2019年四川省自贡市中考数学试卷含答案

2019年四川省自贡市中考数学试卷含答案

‎2019年四川省自贡市中考数学试卷 一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（4分）﹣2019的倒数是（　　）‎ A．﹣2019 B．‎-‎‎1‎‎2019‎ C．‎1‎‎2019‎ D．2019‎ ‎2．（4分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．2.3×104 B．23×103 C．2.3×103 D．0.23×105‎ ‎3．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（4分）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（　　）‎ A．甲的成绩比乙的成绩稳定 ‎ B．乙的成绩比甲的成绩稳定 ‎ C．甲、乙两人的成绩一样稳定 ‎ D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 ‎5．（4分）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．（4分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎7．（4分）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（　　）‎ A．|m|＜1 B．1﹣m＞1 C．mn＞0 D．m+1＞0‎ ‎8．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1‎ ‎9．（4分）一次函数y＝ax+b与反比列函数y‎=‎cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．（4分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（　　）‎ A．‎4‎‎5‎ B．‎3‎‎4‎ C．‎2‎‎3‎ D．‎‎1‎‎2‎ ‎12．（4分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（　　）‎ A．‎8‎‎17‎ B．‎7‎‎17‎ C．‎4‎‎9‎ D．‎‎5‎‎9‎ 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）‎ ‎13．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝120°，则∠2＝　 　．‎ ‎14．（4分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是　 　分．‎ ‎15．（4分）分解因式：2x2﹣2y2＝　 　．‎ ‎16．（4分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为　 　．‎ ‎17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝　 　．‎ ‎18．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝　 　．‎ 三、解答題（共8个题，共78分）‎ ‎19．（8分）计算：|﹣3|﹣4sin45°‎+‎8‎+‎（π﹣3）0‎ ‎20．（8分）解方程：xx-1‎‎-‎2‎x=‎1．‎ ‎21．（8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．‎ 求证：（1）AD‎=‎BC；（2）AE＝CE．‎ ‎22．（8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．‎ 收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：‎ ‎90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97‎ ‎88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82‎ 整理分析数据：‎ 成绩x（单位：分）‎ 频数（人数）‎ ‎60≤x＜70‎ ‎1‎ ‎70≤x＜80‎ ‎　 　‎ ‎80≤x＜90‎ ‎17‎ ‎90≤x＜100‎ ‎　 　‎ ‎（1）请将图表中空缺的部分补充完整；‎ ‎（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；‎ ‎（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是　 　．‎ ‎23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2‎=‎mx（m≠0）的图象相交于第一、象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．‎ ‎（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；‎ ‎（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．‎ ‎24．（10分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：‎ 设S＝1+2+22+…+22017+22018①‎ 则2S＝2+22+…+22018+22019②‎ ‎②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1‎ ‎∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1‎ 请仿照小明的方法解决以下问题：‎ ‎（1）1+2+22+…+29＝　 　；‎ ‎（2）3+32+…+310＝　 　；‎ ‎（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．