2004年辽宁省沈阳市中考数学试卷

2004年辽宁省沈阳市中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）‎ ‎1、下列各式属于最简二次根式的是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：最简二次根式。‎ 分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．‎ 解答：解：A、=2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；‎ C、=y，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；‎ D、=，被开方数不含分母，不是最简二次根式．‎ 故本题选择B．‎ 点评：本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：‎ ‎（1）被开方数不含分母；‎ ‎（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．‎ ‎2、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（　　）‎ ‎ A、1 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：特殊角的三角函数值。‎ 分析：先根据已知条件判断出三角形的形状，再根据特殊角的三角函数值求解即可．‎ 解答：解：∵△ABC中，∠C=90°，sinA=，‎ ‎∴∠A=60°，∠B=90°﹣∠A=30°，cosB=cos30°=．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了特殊角的三角函数值及直角三角形两锐角互补的关系．‎ ‎3、经过点（2，﹣3）的双曲线是（　　）‎ ‎ A、y=﹣ B、y=‎ ‎ C、y= D、y=﹣‎ 考点：待定系数法求反比例函数解析式。‎ 分析：用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．‎ 解答：解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），‎ 把点（2，﹣3）代入，得﹣3=，k=﹣6，‎ 故反比例函数的解析式为y=﹣．‎ 故选A．‎ 点评：本题主要考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．‎ ‎4、已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB，C为垂足，若OA=2，OC=1，则AB的长为（　　）‎ ‎ A、 B、2‎ ‎ C、 D、2‎ 考点：垂径定理；勾股定理。‎ 分析：首先根据勾股定理，计算AC的长，再根据垂径定理，得AB=2AC．‎ 解答：解：如图，AC=$sqrt{{OA}^{2}﹣{OC}^{2}}$=$sqrt{{2}^{2}﹣{1}^{2}}$=$sqrt{3}$∴AB=2AC=2$sqrt{3}$故选D．‎ 点评：此题综合运用了勾股定理和垂径定理．‎ ‎5、如图，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC=120°，则∠BAD=（　　）‎ ‎ A、30° B、60°‎ ‎ C、75° D、90°‎ 考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质。‎ 分析：在优弧BC上取一点E（不与B、C重合），根据圆周角定理，易求得∠BEC的度数；由于四边形ABEC内接于⊙O，因此∠BAD=∠BEC，由此可求得∠BAD的度数．‎ 解答：解：如图，设点E是成弧上的一点，连接BE、CE．‎ 由圆周角定理知，∠E=∠O=60°，‎ ‎∵四边形ABEC内接于⊙O，‎ ‎∴∠BAD=∠E=60°．‎ 故选B．‎ 点评：本题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理的应用．‎ ‎6、一组数据按从小到大的顺序排列为：1，2，3，x，6，9，这组数据的中位数是4.5，那么这组数据的众数 为（　　）‎ ‎ A、4 B、5‎ ‎ C、5.5 D、6‎ 考点：众数；中位数。‎ 分析：本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．可以先求出x的值，然后根据众数的定义就可解决．‎ 解答：解：据题意得，处于这组数据中间位置的那两个数是3、x．‎ 那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是=4.5，‎ 所以x=6‎ 故众数是6．‎ 故选D．‎ 点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义，解题时要注意理解题意．