2010年湖南省娄底市中考数学试卷

2010年湖南省娄底市中考数学试卷

故选B．‎ 点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心的．‎ ‎4、（2010•娄底）一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）‎ ‎ A、k＞0，b＞0 B、k＞0，b＜0‎ ‎ C、k＜0，b＞0 D、k＜0，b＜0‎ 考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。‎ 分析：分别根据一次函数与反比例函数图象的特点判断其系数所要满足的条件．‎ 解答：解：由一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过二、三、四象限可知，k＜0，b＜0；‎ 由反比例函数y=kx（k≠0）的图象过二、四象限可知，k＜0．‎ 故选D．‎ 点评：主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．‎ ‎5、（2010•娄底）如图所示，图中三角形的个数共有（　　）‎ ‎ A、1个 B、2个 ‎ C、3个 D、4个 考点：三角形。‎ 分析：根据三角形的定义进行判断．只要数出BC上有几条线段即可．很明显BC上有3条线段，所以有三个三角形．‎ 解答：解：BC上有3条线段，所以有三个三角形．故选C．‎ 点评：三角形的定义中应注意“首尾顺次连接”这一含义．‎ ‎6、（2010•娄底）下列说法中，错误的是（　　）‎ ‎ A、平行四边形的对角线互相平分 B、矩形的对角线相互垂直 ‎ C、菱形的对角线互相垂直平分 D、等腰梯形的对角线相等 考点：等腰梯形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质。‎ 分析：可以根据平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质和等腰梯形的性质利用排除法求解．‎ 解答：解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确；‎ B、应为矩形的对角线相等且互相平分，故本选项错误；‎ C、菱形的对角线互相垂直平分，正确；‎ D、等腰梯形的对角线相等，正确．‎ 故选B．‎ 点评：本题主要考查特殊四边形的对角线的性质，熟练掌握是解本题的关键．‎ ‎7、（2010•娄底）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3为半径的圆，一定（　　）‎ ‎ A、与x轴相切，与y轴相切 B、与x轴相切，与y轴相交 ‎ C、与x轴相交，与y轴相切 D、与x轴相交，与y轴相交 考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质。‎ 分析：由已知点（3，2）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．‎ 解答：解：∵点（3，2）到x轴的距离是2，小于半径，‎ 到y轴的距离是3，等于半径，‎ ‎∴圆与x轴相交，与y轴相切．故选C．‎ 点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．‎ ‎8、（2010•娄底）如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体“着”相对的面上的汉字是（　　）‎ ‎ A、冷 B、静 ‎ C、应 D、考 考点：专题：正方体相对两个面上的文字。‎ 专题：操作型。‎ 分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．‎ 解答：解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“静”与面“着”相对，面“沉”与面“应”相对，“冷”与面“考”相对．‎ 故选B．‎ 点评：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．‎ ‎9、（2010•娄底）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，4）连接AB得到△AOB．现将△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A对应点A′的坐标为（　　）‎ ‎ A、（4，0） B、（0，4）‎ ‎ C、（﹣4，0） D、（0，﹣4）‎ 考点：坐标与图形变化-旋转。‎ 分析：根据题意画出图形旋转后的位置，确定对应点的坐标．‎ 解答：解：△A′B′O位置如图．‎ ‎∵A（0，4），∴OA=OA′=4．‎ ‎∴A′（4，0）．‎ 故选A．‎ 点评：本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′坐标．‎ ‎10、（2010•娄底）某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（　　）‎ ‎ A、15，16 B、15，15‎ ‎ C、15，15.5 D、16，15‎ 考点：众数；中位数。‎ 专题：图表型。‎ 分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．‎ 解答：解：本题中的15出现的次数最多（4次），故其众数是15；‎ 这组数据共有12个数．‎ 中位数应为第6、7个数的平均数，而14和15共有5个数，16有3个，所以第6、7个数均为16，故中位数为16．