2020年四川省遂宁市中考数学试卷【含答案】

2020年四川省遂宁市中考数学试卷【含答案】

1 / 12 2020 年四川省遂宁市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选 项中，只有一个符合题目要求．） 1. −5的相反数是( ) A.5 B.−5 C.1 5 D.− 1 5 2. 已知某 XX 感冒 XX 直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示 ( ) A.8.23 × 10−6 B.8.23 × 10−7 C.8.23 × 106 D.8.23 × 107 3. 下列计算正确的是( ) A.7푎푏 − 5푎 = 2푏 B.(푎 + 1 푎)2 = 푎2 + 1 푎2 C.(−3푎2푏)2 = 6푎4푏2 D.3푎2푏 ÷ 푏 = 3푎2 4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A.等边三角形 B.平行四边形 C.矩形 D.正五边形 5. 函数푦 = √푥+2 푥−1 中，自变量푥的取值范围是( ) A.푥 > −2 B.푥 ≥ −2 C.푥 > −2且푥 ≠ 1 D.푥 ≥ −2且푥 ≠ 1 6. 关于푥的分式方程 푚 푥−2 − 3 2−푥 = 1有增根，则푚的值( ) A.푚 = 2 B.푚 = 1 C.푚 = 3 D.푚 = −3 7. 如图，在平行四边形퐴퐵퐶퐷中，∠퐴퐵퐶的平分线交퐴퐶于点퐸，交퐴퐷于点퐹，交퐶퐷 的延长线于点퐺，若퐴퐹 = 2퐹퐷，则퐵퐸 퐸퐺 的值为( ) A.1 2 B.1 3 C.2 3 D.3 4 8. 二次函数푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 푐(푎 ≠ 0)的图象如图所示，对称轴为直线푥 = −1，下列 结论不正确的是( ) A.푏2 > 4푎푐 B.푎푏푐 > 0 C.푎 − 푐 < 0 D.푎푚2 + 푏푚 ≥ 푎 − 푏（푚为任意实数） 9. 如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐶 = 90∘，퐴퐶 = 퐵퐶，点푂在퐴퐵上，经过点퐴的⊙ 푂与퐵퐶 相切于点퐷，交퐴퐵于点퐸，若퐶퐷 = √2，则图中阴影部分面积为( ) A.4 − 휋 2 B.2 − 휋 2 C.2 − 휋 D.1 − 휋 4 10. 如图，在正方形퐴퐵퐶퐷中，点퐸是边퐵퐶的中点，连接퐴퐸、퐷퐸，分别交퐵퐷、퐴퐶于 点푃、푄，过点푃作푃퐹 ⊥ 퐴퐸交퐶퐵的延长线于퐹，下列结论： ①∠퐴퐸퐷 + ∠퐸퐴퐶 + ∠퐸퐷퐵 = 90∘， ②퐴푃 = 퐹푃， ③퐴퐸 = √10 2 퐴푂， ④若四边形푂푃퐸푄的面积为4，则该正方形퐴퐵퐶퐷的面积为36， ⑤퐶퐸 ⋅ 퐸퐹 = 퐸푄 ⋅ 퐷퐸． 2 / 12 其中正确的结论有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 11. 下列各数3.1415926，√9，1.212212221 …，1 7 ，2 − 휋，−2020，√43 中，无理数 的个数有________个． 12. 一列数4、5、4、6、푥、5、7、3中，其中众数是4，则푥的值是________． 13. 已知一个正多边形的内角和为1440∘，则它的一个外角的度数为________度． 14. 若关于푥的不等式组{ 푥−2 4 < 푥−1 3 ， 2푥 − 푚 ≤ 2 − 푥 有且只有三个整数解，则푚的取值范围是 ________． 15. 如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图 中“▱”的个数为푎1，第2幅图中“▱”的个数为푎2，第3幅图中“▱”的个数为 푎3，…，以此类推，若 2 푎1 + 2 푎2 + 2 푎3 + ⋯ + 2 푎푛 = 푛 2020 ．