2020九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3

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2020九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3

第2课时 垂径定理的逆定理 知识点一 垂径定理的逆定理1‎ 平分弦(________)的直径________,并且平分________.‎ ‎1.如图3-3-9,⊙O的直径CD过弦AB的中点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为(  )‎ 图3-3-9‎ A.9 B.‎8 C.6 D.4‎ 知识点二 垂径定理的逆定理2‎ 平分弧的直径__________________.‎ ‎2.如图3-3-10,AB是⊙O的直径,B是的中点,AB=‎10 cm,OE=‎3 cm,则CD的长为________cm.‎ 7‎ 图3-3-10‎ 类型一 运用垂径定理的逆定理解决圆中的边角问题 例1 [教材补充例题] 如图3-3-11,△ABC内接于⊙O,AH⊥BC,垂足为H,D是的中点,连结AD,OA.‎ 求证:AD平分∠HAO.‎ 图3-3-11‎ ‎【归纳总结】借助垂径定理的逆定理添加辅助线的思路 ‎(1)连结圆心与弦的中点;(2)连结圆心与弧的中点.‎ 类型二 综合运用垂径定理及其逆定理解决问题 例2 [教材例3拓展] 有一座桥,桥拱是圆弧形(水面以上部分),测量时只测到桥下水面宽AB为16 m(如图3-3-12),桥拱最高处点C离水面4 m.‎ ‎(1)求该桥拱的半径;‎ ‎(2)若大雨过后,桥下水面宽度为‎12 m,则水面涨高了多少?‎ 7‎ 图3-3-12‎ ‎【归纳总结】垂径定理及其逆定理的相互关系 7‎ 在定理“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧”中,为什么强调弦不是直径?‎ 7‎ 详解详析 ‎【学知识】‎ 知识点一 不是直径 垂直于弦 弦所对的弧 ‎1.[解析] B ∵CE=2,DE=8,∴CD=10,‎ ‎∴OB=OC=5,OE=5-2=3.‎ ‎∵直径CD过弦AB的中点E,‎ ‎∴CD⊥AB,∴AE=BE.‎ 在Rt△OBE中,∵OE=3,OB=5,‎ ‎∴BE==4,‎ ‎∴AB=2BE=8.‎ 知识点二 垂直平分弧所对的弦 ‎2.[答案] 8‎ ‎[解析] 连结OC,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,B是的中点,‎ ‎∴直径AB⊥弦CD,‎ ‎∴CE=DE.‎ 在Rt△OEC中,OE=3,OC=5,‎ ‎∴CE==4,‎ ‎∴CD=2CE=8(cm).‎ ‎【筑方法】‎ 例1 证明:连结OD,交BC于点E.‎ ‎∵D是的中点,∴OD⊥BC.‎ 又∵AH⊥BC,∴OD∥AH,‎ ‎∴∠ODA=∠DAH.‎ ‎∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,‎ 7‎ ‎∴∠OAD=∠DAH,‎ ‎∴AD平分∠HAO.‎ 例2 解:(1)如图,设点O为圆心,连结OA,OC,OC交AB于点D.‎ 由题意,得AB=16 m,CD=4 m,=,‎ 所以OC⊥AB,‎ 所以AD=AB=×16=8(m).‎ 设⊙O的半径为x m,则在Rt△AOD中,‎ OA2=AD2+OD2,即x2=82+(x-4)2,‎ 解得x=10.‎ 所以该桥拱的半径为10 m.‎ ‎(2)设水面上涨到EF位置(如图).‎ 此时EF=12 m,EF∥AB,有OC⊥EF(设垂足为M),‎ 所以EM=EF=×12=6(m).‎ 连结OE,则有OE=10 m,‎ 所以OM===8(m).‎ 又因为OD=OC-CD=10-4=6(m),‎ 所以OM-OD=8-6=2(m),‎ 即大雨过后,水面涨高了2 m.‎ ‎【勤反思】‎ ‎[小结] 垂直于弦 平分 垂直平分 ‎[反思] 因为如果不强调弦不是直径,那么会出现两条相互平分的直径不垂直,并且也不能平分弦所对的弧的情况.如图,弦AB被CD平分,但AB与CD不垂直,且≠.‎ 7‎ 7‎
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