2019年四川省自贡市中考数学试卷含答案

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2019年四川省自贡市中考数学试卷含答案

‎2019年四川省自贡市中考数学试卷 一、选择题[共12个小题,每小题4分,共48分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(4分)﹣2019的倒数是(  )‎ A.﹣2019 B.‎-‎‎1‎‎2019‎ C.‎1‎‎2019‎ D.2019‎ ‎2.(4分)近年来,中国高铁发展迅速,高铁技术不断走出国门,成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里,将23000用科学记数法表示应为(  )‎ A.2.3×104 B.23×103 C.2.3×103 D.0.23×105‎ ‎3.(4分)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(4分)在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中,甲、乙两位同学的平均分都是90分,甲的成绩方差是15,乙的成绩方差是3,下列说法正确的是(  )‎ A.甲的成绩比乙的成绩稳定 ‎ B.乙的成绩比甲的成绩稳定 ‎ C.甲、乙两人的成绩一样稳定 ‎ D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 ‎5.(4分)如图是一个水平放置的全封闭物体,则它的俯视图是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎6.(4分)已知三角形的两边长分别为1和4,第三边长为整数,则该三角形的周长为(  )‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎7.(4分)实数m,n在数轴上对应点的位置如图所示,则下列判断正确的是(  )‎ A.|m|<1 B.1﹣m>1 C.mn>0 D.m+1>0‎ ‎8.(4分)关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0无实数根,则实数m的取值范围是(  )‎ A.m<1 B.m≥1 C.m≤1 D.m>1‎ ‎9.(4分)一次函数y=ax+b与反比列函数y‎=‎cx的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.(4分)均匀的向一个容器内注水,在注满水的过程中,水面的高度h与时间t的函数关系如图所示,则该容器是下列四个中的(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.(4分)图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌,将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后,就能形成一个圆形桌面(可近似看作正方形的外接圆),正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近(  )‎ A.‎4‎‎5‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎12.(4分)如图,已知A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,8),点C、F分别是直线x=﹣5和x轴上的动点,CF=10,点D是线段CF的中点,连接AD交y轴于点E,当△ABE面积取得最小值时,tan∠BAD的值是(  )‎ A.‎8‎‎17‎ B.‎7‎‎17‎ C.‎4‎‎9‎ D.‎‎5‎‎9‎ 二、填空题(共6个小题,每小题4分,共24分)‎ ‎13.(4分)如图,直线AB、CD被直线EF所截,AB∥CD,∠1=120°,则∠2=   .‎ ‎14.(4分)在一次有12人参加的数学测试中,得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2,那么这组数据的众数是   分.‎ ‎15.(4分)分解因式:2x2﹣2y2=   .‎ ‎16.(4分)某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了466元,其中篮球的单价比足球的单价多4元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,依题意,可列方程组为   .‎ ‎17.