（ 푛为正整数），则푛的值为 ________． 三、计算或解答题（本大题共 10 小题，共 90 分，解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤） 16. 计算：√8 − 2sin30∘ − |1 − √2| + (1 2)−2 − (휋 − 2020)0． 17. 先化简，(푥2+4푥+4 푥2−4 − 푥 − 2) ÷ 푥+2 푥−2 ，然后从−2 ≤ 푥 ≤ 2范围内选取一个合适的整 数作为푥的值代入求值． 3 / 12 18. 如图，在△ 퐴퐵퐶中，퐴퐵 = 퐴퐶，点퐷、퐸分别是线段퐵퐶、퐴퐷的中点，过点퐴作퐵퐶 的平行线交퐵퐸的延长线于点퐹，连接퐶퐹． (1)求证：△ 퐵퐷퐸 ≅△ 퐹퐴퐸； (2)求证：四边形퐴퐷퐶퐹为矩形． 19. 在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号 楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点퐵垂直起飞到达点퐴处， 测得1号楼顶部퐸的俯角为67∘，测得2号楼顶部퐹的俯角为40∘，此时航拍无人机的高度 为60米，已知1号楼的高度为20米，且퐸퐶和퐹퐷分别垂直地面于点퐶和퐷，点퐵为퐶퐷的 中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1） （参考数据sin40∘ ≈ 0.64，cos40∘ ≈ 0.77，tan40∘ ≈ 0.84，sin67∘ ≈ 0.92， cos67∘ ≈ 0.39，tan67∘ ≈ 2.36） 20. 新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的 学习环境，准备到一家植物种植基地购买퐴、퐵两种花苗．据了解，购买퐴种花苗3盆， 퐵种花苗5盆，则需210元；购买퐴种花苗4盆，퐵种花苗10盆，则需380元． (1)求퐴、퐵两种花苗的单价分别是多少元？ 4 / 12 (2)经九年级一班班委会商定，决定购买퐴、퐵两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种 植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆퐵种花苗，퐵 种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少 钱？最多准备多少钱？ 21. 阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数푦 = 푎1푥2 + 푏1푥 + 푐1（푎1 ≠ 0，푎1、푏1、푐1是常数）与푦 = 푎2푥2 + 푏2푥 + 푐2（푎2 ≠ 0，푎2、푏2、푐2是常数）满足푎1 + 푎2 = 0，푏1 = 푏2，푐1 + 푐2 = 0，则这 两个函数互为“旋转函数”．求函数푦 = 2푥2 − 3푥 + 1的旋转函数，小明是这样思考 的，由函数푦 = 2푥2 − 3푥 + 1可知，푎1 = 2，푏1 = −3，푐1 = 1，根据푎1 + 푎2 = 0， 푏1 = 푏2，푐1 + 푐2 = 0，求出푎2，푏2，푐2就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： (1)写出函数푦 = 푥2 − 4푥 + 3的旋转函数； (2)若函数푦 = 5푥2 + (푚 − 1)푥 + 푛与푦 = −5푥2 − 푛푥 − 3互为“旋转函数”，求(푚 + 푛)2020的值； (3)已知函数푦 = 2(푥 − 1)(푥 + 3)的图象与푥轴交于퐴、퐵两点，与푦轴交于点퐶，点퐴、 퐵、퐶关于原点的对称点分别是퐴1、퐵1、퐶1，试求证：经过点퐴1、퐵1、퐶1的二次函数 与푦 = 2(푥 − 1)(푥 + 3)互为“旋转函数”． 