中考数学专题复习练习：一元二次方程根与系数的关系

中考数学专题复习练习：一元二次方程根与系数的关系

‎ 例1 如果是方程的两个根，不解方程，求的值.‎ 解：∵ 是方程的两根，‎ ‎∴ .‎ 说明 题中没有明确，因此的值可能为正，也可能为负.‎ 例2 不解方程，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各根的2倍大1.‎ 解：设方程的两根是.‎ 则 .‎ 设所求的方程为，它的两根分别是和 则 ‎ ‎ ，‎ ‎∴ 所求作的方程是.‎ 例3 a取何值时，方程，（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数.‎ 分析 满足两根互为相反数的条件是两根和为零，满足两根互为倒数的条件是两极积为1，同时它们又都隐含着有两个不相等的实数根，所以必须满足.‎ 解：设方程的两根是，‎ 则 ‎ ‎（1）依题意，有 由（1）得 .‎ 由（2）得 ，‎ ‎∴ 时，方程两根互为相反数.‎ ‎（2）依题意，得 由（1）得 ，‎ 由（2）得 ，‎ ‎∴ 时，方程两根互为倒数.‎ 说明 方程的两根互为相反数，也可由条件且异号来确定.‎ 例4 已知关于x的方程的两个实数根的平方和是，求m值.‎ 解：设方程的两根是.‎ 则 .‎ 解这个方程，得 ‎.‎ 当时，‎ ‎∴ 舍去.‎ 当时，‎ ‎∴ .‎ 说明 例1、例2都是由两根的情况求方程中的待定系数，情况类似，但解题方法不同，例1是由确定了m的取值范围，然后求出m的值.而例2中的是一个一元二次不等式，为了避开解这个不等式，我们采取了“先求后验”‎ 的方式，即先求出m的值，然后代入判别式去检验.由此看到，同一类型的题目可以有不同的解法，选用什么方法合适，要根据题目的特征来决定.‎ 例5 已知关于x的一元二次方程的两个不等实根的倒数和为S，求S的范围.‎ 分析 题中方程的一般形式为，因此隐含了二次项系数不为零和判别式大于零的条件，挖掘这两个条件求出m的取值范围，就能求两根倒数和S的范围.‎ 解：整理原方程，得 依题意，有 ‎ 解得 且.‎ 设方程的两根为，‎ 则 ‎ 即 .‎ 例 6 关于x的方程 ① 与 ②，若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，求m的值.‎ 分析 利用根与系数的关系，可将方程①的两实根平方和表示为m的代数式.用因式分解法或求根公式可以求出方程②的两根，从而构造关于m的方程，求出m的值.‎ 解：设方程①的两个实数根为，‎ 则 ‎ ‎∴ ‎ 把方程②变形为 解这个方程，得 ‎ 若为整数根，根据题意，得 ‎.‎ 解这个方程，得.‎ 此时不是整数根，不符合题意，舍去.‎ 若为整数根，根据题意，得 ‎.‎ 解这个方程，得.‎ 当时，方程②的是整数，‎ 且，方程①有两个实数根，符合题意.‎ 当时，方程②的不是整数，不符合题意，舍去.‎ ‎∴ .‎ 说明 这是一道综合性较强的题目，它综合运用了解字母系数的一元二次方程，一元二次方程根据的判别式，根与系数的关系等知识及有关概念，解题时不仅要求熟练掌握这些知识而且需要具备方程思想求待定系数、分类讨论思想和检验所求的解是否符合题意的能力.‎ 当求出方程的两根是和后，由于不知道m的取值范围，所以不能盲目地认为是整数根，这两根都有可能是整数，因此应构造两个方程分别求m的值.求出后，还需要有检验的意识，掌握检验的方法，要代入你所假定的整数根去看它是否为整数，注意不是m为整数，也不是方程②的两根或另一根是整数.还应检验方程①是否有两个实数根，符合这两个要求的才是所求的m的值.‎ 典型例题五 例 已知⊙O的面积为，内接于⊙O，abc分别是三角形三个内角A、B、C的对边，且、是方程的两根.‎ ‎（1）判定的形状；‎ ‎（2）求m的值；‎ ‎（3）求的边长.‎ 分析：本题具有一定的综合性，在求解中要运用勾股定理、韦达定理及解直角三角形等知识.‎ 解 （1）由，知是直角三角形，且.‎ ‎（2）由题意，得 ‎ ‎ 由（1）知，是直角三角形且，所以，于是 ‎ ，即 ‎（3）将代入原方程，得 解之，得 .‎ 或.‎ 由圆的面积，求得该圆的半径为1，所以.‎ 解Rt，得或.‎ 说明：一元二次方程的根与系数的关系即韦达定理，在综合应用中要注意与相关知识的联系.‎ 典型例题六 例 实数k取何值时，一元二次方程，‎ ‎（1）有两个正根；‎ ‎（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大；‎ ‎（3）一根大于3，一根小于3.‎ 分析：本题的三个问题分别对根附加了一些限制条件，根据判别式及韦达定理，可列出相应的使k分别满足条件的方程组或不等式组，进而求出k的取值范围.‎ 解 ‎ ‎ ，‎ ‎∴无论k取任何实数，方程都有两个实数根.