‎ ‎25．（12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．‎ ‎①线段DB和DG的数量关系是　 　；‎ ‎②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．‎ ‎（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．‎ ‎①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；‎ ‎②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．‎ ‎26．（14分）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．‎ ‎（1）求抛物线C函数表达式；‎ ‎（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；‎ ‎（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y‎=‎‎17‎‎4‎的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2019年四川省自贡市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（4分）﹣2019的倒数是（　　）‎ A．﹣2019 B．‎-‎‎1‎‎2019‎ C．‎1‎‎2019‎ D．2019‎ ‎【解答】解：﹣2019的倒数是‎-‎‎1‎‎2019‎．‎ 故选：B．‎ ‎2．（4分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．2.3×104 B．23×103 C．2.3×103 D．0.23×105‎ ‎【解答】解：23000＝2.3×104，‎ 故选：A．‎ ‎3．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎4．（4分）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（　　）‎ A．甲的成绩比乙的成绩稳定 ‎ B．乙的成绩比甲的成绩稳定 ‎ C．甲、乙两人的成绩一样稳定 ‎ D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 ‎【解答】解：∵乙的成绩方差＜甲成绩的方差，‎ ‎∴乙的成绩比甲的成绩稳定，‎ 故选：B．‎ ‎5．（4分）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：从上面观察可得到：．‎ 故选：C．‎ ‎6．（4分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【解答】解：设第三边为x，‎ 根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，‎ 即3＜x＜5，‎ ‎∵x为整数，‎ ‎∴x的值为4．‎ ‎ 三角形的周长为1+4+4＝9．‎ 故选：C．‎ ‎7．（4分）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（　　）‎ A．|m|＜1 B．1﹣m＞1 C．mn＞0 D．m+1＞0‎ ‎【解答】解：利用数轴得m＜0＜1＜n，‎ 所以﹣m＞0，1﹣m＞1，mn＜0，m+1＜0．‎ 故选：B．‎ ‎8．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1‎ ‎【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＜0，‎ 解得m＞1．‎ 故选：D．‎ ‎9．（4分）一次函数y＝ax+b与反比列函数y‎=‎cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：∵一次函数y1＝ax+c图象过第一、二、四象限，‎ ‎∴a＜0，b＞0，‎ ‎∴‎-b‎2a＞‎0，‎ ‎∴二次函数y3＝ax2+bx+c开口向下，二次函数y3＝ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；‎ ‎∵反比例函数y2‎=‎cx的图象在第一、三象限，‎ ‎∴c＞0，‎ ‎∴与y轴交点在x轴上方．‎ 满足上述条件的函数图象只有选项A．‎ 故选：A．‎ ‎10．（4分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径．‎ 故选：D．‎ ‎11．（4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（　　）‎ A．‎4‎‎5‎ B．‎3‎‎4‎ C．‎2‎‎3‎ D．‎‎1‎‎2‎ ‎【解答】解：连接AC，‎ 设正方形的边长为a，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠B＝90°，‎ ‎∴AC为圆的直径，‎ ‎∴AC‎=‎‎2‎AB‎=‎‎2‎a，‎ 则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：a‎2‎π×(‎2‎‎2‎a‎)‎‎2‎‎=‎2‎π≈‎‎2‎‎3‎，‎ 故选：C．‎ ‎12．（4分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（　　）‎ A．‎8‎‎17‎ B．‎7‎‎17‎ C．‎4‎‎9‎ D．‎‎5‎‎9‎ ‎【解答】解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD‎=‎‎1‎‎2‎CF＝5，‎ ‎∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，‎ ‎∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，‎ ‎∵AD是切线，点D是切点，‎ ‎∴AD⊥KD，‎ ‎∵AK＝13，DK＝5，‎ ‎∴AD＝12，‎ ‎∵tan∠EAO‎=OEOA=‎DKAD，‎ ‎∴OE‎8‎‎=‎‎5‎‎12‎，‎ ‎∴OE‎=‎‎10‎‎3‎，‎ ‎∴AE‎=OE‎2‎+OA‎2‎=‎‎26‎‎3‎，‎ 作EH⊥AB于H．