22. 端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某 居民区市民对퐴、퐵、퐶、퐷四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成 如图两幅不完整统计图： (1)本次参加抽样调查的居民有________人； 5 / 12 (2)喜欢퐶种口味粽子的人数所占圆心角为________度．根据题中信息补全条形统计图； (3)若该居民小区有6000人，请你估计爱吃퐷种粽子的有________人； (4)若有外型完全相同的퐴、퐵、퐶、퐷棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表 或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是퐴种粽子的概率． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点퐴的坐标为(0,  2)，点퐵的坐标为(1,  0)，连结 퐴퐵，以퐴퐵为边在第一象限内作正方形퐴퐵퐶퐷，直线퐵퐷交双曲线푦 = 푘 푥 (푘 ≠ 0)于퐷、퐸 两点，连结퐶퐸，交푥轴于点퐹． (1)求双曲线푦 = 푘 푥 (푘 ≠ 0)和直线퐷퐸的解析式； (2)求△ 퐷퐸퐶的面积． 24. 如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐴퐶퐵 = 90∘，퐷为퐴퐵边上的一点，以퐴퐷为直径的⊙ 푂交 퐵퐶于点퐸，交퐴퐶于点퐹，过点퐶作퐶퐺 ⊥ 퐴퐵交퐴퐵于点퐺，交퐴퐸于点퐻，过点퐸的弦퐸푃交 퐴퐵于点푄（퐸푃不是直径），点푄为弦퐸푃的中点，连结퐵푃，퐵푃恰好为⊙ 푂的切线． (1)求证：퐵퐶是⊙ 푂的切线； 6 / 12 (2)求证：퐸퐹̂ = 퐸퐷̂ ； (3)若sin∠퐴퐵퐶 = 3 5 ，퐴퐶 = 15，求四边形퐶퐻푄퐸的面积． 25. 如图，抛物线푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 푐(푎 ≠ 0)的图象经过퐴(1,  0)，퐵(3,  0)，퐶(0,  6)三点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点푀与对称轴푙上的点푁关于푥轴对称，直线퐴푁交抛物线于点퐷，直线퐵퐸 交퐴퐷于点퐸，若直线퐵퐸将△ 퐴퐵퐷的面积分为1: 2两部分，求点퐸的坐标； (3)푃为抛物线上的一动点，푄为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点푃，使퐴，퐷， 푃，푄为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点푃的坐标；若不存在，请说明理 由． 7 / 12 参考答案与试题解析 2020 年四川省遂宁市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选 项中，只有一个符合题目要求．） 1.A 2.B 3.D 4.C 5.D 6.D 7.C 8.C 9.B 10.B 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 11.3 12.4 13.36 14.1 < 푚 ≤ 4 15.4039 三、计算或解答题（本大题共 10 小题，共 90 分，解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤） 16.