2020年甘肃省中考数学模拟试卷（3月份）（解析版）

2020年甘肃省中考数学模拟试卷（3月份）（解析版）

‎2020年甘肃省武威九中、爱华育新学校、武威十三中中考数学模拟试卷（3月份）‎ 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．一种新病毒的直径约为0.00000043毫米，用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.43×10﹣6 B．0.43×106 C．4.3×107 D．4.3×10﹣7‎ ‎3．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．下列运算正确的是（　　）‎ A．x2•x3＝x6 B．x6÷x5＝x C．（﹣x2）4＝x6 D．x2+x3＝x5‎ ‎5．如图所示，该几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若分式方程2+＝有增根，则k的值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎8．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（　　）‎ A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ‎ C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）‎ ‎9．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若EF：AF＝2：5，则S△DEF：S四边形EFBC为（　　）‎ A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35‎ ‎10．已知如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b （a＜b），C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎11．多项式2x3﹣8x2y+8xy2分解因式的结果是　 　．‎ ‎12．计算：﹣＝　 　．‎ ‎13．若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm，则它的底边长为　 　cm．‎ ‎14．关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．‎ ‎15．如图，△ABC中，点D、E在BC边上，∠BAD＝∠CAE请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件，使△ABD≌△ACE．你所添加的条件是　 　．‎ ‎16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，，则AC的长是　 　．‎ ‎17．在开展“全民阅读”活动中，某校为了解全校1500名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1500名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是　 　．‎ ‎18．正整数按如图所示的规律排列，则第29行第30列的数字为　 　．‎ 三．解答题（共10小题）‎ ‎19．计算：﹣22﹣+|1﹣4sin60°|+（π﹣）0．‎ ‎20．先化简，再求值：，其中x＝．‎ ‎21．体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如表，全部销售完后共获利润260元．求商店购进篮球，排球各多少个？‎ 篮球 排球 进价（元/个）‎ ‎80‎ ‎50‎ 售价（元/个）‎ ‎95‎ ‎60‎ ‎22．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度（结果保留根号）．‎ ‎23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）．线段OA＝5，E为x轴上一点，且sin∠AOE＝．‎ ‎（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）求△AOC的面积．‎ ‎24．如图，转盘被平均分成三块扇形，转动转盘，转动过程中，指针保持不动，转盘停止后，如果指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向一个数字所在的区域为止．‎ ‎（1）转动转盘两次，用画树状图或列表的方法求两次指针所指区域数字不同的概率；‎ ‎（2）在第（1）题中，两次转到的区域的数字作为两条线段的长度，如果第三条线段的长度为5，求这三条线段能构成三角形的概率．‎ ‎25．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．‎ ‎（1）求证：△ADF∽△DEC；‎ ‎（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．‎ ‎26．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．‎ ‎（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．‎ ‎（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．‎ ‎27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．‎ ‎（1）求证：BC2＝BD•BA；‎ ‎（2）判断DE与⊙O位置关系，并说明理由．‎ ‎28．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交y轴于点C（0，﹣2），交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．