‎ ‎∵S△ABE‎=‎‎1‎‎2‎•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，‎ ‎∴EH‎=‎‎7‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∴AH‎=AE‎2‎-EH‎2‎=‎‎17‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∴tan∠BAD‎=EHAH=‎7‎‎2‎‎3‎‎17‎‎2‎‎3‎=‎‎7‎‎17‎，‎ 故选：B．‎ 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）‎ ‎13．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝120°，则∠2＝　60°　．‎ ‎【解答】解：∵∠1＝120°，‎ ‎∴∠3＝180°﹣120°＝60°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠2＝∠3＝60°．‎ 故答案为：60°．‎ ‎14．（4分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是　90　分．‎ ‎【解答】解：这组数据的众数是90分，‎ 故答案为：90．‎ ‎15．（4分）分解因式：2x2﹣2y2＝　2（x+y）（x﹣y）　．‎ ‎【解答】解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．‎ 故答案为：2（x+y）（x﹣y）．‎ ‎16．（4分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为　x-y=4‎‎4x+5y=466‎　．‎ ‎【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：‎ x-y=4‎‎4x+5y=466‎‎，‎ 故答案为：x-y=4‎‎4x+5y=466‎，‎ ‎17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝　‎9‎‎5‎‎5‎　．‎ ‎【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，‎ ‎∴AC＝8，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABE＝∠CDE，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠D＝∠ABE，‎ ‎∴∠D＝∠CBE，‎ ‎∴CD＝BC＝6，‎ ‎∴△AEB∽△CED，‎ ‎∴AEEC‎=BEED=ABCD=‎10‎‎6‎=‎‎5‎‎3‎，‎ ‎∴CE‎=‎‎3‎‎8‎AC‎=‎3‎‎8‎×‎8＝3，‎ BE‎=BC‎2‎+CE‎2‎=‎6‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=3‎‎5‎，‎ DE‎=‎‎3‎‎5‎BE‎=‎3‎‎5‎×3‎5‎=‎‎9‎‎5‎‎5‎，‎ 故答案为‎9‎‎5‎‎5‎．‎ ‎18．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝　‎21‎‎7‎　．‎ ‎【解答】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．‎ 在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，‎ ‎∴∠α＝30°．‎ 同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．‎ 又∵∠AEC＝60°，‎ ‎∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．‎ 设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a‎=‎‎3‎a，‎ ‎∴AD‎=AE‎2‎+DE‎2‎=‎‎7‎a，‎ ‎∴cos（α+β）‎=DEAD=‎‎21‎‎7‎．‎ 故答案为：‎21‎‎7‎．‎ 三、解答題（共8个题，共78分）‎ ‎19．（8分）计算：|﹣3|﹣4sin45°‎+‎8‎+‎（π﹣3）0‎ ‎【解答】解：原式＝3﹣4‎×‎2‎‎2‎+‎2‎2‎‎+‎1＝3﹣2‎2‎‎+‎2‎2‎‎+‎1＝4．‎ ‎20．（8分）解方程：xx-1‎‎-‎2‎x=‎1．‎ ‎【解答】解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，‎ 解得：x＝2，‎ 检验：当x＝2时，方程左右两边相等，‎ 所以x＝2是原方程的解．‎ ‎21．（8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．‎ 求证：（1）AD‎=‎BC；（2）AE＝CE．‎ ‎【解答】证明（1）∵AB＝CD，‎ ‎∴AB‎=‎CD，即AD‎+AC=BC+‎AC，‎ ‎∴AD‎=‎BC；‎ ‎（2）∵AD‎=‎BC，‎ ‎∴AD＝BC，‎ 又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，‎ ‎∴△ADE≌△CBE（ASA），‎ ‎∴AE＝CE．‎ ‎22．（8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．