2016年全国各地中考数学试题分类解析汇编（第一辑）第28章+锐角三角函数

2016年全国各地中考数学试题分类解析汇编（第一辑）第28章+锐角三角函数

‎2016年全国各地中考数学试题分类解析汇编（第一辑）锐角三角函数 一．选择题（共20小题）‎ ‎1．（2016•绥化）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（　　）‎ A．250米 B．250米 C．米 D．500米 ‎【分析】在RT△AOB中，由∠AOB=30°可知AB=AO，由此即可解决问题．‎ ‎【解答】解：由题意∠AOB=90°﹣60°=30°，OA=500，‎ ‎∵AB⊥OB，‎ ‎∴∠ABO=90°，‎ ‎∴AB=AO=250米．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形，方向角，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是搞清楚方向角的定义，利用直角三角形性质解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎2．（2016•泰安）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该 船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（　　）‎ A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63‎ ‎【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可 ‎【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，‎ MN=30×2=60（海里），‎ ‎∵∠MNC=90°，∠CPN=46°，‎ ‎∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136°，‎ ‎∵∠BMP=68°，‎ ‎∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°，‎ ‎∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°，‎ ‎∴∠PMN=∠MPN，‎ ‎∴MN=PN=60（海里），‎ ‎∵∠CNP=46°，‎ ‎∴∠PNA=44°，‎ ‎∴PA=PN•sin∠PNA=60×0.6947≈41.68（海里）‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎3．（2016•长沙）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（　　）‎ A．160m B．120m C．300m D．160m ‎【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，‎ 在Rt△ABD中，BD=AD•tan30°=120×=40（m），‎ 在Rt△ACD中，CD=AD•tan60°=120×=120（m），‎ ‎∴BC=BD+CD=160（m）．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（2016•重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°‎ ‎，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（　　）‎ A．8.1米 B．17.2米 C．19.7米 D．25.5米 ‎【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示：‎ 则FE=BD=6米，DE=BF，‎ ‎∵斜面AB的坡度i=1：2.4，‎ ‎∴AF=2.4BF，‎ 设BF=x米，则AF=2.4x米，‎ 在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，‎ 解得：x=5，‎ ‎∴DE=BF=5米，AF=12米，‎ ‎∴AE=AF+FE=18米，‎ 在Rt△ACE中，CE=AE•tan36°=18×0.73=13.14米，‎ ‎∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（2016•怀化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（　　）‎ A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm ‎【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．‎ ‎【解答】解：∵sinA==，‎ ‎∴设BC=4x，AB=5x，‎ 又∵AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴62+（4x）2=（5x）2，‎ 解得：x=2或x=﹣2（舍），‎ 则BC=4x=8cm，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键．‎ ‎　‎ ‎6．（2016•兰州）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6，‎ ‎∴AB===10，‎ 故选D ‎【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（2016•福州）如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（　　）‎ ‎[来源:学&科&网]‎ A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα） C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）‎ ‎【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．‎ ‎【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，‎ 在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，‎ ‎∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，‎ 则P的坐标为（cosα，sinα），‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（2016•益阳）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据sinα=，列出方程即可解决问题．‎ ‎【解答】解：设PA=PB=PB′=x，‎ 在RT△PCB′中，sinα=，‎ ‎∴=sinα，‎ ‎∴x=．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎9．（2016•金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　）‎ A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米2‎ ‎【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米），‎ ‎∴AC+BC=4+4tanθ（米），‎ ‎∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+tanθ（米2）；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（2016•南宁）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（　　）‎ A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米 ‎【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．‎ ‎【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，‎ ‎∴DC=BD=5米，‎ 在Rt△ADC中，∠B=36°，‎ ‎∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．‎ ‎　‎ ‎11．（2016•重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）‎ A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4‎ ‎【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大楼AB的高度．‎ ‎【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：‎ 则GH=DE=15米，EG=DH，‎ ‎∵梯坎坡度i=1：，‎ ‎∴BH：CH=1：，‎ 设BH=x米，则CH=x米，‎ 在Rt△BCH中，BC=12米，‎ 由勾股定理得：x2+（x）2=122，‎ 解得：x=6，∴BH=6米，CH=6米，‎ ‎∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），‎ ‎∵∠α=45°，‎ ‎∴∠EAG=90°﹣45°=45°，‎ ‎∴△AEG是等腰直角三角形，‎ ‎∴AG=EG=6+20（米），‎ ‎∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4（米）；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（2016•巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（　　）‎ A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°‎ C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米 ‎【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案．‎ ‎【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10°=，故B正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解题关键．‎ ‎　‎ ‎13．（2016•苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（　　）‎ A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m ‎【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=，‎ ‎∴AD=4sin60°=2（m），‎ 在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=，‎ ‎∴AC==2（m）．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα．‎ ‎　‎ ‎14．（2016•聊城）聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan33°≈0.65，tan21°≈0.38）（　　）‎ A．169米 B．204米 C．240米 D．407米 ‎【分析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，求得AD=CD•tan∠ACD=CD•tan33°，在Rt△BCO中，求得OD=CD•tan∠BCO=CD•tan21°，列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：过C作CD⊥AB于D，‎ 在Rt△ACD中，AD=CD•tan∠ACD=CD•tan33°，‎ 在Rt△BCO中，OD=CD•tan∠BCO=CD•tan21°，‎ ‎∵AB=110m，‎ ‎∴AO=55m，‎ ‎∴A0=AD﹣OD=CD•tan33°﹣CD•tan21°=55m，‎ ‎∴CD==≈204m，[来源:Z§xx§k.Com]‎ 答：小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为204m．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（2016•烟台）如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，其中R﹣CM表示存储、读出键，M+为存储加键，M﹣为存储减键，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．‎ ‎【解答】解：利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用计算器求数的开方，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣．‎ ‎　‎ ‎16．（2016•天津）sin60°的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．‎ ‎【解答】解：sin60°=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确把握定义是解题关键．‎ ‎　‎ ‎17．（2016•玉林）sin30°=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可．‎ ‎【解答】解：sin30°=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值即可解答该题．‎ ‎　‎ ‎18．（2016•无锡）sin30°的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据特殊角的三角函数值，可以求得sin30°的值．‎ ‎【解答】解：sin30°=，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值分别等于多少．‎ ‎　‎ ‎19．（2016•永州）下列式子错误的是（　　）‎ A．cos40°=sin50° B．tan15°•tan75°=1‎ C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°‎ ‎【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．‎ ‎【解答】解：A、sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；‎ B、tan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；‎ C、sin225°+cos225°=1正确；‎ D、sin60°=，sin30°=，则sin60°=2sin30°错误．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系，以及同角之间的正切和余切之间的关系，理解性质是关键．‎ ‎　‎ ‎20．（2016•菏泽）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（　　）‎ A．25：9 B．5：3 C．： D．5：3‎ ‎【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠B′=∠C′，根据三角函数的定义得到AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：过A 作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，‎ ‎∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′，‎ ‎∴AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，‎ ‎∵∠B+∠B′=90°，‎ ‎∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，‎ ‎∵S△BAC=AD•BC=AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB，‎ S△A′B′C′=A′D′•B′C′=A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′，‎ ‎∴S△BAC：S△A′B′C′=25：9．‎ 故选A．‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式．‎ ‎　‎