P点是y轴上一动点，Q点是抛物线上一动点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）P点运动到何位置时，△POA与△ABC相似？并求出此时P点的坐标；‎ ‎（3）当以A、B、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形时，求Q点的坐标．‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：第一个图形是中心对称图形，第二个图形、第三个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，第四个图形是轴对称图形，共2个，‎ 故选：B．‎ ‎2．一种新病毒的直径约为0.00000043毫米，用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.43×10﹣6 B．0.43×106 C．4.3×107 D．4.3×10﹣7‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎【解答】解：0.00000043＝4.3×10﹣7，‎ 故选：D．‎ ‎3．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得出选项．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵解不等式①得：x＞3，‎ 解不等式②得：x≥﹣1，‎ ‎∴不等式组的解集为：x＞3，‎ 在数轴上表示不等式组的解集为：‎ 故选：B．‎ ‎4．下列运算正确的是（　　）‎ A．x2•x3＝x6 B．x6÷x5＝x C．（﹣x2）4＝x6 D．x2+x3＝x5‎ ‎【分析】根据同底数幂的乘法的性质，同底数幂的除法，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解 ‎【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；‎ B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B正确；‎ C、积的乘方等于乘方的积，故C错误；‎ D、不是同类项不能合并，故D错误；‎ 故选：B．‎ ‎5．如图所示，该几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图．‎ ‎【解答】解：从上面看是三个矩形，符合题意的是C，‎ 故选：C．‎ ‎6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据同类二次根式的意义，可得答案．‎ ‎【解答】解：＝与是同类二次根式，故A符合题意；‎ B、＝2，故B不符合题意；‎ C、＝2，故C不符合题意；‎ D、＝2故D不符合题意；‎ 故选：A．‎ ‎7．若分式方程2+＝有增根，则k的值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将x＝2代入计算即可求出k的值．‎ ‎【解答】解：分式方程去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，‎ 由题意将x＝2代入得：1﹣2k＝﹣1，‎ 解得：k＝1．‎ 故选：C．‎ ‎8．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（　　）‎ A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ‎ C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）‎ ‎【分析】分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项．‎ ‎【解答】解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2﹣b2，‎ 拼成的矩形的面积是：（a+b）（a﹣b），‎ ‎∴根据剩余部分的面积相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），‎ 故选：B．‎ ‎9．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若EF：AF＝2：5，则S△DEF：S四边形EFBC为（　　）‎ A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35‎ ‎【分析】由平行四边形的性质可证明△DEF∽△BAF，可求得△DEF和△AFE、△ABF的面积之间的关系，从而可求得△DEF和△BCD的面积之间的关系，可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴CD∥AB，‎ ‎∴△DEF∽△BAF，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴＝（）2＝，＝＝‎ 设S△DEF＝S，则S△ABF＝S，S△ADF＝S，‎ ‎∴S△ABD＝S△ADF+S△ABF＝S+S＝S，‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴S△ABD＝S△DBC＝S，‎ ‎∴S四边形EFBC＝S△BDC﹣S△DEF＝S﹣S＝S，‎ ‎∴S△DEF：S四边形EFBC＝4：31．‎ 故选：C．‎ ‎10．已知如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b （a＜b），C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．