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查统计中的众数与中位数的求法．众数是指在一组数据中出现次数最多的数（注意：若出现次数最多的数有多个，众数就有多个），中位数是指将这组数据排序后处于中间位置的数（若数据有偶数个，中位数是处于中间位置的两个数的平均数）．‎ 二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎11、（2010•娄底）计算：（﹣2010）0+|﹣1|= ．‎ 考点：零指数幂；绝对值。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据零指数幂和绝对值的定义计算即可．‎ 解答：解：（﹣2010）0+|﹣1|=1+1=2 ．‎ 点评：本题考查实数的综合运算能力．涉及知识点：任何非0数的0次幂等于1；绝对值的运算．‎ ‎12、（2010•娄底）如果点P（m﹣1，2﹣m）在第四象限，则m的取值范围是 ．‎ 考点：点的坐标；解一元一次不等式组。‎ 分析：点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．‎ 解答：解：∵点P（m﹣1，2﹣m）在第四象限，‎ ‎∴‎&m﹣1＞0‎‎&2﹣m＜0‎，‎ 解得m＞2，‎ 故m的取值范围是m＞2．‎ 点评：本题考查象限点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．‎ ‎13、（2010•娄底）阅读材料：‎ 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：‎ x1+x2=‎﹣‎ba，x1x2=‎ca 根据上述材料填空：‎ 已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则‎1‎x‎1‎‎+‎‎1‎x‎2‎= ．‎ 考点：根与系数的关系。‎ 专题：阅读型。‎ 分析：根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，根据$frac{1}{{x}_{1}}+frac{1}{{x}_{2}}$=$frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，代入数值计算即可．‎ 解答：解：∵x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，‎ ‎∴x1+x2=﹣4，x1x2=2．‎ 又∵‎1‎x‎1‎‎+‎‎1‎x‎2‎=x‎1‎‎+‎x‎2‎x‎1‎x‎2‎，‎ ‎∴‎1‎x‎1‎‎+‎‎1‎x‎2‎=‎﹣4‎‎2‎=﹣2．‎ 故填空答案：﹣2．‎ 点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．‎ ‎14、（2010•娄底）二次函数y=（x﹣1）2﹣2的图象的对称轴是直线 ．‎ 考点：二次函数的性质。‎ 分析：已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．‎ 解答：解：∵y=（x﹣1）2﹣2是抛物线的顶点式，‎ 根据顶点式的坐标特点可知，‎ 对称轴为直线x=1．‎ 点评：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．‎ ‎15、（2010•娄底）如图，直线AB、CD相交于点O．OE平分∠AOD，若∠BOD=100°，则∠AOE= 度．‎ 考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义。‎ 专题：计算题。‎ 分析：首先利用邻补角互补求出∠AOD，再利用角平分线的定义计算．‎ 解答：解：∵∠AOD与∠BOD互为邻补角，∠BOD=100°，‎ ‎∴∠AOD=180°﹣∠BOD=80°，‎ 又OE平分∠AOD，‎ ‎∴∠AOE=40°．‎ 点评：本题考查了利用邻补角和角平分线的定义，在相交线中角的度数的求解方法．‎ ‎16、（2010•娄底）如图，在半径为R的⊙O中，弦AB的长与半径R相等，C是优弧AB上一点，则∠ACB的度数是 度．‎ 考点：圆周角定理。‎ 分析：连接OA、OB，由于弦AB的长和半径相等，可证得△AOB是等边三角形，即∠AOB=60°，再由同弧所对的圆周角和圆心角的关系可求得∠ACB的度数．‎ 解答：解：连接OA、OB；‎ ‎∵OA=OB=AB=R，‎ ‎∴△OAB是等边三角形；‎ ‎∴∠AOB=60°；‎ ‎∴∠ACB=‎1‎‎2‎∠AOB=30°．‎ 点评：此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．‎ ‎17、（2010•娄底）如果圆锥的底面周长为20πcm，侧面展开后所得的扇形的圆心角是120°，则该圆锥的侧面积是 cm2（结果保留π）．‎ 考点：圆锥的计算。‎ 专题：计算题。‎ 分析：圆锥的侧面积是一个扇形，根据扇形公式计算即可．‎ 解答：解：圆锥的底面周长为20πcm 即展开的扇形弧长为20πcm 根据弧长公式得：‎‎120π×r‎180‎‎=20π 解得：r=30‎ 圆锥的侧面积=‎1‎‎2‎‎×20π×30‎=300πcm2．‎ 点评：本题主要考查了扇形侧面积的计算方法．‎ ‎18、（2010•娄底）一只布袋内有1个白球、3个红球、6个黑球（这些球除颜色外，其余没有区别），从中任意取出一球，则取得红球的概率是 ．‎ 考点：概率公式。‎ 分析：让红球的个数除以球的总个数即为所求的概率．‎ 解答：解：根据古典概率定义，任意取出一球，则取得红球的概率是‎3‎‎1+3+6‎=‎3‎‎10‎．