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,CD∥AB,∠ABC的平分线BD交AC于点E,DE=   .‎ ‎18.(4分)如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,∠α、∠β如图所示,则cos(α+β)=   .‎ 三、解答題(共8个题,共78分)‎ ‎19.(8分)计算:|﹣3|﹣4sin45°‎+‎8‎+‎(π﹣3)0‎ ‎20.(8分)解方程:xx-1‎‎-‎2‎x=‎1.‎ ‎21.(8分)如图,⊙O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、BC.‎ 求证:(1)AD‎=‎BC;(2)AE=CE.‎ ‎22.(8分)某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动,初一年级全体同学参加了知识竞赛.‎ 收集教据:现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩,分数如下(单位:分):‎ ‎90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97‎ ‎88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82‎ 整理分析数据:‎ 成绩x(单位:分)‎ 频数(人数)‎ ‎60≤x<70‎ ‎1‎ ‎70≤x<80‎ ‎   ‎ ‎80≤x<90‎ ‎17‎ ‎90≤x<100‎ ‎   ‎ ‎(1)请将图表中空缺的部分补充完整;‎ ‎(2)学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学.根据上面统计结果估计该校初一年级360人中,约有多少人将获得表彰;‎ ‎(3)“创文知识竞赛”中,受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章,她从中选取两枚送给弟弟,则小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有恐龙图案的概率是   .‎ ‎23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2‎=‎mx(m≠0)的图象相交于第一、象限内的A(3,5),B(a,﹣3)两点,与x轴交于点C.‎ ‎(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;‎ ‎(2)在y轴上找一点P使PB﹣PC最大,求PB﹣PC的最大值及点P的坐标;‎ ‎(3)直接写出当y1>y2时,x的取值范围.‎ ‎24.(10分)阅读下列材料:小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值,采用以下方法:‎ 设S=1+2+22+…+22017+22018①‎ 则2S=2+22+…+22018+22019②‎ ‎②﹣①得2S﹣S=S=22019﹣1‎ ‎∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019﹣1‎ 请仿照小明的方法解决以下问题:‎ ‎(1)1+2+22+…+29=   ;‎ ‎(2)3+32+…+310=   ;‎ ‎(3)求1+a+a2+…+an的和(a>0,n是正整数,请写出计算过程).‎ ‎25.(12分)(1)如图1,E是正方形ABCD边AB上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.‎ ‎①线段DB和DG的数量关系是   ;‎ ‎②写出线段BE,BF和DB之间的数量关系.‎ ‎(2)当四边形ABCD为菱形,∠ADC=60°,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.‎ ‎①如图2,点E在线段AB上时,请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系,写出结论并给出证明;‎ ‎②如图3,点E在线段AB的延长线上时,DE交射线BC于点M,若BE=1,AB=2,直接写出线段GM的长度.‎ ‎26.(14分)如图,已知直线AB与抛物线C:y=ax2+2x+c相交于点A(﹣1,0)和点B(2,3)两点.‎ ‎(1)求抛物线C函数表达式;‎ ‎(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点,以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标;‎ ‎(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y‎=‎‎17‎‎4‎的距离?