‎ ‎【解答】解：设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，‎ ‎∴y关于x的函数关系式为：y＝x2，‎ ‎①当x＜a时，重合部分的面积的y随x的增大而增大，‎ ‎②当a＜x＜b时，重合部分的面积等于直角三角形的面积，且保持不变，‎ ‎③第三部分函数关系式为y＝﹣+当x＞b时，重合部分的面积随x的增大而减小．‎ 故选：B．‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎11．多项式2x3﹣8x2y+8xy2分解因式的结果是　2x（x﹣2y）2　．‎ ‎【分析】先提取公因式2x，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．‎ ‎【解答】解：2x3﹣8x2y+8xy2＝2x（x2﹣4xy+4y2）＝2x（x﹣2y）2．‎ 故答案为：2x（x﹣2y）2．‎ ‎12．计算：﹣＝　﹣　．‎ ‎【分析】先通分，再把分子相加减即可．‎ ‎【解答】解：原式＝﹣‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎13．若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm，则它的底边长为　2　cm．‎ ‎【分析】作AD⊥BC于点D，可得BC＝2BD，RT△ABD中，根据BD＝ABcos∠B求得BD，即可得答案．‎ ‎【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，‎ ‎∵∠BAC＝120°，AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝30°，‎ 又∵AD⊥BC，‎ ‎∴BC＝2BD，‎ ‎∵AB＝2cm，‎ ‎∴在RT△ABD中，BD＝ABcos∠B＝2×＝（cm），‎ ‎∴BC＝2cm，‎ 故答案为：2．‎ ‎14．关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＞﹣1且m≠0　．‎ ‎【分析】由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴m≠0且△＝（m﹣2）2﹣4m（m﹣2）＝4m+4＞0，‎ 则m的范围为m＞﹣1且m≠0．‎ 故答案为：m＞﹣1且m≠0．‎ ‎15．如图，△ABC中，点D、E在BC边上，∠BAD＝∠CAE请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件，使△ABD≌△ACE．你所添加的条件是　AB＝AC　．‎ ‎【分析】添加AB＝AC，根据等边等角可得∠B＝∠C，再利用ASA定理判定△ABD≌△ACE．‎ ‎【解答】解：添加AB＝AC，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠C，‎ 在△ABD和△ACE中，‎ ‎∴△ABD≌△ACE（ASA），‎ 故答案为：AB＝AC．‎ ‎16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，，则AC的长是　　．‎ ‎【分析】设CD＝x，在Rt△ACD中，根据∠DAC＝30°的正切可求出AC．在Rt△ABC中，根据勾股定理得到关于x的方程，解得x，即可求出AC．‎ ‎【解答】解：设CD＝x，则AC＝＝x，‎ ‎∵AC2+BC2＝AB2，AC2+（CD+BD）2＝AB2，‎ ‎∴（ x）2+（x+2）2＝（2 ）2，‎ 解得，x＝1，∴AC＝．‎ 故答案为．‎ ‎17．在开展“全民阅读”活动中，某校为了解全校1500名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1500名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是　600　．‎ ‎【分析】用所有学生数乘以课外阅读时间不少于7小时的人数所占的百分比即可．‎ ‎【解答】解：该校1500名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是1500×＝600人，‎ 故答案为：600．‎ ‎18．正整数按如图所示的规律排列，则第29行第30列的数字为　870　．‎ ‎【分析】根据行首第一个数字分析，每一行第一个数字都行数的平方，每一行列数依次递减，每行的数量个数与行数相同，因此第29行第30列应该为30行表示的数字减去30，由此可以得出答案．‎ ‎【解答】解：根据图表分析如下：第一行：首个数字1，横向箭头共有1个数字，第二行：首个数字4，横向箭头共有2个数字，第三行：首个数字9，横向箭头共有3个数字，‎ 第四行：首个数字16，横向箭头共有4个数字，‎ 可以发现每行首个数字是行数的平方，每行横向箭头数字个数等于行数，因此，第29行第30列的数字应该为第30行第4列上面的数字，302﹣30＝870．‎ 故答案为：870．‎ 三．解答题（共10小题）‎ ‎19．计算：﹣22﹣+|1﹣4sin60°|+（π﹣）0．‎ ‎【分析】﹣22＝﹣4；＝2；sin60°＝，|1﹣4sin60°|＝|1﹣2|＝2﹣1，不等于0的数的0次幂都等于1．‎ ‎【解答】解：原式＝＝＝﹣4．‎ ‎20．先化简，再求值：，其中x＝．‎ ‎【分析】先对括号里面的进行分式的加减，然后再算分式的除法，将原式化简后再将x的值代入化简后的式子就可以求出其值．‎ ‎【解答】解：原式＝÷（+）‎ ‎＝÷‎ ‎＝．‎ 当x＝时，原式＝；‎ ‎21．体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如表，全部销售完后共获利润260元．求商店购进篮球，排球各多少个？‎ 篮球 排球 进价（元/个）‎ ‎80‎ ‎50‎ 售价（元/个）‎ ‎95‎ ‎60‎ ‎【分析】设购进篮球x个，购进排球y个，根据等量关系：①篮球和排球共20个②全部销售完后共获利润260元可的方程组，解方程组即可．