解：原式= 2√2 − 2 × 1 2 − (√2 − 1) + 4 − 1 = 2√2 − 1 − √2 + 1 + 4 − 1 = √2 + 3． 17.解：原式= [ (푥+2)2 (푥+2)(푥−2) − (푥 + 2)] ⋅ 푥−2 푥+2 = (푥 + 2 푥 − 2 − 푥2 − 4 푥 − 2 ) ⋅ 푥 − 2 푥 + 2 = −푥2 + 푥 + 6 푥 − 2 ⋅ 푥 − 2 푥 + 2 = − (푥 + 2)(푥 − 3) 푥 − 2 ⋅ 푥 − 2 푥 + 2 = −(푥 − 3) = −푥 + 3， ∵ 푥 ≠ ±2， ∴ 可取푥 = 1， 则原式= −1 + 3 = 2． 18.证明：(1)∵ 퐴퐹 // 퐵퐶， ∴ ∠퐴퐹퐸 = ∠퐷퐵퐸. ∵ 퐸是线段퐴퐷的中点， ∴ 퐴퐸 = 퐷퐸. ∵ ∠퐴퐸퐹 = ∠퐷퐸퐵， ∴ △ 퐵퐷퐸 ≅△ 퐹퐴퐸(퐴퐴푆). (2)∵ △ 퐵퐷퐸 ≅△ 퐹퐴퐸， ∴ 퐴퐹 = 퐵퐷. ∵ 퐷是线段퐵퐶的中点， ∴ 퐵퐷 = 퐶퐷， ∴ 퐴퐹 = 퐶퐷. ∵ 퐴퐹 // 퐶퐷， ∴ 四边形퐴퐷퐶퐹是平行四边形. ∵ 퐴퐵 = 퐴퐶， ∴ 퐴퐷 ⊥ 퐵퐶， 8 / 12 ∴ ∠퐴퐷퐶 = 90∘， ∴ 四边形퐴퐷퐶퐹为矩形． 19.解：过点퐸、퐹分别作퐸푀 ⊥ 퐴퐵，퐹푁 ⊥ 퐴퐵，垂足分别为푀、푁， 由题意得，퐸퐶 = 20，∠퐴퐸푀 = 67∘，∠퐴퐹푁 = 40∘， 퐶퐵 = 퐷퐵 = 퐸푀 = 퐹푁，퐴퐵 = 60， ∴ 퐴푀 = 퐴퐵 − 푀퐵 = 60 − 20 = 40. 在푅푡 △ 퐴퐸푀中， ∵ tan∠퐴퐸푀 = 퐴푀 퐸푀 ， ∴ 퐸푀 = 퐴푀 tan∠퐴퐸푀 = 40 tan67∘ ≈ 16.9. 在푅푡 △ 퐴퐹푁中， ∵ tan∠퐴퐹푁 = 퐴푁 퐹푁 ， ∴ 퐴푁 = tan40∘ × 16.9 ≈ 14.2， ∴ 퐹퐷 = 푁퐵 = 퐴퐵 − 퐴푁 = 60 − 14.2 = 45.8. 答：2号楼的高度约为45.8米． 20.解：(1)设퐴、퐵两种花苗的单价分别是푥元和푦元， 则{ 3푥 + 5푦 = 210， 4푥 + 10푦 = 380， 解得{푥 = 20， 푦 = 30. 答：퐴、퐵两种花苗的单价分别是20元和30元. (2)设购买퐵花苗푥盆，则购买퐴花苗为(12 − 푥)盆，设总费用为푤元， 由题意得：푤 = 20(12 − 푥) + (30 − 푥)푥 = −푥2 + 10푥 + 240(0 ≤ 푥 ≤ 12)， ∵ −1 < 0，故푤有最大值. 当푥 = 5时，푤的最大值为265， 当푥 = 12时，푤的最小值为216， 答：本次购买至少准备216元，最多准备265元． 21.(1)解：由푦 = 푥2 − 4푥 + 3函数可知，푎1 = 1，푏1 = −4，푐1 = 3， ∵ 푎1 + 푎2 = 0，푏1 = 푏2，푐1 + 푐2 = 0， ∴ 푎2 = −1，푏2 = −4，푐2 = −3， ∴ 函数푦 = 푥2 − 4푥 + 3的“旋转函数”为푦 = −푥2 − 4푥 − 3. (2)解：∵ 푦 = 5푥2 + (푚 − 1)푥 + 푛与푦 = −5푥2 − 푛푥 − 3互为“旋转函数”， ∴ {푚 − 1 = −푛， 푛 − 3 = 0， 解得：{푚 = −2， 푛 = 3， ∴ (푚 + 푛)2020 = (−2 + 3)2020 = 1． (3)证明：当푥 = 0时，푦 = 2(푥 − 1)(푥 + 3) = −6， ∴ 点퐶的坐标为(0, −6)． 当푦 = 0时，2(푥 − 1)(푥 + 3) = 0， 解得：푥1 = 1，푥2 = −3， ∴ 点퐴的坐标为(1,  0)，点퐵的坐标为(−3,  0)． ∵ 点퐴，퐵，퐶关于原点的对称点分别是퐴1，퐵1，퐶1， ∴ 퐴1(−1,  0)，퐵1(3,  0)，퐶1(0,  6)． 