‎ 点评：此题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．‎ 三、解答题（共7小题，满分58分）‎ ‎19、（2010•娄底）已知：y=x‎2‎‎+6x+9‎x‎2‎‎﹣9‎÷x+3‎x‎2‎‎﹣3x﹣x+3‎，试说明不论x为任何有意义的值，y值均不变．‎ 考点：分式的混合运算。‎ 专题：证明题。‎ 分析：先把分子分母分解因式再化简约分即可．‎ 解答：证明：‎y=x‎2‎‎+6x+9‎x‎2‎‎﹣9‎÷x+3‎x‎2‎‎﹣3x﹣x+3‎ ‎=‎‎（x+3‎‎）‎‎2‎‎（x+3）（x﹣3）‎‎×x（x﹣3）‎x+3‎﹣x+3‎ ‎=x﹣x+3‎ ‎=3．‎ 故不论x为任何有意义的值，y值均不变．‎ 点评：本题主要考查了分式的混合运算能力．‎ ‎20、（2010•娄底）如图，在一个坡角为20°的斜坡上有一棵树，高为AB，当太阳光线与水平线成52°角时，测得该树斜坡上的树影BC的长为10m，求树高AB（精确到0.1m）‎ ‎（已知：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，sin52°≈0.788，cos52°≈0.616，tan52°≈1.280．供选用）‎ 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。‎ 分析：过C作AB的垂线，设垂足为D．BC是Rt△CDB的斜边，在这个三角形中可求出CD和BD的长．同理可在△ACD中求出AD长，进而由AB=AD﹣BD求出树的高度．‎ 解答：解：作CD⊥AB于D．‎ Rt△BCD中，BC=10，∠BCD=20°，‎ ‎∴CD=BC•cos20°≈10×0.940=9.4，‎ BD=BC•sin20°≈10×0.342=3.42．‎ Rt△ACD中，CD=9.4，∠ACD=52°，‎ ‎∴AD=CD•tan52°≈9.4×1.280=12.032‎ ‎∴AB=AD﹣BD=11.57﹣3.42≈8.2．‎ 答：树高8.2米．‎ 点评：两个直角三角形有公共的直角边时，先求出公共边是解决此类题目的基本出发点．‎ ‎21、（2010•娄底）为了了解九年级学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：‎ A、1.5小时以上（含1.5小时）‎ B、1﹣1.5小时（含1小时，不含1.5小时）‎ C、0.5﹣1小时（含0.5小时，不含1小时）‎ D、0.5小时以下（不含0.5小时）‎ 如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图：‎ 请根据以上条形统计图、扇形统计图提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）学校共调查了 名学生；‎ ‎（2）扇形统计图中B选项所占的百分比为 ．‎ ‎（3）请补全条形统计图；‎ ‎（4）若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级平均每天参加体育活动时间再1小时以上（含1小时）的学生约有 名．‎ 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图。‎ 专题：阅读型；图表型。‎ 分析：（1）根据A等20人占总体的25%，即可求得总人数；‎ ‎（2）根据扇形统计图各部分所占的百分比即可求得B选项所占的百分比；‎ ‎（3）根据总人数和扇形统计图所占的百分比求得C等人数，进一步补全条形统计图；‎ ‎（4）首先根据扇形统计图，得到A等和B等人数所占的百分比，进而估计总体．‎ 解答：解：（1）20÷25%=80（人）；‎ ‎（2）1﹣5%﹣25%﹣30%=40%；‎ ‎（3）C等：80×30%=24（人）．‎ ‎（4）400×（25%+40%）=260（人）．‎ 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．‎ 读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．‎ 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图能够清楚地表示各部分所占的百分比．‎ ‎22、（2010•娄底）近年来，政府大力投资改善学校的办学条件，并切实加强对学生的安全管理和安全教育．某中学新建了一栋教学大楼，进出这栋教学大楼共有2道正门和2道侧门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生；当同时开启一道正门和两道侧门时，3分钟内可以通过840名学生．‎ ‎（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门分别可以通过多少名学生？‎ ‎（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下，全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼的教室里最大有1500名学生，试问建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由．‎ 考点：二元一次方程组的应用。‎ 分析：（1）设每分钟通过一道正门的学生为x个，每分钟通过一道侧门的学生为y个，则由4分钟通过一道正门和一道侧门时可以通过800名学生可得（x+y）×4=800，由开启一道正门和两道侧门时，3分钟内可以通过840名学生可得（x+2y）×3=840．