‎ 收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：‎ ‎90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97‎ ‎88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82‎ 整理分析数据：‎ 成绩x（单位：分）‎ 频数（人数）‎ ‎60≤x＜70‎ ‎1‎ ‎70≤x＜80‎ ‎　2　‎ ‎80≤x＜90‎ ‎17‎ ‎90≤x＜100‎ ‎　10　‎ ‎（1）请将图表中空缺的部分补充完整；‎ ‎（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；‎ ‎（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是　‎1‎‎2‎　．‎ ‎【解答】解：（1）补全图表如下：‎ ‎（2）估计该校初一年级360人中，获得表彰的人数约为360‎×‎10‎‎30‎=‎120（人）；‎ ‎（3）将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D，‎ 画树状图如下：‎ 则共有12种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的结果数为6，‎ 所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为‎1‎‎2‎，‎ 故答案为：‎1‎‎2‎．‎ ‎23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2‎=‎mx（m≠0）的图象相交于第一、象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．‎ ‎（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；‎ ‎（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）把A（3，5）代入y2‎=‎mx（m≠0），可得m＝3×5＝15，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y2‎=‎‎15‎x；‎ 把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，‎ ‎∴B（﹣5，﹣3）．‎ 把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得‎3k+b=5‎‎-5k+b=-3‎，‎ 解得k=1‎b=2‎，‎ ‎∴一次函数的解析式为y1＝x+2；‎ ‎（2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，‎ ‎∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），‎ 此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，‎ 令y＝0，则x＝﹣2，‎ ‎∴C（﹣2，0），‎ ‎∴BC‎=‎(-5+2‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎=‎3‎2‎．‎ ‎（3）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．‎ ‎24．（10分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：‎ 设S＝1+2+22+…+22017+22018①‎ 则2S＝2+22+…+22018+22019②‎ ‎②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1‎ ‎∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1‎ 请仿照小明的方法解决以下问题：‎ ‎（1）1+2+22+…+29＝　210﹣1　；‎ ‎（2）3+32+…+310＝　‎3‎‎11‎‎-3‎‎2‎　；‎ ‎（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．‎ ‎【解答】解：（1）设S＝1+2+22+…+29①‎ 则2S＝2+22+…+210②‎ ‎②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1‎ ‎∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；‎ 故答案为：210﹣1‎ ‎（2）设S＝3+3+32+33+34+…+310 ①，‎ 则3S＝32+33+34+35+…+311 ②，‎ ‎②﹣①得2S＝311﹣1，‎ 所以S‎=‎‎3‎‎11‎‎-1‎‎2‎，‎ 即3+32+33+34+…+310‎=‎‎3‎‎11‎‎-1‎‎2‎；‎ 故答案为：‎3‎‎11‎‎-1‎‎2‎；‎ ‎（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，‎ 则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，‎ ‎②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1，‎ a＝1时，不能直接除以a﹣1，此时原式等于n+1；‎ a不等于1时，a﹣1才能做分母，所以S‎=‎an+1‎‎-1‎a-1‎，‎ 即1+a+a2+a3+a4+..+an‎=‎an+1‎‎-1‎a-1‎，‎ ‎25．（12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．‎ ‎①线段DB和DG的数量关系是　DB＝DG　；‎ ‎②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．‎ ‎（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．‎ ‎①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；‎ ‎②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．