设过点퐴1，퐵1，퐶1的二次函数解析式为푦 = 푎(푥 + 1)(푥 − 3)， 9 / 12 将퐶1(0,  6)代入푦 = 푎(푥 + 1)(푥 − 3)， 得：6 = −3푎， 解得：푎 = −2. ∴ 过点퐴1，퐵1，퐶1的二次函数解析式为푦 = −2(푥 + 1)(푥 − 3)， 即푦 = −2푥2 + 4푥 + 6． ∵ 푦 = 2(푥 − 1)(푥 + 3) = 2푥2 + 4푥 − 6， ∴ 푎1 = 2，푏1 = 4，푐1 = −6， 푎2 = −2，푏2 = 4，푐2 = 6， ∴ 푎1 + 푎2 = 2 + (−2) = 0，푏1 = 푏2 = 4，푐1 + 푐2 = 6 + (−6) = 0， ∴ 经过点퐴1，퐵1，퐶1的二次函数与函数푦 = 2(푥 − 1)(푥 + 3)互为“旋转函数”． 22.600 (2)喜欢퐵种口味粽子的人数为600 × 10% = 60（人）， 喜欢퐶种口味粽子的人数为600 − 180 − 60 − 240 = 120（人）， 所以喜欢퐶种口味粽子的人数所占圆心角的度数为360∘ × 120 600 = 72∘. 故答案为：72. 补全条形统计图为： 2400 (4)画树状图为： 共有12种等可能的结果数， 其中他第二个吃的粽子恰好是퐴种粽子的结果数为3， 所以他第二个吃的粽子恰好是퐴种粽子的概率= 3 12 = 1 4 ． 23.解：(1)∵ 点퐴的坐标为(0,  2)，点퐵的坐标为(1,  0)， ∴ 푂퐴 = 2，푂퐵 = 1. 作퐷푀 ⊥ 푦轴于푀， ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是正方形， ∴ ∠퐵퐴퐷 = 90∘，퐴퐵 = 퐴퐷， ∴ ∠푂퐴퐵 + ∠퐷퐴푀 = 90∘. ∵ ∠푂퐴퐵 + ∠퐴퐵푂 = 90∘， ∴ ∠퐷퐴푀 = ∠퐴퐵푂. 在△ 퐴푂퐵和△ 퐷푀퐴中， { ∠퐴퐵푂 = ∠퐷퐴푀， ∠퐴푂퐵 = ∠퐷푀퐴 = 90∘， 퐴퐵 = 퐷퐴， ∴ △ 퐴푂퐵 ≅△ 퐷푀퐴(퐴퐴푆)， ∴ 퐴푀 = 푂퐵 = 1，퐷푀 = 푂퐴 = 2， ∴ 퐷(2,3). ∵ 双曲线푦 = 푘 푥 (푘 ≠ 0)经过퐷点， ∴ 푘 = 2 × 3 = 6， ∴ 双曲线为푦 = 6 푥 . 设直线퐷퐸的解析式为푦 = 푚푥 + 푛， 10 / 12 把퐵(1,  0)，퐷(2,3)代入得{ 푚 + 푛 = 0， 2푚 + 푛 = 3， 解得{ 푚 = 3， 푛 = −3， ∴ 直线퐷퐸的解析式为푦 = 3푥 − 3. (2)连结퐴퐶，交퐵퐷于푁， ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是正方形， ∴ 퐵퐷垂直平分퐴퐶，퐴퐶 = 퐵퐷. 联立直线퐷퐸与反比例函数得{ 푦 = 3푥 − 3， 푦 = 6 푥 ， 解得{푥 = 2， 푦 = 3， 或{푥 = −1， 푦 = −6， ∴ 퐸(−1, −6). ∵ 퐵(1,  0)，퐷(2,3), ∴ 퐷퐸 = √(2 + 1)2 + (3 + 6)2 = 3√10， 퐷퐵 = √(2 − 1)2 + 32 = √10， ∴ 퐶푁 = 1 2 퐵퐷 = √10 2 ， ∴ 푆△퐷퐸퐶 = 1 2 퐷퐸 ⋅ 퐶푁 = 1 2 × 3√10 × √10 2 = 15 2 ． 24.