若存在,求出定点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎2019年四川省自贡市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题[共12个小题,每小题4分,共48分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(4分)﹣2019的倒数是(  )‎ A.﹣2019 B.‎-‎‎1‎‎2019‎ C.‎1‎‎2019‎ D.2019‎ ‎【解答】解:﹣2019的倒数是‎-‎‎1‎‎2019‎.‎ 故选:B.‎ ‎2.(4分)近年来,中国高铁发展迅速,高铁技术不断走出国门,成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里,将23000用科学记数法表示应为(  )‎ A.2.3×104 B.23×103 C.2.3×103 D.0.23×105‎ ‎【解答】解:23000=2.3×104,‎ 故选:A.‎ ‎3.(4分)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:A、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项错误;‎ B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;‎ C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;‎ D、既是中心对称图形也是轴对称图形,故此选项正确.‎ 故选:D.‎ ‎4.(4分)在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中,甲、乙两位同学的平均分都是90分,甲的成绩方差是15,乙的成绩方差是3,下列说法正确的是(  )‎ A.甲的成绩比乙的成绩稳定 ‎ B.乙的成绩比甲的成绩稳定 ‎ C.甲、乙两人的成绩一样稳定 ‎ D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 ‎【解答】解:∵乙的成绩方差<甲成绩的方差,‎ ‎∴乙的成绩比甲的成绩稳定,‎ 故选:B.‎ ‎5.(4分)如图是一个水平放置的全封闭物体,则它的俯视图是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:从上面观察可得到:.‎ 故选:C.‎ ‎6.(4分)已知三角形的两边长分别为1和4,第三边长为整数,则该三角形的周长为(  )‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎【解答】解:设第三边为x,‎ 根据三角形的三边关系,得:4﹣1<x<4+1,‎ 即3<x<5,‎ ‎∵x为整数,‎ ‎∴x的值为4.‎ ‎ 三角形的周长为1+4+4=9.‎ 故选:C.‎ ‎7.(4分)实数m,n在数轴上对应点的位置如图所示,则下列判断正确的是(  )‎ A.|m|<1 B.1﹣m>1 C.mn>0 D.m+1>0‎ ‎【解答】解:利用数轴得m<0<1<n,‎ 所以﹣m>0,1﹣m>1,mn<0,m+1<0.‎ 故选:B.‎ ‎8.(4分)关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0无实数根,则实数m的取值范围是(  )‎ A.m<1 B.m≥1 C.m≤1 D.m>1‎ ‎【解答】解:根据题意得△=(﹣2)2﹣4m<0,‎ 解得m>1.‎ 故选:D.‎ ‎9.(4分)一次函数y=ax+b与反比列函数y‎=‎cx的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:∵一次函数y1=ax+c图象过第一、二、四象限,‎ ‎∴a<0,b>0,‎ ‎∴‎-b‎2a>‎0,‎ ‎∴二次函数y3=ax2+bx+c开口向下,二次函数y3=ax2+bx+c对称轴在y轴右侧;‎ ‎∵反比例函数y2‎=‎cx的图象在第一、三象限,‎ ‎∴c>0,‎ ‎∴与y轴交点在x轴上方.‎ 满足上述条件的函数图象只有选项A.‎ 故选:A.‎ ‎10.(4分)均匀的向一个容器内注水,在注满水的过程中,水面的高度h与时间t的函数关系如图所示,则该容器是下列四个中的(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:相比较而言,前一个阶段,用时较少,高度增加较快,那么下面的物体应较细.由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径.