2018年湖南省常德市中考数学试卷含答案

2018年湖南省常德市中考数学试卷含答案

‎2018年湖南省常德市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．（3分）﹣2的相反数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．2﹣1 D．﹣‎ ‎2．（3分）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（　　）‎ A．1 B．2 C．8 D．11‎ ‎3．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）‎ A．a＞b B．|a|＜|b| C．ab＞0 D．﹣a＞b ‎4．（3分）若一次函数y=（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（　　）‎ A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0‎ ‎5．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，你认为派谁去参赛更合适（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎6．（3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎7．（3分）把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（　　）‎ 20‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（3分）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：=a×d﹣b×c，例如：=3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=﹣4．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：；其中D=，Dx=，Dy=．‎ 问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（　　）‎ A．D==﹣7 B．Dx=﹣14‎ C．Dy=27 D．方程组的解为 ‎　‎ 二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎9．（3分）﹣8的立方根是　 　．‎ ‎10．（3分）分式方程﹣=0的解为x=　 　．‎ ‎11．（3分）已知太阳与地球之间的平均距离约为150000000千米，用科学记数法表示为　 　千米．‎ ‎12．（3分）一组数据3，﹣3，2，4，1，0，﹣1的中位数是　 　．‎ ‎13．（3分）若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b的值可能是　 　（只写一个）．‎ 20‎ ‎14．（3分）某校对初一全体学生进行了一次视力普查，得到如下统计表，则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为　 　．‎ 视力x 频数 ‎4.0≤x＜4.3‎ ‎20‎ ‎4.3≤x＜4.6‎ ‎40‎ ‎4.6≤x＜4.9‎ ‎70‎ ‎4.9≤x≤5.2‎ ‎60‎ ‎5.2≤x＜5.5‎ ‎10‎ ‎15．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB=　 　．‎ ‎16．（3分）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是　 　．‎ ‎　‎ 三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）‎ ‎17．（5分）计算：（﹣π）0﹣|1﹣2|+﹣（）﹣2．‎ ‎18．（5分）求不等式组的正整数解．‎ ‎　‎ 20‎ 四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）‎ ‎19．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．‎ ‎20．（6分）如图，已知一次函数y1=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2=（k2≠0）的图象交于A（4，1），B（n，﹣2）两点．‎ ‎（1）求一次函数与反比例函数的解析式；‎ ‎（2）请根据图象直接写出y1＜y2时x的取值范围．‎ ‎　‎ 五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）‎ ‎21．（7分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元千克，乙种水果20元/千克．‎ ‎（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？‎ ‎（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？‎ ‎22．（7分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）‎ 20‎ ‎　‎ 六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）‎ ‎23．（8分）某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题：‎ ‎（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图（图2）；‎ ‎（2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？‎ ‎（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？‎ ‎（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．‎ ‎24．（8分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．‎ ‎（1）求证：EA是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：BD=CF．‎ 20‎ ‎　‎ 七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）‎ ‎25．（10分）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；‎ ‎（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．‎ ‎26．（10分）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．‎ 20‎ ‎（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；‎ ‎（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB；‎ ‎（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2=NC•AC．‎ ‎　‎ 20‎ ‎2018年湖南省常德市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．‎ ‎【解答】解：﹣2的相反数是：2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．‎ ‎【解答】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，‎ ‎4＜x＜10，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．