‎ ‎7、如图，已知PAC为⊙O的割线，连接PO交⊙O于B，PB=2，OP=7，PA=AC，则PA的长为（　　）‎ ‎ A、 B、2‎ ‎ C、 D、3‎ 考点：切割线定理。‎ 分析：设PA=x，延长PO交圆于D，根据割线定理得PA•PC=PB•PD即可求得PA的长，也就求得了AC的长．‎ 解答：解：设PA=x，延长PO交圆于D ‎∵PA•PC=PB•PD，PB=2，OP=7，PA=AC ‎∴x•2x=24‎ ‎∴x=2．‎ 故选B．‎ 点评：此题通过作辅助线构造割线定理列方程求解．‎ ‎8、某商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是（　　）‎ ‎ A、8.5% B、9%‎ ‎ C、9.5% D、10%‎ 考点：一元二次方程的应用。‎ 专题：方程思想；应用题。‎ 分析：设平均每次降价的百分率是x，则根据“每件100元调至81元”作为相等关系列方程100×（1﹣x）2=81，解方程即可求解．‎ 解答：解：设平均每次降价的百分率是x，则100×（1﹣x）2=81，‎ 解之得x=10%．‎ 故选D．‎ 点评：本题类似增长率问题，降低率为基数（1﹣降低率）n=n次降低后到达的数．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．‎ ‎9、小丽的家与学校的距离为d0千米，她从家到学校先以匀速v1跑步前进，后以匀速v2（v2‎ ‎＜v1）走完余下的路程，共用t0小时．下列能大致表示小丽距学校的距离y（千米）与离家时间t（小时）之间关系的图象是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：函数的图象。‎ 分析：开始的距离为d0千米，速度先快后慢，图象先陡后平缓，距离逐步减小，由此判断函数图象．‎ 解答：解：根据题意：她从家到学校先以匀速v1跑步前进，后以匀速v2（v2＜v1）走完余下的路程，‎ 即距离y先减小的快，再变的较慢，最后为0．‎ 故选D．‎ 点评：本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．‎ ‎10、沈阳市某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案《我的宝贝》．图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作半圆（如图），则图中阴影部分的面积为（　　）‎ ‎ A、36πcm2 B、72πcm2‎ ‎ C、36cm2 D、72cm2‎ 考点：扇形面积的计算。‎ 分析：阴影部分的面积等于中间等腰直角三角形的面积加上两个小半圆的面积，减去其中下面面积较大的半圆的面积．‎ 解答：解：因为斜边长为12cm，则两直角边均为6cm，‎ 则两个小半圆的面积均为：π（3）2=9πcm2，‎ 以斜边为直径的半圆的面积是π（）2=18πcm2，三角形的面积是36cm2，‎ 因而阴影部分的面积=9π+9π+36﹣18π=36cm2．‎ 故选C．‎ 点评：图形中不规则图形的面积可以转化为一些不规则图形的面积的和或差的问题．‎ 二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）‎ ‎11、一元二次方程：x2﹣2x﹣3=0的根是 ．‎ 考点：解一元二次方程-因式分解法。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据方程的解x1x2=﹣3，x1+x2=2可将方程进行分解，得出两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．‎ 解答：解：原方程可化为：（x﹣3）（x+1）=0，‎ ‎∴x1=3，x2=﹣1．‎ 点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．‎ ‎12、若点P（a，b）在第四象限，则点Q（b，﹣a）在第 象限．‎ 考点：坐标确定位置。‎ 分析：根据各象限内点的符号特征确定点的位置．‎ 解答：解：若点P（a，b）在第四象限，则a＞0，b＜0，因此点Q（b，﹣a）在第三象限．‎ 点评：根据p点在第四象限，确定a和b的正负，进一步确定Q点所在的象限．‎ ‎13、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，AC=4，则BC= ．‎ 考点：解直角三角形。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长．‎ 解答：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，‎ ‎∵AB为斜边，‎ ‎∴BC=AC•tanA=4×=．‎ 点评：本题考查的是如何解直角三角形，运用好边角关系是关键．‎ ‎14、一组数据4，0，1，﹣2，2的标准差是 ．‎ 考点：标准差。‎ 分析：先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差．