‎ 故选:D.‎ ‎11.(4分)图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌,将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后,就能形成一个圆形桌面(可近似看作正方形的外接圆),正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近(  )‎ A.‎4‎‎5‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎【解答】解:连接AC,‎ 设正方形的边长为a,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠B=90°,‎ ‎∴AC为圆的直径,‎ ‎∴AC‎=‎‎2‎AB‎=‎‎2‎a,‎ 则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为:a‎2‎π×(‎2‎‎2‎a‎)‎‎2‎‎=‎2‎π≈‎‎2‎‎3‎,‎ 故选:C.‎ ‎12.(4分)如图,已知A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,8),点C、F分别是直线x=﹣5和x轴上的动点,CF=10,点D是线段CF的中点,连接AD交y轴于点E,当△ABE面积取得最小值时,tan∠BAD的值是(  )‎ A.‎8‎‎17‎ B.‎7‎‎17‎ C.‎4‎‎9‎ D.‎‎5‎‎9‎ ‎【解答】解:如图,设直线x=﹣5交x轴于K.由题意KD‎=‎‎1‎‎2‎CF=5,‎ ‎∴点D的运动轨迹是以K为圆心,5为半径的圆,‎ ‎∴当直线AD与⊙K相切时,△ABE的面积最小,‎ ‎∵AD是切线,点D是切点,‎ ‎∴AD⊥KD,‎ ‎∵AK=13,DK=5,‎ ‎∴AD=12,‎ ‎∵tan∠EAO‎=OEOA=‎DKAD,‎ ‎∴OE‎8‎‎=‎‎5‎‎12‎,‎ ‎∴OE‎=‎‎10‎‎3‎,‎ ‎∴AE‎=OE‎2‎+OA‎2‎=‎‎26‎‎3‎,‎ 作EH⊥AB于H.‎ ‎∵S△ABE‎=‎‎1‎‎2‎•AB•EH=S△AOB﹣S△AOE,‎ ‎∴EH‎=‎‎7‎‎2‎‎3‎,‎ ‎∴AH‎=AE‎2‎-EH‎2‎=‎‎17‎‎2‎‎3‎,‎ ‎∴tan∠BAD‎=EHAH=‎7‎‎2‎‎3‎‎17‎‎2‎‎3‎=‎‎7‎‎17‎,‎ 故选:B.‎ 二、填空题(共6个小题,每小题4分,共24分)‎ ‎13.(4分)如图,直线AB、CD被直线EF所截,AB∥CD,∠1=120°,则∠2= 60° .‎ ‎【解答】解:∵∠1=120°,‎ ‎∴∠3=180°﹣120°=60°,‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴∠2=∠3=60°.‎ 故答案为:60°.‎ ‎14.(4分)在一次有12人参加的数学测试中,得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2,那么这组数据的众数是 90 分.‎ ‎【解答】解:这组数据的众数是90分,‎ 故答案为:90.‎ ‎15.(4分)分解因式:2x2﹣2y2= 2(x+y)(x﹣y) .‎ ‎【解答】解:2x2﹣2y2=2(x2﹣y2)=2(x+y)(x﹣y).‎ 故答案为:2(x+y)(x﹣y).‎ ‎16.(4分)某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了466元,其中篮球的单价比足球的单价多4元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,依题意,可列方程组为 x-y=4‎‎4x+5y=466‎ .‎ ‎【解答】解:设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,由题意得:‎ x-y=4‎‎4x+5y=466‎‎,‎ 故答案为:x-y=4‎‎4x+5y=466‎,‎ ‎17.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,CD∥AB,∠ABC的平分线BD交AC于点E,DE= ‎9‎‎5‎‎5‎ .