(1)证明：连结푂퐸，푂푃， ∵ 푃퐸 ⊥ 퐴퐵，点푄为弦퐸푃的中点， ∴ 퐴퐵垂直平分퐸푃， ∴ 푃퐵 = 퐵퐸. ∵ 푂퐸 = 푂푃，푂퐵 = 푂퐵， ∴ △ 퐵퐸푂 ≅△ 퐵푃푂(푆푆푆)， ∴ ∠퐵퐸푂 = ∠퐵푃푂. ∵ 퐵푃为⊙ 푂的切线， ∴ ∠퐵푃푂 = 90∘， ∴ ∠퐵퐸푂 = 90∘， ∴ 푂퐸 ⊥ 퐵퐶， ∴ 퐵퐶是⊙ 푂的切线． (2)证明：∵ ∠퐵퐸푂 = ∠퐴퐶퐵 = 90∘， ∴ 퐴퐶 // 푂퐸， ∴ ∠퐶퐴퐸 = ∠푂퐸퐴. ∵ 푂퐴 = 푂퐸， ∴ ∠퐸퐴푂 = ∠퐴퐸푂， ∴ ∠퐶퐴퐸 = ∠퐸퐴푂， ∴ 퐸퐹̂ = 퐸퐷̂ ． (3)解：∵ 퐴퐷为⊙ 푂的直径，点푄为弦퐸푃的中点， ∴ 퐸푃 ⊥ 퐴퐵. ∵ 퐶퐺 ⊥ 퐴퐵， ∴ 퐶퐺 // 퐸푃. ∵ ∠퐶퐴퐸 = ∠퐸퐴푂，∠퐴퐶퐸 = ∠퐴푄퐸 = 90∘，퐴퐸 = 퐴퐸， ∴ △ 퐴퐶퐸 ≅△ 퐴푄퐸(퐴퐴푆). ∴ 퐶퐸 = 푄퐸. ∵ ∠퐴퐸퐶 + ∠퐶퐴퐸 = ∠퐸퐴푄 + ∠퐴퐻퐺 = 90∘， 11 / 12 ∴ ∠퐶퐸퐻 = ∠퐴퐻퐺. ∵ ∠퐴퐻퐺 = ∠퐶퐻퐸， ∴ ∠퐶퐻퐸 = ∠퐶퐸퐻， ∴ 퐶퐻 = 퐶퐸， ∴ 퐶퐻 = 퐸푄， ∴ 四边形퐶퐻푄퐸是平行四边形. ∵ 퐶퐻 = 퐶퐸， ∴ 四边形퐶퐻푄퐸是菱形. ∵ sin∠퐴퐵퐶 = sin∠퐴퐶퐺 = 퐴퐺 퐴퐶 = 3 5 ， ∵ 퐴퐶 = 15， ∴ 퐴퐺 = 9. ∴ 퐶퐺 = √퐴퐶2 − 퐴퐺2 = 12. ∵ △ 퐴퐶퐸 ≅△ 퐴푄퐸， ∴ 퐴푄 = 퐴퐶 = 15， ∴ 푄퐺 = 6. ∵ 퐻푄2 = 퐻퐺2 + 푄퐺2， ∴ 퐻푄2 = (12 − 퐻푄)2 + 62， 解得：퐻푄 = 15 2 ， ∴ 퐶퐻 = 퐻푄 = 15 2 ， ∴ 四边形퐶퐻푄퐸的面积= 퐶퐻 ⋅ 퐺푄 = 15 2 × 6 = 45． 25.解：(1)∵ 抛物线푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 푐(푎 ≠ 0)的图象经过퐴(1,  0)，퐵(3,  0)， ∴ 设抛物线解析式为：푦 = 푎(푥 − 1)(푥 − 3)(푎 ≠ 0). ∵ 抛物线푦 = 푎(푥 − 1)(푥 − 3)(푎 ≠ 0)的图象经过点퐶(0,  6)， ∴ 6 = 푎(0 − 1)(0 − 3)， ∴ 푎 = 2， ∴ 抛物线解析式为： 푦 = 2(푥 − 1)(푥 − 3) = 2푥2 − 8푥 + 6. (2)∵ 푦 = 2푥2 − 8푥 + 6 = 2(푥 − 2)2 − 2， ∴ 顶点푀的坐标为(2, −2). ∵ 抛物线的顶点푀与对称轴푙上的点푁关于푥轴对称， ∴ 点푁(2,  2). 设直线퐴푁解析式为：푦 = 푘푥 + 푏， 由题意可得：{ 0 = 푘 + 푏， 2 = 2푘 + 푏， 解得：{ 푘 = 2， 푏 = −2， ∴ 直线퐴푁解析式为：푦 = 2푥 − 2. 联立方程组得：{ 푦 = 2푥 − 2， 푦 = 2푥2 − 8푥 + 6， 12 / 12 解得：{푥1 = 1， 푦1 = 0， {푥2 = 4， 푦2 = 6， ∴ 点퐷(4,  6)， ∴ 푆△퐴퐵퐷 = 1 2 × 2 × 6 = 6. 设点퐸(푚,  2푚 − 2)， ∵ 直线퐵퐸将△ 퐴퐵퐷的面积分为1: 2两部分， ∴ 푆△퐴퐵퐸 = 1 3 푆△퐴퐵퐷 = 2或푆△퐴퐵퐸 = 2 3 푆△퐴퐵퐷 = 4， ∴ 1 2 × 2 × (2푚 − 2) = 2或1 2 × 2 × (2푚 − 2) = 4， ∴ 푚 = 2或3， ∴ 点퐸(2,  2)或(3,  4). (3)若퐴퐷为平行四边形的边， ∵ 以퐴，퐷，푃，푄为顶点的四边形为平行四边形， ∴ 퐴퐷 = 푃푄， ∴ 푥퐷 − 푥퐴 = 푥푃 − 푥푄或푥퐷 − 푥퐴 = 푥푄 − 푥푃， ∴ 푥푃 = 4 − 1 + 2 = 5或푥푃 = 2 − 4 + 1 = −1， ∴ 点푃坐标为(5,  16)或(−1,  16)； 若퐴퐷为平行四边形的对角线， ∵ 以퐴，퐷，푃，푄为顶点的四边形为平行四边形， ∴ 퐴퐷与푃푄互相平分， ∴ 푥퐴+푥퐷 2 = 푥푃+푥푄 2 ， ∴ 푥푃 = 3， ∴ 点푃坐标为(3,  0). 综上所述：当点푃坐标为(5,  16)或(−1,  16)或(3,  0)时，使퐴，퐷，푃，푄为顶点的四边 形为平行四边形．