，使＿＿平分＿＿‎ M b B A C A B ‎（3）‎ ‎（2）‎ ‎（1）‎ ‎（4）‎ ‎2、根据下列要求，判断是否一定能作出图形 （1） 过已知三点作一条直线 （2） 作直线OP的垂直平分线MN （3） 过A作线段MN的垂线AB （4） 过A作线段MN的垂直平分线 （5） 过已知线段外一点作其平行线 （6） 作ABC的边BC的高AD且平分BC （7） 以O为圆心作弧 （8） 以O为圆心任意长为半径画弧 提示：（1）、（2）、（4）、（6）、（7）错；（3）、（5）、（8）对 ‎3、已知：如图，求作，使 A B C 提示：已知，故其边长及各角均已固定。‎ 作法一：（1）作B1C1＝BC ‎（2）以B为圆心，AB长为半径画弧 ‎（3）以C为圆心，AC长为半径画弧交前弧于A1‎ ‎（4）连结A1B1、A1C1，得即为所求 A 作法二：（1）作B1＝B ‎（2）在B1的两边上分别截取B1A1＝BA，B1C1＝BC ‎（3）以C为圆心，AC长为半径画弧交前弧于A1‎ C B ‎（4）连结A1C1，得即为所求 A B C D E F ‎4、已知：△ABC 求作：中线BE，角平分线CF和高线AD 提示：可以通过作AC边的垂直平分线，找到中点来作中线，将BC延长后过A作BC所在直线的垂直线，得到BC边上的高 作法：（1）作AC边的中垂线，垂足为E，连结BE ‎（2）作∠ACB的平分线CF，交AB于F ‎（3）过A作AD⊥BC，垂足为D 则BE、CF、AD即为所求 ‎5、已知斜边和一直角边，求作直角三角形。‎ 已知：线段和 求作：直角△ABC，使它的斜边AB＝，一条直角边BC＝‎ 提示：直角三角形中，斜边一定大于直角边，故为斜边长，为直角边长。由图形可知先做出直角∠ACB。‎ A C D B C 作法：（1）在上任取一点C，过点C作CD⊥BC ‎（2）在上截取CB＝‎ ‎（3）以B为圆心，C为半径画弧，交CD于点A 连结AB，△ABC就是所求作的直角三角形。‎ ‎6、已知锐角、（），求作一个角，使它等于。‎ 分析：可先求作2，以角2的以始边为始边，‎ 作角，角终边与角2终边夹角就是所求的角