‎ ‎（2）紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，则这四道门最多能通过的学生数为（40+160）×2×（1﹣20%）×5=1600，而学生最多人数为1500，故符合安全规定．‎ 解答：解：（1）设每分钟通过一道正门的学生为x个，每分钟通过一道侧门的学生为y个，依题意可得方程组小（x+y）×4=800，（x+2y）×3=840，解方程组的x=120，y=80．‎ ‎（2）这4道门符合安全规定．∵（80+120）×2×（1﹣20%）×5=1600，比1500大，在紧急情况下，在出门的效率将降低20%，四道门可以在5分钟内安全通过1600名学生．全大楼1500名学生可以在5分钟内通过这4道门安全撤离安全．所以，这四道门符合安全规定．‎ 点评：用二元一次方程组解决问题．‎ ‎23、（2010•娄底）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．‎ 求证：（1）FC=AD；‎ ‎（2）AB=BC+AD．‎ 考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质。‎ 专题：证明题。‎ 分析：（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．‎ ‎（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可．‎ 解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，‎ ‎∵E是CD的中点，∴DE=EF，‎ ‎∵∠AED=∠CEF，‎ ‎∴△ADE≌△FCE，‎ ‎∴FC=AD．‎ ‎（2）∵BE⊥AE，∴△ADE≌△FCE，‎ ‎∴AE=EF，AD=CF，‎ ‎∴AE是线段AF的垂直平分线，‎ ‎∴AB=BF=BC+CF，‎ ‎∵AD=CF，‎ ‎∴AB=BC+AD．‎ 点评：‎ 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．‎ ‎24、（2010•娄底）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标是（﹣2，0），点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OC＜OB）是方程x2﹣10x+24=0的两个根．‎ ‎（1）求B、C两点的坐标；‎ ‎（2）求这个二次函数的解析式．‎ 考点：抛物线与x轴的交点；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求二次函数解析式。‎ 分析：（1）解方程求已知方程的两根，根据题意确定B、C两点坐标；‎ ‎（2）抛物线过A（﹣2，0），B（6，0），设交点式，把C（0，4）代入求待定系数即可．‎ 解答：解：（1）解方程x2﹣10x+24=0，得x1=6，x2=4，‎ ‎∵OC＜OB，‎ ‎∴B（6，0），C（0，4）；‎ ‎（2）∵抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）‎ 设抛物线解析式y=a（x+2）（x﹣6）‎ 把C（0，4）代入解析式，得 ‎4=a（0+2）（0﹣6），解得a=﹣‎1‎‎3‎，‎ y=﹣‎1‎‎3‎（x+2）（x﹣6）‎ 即y=﹣‎1‎‎3‎x2+‎4‎‎3‎x+4．‎ 点评：本题考查了解一元二次方程，点的坐标的求法，待定系数法求二次函数解析式的方法．‎ ‎25、（2010•娄底）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，DC=10，AD=BC=5，点M、N分别在AD、BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E、F．‎ ‎（1）求梯形ABCD的面积；‎ ‎（2）探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由；‎ ‎（3）探究二：四边形MNFE能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．‎ 考点：二次函数的最值；正方形的判定；梯形。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）要求梯形ABCD的面积，需先求梯形的高，可作高根据勾股定理易求得；‎ ‎（2）尝试把四边形MNFE的面积用二次函数的形式表达出来，再由二次函数的最值问题讨论；‎ ‎（3）在（2）的基础上，使MN=ME，求解即可．‎ 解答：解：（1）如图，‎ 过点A作AG⊥CD于G，‎ ‎∵AB∥DC，AB=2，DC=10，AD=BC=5，‎ ‎∴DG=（10﹣2）÷2=4，‎ 在Rt△ADG中，AG=AD‎2‎‎﹣‎DG‎2‎‎=‎‎5‎‎2‎‎﹣‎‎4‎‎2‎=3，‎ ‎∴S梯形ABCD=（2+10）×3÷2=18；‎ ‎（2）设MN=x，AG与MN交于点O，‎ ‎∵MN∥CD，‎ ‎∴MN：CD=AO：AG，‎ 即x：10=AO：3，‎ ‎∴AO=0.3x，‎ ‎∴OG=3﹣0.3x，‎ ‎∴S矩形MNFE=x（3﹣0.3x）=3x﹣0.3x2，‎ ‎∵二次项系数小于0，‎ ‎∴四边形MNFE的面积有最大值：[4×（﹣0.3）×0﹣32]÷[4×（﹣0.3）]=7.5；‎ ‎（3）当MN=ME时，四边形MNFE能为正方形．‎ 由（2）可得，ME=OG=3﹣0．x，‎ 则3﹣0.3x=x，‎ 解得x=‎30‎‎13‎，‎ 此时，正方形MNFE的面积为：‎30‎‎13‎‎×‎30‎‎13‎=‎‎900‎‎169‎．‎ 点评：此题考查了梯形的面积、二次函数的最值、正方形的判定等知识点，综合性很强．‎