‎ 解答：解：数据4，0，1，﹣2，2的平均数为=[4+0+1﹣2+2]=1‎ 方差为s2=[（4﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（﹣2﹣1）2+（2﹣1）2]=4‎ ‎∴标准差为2．‎ 故本题答案为：2．‎ 点评：计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：‎ ‎（1）计算数据的平均数；‎ ‎（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；‎ ‎（3）计算偏差的平方和；‎ ‎（4）偏差的平方和除以数据个数．‎ 标准差即方差的算术平方根，‎ 注意标差和方差一样都是非负数．‎ ‎15、已知⊙O中，的度数为70°，过点A的直线AC与⊙O相切，则弦切角∠BAC的度数为 ．‎ 考点：弦切角定理。‎ 分析：因为点C的位置不确定，所以应有两种情况．根据弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，即等于它所夹的弧的度数的一半．则∠BAC=35°或180°﹣35°=145°．‎ 解答：解：如图；的度数为70°，EF与⊙O相切，切点为A；‎ ‎∵的度数为70°，‎ ‎∴∠ADB=35°．‎ ‎∵EF是⊙O的切线，‎ ‎∴∠FAB=∠ADB=35°，‎ ‎∴∠DAE=180°﹣∠FAB=145°．‎ ‎①当∠BAC=∠BAF时，∠BAC=35°；‎ ‎②当∠BAC=∠BAE时，∠BAE=145°；‎ 因此弦切角∠BAC的度数为35°或145°．‎ 点评：本题主要考查弦切角定理的应用，注意∠BAC有两种情况，不要漏解．‎ ‎16、如图，已知弦AB、CD交于⊙O内一点P，AP=6，PB=8，CP：DP=1：2，则弦CD的长为 ．‎ 考点：相交弦定理。‎ 分析：根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算．‎ 解答：解：∵CP：DP=1：2‎ ‎∴DP=2CP ‎∵PA•PB=PC•PD ‎∴6×8=PC×2PC 解得PC=2（舍去负值）‎ ‎∴CD=PC+PD=3PC=6．‎ 点评：本题主要考查相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”的应用．‎ ‎17、已知矩形ABCD的一边AB=5，另一边BC=6，以直线AB为轴旋转一周所得的圆柱的侧面积为 ．‎ 考点：圆柱的计算。‎ 分析：圆柱侧面积=底面周长×高．‎ 解答：解：根据圆柱的侧面积公式可得：π×2×6×5=60π．‎ 点评：本题主要考查了圆柱的侧面积的计算方法．‎ ‎18、请你写出一个二次项系数为1，两实数根之和为3的一元二次方程： ．‎ 考点：根与系数的关系。‎ 分析：两实数根之和为3，则一次项的系数为﹣3，为了简便，常数项可写成负数，保证此方程有根．‎ 解答：解：如x2﹣3x﹣1=0（答案不惟一，只要符合a=1，b=3，c≤即可）．‎ 点评：此题是开放性试题，但比较简单．若二次项的系数为1，则一次项的系数为二根之和的相反数，常数项为二根之积．‎ ‎19、正六边形的边长为5，则它的外接圆半径是 ．‎ 考点：正多边形和圆。‎ 分析：根据正六边形的边长等于正六边形的半径，即可求解．‎ 解答：解：正6边形的中心角为360°÷6=60°．‎ 那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形．‎ ‎∴它的外接圆半径是5．‎ 点评：本题用到的知识点为：n边形的中心角为360÷n，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．‎ ‎20、已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，分别以A、C为圆心作⊙A、⊙C，且⊙C与直线AB不相交，⊙A与⊙C相切．设⊙A的半径为r，那么r的取值范围是 ．‎ 考点：圆与圆的位置关系。‎ 专题：分类讨论。‎ 分析：根据勾股定理得AB=5，⊙C与直线AB不相交，有可能相切或者相离，从而求得⊙C的半径的取值范围；再根据两圆相切，求得r的取值范围．‎ 解答：解：根据勾股定理，得：AB=5，‎ 根据题意，知⊙C与直线AB相切或相离，‎ 相切时，⊙C的半径即是AB上的高，即为2.4，‎ 所以⊙C的半径的取值范围是小于或等于2.4，‎ 又⊙A与⊙C相切，则可能内切，也可能外切，‎ 当两圆内切时，则0.6≤r＜3，‎ 当两圆外切时，则3＜r≤5.4．‎ ‎∴0.6≤r＜3或3＜r≤5.4．‎ 点评：此题综合考查了直线和圆以及两圆的位置关系与数量之间的联系．‎ 本题需注意两圆相切，应分内切和外切两种情况．‎ 三、解答题（共8小题，满分80分）‎ ‎21、阅读下列解题过程：‎ 题目：已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，求的值．