‎ ‎【解答】解：由数轴可得，‎ ‎﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，‎ ‎∴a＜b，故选项A错误，‎ ‎|a|＞|b|，故选项B错误，‎ ab＜0，故选项C错误，‎ ‎﹣a＞b，故选项D正确，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．‎ ‎【解答】解：由题意，得 k﹣2＞0，‎ 解得k＞2，‎ 20‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．‎ ‎【解答】解：∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68，‎ ‎∴甲的成绩最稳定，‎ ‎∴派甲去参赛更好，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．‎ ‎【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，‎ ‎∴DB=DC，‎ ‎∴∠C=∠DBC，‎ ‎∵BD是△ABC的角平分线，‎ ‎∴∠ABD=∠DBC，‎ ‎∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，‎ ‎∴BD=2AD=6，‎ ‎∴CE=CD×cos∠C=3，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．‎ ‎【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．‎ ‎【解答】解：A、D==﹣7，正确；‎ B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，正确；‎ C、Dy==2×12﹣1×3=21，不正确；‎ D、方程组的解：x===2，y===﹣3，正确；‎ 20‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎9．‎ ‎【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，‎ ‎∴﹣8的立方根是﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ ‎10．‎ ‎【解答】解：去分母得：x+2﹣3x=0，‎ 解得：x=1，‎ 经检验x=1是分式方程的解．‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎11．‎ ‎【解答】解：1 5000 0000=1.5×108，‎ 故答案为：1.5×108．‎ ‎　‎ ‎12．‎ ‎【解答】解：将数据重新排列为﹣3、﹣1、0、1、2、3、4，‎ 所以这组数据的中位数为1，‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎13．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=b2﹣4×2×3＞0，‎ 解得：b＜﹣2或b＞2．‎ 20‎ 故答案可以为：6．‎ ‎　‎ ‎14．‎ ‎【解答】解：视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频数为：60+10=70，‎ 则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为：=0.35．‎ 故答案为：0.35．‎ ‎　‎ ‎15．‎ ‎【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，‎ ‎∴∠EBG=∠EGB．‎ ‎∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴∠AGB=∠GBC．‎ ‎∴∠AGB=∠BGH．‎ ‎∵∠DGH=30°，‎ ‎∴∠AGH=150°，‎ ‎∴∠AGB=∠AGH=75°，‎ 故答案为：75°．‎ ‎　‎ ‎16．‎ ‎【解答】解：设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10﹣x，报3的人心想的数是x﹣6，报5的人心想的数是14﹣x，报2的人心想的数是x﹣12，‎ 所以有x﹣12+x=2×3，‎ 解得x=9．‎ 故答案为9．‎ ‎　‎ 三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）‎ 20‎ ‎17．‎ ‎【解答】解：原式=1﹣（2﹣1）+2﹣4，‎ ‎=1﹣2+1+2﹣4，‎ ‎=﹣2．‎ ‎　‎ ‎18．‎ ‎【解答】解：，‎ 解不等式①，得x＞﹣2，‎ 解不等式②，得x≤，‎ 不等式组的解集是﹣2＜x≤，‎ 不等式组的正整数解是1，2，3，4．‎ ‎　‎ 四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）‎ ‎19．‎ ‎【解答】解：原式=[+]×（x﹣3）2‎ ‎=×（x﹣3）2‎ ‎=x﹣3，‎ 把x=代入得：原式=﹣3=﹣．‎ ‎　‎ ‎20．‎ ‎【解答】解：（1）∵反比例函数y2=（k2≠0）的图象过点A（4，1），‎ ‎∴k2=4×1=4，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y2=．‎ ‎∵点B（n，﹣2）在反比例函数y2=的图象上，‎ 20‎ ‎∴n=4÷（﹣2）=﹣2，‎ ‎∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．‎ 将A（4，1）、B（﹣2，﹣2）代入y1=k1x+b，‎ ‎，解得：，‎ ‎∴一次函数的解析式为y=x﹣1．‎ ‎（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2和0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象下方，‎ ‎∴y1＜y2时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．‎ ‎　‎ 五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）‎ ‎21．‎ ‎【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，‎ 根据题意得：，‎ 解得：．‎ 答：该店5月份购进甲种水果190千克，购进乙种水果10千克．‎ ‎（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，‎ 根据题意得：w=10a+20（120﹣a）=﹣10a+2400．‎ ‎∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，‎ ‎∴a≤3（120﹣a），‎ 解得：a≤90．‎ ‎∵k=﹣10＜0，‎ ‎∴w随a值的增大而减小，‎ ‎∴当a=90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500．‎ 20‎ ‎∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．‎ ‎　‎ ‎22．‎ ‎【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．‎ ‎∵AB=CD，AB+CD=AD=2，‎ ‎∴AB=CD=1．‎ 在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，‎ ‎∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．‎ 在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，‎ ‎∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．