‎ ‎【解答】解:∵∠ACB=90°,AB=10,BC=6,‎ ‎∴AC=8,‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABE=∠CDE,‎ ‎∵CD∥AB,‎ ‎∴∠D=∠ABE,‎ ‎∴∠D=∠CBE,‎ ‎∴CD=BC=6,‎ ‎∴△AEB∽△CED,‎ ‎∴AEEC‎=BEED=ABCD=‎10‎‎6‎=‎‎5‎‎3‎,‎ ‎∴CE‎=‎‎3‎‎8‎AC‎=‎3‎‎8‎×‎8=3,‎ BE‎=BC‎2‎+CE‎2‎=‎6‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=3‎‎5‎,‎ DE‎=‎‎3‎‎5‎BE‎=‎3‎‎5‎×3‎5‎=‎‎9‎‎5‎‎5‎,‎ 故答案为‎9‎‎5‎‎5‎.‎ ‎18.(4分)如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,∠α、∠β如图所示,则cos(α+β)= ‎21‎‎7‎ .‎ ‎【解答】解:给图中各点标上字母,连接DE,如图所示.‎ 在△ABC中,∠ABC=120°,BA=BC,‎ ‎∴∠α=30°.‎ 同理,可得出:∠CDE=∠CED=30°=∠α.‎ 又∵∠AEC=60°,‎ ‎∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°.‎ 设等边三角形的边长为a,则AE=2a,DE=2×sin60°•a‎=‎‎3‎a,‎ ‎∴AD‎=AE‎2‎+DE‎2‎=‎‎7‎a,‎ ‎∴cos(α+β)‎=DEAD=‎‎21‎‎7‎.‎ 故答案为:‎21‎‎7‎.‎ 三、解答題(共8个题,共78分)‎ ‎19.(8分)计算:|﹣3|﹣4sin45°‎+‎8‎+‎(π﹣3)0‎ ‎【解答】解:原式=3﹣4‎×‎2‎‎2‎+‎2‎2‎‎+‎1=3﹣2‎2‎‎+‎2‎2‎‎+‎1=4.‎ ‎20.(8分)解方程:xx-1‎‎-‎2‎x=‎1.‎ ‎【解答】解:去分母得:x2﹣2x+2=x2﹣x,‎ 解得:x=2,‎ 检验:当x=2时,方程左右两边相等,‎ 所以x=2是原方程的解.‎ ‎21.(8分)如图,⊙O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、BC.‎ 求证:(1)AD‎=‎BC;(2)AE=CE.‎ ‎【解答】证明(1)∵AB=CD,‎ ‎∴AB‎=‎CD,即AD‎+AC=BC+‎AC,‎ ‎∴AD‎=‎BC;‎ ‎(2)∵AD‎=‎BC,‎ ‎∴AD=BC,‎ 又∵∠ADE=∠CBE,∠DAE=∠BCE,‎ ‎∴△ADE≌△CBE(ASA),‎ ‎∴AE=CE.‎ ‎22.(8分)某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动,初一年级全体同学参加了知识竞赛.‎ 收集教据:现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩,分数如下(单位:分):‎ ‎90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97‎ ‎88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82‎ 整理分析数据:‎ 成绩x(单位:分)‎ 频数(人数)‎ ‎60≤x<70‎ ‎1‎ ‎70≤x<80‎ ‎ 2 ‎ ‎80≤x<90‎ ‎17‎ ‎90≤x<100‎ ‎ 10 ‎ ‎(1)请将图表中空缺的部分补充完整;‎ ‎(2)学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学.根据上面统计结果估计该校初一年级360人中,约有多少人将获得表彰;‎ ‎(3)“创文知识竞赛”中,受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章,她从中选取两枚送给弟弟,则小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有恐龙图案的概率是 ‎1‎‎2‎ .‎ ‎【解答】解:(1)补全图表如下:‎ ‎(2)估计该校初一年级360人中,获得表彰的人数约为360‎×‎10‎‎30‎=‎120(人);‎ ‎(3)将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D,‎ 画树状图如下:‎ 则共有12种等可能的结果数,其中小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有恐龙图案的结果数为6,‎ 所以小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有恐龙图案的概率为‎1‎‎2‎,‎ 故答案为:‎1‎‎2‎.‎ ‎23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2‎=‎mx(m≠0)的图象相交于第一、象限内的A(3,5),B(a,﹣3)两点,与x轴交于点C.