‎ 解：∵△=32﹣4×1×1=5＞0‎ ‎∴α≠β（1）‎ 由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β=﹣3，αβ=1（2）‎ ‎∴=+===﹣3（3）‎ 阅读后回答问题：‎ 上面的解题过程是否正确若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程．‎ 考点：根与系数的关系。‎ 分析：算术平方根的符号不可能为负值，在第三问中出现差错．‎ 解答：解：不正确．第（3）步错．‎ 正确的解题过程是：‎ ‎∵△=32﹣4×1×1=5＞0，‎ ‎∴α≠β，‎ 由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β=﹣3＜0，αβ=1＞0，‎ ‎∴α＜0，β＜0，‎ ‎∴=﹣﹣=﹣=3．‎ 点评：本题用到的知识点为：一个数的算术平方根为非负数，再利用根与系数的关系来做．‎ ‎22、用换元法解方程x2﹣x﹣+1=0．‎ 考点：换元法解分式方程。‎ 专题：换元法。‎ 分析：方程的两个部分具备倒数关系，设y=x2﹣x，则原方程另一个分式为．可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．‎ 解答：解：设x2﹣x=y，原方程可变形为：y﹣+1=0，‎ 方程两边都乘以y，得 y2+y﹣6=0，‎ 解得y1=2，y2=﹣3．‎ 当y=2时，x2﹣x=2∴x1=﹣1，x2=2；‎ 当y=﹣3时，x2﹣x=﹣3，∵△＜0，∴此方程无实数根．‎ 检验：把x1=﹣1，x2=2分别代入原方程的分母，分母不等于0，‎ ‎∴原方程的根是x1=﹣1，x2=2．‎ 点评：换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．‎ ‎23、如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．‎ ‎（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；‎ ‎（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；‎ ‎（3）观察图象，当x取何值时，y＜0，y=0，y＞0．‎ 考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质。‎ 分析：（1）直接利用图中的三个点的坐标代入解析式用待定系数法求解析式；‎ ‎（2）把解析式化为顶点式求顶点坐标和对称轴；‎ ‎（3）依据图象可知，当图象在x轴上方时，y＞0，在x轴下方时，y＜0，在x轴上时，y=0．‎ 解答：解：（1） A（﹣1，0）B（0，﹣3）C（4，5），‎ 设解析式为y=ax2+bx+c，‎ 所以可得：，‎ 解得：．‎ 故解析式为：y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2） y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，‎ 故顶点坐标为：（1，﹣4），对称轴为直线x=1；‎ ‎（3）观察图象可得：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0，‎ 当x=﹣1或x=3时，y=0，‎ 当﹣1＜x＜3时，y＜0．‎ 点评：主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数及其图象的性质．‎ 用待定系数法求函数解析式的一般步骤是：‎ ‎（1）写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；‎ ‎（2）把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组；‎ ‎（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式．‎ ‎24、某校课外活动小组为了了解本校初三学生的睡眠时间情况，对本校若干名初三学生的睡眠时间进行了调查，所得数据整理后，画出了如图所示的频数分布直方图（图中每个长方形包括左边分点，不包含右边分点）．‎ 请回答：‎ ‎（1）这次被抽查的学生人数是多少？‎ ‎（2）被抽查的学生中，睡眠在哪个范围内的人数最多这一范围内的人数是多少？‎ ‎（3）如果该校学生有900名初三学生，若合理睡眠时间范围为7≤t＜9，那么请你估计一下这个学校初三学生睡眠时间在此范围内的人数是多少？‎ 考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）从学生数这一坐标上可以算出学生数；‎ ‎（2）通过读图可以看出最高的即睡眠人数最多的；‎ ‎（3）先从这一样本中算出睡眠合理的人数的比值作为样本再计算学校初三学生在这相范围内的睡眠人数．