‎ ‎【解答】解：设购进篮球x个，购进排球y个，由题意得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 答：购进篮球12个，购进排球8个．‎ ‎22．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度（结果保留根号）．‎ ‎【分析】在Rt△ABD和Rt△BCD中，分别解直角三角形，用BD表示AB和BC，然后根据BC﹣AB＝20m，可求得塔BD的高度．‎ ‎【解答】解：根据题意可知：∠BAD＝45°，∠BCD＝30°，AC＝20m．‎ 在Rt△ABD中，‎ ‎∵∠BAD＝∠BDA＝45°，‎ ‎∴AB＝BD．‎ 在Rt△BDC中，‎ ‎∵tan∠BCD＝，‎ ‎∴＝，‎ 则BC＝BD，‎ 又∵BC﹣AB＝AC，‎ ‎∴BD﹣BD＝20，‎ 解得：BD＝＝10+10（m）．‎ 答：古塔BD的高度为（）m．‎ ‎23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）．线段OA＝5，E为x轴上一点，且sin∠AOE＝．‎ ‎（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）求△AOC的面积．‎ ‎【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于D点，由sin∠AOE＝，OA＝5，根据正弦的定义可求出AD，再根据勾股定理得到DO，即得到A点坐标（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y＝，确定反比例函数的解析式为y＝﹣；将B（6，n）代入，确定点B点坐标，然后把A点和B点坐标代入y＝kx+b（k≠0），求出k和b．‎ ‎（2）先令y＝0，求出C点坐标，得到OC的长，然后根据三角形的面积公式计算△AOC的面积即可．‎ ‎【解答】解：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，如图，‎ ‎∵sin∠AOE＝，OA＝5，‎ ‎∴sin∠AOE＝＝＝，‎ ‎∴AD＝4，‎ ‎∴DO＝＝3，‎ 而点A在第二象限，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣3，4），‎ 将A（﹣3，4）代入y＝，得m＝﹣12，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y＝﹣；‎ 将B（6，n）代入y＝﹣，得n＝﹣2；‎ 将A（﹣3，4）和B（6，﹣2）分别代入y＝kx+b（k≠0），得 ‎，‎ 解得，‎ ‎∴所求的一次函数的解析式为y＝﹣x+2；‎ ‎（2）在y＝﹣x+2中，令y＝0，‎ 即﹣x+2＝0，‎ 解得x＝3，‎ ‎∴C点坐标为（3，0），即OC＝3，‎ ‎∴S△AOC＝•AD•OC＝×4×3＝6．‎ ‎24．如图，转盘被平均分成三块扇形，转动转盘，转动过程中，指针保持不动，转盘停止后，如果指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向一个数字所在的区域为止．‎ ‎（1）转动转盘两次，用画树状图或列表的方法求两次指针所指区域数字不同的概率；‎ ‎（2）在第（1）题中，两次转到的区域的数字作为两条线段的长度，如果第三条线段的长度为5，求这三条线段能构成三角形的概率．‎ ‎【分析】（1）列表得出所有的可能情况个数，找出数字不同的情况个数，即可求出所求的概率；‎ ‎（2）根据（1）得到所有情况个数，利用三角形的三边关系判断能构成三角形的个数，即可求出所求的概率．‎ ‎【解答】解：（1）列表如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（1，1）‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎2‎ ‎（1，2）‎ ‎（2，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎3‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（3，3）‎ 所有可能情况有9种，其中数字不同的情况有6种，‎ 则P数字不同＝；‎ ‎（2）所有的情况有9种，分别为：1，1，5；2，1，5；3，1，5；1，2，5；2，2，5；3，2，5；1，3，5；2，3，5；3，3，5，其中构成三角形的有1种，为3，3，5，‎ 则P构成三角形＝．‎ ‎25．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．‎ ‎（1）求证：△ADF∽△DEC；‎ ‎（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．‎ ‎【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：△ADF∽△DEC；‎ ‎（2）由△ADF∽△DEC，得比例，求出DE的长．利用勾股定理求出AE的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，‎ ‎∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．‎ ‎∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，‎ ‎∴∠AFD＝∠C．‎ ‎∴△ADF∽△DEC．‎ ‎（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8．‎ 由（1）知△ADF∽△DEC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴DE＝＝＝12．‎ 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝6．‎ ‎26．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．