‎ 设该方程的两根为，则由韦达定理，得 ‎（1）若使应满足条件：‎ ‎∴当时，方程有两个正根.‎ ‎（2）若使且应满足条件：‎ ‎∴当时，两根异号，且正根的绝对值较大.‎ ‎（3）若使应满足条件：‎ ‎，即 ‎.‎ ‎∴当时，方程一根大于3，另一根小于3.‎ 说明：由于本题的一元二次方程的判别式恒大于或等于零，所以，每个条件组里不必考虑或了，否则，每个条件组里都必须考虑的限制条件.‎ 典型例题七 例 （北京市海淀区试题，2002）已知：关于x的方程，①有两个相等的实数根.‎ ‎（1）求证：关于y的方程②必有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式的值.‎ 解：‎ ‎（1）证明：∵方程①有两个相等的实数根，‎ 由方程②，有 ‎∴方程②必有两个不相等的实数根.‎ ‎（2）解法一：由 将代入方程①得 解得 ‎ ‎∵方程①的一根的相反数是方程②的一个根，‎ 由根的定义，得 整理，得 ‎ 即 解法二：由解法一得是方程②的一个根.‎ 设方程②的另一根为.‎ 由根与系数的关系可得 以下同解法一.‎ 解法三：‎ 方程②为 ③‎ ‎∵方程①的一根的相反数是方程②的一个根，设方程②的此根为，‎ ‎∴为方程①的根.‎ 由方程③变形，得 又由解法一可知 ‎ 以下同解法一.‎ 典型例题八 例 (北京市宣武区,2002) 若关于x的一元二次方程的两个实数根、满足关系式：.‎ 判断是否正确.若正确，请加以证明；若不正确，请举一个反例.‎ 证明：∵ 关于x的一元一次方程有两个实数根，‎ ‎∴ ，‎ 即，‎ ‎. ①‎ ‎∵ 、为方程的两个实数根，‎ ‎∴ .‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎ ，‎ ‎∴ ②‎ 把②代入①，得 ‎，‎ ‎∴ .‎ 典型例题九 例 如果方程的一个根是，另一个根是，求的值.‎ 分析：是方程的两根之差，若设，则有，只要求出的值就行了.‎ 解：由题中条件，得 解之，得 ‎ ‎ 另解：将代入方程，得 ‎，‎ 即 ，‎ ‎∴‎ 于是，有 说明：比较上述两种解法，不难看出解法1比较简单，其主要原因是突出了求解的整体性.‎ 典型例题十 例 已知方程的两个实根为且，求的值.‎ 分析：这里仅知，但由，可得出之间的一个等量关系，再利用已知条件，故可列出方程组来解之.‎ 解：根据根与系数的关系及已知条件，有 由（3）得 ‎ ‎ ‎ ‎ 解得 或.‎ 当时，‎ 原方程无实数根，不合题意.‎ 当时，‎ 说明：应用根与系数的关系解有关问题时，必须考虑条件及，否则可能得出错误的结果.‎ 典型例题十一 例 已知一元二次方程的两根之和为p，两根的平方和为q，两根的立方和为r，求的值.‎ 分析：运用韦达定理求解.‎ 解 设方程的两根为，则由韦达定理，得 由已知，得 ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴‎ 说明：上述解法属常规方法，但解题过程较为麻烦，若根据一元二次方程的概念并灵活利用关技巧便会有如下解法.‎ 设方程的两根为，由已知，得 ‎∵是方程的根，代入原方程，得 ‎①×，得 ‎②×，得 ‎③＋④，得即 ‎.‎ 典型例题十二 例 已知关于x的一元二次方程 ‎（1）试证：无论m取任何实数，方程均有两个正根；‎ ‎（2）设为方程的两个根，且满足，求m的值.‎ 分析：欲证方程有两个正根，必须证该方程的判别式，且.‎ ‎（1）证明 ‎ ‎ ‎ 设为方程的两个根，，由韦达定理，得 故无论m为何实数，该方程均有两个正根.‎ ‎（2）解 ∵，‎ ‎，即 ‎.‎ 解之，得或（舍）.‎ ‎.‎ 说明：把根的判别式与韦达定理结合起来，可讨论或判定一元二次方程根的符号，即设一元二次方程为，其判别式，两根为，则该方程有两个正根的条件是：‎ 该方程有两个负根的条件是：‎ 该方程有一正根和一负根的条件是：‎ 若正根的绝对值大，则再加上条件.‎ 若正根的绝对值小，则再加上条件.‎ 若两根互为相反数，则再加上.‎ 典型例题十三 例：在，，斜边，两直角边的长是关于的一元二次方程的两个根，求较小锐角的正弦值。（2002年北京市东城区中考试题）‎ 解：是方程的两个根，‎ ‎ ，‎ ‎ 在，由勾股定理得 ‎ 而，，‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 解关于的方程，得，‎ 是的两条直角边的长，‎ 因此不合题意，舍去。‎ 当时，原方程为 解这个方程，得，。‎ 不妨设，则 ‎ 较小锐角的正弦值为。‎ 选择题 ‎1. 下列方程中，两实数根的和是2的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2. 