‎ ‎(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;‎ ‎(2)在y轴上找一点P使PB﹣PC最大,求PB﹣PC的最大值及点P的坐标;‎ ‎(3)直接写出当y1>y2时,x的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)把A(3,5)代入y2‎=‎mx(m≠0),可得m=3×5=15,‎ ‎∴反比例函数的解析式为y2‎=‎‎15‎x;‎ 把点B(a,﹣3)代入,可得a=﹣5,‎ ‎∴B(﹣5,﹣3).‎ 把A(3,5),B(﹣5,﹣3)代入y1=kx+b,可得‎3k+b=5‎‎-5k+b=-3‎,‎ 解得k=1‎b=2‎,‎ ‎∴一次函数的解析式为y1=x+2;‎ ‎(2)一次函数的解析式为y1=x+2,令x=0,则y=2,‎ ‎∴一次函数与y轴的交点为P(0,2),‎ 此时,PB﹣PC=BC最大,P即为所求,‎ 令y=0,则x=﹣2,‎ ‎∴C(﹣2,0),‎ ‎∴BC‎=‎(-5+2‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎=‎3‎2‎.‎ ‎(3)当y1>y2时,﹣5<x<0或x>3.‎ ‎24.(10分)阅读下列材料:小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值,采用以下方法:‎ 设S=1+2+22+…+22017+22018①‎ 则2S=2+22+…+22018+22019②‎ ‎②﹣①得2S﹣S=S=22019﹣1‎ ‎∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019﹣1‎ 请仿照小明的方法解决以下问题:‎ ‎(1)1+2+22+…+29= 210﹣1 ;‎ ‎(2)3+32+…+310= ‎3‎‎11‎‎-3‎‎2‎ ;‎ ‎(3)求1+a+a2+…+an的和(a>0,n是正整数,请写出计算过程).‎ ‎【解答】解:(1)设S=1+2+22+…+29①‎ 则2S=2+22+…+210②‎ ‎②﹣①得2S﹣S=S=210﹣1‎ ‎∴S=1+2+22+…+29=210﹣1;‎ 故答案为:210﹣1‎ ‎(2)设S=3+3+32+33+34+…+310 ①,‎ 则3S=32+33+34+35+…+311 ②,‎ ‎②﹣①得2S=311﹣1,‎ 所以S‎=‎‎3‎‎11‎‎-1‎‎2‎,‎ 即3+32+33+34+…+310‎=‎‎3‎‎11‎‎-1‎‎2‎;‎ 故答案为:‎3‎‎11‎‎-1‎‎2‎;‎ ‎(3)设S=1+a+a2+a3+a4+..+an①,‎ 则aS=a+a2+a3+a4+..+an+an+1②,‎ ‎②﹣①得:(a﹣1)S=an+1﹣1,‎ a=1时,不能直接除以a﹣1,此时原式等于n+1;‎ a不等于1时,a﹣1才能做分母,所以S‎=‎an+1‎‎-1‎a-1‎,‎ 即1+a+a2+a3+a4+..+an‎=‎an+1‎‎-1‎a-1‎,‎ ‎25.(12分)(1)如图1,E是正方形ABCD边AB上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.‎ ‎①线段DB和DG的数量关系是 DB=DG ;‎ ‎②写出线段BE,BF和DB之间的数量关系.‎ ‎(2)当四边形ABCD为菱形,∠ADC=60°,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.‎ ‎①如图2,点E在线段AB上时,请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系,写出结论并给出证明;‎ ‎②如图3,点E在线段AB的延长线上时,DE交射线BC于点M,若BE=1,AB=2,直接写出线段GM的长度.‎ ‎【解答】解:(1)①DB=DG,理由是:‎ ‎∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°,如图1,‎ 由旋转可知,∠BDE=∠FDG,∠BDG=90°,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠CBD=45°,‎ ‎∴∠G=45°,‎ ‎∴∠G=∠CBD=45°,‎ ‎∴DB=DG;‎ 故答案为:DB=DG;‎ ‎②BF+BE‎=‎‎2‎BD,理由如下:‎ 由①知:∠FDG=∠EDB,∠G=∠DBE=45°,BD=DG,‎ ‎∴△FDG≌△EDB(ASA),‎ ‎∴BE=FG,‎ ‎∴BF+FG=BF+BE=BC+CG,‎ Rt△DCG中,∵∠G=∠CDG=45°,‎ ‎∴CD=CG=CB,‎ ‎∵DG=BD‎=‎‎2‎BC,‎ 即BF+BE=2BC‎=‎‎2‎BD;‎ ‎(2)①如图2,BF+BE‎=‎‎3‎BD,‎ 理由如下:在菱形ABCD中,∠ADB=∠CDB‎=‎‎1‎‎2‎∠ADC‎=‎1‎‎2‎×‎60°=30°,‎ 由旋转120°得∠EDF=∠BDG=120°,∠EDB=∠FDG,‎ 在△DBG中,∠G=180°﹣120°﹣30°=30°,‎ ‎∴∠DBG=∠G=30°,‎ ‎∴DB=DG,‎ ‎∴△EDB≌△FDG(ASA),‎ ‎∴BE=FG,‎ ‎∴BF+BE=BF+FG=BG,‎ 过点D作DM⊥BG于点M,如图2,‎ ‎∵BD=DG,‎ ‎∴BG=2BM,‎ 在Rt△BMD中,∠DBM=30°,‎ ‎∴BD=2DM.