‎ 解答：解：（1）∵第二小组频数为4，频率为0.08，‎ ‎∴这次被抽查的学生的人数是=50（人）；‎ ‎（2）被抽查的学生睡眠时间在6≤t＜7（或从左至右数第四小组）的人数最多．‎ ‎∵0.28×50=14（人），‎ ‎∴这一范围内的人数是14人；‎ ‎（3）∵第五组、第六组的频率之和为0.24+0.12=0.36，‎ ‎∴0.36×900=324（人），‎ ‎∴估计这个学校初三学生中睡眠时间在7≤t＜9的人数约为324人．‎ 点评：本题是一道利用统计知识解答实际问题的重点考题，计算量略大，难度中等．主要考查利用统计图表，处理数据的能力和利用样本估计总体的思想．解答这类题目，观察图表要细致，对应的图例及其关系不能错位，计算要认真准确．‎ ‎25、某地有一居民楼，窗户朝南，窗户的高度为h米，此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β（如图1），小明想为自己家的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．小明查阅了有关资料，获得了所在地区∠α和∠β的相应数据：∠α=24°36′，∠β=73°30′，小明又量得窗户的高AB=1.65米，若同时满足下面两个条件，‎ ‎（1）当太阳光与地面的夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内；‎ ‎（2）当太阳光与地面的夹角为β时，要想使太阳光刚好不射入室内．‎ 请你借助下面的图形（如图2），帮助小明算一算，遮阳篷BCD中，BC和CD的长各是多少？（精确到0.01米）‎ 以下数据供计算中选用sin24°36′=0.416，cos24°36′=0.909，tan24°36′=0.456，cot24°36′=2.184，sin73°30′=0.959，cos73°30′=0.284，tan73°30′=3.376，cot73°30′=0.296．‎ 考点：解直角三角形的应用。‎ 分析：在直角三角形△BCD和△ACD，利用相应的三角函数用CD分别表示出AC、BC长，而AC﹣BC=AB，由此即可求得CD长，进而求得BD长．‎ 解答：解：在Rt△BCD中，tan∠CDB=，∠CDB=∠α，‎ ‎∴BC=CD•tan∠CDB=CD•tanα，‎ 在Rt△ACD中，tan∠CDA=，∠CDA=∠β，‎ ‎∴AC=CD•tan∠CDA=CD•tanβ，‎ ‎∵AB=AC﹣BC=CD•tanβ﹣CD•tanα=CD（tanβ﹣tanα），‎ ‎∴CD==0.57米，‎ ‎∴BC=CD•tan∠CDB≈0.57×0.458≈0.26（米）．‎ 答：BC的长约为0.26米，CD的长约为0.57米．‎ 点评：在解直角三角形的题目中，应先找到和所求线段相关的线段所在的直角三角形，然后确定利用什么形式的三角函数，最后解直角三角形即可求出结果．此题还需注意太阳光线是平行的，那么∠CDB=α．‎ ‎26、某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨．该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县，已知C、D两县运化肥到A、B两县的运费（元/吨）如下列表所示：‎ ‎（1）设C县到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．‎ 考点：一次函数的应用。‎ 分析：（1）可设由C县运往A县的化肥为x吨，则C县运往B县的化肥为（100﹣x）吨，D县运往B县的化肥为（x﹣40）吨，‎ 所以W=35x+40（90﹣x）+30（100﹣x）+45（x﹣40）．其中40≤x≤90；‎ ‎（2）由函数解析式可知，W随着x的减小而减小，所以当x=40时，W最小．因此即可解决问题．‎ 解答：解：（1）由C县运往A县的化肥为x吨，则C县运往B县的化肥为（100﹣x）吨，D县运往B县的化肥为（x﹣40）吨 依题意W=35x+40（90﹣x）+30（100﹣x）+45（x﹣40）=10x+4800，40≤x≤90；‎ ‎（2）∵10＞0，‎ ‎∴W随着x的减小而减小 当x=40时，W最小=10×40+4800=5200（元）‎ 即运费最低时，x=40‎ ‎∴100﹣x=60，90﹣x=50，x﹣40=0‎ 运送方案为C县的100吨化肥40吨运往A县，60吨运往B县，D县的50吨化肥全部运往A县．‎ 点评：本题需仔细分析题意，利用函数解析式即可解决问题．‎ ‎27、如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点．‎ ‎（1）求证：AB⊥AC；‎ ‎（2）过点A的直线分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，且DE是连心线时，直线DB与直线EC交于点F．请在图中画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE绕点A旋转（DE不与点A、B、C重合），请另画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．