有两个不相等的实根，且两根异号，其中正根绝对值大的方程是（ ）；‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．若方程的二根为，则代表式的值是（ ）‎ A．6 B．4 C．2 D．－2‎ ‎4．已知是方程的两个根，则的值是（ ）‎ A．1 B．－1 C．±1 D．0‎ ‎5．若是方程的两个根，则的值为（ ）‎ A．－7 B．－1 C． D．‎ ‎6. 以和为根的一元二次方程是（ ）；‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．已知和是方程的两个实数根，则的值是（ ）‎ A．－7 B． C． D．7‎ ‎8．一元二次方程的两根为3、4，那么二次三项式可分解为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．方程所有根的乘积等于（ ）‎ A．－18 B．18 C．－3 D．3‎ ‎10．若方程的两个实数根为，则的值是（ ）‎ A．2 B．－2 C．6 D．－6‎ ‎11．如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一根，那么的值等于（ ）‎ A．1或2 B．0或－3 C．－1或－2 D．0或3‎ ‎12．已知方程有一个正根，一个负根，那么（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎13．若一元二次方程无实数根，是一次函数过（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎14. 关于x的方程的两实根满足，则的值是（ ）。‎ A．－5 B．5 C．－9 D．－15.‎ 答案：‎ ‎1. B； 2. C；3．A 4．B 5．A ;6 .C； 7．B 8．C 9．A 10．D 11．D 12．D 13．A . 14. A.‎ ‎ ‎ 填空题 ‎1．已知方程的两根是，则；‎ ‎2．已知关于x的方程，则，另一根是 ；‎ ‎3．一元二次方程的一个根是非，则它的另一根是 ，；‎ ‎4．是方程的两根，则；‎ ‎5．已知是方程的两个实数根，则的值为_______‎ ‎6．若是方程的两个根，且，则m＝ ______.‎ ‎7．已知是方程的两个根，那么的值是________.‎ ‎8．已知关于x的方程的两个实数根的平方和等于3，则m＝________.‎ ‎9．以1和－3为两根的一元二次方程为________.‎ ‎10．设方程的两极分别为为根的一元二次方程是_______.‎ ‎11．两数和等于8，积等于6，这两数分别是 和 ；‎ ‎12．关于x的方程的两根之和与两根之积相等，则；‎ ‎13．一元二次方程的两实根之差是3，则；‎ ‎14．关于x的方程的两实根的平方和是11，则.‎ ‎15．如果关于x的方程的两根分虽是，那么二次三项式分解因式的结果是_________.‎ ‎16．在一元二次方程若系数b、c可在1，2，3，4，5，6中取值，则其中有实数解的方程个数是_________.‎ 答案 ‎1．；2.； 3.； 4. 9，；5．0 6．1 7． 8．－1 9． 10． 11. ；12. －1；13. 4；14. 或1. 15． 16．19 .‎ 答案：‎ 解答题 ‎1. 设是方程的两根，不解方程，求下列各式的值：‎ ‎①；②；③；④.‎ ‎2. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程的两根的平方.‎ ‎3. 已知一元二次方程的两根分别是，求的值.‎ ‎4．已知方程的两根之比为，求的值。‎ ‎5. 已知关于x的方程，根据下列条件，分别求出m的值：①两根互为相反数；②两根互为倒数；③有一根为零；④有一根为1.‎ ‎6.已知是关于x的方程的两个实根，且，求m的值.‎ ‎7. 已知是关于x的方程的两个实根，k取什么值时，.‎ ‎8. 当k为何值时，一元二次方程的两实根的绝对值相等，求出与k值相应的实数根.‎ ‎9. 已知关于x的方程有两个正实根，求k的取值范围.‎ ‎10．若矩形的长和宽是方程的两根，求矩形的周长和面积。‎ ‎11．若方程的两根的绝对值相等，求的值及这个方程的根。‎ ‎12．已知方程 ‎（1）求证方程必有相异实根 ‎（2）取何值时，方程有两个正根 ‎（3）取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？‎ ‎（4）取何值时，方程有一根为零？‎ 答案 ‎1.①；②；③；④；2. ；3. 或；4． ;5. ①；②；③；④1或3；6. ；7. －3；8. 时，时，时，；9.（提示：需，两根和大于0，两根积也大于0）.10．周长，面积6 . 11．，‎ ‎12．（1）（2）（3）（4）‎ 答案:‎