‎ ‎（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．‎ ‎（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据菱形的性质可得ND∥AM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，根据中点的定义求出DE＝AE，然后利用“角角边”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND＝MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；‎ ‎（2）根据矩形的性质得到DM⊥AB，再求出∠ADM＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴ND∥AM，‎ ‎∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，‎ ‎∵点E是AD中点，‎ ‎∴DE＝AE，‎ 在△NDE和△MAE中，，‎ ‎∴△NDE≌△MAE（AAS），‎ ‎∴ND＝MA，‎ ‎∴四边形AMDN是平行四边形；‎ ‎（2）解：当AM＝1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD＝AB＝2，‎ ‎∵平行四边形AMDN是矩形，‎ ‎∴DM⊥AB，‎ 即∠DMA＝90°，‎ ‎∵∠DAB＝60°，‎ ‎∴∠ADM＝30°，‎ ‎∴AM＝AD＝1．‎ ‎27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．‎ ‎（1）求证：BC2＝BD•BA；‎ ‎（2）判断DE与⊙O位置关系，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）通过证明△BCD∽△BAC，利用相似比得到结论；‎ ‎（2）连结DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC＝90°，E为BC的中点得到DE＝CE＝BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AC为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠BDC＝90°，‎ 又∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠ACB＝∠BDC，‎ 又∵∠B＝∠B，‎ ‎∴△BCD∽△BAC，‎ ‎∴，‎ 即BC2＝BA•BD；‎ ‎（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：‎ 连结DO，如图，‎ ‎∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，‎ ‎∴DE＝CE＝BE，‎ ‎∴∠EDC＝∠ECD，‎ 又∵OD＝OC，‎ ‎∴∠ODC＝∠OCD，‎ 而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，‎ ‎∴DE⊥OD，‎ ‎∴DE与⊙O相切．‎ ‎28．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交y轴于点C（0，﹣2），交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．P点是y轴上一动点，Q点是抛物线上一动点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）P点运动到何位置时，△POA与△ABC相似？并求出此时P点的坐标；‎ ‎（3）当以A、B、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形时，求Q点的坐标．‎ ‎【分析】（1）可设抛物线的顶点式为y＝a（x﹣）2﹣，将点C（0，﹣2）代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；‎ ‎（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，根据两点距离公式计算出AC、AB、BC的长，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°‎ ‎，再根据相似三角形的判定和性质得到比例式，求出P点的坐标；‎ ‎（3）分三种情况：①Q点的横坐标为﹣5；②Q点的横坐标为5；③Q点的横坐标为﹣1+4＝3；代入抛物线的解析式求出它们的纵坐标，从而求得Q点的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣）2﹣，‎ ‎∵抛物线经过点C（0，﹣2），‎ ‎∴﹣2＝a（0﹣）2﹣，‎ a＝．‎ ‎∴抛物线为；‎ ‎（2）在原解析式中，令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0，‎ 解得x1＝﹣1，x2＝4，‎ 则点A为（﹣1，0），点B为（4，0），‎ 则AB＝5，AC＝，BC＝2，‎ ‎∵（）2+（2）2＝52，‎ ‎∴△ACB是直角三角形，‎ ‎①设OP的长为x，则有 ‎＝，‎ 解得x＝2；‎ ‎②设OP的长为y，则有 ‎＝，‎ 解得y＝；‎ 则P点的坐标为（0，±2），（0，±）；‎ ‎（3）因为以A、B、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形，‎ 所以分三种情况：‎ ‎①Q点的横坐标为﹣5，y＝×（﹣5）2﹣×（﹣5）﹣2＝18；‎ ‎②Q点的横坐标为5，y＝×52﹣×5﹣2＝3；‎ ‎③Q点的横坐标为﹣1+4＝3，y＝×32﹣×3﹣2＝﹣2．‎ 所以Q点的坐标为（﹣5，18），（5，3），（3，﹣2）．‎