‎ ‎【解答】解：（1）①DB＝DG，理由是：‎ ‎∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，如图1，‎ 由旋转可知，∠BDE＝∠FDG，∠BDG＝90°，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠CBD＝45°，‎ ‎∴∠G＝45°，‎ ‎∴∠G＝∠CBD＝45°，‎ ‎∴DB＝DG；‎ 故答案为：DB＝DG；‎ ‎②BF+BE‎=‎‎2‎BD，理由如下：‎ 由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG，‎ ‎∴△FDG≌△EDB（ASA），‎ ‎∴BE＝FG，‎ ‎∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG，‎ Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°，‎ ‎∴CD＝CG＝CB，‎ ‎∵DG＝BD‎=‎‎2‎BC，‎ 即BF+BE＝2BC‎=‎‎2‎BD；‎ ‎（2）①如图2，BF+BE‎=‎‎3‎BD，‎ 理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB‎=‎‎1‎‎2‎∠ADC‎=‎1‎‎2‎×‎60°＝30°，‎ 由旋转120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG，‎ 在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，‎ ‎∴∠DBG＝∠G＝30°，‎ ‎∴DB＝DG，‎ ‎∴△EDB≌△FDG（ASA），‎ ‎∴BE＝FG，‎ ‎∴BF+BE＝BF+FG＝BG，‎ 过点D作DM⊥BG于点M，如图2，‎ ‎∵BD＝DG，‎ ‎∴BG＝2BM，‎ 在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，‎ ‎∴BD＝2DM．‎ 设DM＝a，则BD＝2a，‎ DM‎=‎‎3‎a，‎ ‎∴BG＝2‎3‎a，‎ ‎∴BDBG‎=‎2a‎2‎3‎a=‎‎1‎‎3‎，‎ ‎∴BG‎=‎‎3‎BD，‎ ‎∴BF+BE＝BG‎=‎‎3‎BD；‎ ‎②过点A作AN⊥BD于N，过D作DP⊥BG于P，如图3，‎ Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2，‎ ‎∴AN＝1，BN‎=‎‎3‎，‎ ‎∴BD＝2BN＝2‎3‎，‎ ‎∵DC∥BE，‎ ‎∴CDBE‎=CMBM=‎‎2‎‎1‎，‎ ‎∵CM+BM＝2，‎ ‎∴BM‎=‎‎2‎‎3‎，‎ Rt△BDP中，∠DBP＝30°，BD＝2‎3‎，‎ ‎∴BP＝3，‎ 由旋转得：BD＝BF，‎ ‎∴BF＝2BP＝6，‎ ‎∴GM＝BG﹣BM＝6+1‎-‎2‎‎3‎=‎‎19‎‎3‎．‎ ‎26．（14分）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．‎ ‎（1）求抛物线C函数表达式；‎ ‎（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；‎ ‎（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y‎=‎‎17‎‎4‎的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，‎ 得，a-2+c=0‎‎4a+4+c=3‎，‎ 解得a＝﹣1，c＝3，‎ ‎∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，‎ 将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，‎ 得，‎-k+b=0‎‎2k+b=3‎，‎ 解得，k＝1，b＝1，‎ ‎∴yAB＝x+1，‎ 设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），‎ 则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）‎ ‎＝﹣（a‎-‎‎1‎‎2‎）2‎+‎‎9‎‎4‎，‎ 根据二次函数的性质可知，当a‎=‎‎1‎‎2‎时，MK有最大长度‎9‎‎4‎，‎ ‎∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK ‎=‎‎1‎‎2‎MK•AH‎+‎‎1‎‎2‎MK•（xB﹣xH）‎ ‎=‎‎1‎‎2‎MK•（xB﹣xA）‎ ‎=‎1‎‎2‎×‎9‎‎4‎×‎‎3‎ ‎=‎‎27‎‎8‎‎，‎ ‎∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，‎ S最大＝2S△AMB最大＝2‎×‎27‎‎8‎=‎‎27‎‎4‎，M（‎1‎‎2‎，‎15‎‎4‎）；‎ ‎（3）存在点F，‎ ‎∵y＝﹣x2+2x+3‎ ‎＝﹣（x﹣1）2+4，‎ ‎∴对称轴为直线x＝1，‎ 当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，‎ ‎∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），‎ 如图2，分别过点B，C作直线y‎=‎‎17‎‎4‎的垂线，垂足为N，H，‎ 抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y‎=‎‎17‎‎4‎的距离，设F（1，a），连接BF，CF，‎ 则BF＝BN‎=‎17‎‎4‎-‎3‎=‎‎5‎‎4‎，CF＝CH‎=‎‎17‎‎4‎，‎ 由题意可列：‎(2-1‎)‎‎2‎+(a-3‎)‎‎2‎=(‎‎5‎‎4‎‎)‎‎2‎‎(3-1‎)‎‎2‎+a‎2‎=(‎‎17‎‎4‎‎)‎‎2‎，‎ 解得，a‎=‎‎15‎‎4‎，‎ ‎∴F（1，‎15‎‎4‎）．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/6/30 9:31:35；用户：中考培优辅导；邮箱：p5193@xyh.com；学号：27411521‎