‎ ‎∵BE⊥AD，CF⊥AD，‎ ‎∴BE∥CM，‎ 又∵BE=CM，‎ ‎∴四边形BEMC为平行四边形，‎ ‎∴BC=EM，CM=BE．‎ 在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，‎ ‎∴EM=≈1.4，‎ ‎∴B与C之间的距离约为1.4米．‎ ‎　‎ 六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）‎ ‎23．‎ ‎【解答】解：（1）调查的总人数为8÷16%=50（人），‎ 喜欢乒乓球的人数为50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人），‎ 20‎ 所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比=×100%=28%，‎ 补全条形统计图如下：‎ ‎（2）500×12%=60，‎ 所以估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有60名；‎ ‎（3），篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°；‎ ‎（4）画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，‎ 所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率==．‎ ‎　‎ ‎24．‎ ‎【解答】证明：（1）连接OD，‎ ‎∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，‎ ‎∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，‎ ‎∵AE∥BC，‎ ‎∴∠EAC=∠BCA=60°，‎ ‎∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，‎ ‎∴AE是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，‎ ‎∵A、B、C、D四点共圆，‎ ‎∴∠ADF=∠ABC=60°，‎ 20‎ ‎∵AD=DF，‎ ‎∴△ADF是等边三角形，‎ ‎∴AD=AF，∠DAF=60°，‎ ‎∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，‎ 即∠BAF=∠CAF，‎ 在△BAD和△CAF中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△BAD≌△CAF，‎ ‎∴BD=CF．‎ ‎　‎ 七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）‎ ‎25．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，‎ ‎∴B点坐标为（6，0），‎ 设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），‎ 把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a=，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；‎ ‎（2）设M（t，0），‎ 易得直线OA的解析式为y=x，‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ 把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=2x﹣12，‎ ‎∵MN∥AB，‎ ‎∴设直线MN的解析式为y=2x+n，‎ 把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，‎ ‎∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，‎ 20‎ 解方程组得，则N（t，t），‎ ‎∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM ‎=•4•t﹣•t•t ‎=﹣t2+2t ‎=﹣（t﹣3）2+3，‎ 当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；‎ ‎（3）设Q（m，m2﹣m），‎ ‎∵∠OPQ=∠ACO，‎ ‎∴当=时，△PQO∽△COA，即=，‎ ‎∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，‎ 解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，28）；‎ 解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）；‎ ‎∴当=时，△PQO∽△CAO，即=，‎ ‎∴PQ=PO，即|m2﹣m|=|m|，‎ 解方程m2﹣m=m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），‎ 解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，﹣1）；‎ 综上所述，P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．‎ ‎　‎ ‎26．‎ ‎【解答】解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，‎ ‎∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，‎ ‎∴∠OND+∠ODN=90°，‎ ‎∵∠ANH=∠OND，‎ 20‎ ‎∴∠ANH+∠ODN=90°，‎ ‎∵DH⊥AE，‎ ‎∴∠DHM=90°，‎ ‎∴∠ANH+∠OAM=90°，‎ ‎∴∠ODN=∠OAM，‎ ‎∴△DON≌△AOM，‎ ‎∴OM=ON；‎ ‎（2）连接MN，‎ ‎∵EN∥BD，‎ ‎∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD，‎ ‎∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON，‎ ‎∵OD=OD，‎ ‎∴DM=CN=EN，‎ ‎∵EN∥DM，‎ ‎∴四边形DENM是平行四边形，‎ ‎∵DN⊥AE，‎ ‎∴▱DENM是菱形，‎ ‎∴DE=EN，‎ ‎∴∠EDN=∠END，‎ ‎∵EN∥BD，‎ ‎∴∠END=∠BDN，‎ ‎∴∠EDN=∠BDN，‎ ‎∵∠BDC=45°，‎ ‎∴∠BDN=22.5°，‎ ‎∵∠AHD=90°，‎ ‎∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，‎ ‎∵∠ABM=45°，‎ ‎∴∠BAM=67.5°=∠AMB，‎ 20‎ ‎∴BM=AB；‎ ‎（3）设CE=a（a＞0）‎ ‎∵EN⊥CD，‎ ‎∴∠CEN=90°，‎ ‎∵∠ACD=45°，‎ ‎∴∠CNE=45°=∠ACD，‎ ‎∴EN=CE=a，‎ ‎∴CN=a，‎ 设DE=b（b＞0），‎ ‎∴AD=CD=DE+CE=a+b，‎ 根据勾股定理得，AC=AD=（a+b），‎ 同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，‎ ‎∵∠OAD=∠ODC=45°，‎ ‎∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°，‎ ‎∴△DEN∽△ADE，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴a=b（已舍去不符合题意的）‎ ‎∴CN=a=b，AC=（a+b）=b，‎ ‎∴AN=AC﹣CN=b，‎ ‎∴AN2=2b2，AC•CN=b•b=2b2‎ ‎∴AN2=AC•CN．‎ 20‎ 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