‎ 考点：圆与圆的位置关系；相切两圆的性质。‎ 分析：（1）作两圆的内公切线，根据切线长定理，得到三角形一边上的中线等于这边的一半，从而证明直角三角形；‎ ‎（2）根据弦切角定理，结合（1）中的结论进行证明；‎ ‎（3）根据弦切角定理以及圆周角定理，和（1）中的结论即可证明．‎ 解答：‎ 解：（1）如图1，过点A作⊙O1和⊙O2的内公切线交BC于点O，‎ ‎∵OB、OA是⊙O1的切线 ‎∴OB=OA 同理OC=OA ‎∴OB=OC=OA ‎∴△ABC是直角三角形 ‎∴AB⊥AC；‎ ‎（2）DF⊥EF．理由如下：‎ 如图1，∵⊙O1和⊙O2外切于点A，‎ ‎∴∠ABC=∠FDA，∠ACB=∠FEA，‎ 由（1）得∠ABC+∠ACB=90°，‎ ‎∴∠FDA+∠FEA=90°，‎ ‎∴∠DFE=90°，即DF⊥EF；‎ ‎（3）DF⊥EF．理由如下：‎ 第一种情况：如图2，‎ ‎∵⊙O1和⊙O2外切于点A ‎∴∠ABC=∠FDA，∠ACB=∠FEA 由（1）得∠ABC+∠ACB=90°‎ ‎∴∠FDA+∠FEA=90°‎ ‎∴∠DFE=90°，即DF⊥EF；‎ 第二种情况：如图3，‎ ‎∵∠ACB=∠FEA，∠CBD=∠BAD，∠EDF=∠DBA+∠DAB ‎∴∠EDF=∠ABC ‎∵∠ABC+∠ACB=90°‎ ‎∴∠EDF+∠AEC=90°‎ ‎∴∠DFE=90°，即EF⊥DF．‎ 点评：作两圆的内公切线是外切两圆中常见的辅助线之一．‎ 熟练运用弦切角定理、圆周角定理、切线长定理．‎ 注意一题多变的类型题的解法．‎ ‎28、如图，直线l：y=x+与x轴、y轴分别交于点B、C，以点A（1，0）为圆心，以AB的长为半径作⊙A，分别交x轴、y轴正半轴于点D、E，直线l与⊙A交于点F，分别过点B、F作⊙A的切线交于点M．‎ ‎（1）直接写出点B、C的坐标；‎ ‎（2）求直线MF的解析式；‎ ‎（3）若点P是上任意一点（不与B、F重合）．连接BP、FP．过点M作MN∥PF，交直线l于点N．设PB=a，MN=b，求b与a的函数关系式，并写出自变量a的取值范围；‎ ‎（4）若将（3）中的条件点P是上任意一点，改为点P是⊙A上任意一点，其它条件不变．当点P在⊙A上的什么位置时，△BMN为直角三角形，并写出此时点N的坐标．（第（4）问直接写出结果，不要求证明或计算过程）‎ 考点：一次函数综合题。‎ 分析：（1）分别令x=0，y=0即可求出B、C的坐标；‎ ‎（2）可作AH⊥BF于H，FG⊥BD于G，根据tan∠CBO求出∠CBO=30°，而圆的半径AB=2，所以HA=AB=1，BH=，利用垂径定理可求BF=2，所以FG=BF=BC=3OG=2，所以F（2，），又因∠MBF=60°，BM=MF，可知MB=MF=BF=2，M（﹣1，2）；再设直线MF的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求出直线的解析式；‎ ‎（3）因为MN∥PF，所以∠NMF=∠PFM，又因∠PFM=∠PBF，所以∠PBF=∠FMN，进而可证△PBF∽△FMN，所以，代入相关数据，即可求出a、b的关系式，且0＜a＜2；‎ ‎（4）因为当点P与点E或与点D重合时，△BMN为直角三角形，所以此时点N的坐为（5，2），（）．‎ 解答：解：（1）B（﹣1，0），C（0，）；‎ ‎（2）作AH⊥BF于H，FG⊥BD于Gtan∠CBO==，‎ ‎∴∠CBO=30°‎ ‎∴HA=AB=1，‎ ‎∴BH=，BF=2BH=2，‎ ‎∴FG=BF=，BC=3OG=2，‎ ‎∴F（2，），‎ ‎∵∠MBF=60°，BM=MF，‎ ‎∴MB=MF=BF=2，‎ ‎∴M（﹣1，2），‎ 设直线MF的解析式为y=kx+b，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴y=﹣x+y；‎ ‎（3）∵MN∥PF，‎ ‎∴∠NMF=∠PFM，‎ ‎∵∠PFM=∠PBF，‎ ‎∴∠PBF=∠FMN，‎ ‎∵∠MNF=∠BFP，‎ ‎∴△PBF∽△FMN，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴ab=12，‎ ‎∴b=，‎ ‎0＜a＜2；‎ ‎（4）当点P与点E或与点D重合时，△BMN为直角三角形，‎ 此时点N的坐为（5，2），（）．‎ 点评：本题需仔细分析题意，利用相似三角形的性质和圆的有关知识即可解决问题．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ zhjh；zcx；shenzigang；xinruozai；mama258；lanchong；zhehe；CJX；MMCH；kuaile；zhangCF；lf2-9；算术；lzhzkkxx；lanyan；cook2360；leikun；zxw；hnaylzhyk；ln_86；fuaisu；huangling；lanyuemeng；wdxwwzy。（排名不分先后）‎ ‎2010年10月18日