‎ 设DM=a,则BD=2a,‎ DM‎=‎‎3‎a,‎ ‎∴BG=2‎3‎a,‎ ‎∴BDBG‎=‎2a‎2‎3‎a=‎‎1‎‎3‎,‎ ‎∴BG‎=‎‎3‎BD,‎ ‎∴BF+BE=BG‎=‎‎3‎BD;‎ ‎②过点A作AN⊥BD于N,过D作DP⊥BG于P,如图3,‎ Rt△ABN中,∠ABN=30°,AB=2,‎ ‎∴AN=1,BN‎=‎‎3‎,‎ ‎∴BD=2BN=2‎3‎,‎ ‎∵DC∥BE,‎ ‎∴CDBE‎=CMBM=‎‎2‎‎1‎,‎ ‎∵CM+BM=2,‎ ‎∴BM‎=‎‎2‎‎3‎,‎ Rt△BDP中,∠DBP=30°,BD=2‎3‎,‎ ‎∴BP=3,‎ 由旋转得:BD=BF,‎ ‎∴BF=2BP=6,‎ ‎∴GM=BG﹣BM=6+1‎-‎2‎‎3‎=‎‎19‎‎3‎.‎ ‎26.(14分)如图,已知直线AB与抛物线C:y=ax2+2x+c相交于点A(﹣1,0)和点B(2,3)两点.‎ ‎(1)求抛物线C函数表达式;‎ ‎(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点,以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标;‎ ‎(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y‎=‎‎17‎‎4‎的距离?若存在,求出定点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)由题意把点(﹣1,0)、(2,3)代入y=ax2+2x+c,‎ 得,a-2+c=0‎‎4a+4+c=3‎,‎ 解得a=﹣1,c=3,‎ ‎∴此抛物线C函数表达式为:y=﹣x2+2x+3;‎ ‎(2)如图1,过点M作MH⊥x轴于H,交直线AB于K,‎ 将点(﹣1,0)、(2,3)代入y=kx+b中,‎ 得,‎-k+b=0‎‎2k+b=3‎,‎ 解得,k=1,b=1,‎ ‎∴yAB=x+1,‎ 设点M(a,﹣a2+2a+3),则K(a,a+1),‎ 则MK=﹣a2+2a+3﹣(a+1)‎ ‎=﹣(a‎-‎‎1‎‎2‎)2‎+‎‎9‎‎4‎,‎ 根据二次函数的性质可知,当a‎=‎‎1‎‎2‎时,MK有最大长度‎9‎‎4‎,‎ ‎∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK ‎=‎‎1‎‎2‎MK•AH‎+‎‎1‎‎2‎MK•(xB﹣xH)‎ ‎=‎‎1‎‎2‎MK•(xB﹣xA)‎ ‎=‎1‎‎2‎×‎9‎‎4‎×‎‎3‎ ‎=‎‎27‎‎8‎‎,‎ ‎∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,‎ S最大=2S△AMB最大=2‎×‎27‎‎8‎=‎‎27‎‎4‎,M(‎1‎‎2‎,‎15‎‎4‎);‎ ‎(3)存在点F,‎ ‎∵y=﹣x2+2x+3‎ ‎=﹣(x﹣1)2+4,‎ ‎∴对称轴为直线x=1,‎ 当y=0时,x1=﹣1,x2=3,‎ ‎∴抛物线与点x轴正半轴交于点C(3,0),‎ 如图2,分别过点B,C作直线y‎=‎‎17‎‎4‎的垂线,垂足为N,H,‎ 抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y‎=‎‎17‎‎4‎的距离,设F(1,a),连接BF,CF,‎ 则BF=BN‎=‎17‎‎4‎-‎3‎=‎‎5‎‎4‎,CF=CH‎=‎‎17‎‎4‎,‎ 由题意可列:‎(2-1‎)‎‎2‎+(a-3‎)‎‎2‎=(‎‎5‎‎4‎‎)‎‎2‎‎(3-1‎)‎‎2‎+a‎2‎=(‎‎17‎‎4‎‎)‎‎2‎,‎ 解得,a‎=‎‎15‎‎4‎,‎ ‎∴F(1,‎15‎‎4‎).‎ 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/6/30 9:31:35;用户:中考培优辅导;邮箱:p5193@xyh.com;学号:27411521‎
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