中考数学专题复习练习：二次函数综合练习

中考数学专题复习练习：二次函数综合练习

开始 y与x的关系式 结束 输入x 输出y ‎ 1.按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：‎ ‎（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；‎ ‎（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。‎ ‎（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；‎ ‎（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k　(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要 求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）‎ ‎2. 如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．‎ ‎（1）求抛物线的对称轴；‎ ‎（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；‎ ‎（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．‎ A C B y x ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3.如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，点P是它的 顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．‎ ‎(1)求、的值；‎ ‎(2）求直线PC的解析式；‎ ‎(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线 PC的位置关系，并说明理由．(参考数：，，)‎ ‎4.如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．‎ ‎（1）求抛物线解析式及顶点坐标；‎ ‎（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？‎ ‎②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎5. 已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是 ‎，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设秒后，直线PQ交OB于点D.‎ ‎（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；‎ ‎（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）当时，求t的值及此时直线PQ的解析式；‎ ‎（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与不相似？请给出你的结论，并加以证明.‎ B A D P O Q x C y ‎6.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．‎ ‎(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；‎ ‎(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；‎ 图1‎ ‎(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．‎ 图2‎ ‎7. 如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线 与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．‎ ‎（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；‎ ‎（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；‎ ‎（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎8. 如图所示，在平面直角坐标系内，点A和点C的坐标分别为(4，8)、(0，5)，过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y＝kx＋b平行于AC，与AB相交于点E，连结CD，过点E作EF∥CD交AC于点F。‎ ‎(1)求经过A、C两点的直线的解析式；‎ ‎(2)当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF成为矩形？若能，求出此时k、－b的指；若不能，请说明理由；‎ ‎(3)如果将直线AC作上下平移，交y轴于C’，交AB于A’，连结DC’，过点E作EF’∥DC’，交A’C’于F’，那么能否使四边形C’DEF’为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由。‎ ‎9.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于两点．‎ ‎（1）求线段的长．‎ ‎（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？‎ ‎（3）如图2，线段的垂直平分线分别交轴、轴于两点，垂足为点，分别求出的长，并验证等式是否成立．‎ ‎（4）如图3，在中，，，垂足为，设，，．，试说明：．‎ 图3‎ 图1‎ 图2‎ ‎10. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，）．将 绕AC的中点旋转1800，点O落到点B的位置．抛物线经过点A，点D是该抛物线的顶点． ‎ ‎(1) 求a的值，点B的坐标；‎ ‎(2) 若点P是线段OA上一点，且，求点P的坐标；‎ ‎(3) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上．写出点P的坐标(直接写出答案即可)．‎ ‎11.已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）若抛物线（≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；‎ ‎（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 注：抛物线（≠0）的顶点坐标为，对称轴公式为 ‎12.四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．‎ ‎(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点． ‎ ‎(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．‎ ‎(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．‎ ‎(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．‎ ‎9. 实验与探究 ‎（1）在图1，2，3中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点的坐标，它们分别是 ， ， ；‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ 图4‎ ‎（2）在图4中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），求出顶点的坐标（点坐标用含的代数式表示）；‎ 归纳与发现 ‎（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为（如图4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为 ；纵坐标之间的等量关系为 （不必证明）；‎ 运用与推广 ‎（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点，（其中）．问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点坐标．‎ ‎ 已知二次函数的图像与x轴相交于点，顶点B的纵坐标是－3.‎ ‎（1）求此二次函数的解析式；‎ ‎（2）若一次函数的图像与x的轴相交于，且经过此二次函数的图像的顶点B，当时，‎ ‎（ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（ⅱ）求（O为坐标原点）面积的最小值与最大值.‎ 已知二次函数的图像如图所示.（1）试确定 的符号；（2）求的值；（3）求的面积；（4）若，求之间的关系.‎ 如图所示，直线AB是一次函数的图像，直线AC是一次函数的图像（）.（1）用表示A点坐标；（2）若的面积为12，且A点在抛物线上，求直线AB与AC的函数解析式.‎ 如图，一根杠高2．‎2米，两立柱之间的距离为1．‎6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状．‎ ‎（1）一身高0．‎7米的小孩站在离立柱0．‎4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；‎ ‎（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0．‎4米的木板，除掉系木板用去绳子后，两边的绳长正好各为‎2米，木板与地面平行．求这时木板到地面的距离（供选用数据：）．‎ 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出‎500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少‎10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：‎ ‎ （1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；‎ ‎ （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；‎ ‎（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？‎ 例 （安徽省试题，2002）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：分）之间 满足函数关系：‎ ‎ （）‎ 值越大，表示接受能力越强．‎ ‎ （1）在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力 逐步降低？‎ ‎ （2）第10分时，学生的接受能力是多少？‎ ‎（3）第几分时，学生的接受能力最强？‎ 如图所示，已知抛物与x轴负半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，求抛物线的解析式和它的顶点坐标 例 如图,在同一直角坐标系内,如果轴与一次函数的图象以及分别过(1,0)、（4，0）两点，平行于轴的两条直线所围成的图形ABCD的面积为7.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求过F、C、D三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动（P点不重合于C点），过P点作直线交EF于Q、交抛物线（2）于点M.当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围；‎ ‎（4）问是否存在这样的t值，使得？若存在，求出此t值；若不存在，说明理由.‎ 已知二次函数的图象经过点A(-3,6)，并与轴交于B、C两点（点B在C的左边），P为它的顶点.‎ ‎（1）试确定的值；‎ ‎（2）设点D为线段OC上的一点，且满足，求直线AD的解析式；‎ ‎（3）在轴的正半轴上是否存在点M，使为等腰三角形，若存在，求出所有满足条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由.‎ 已知：以直线为对称轴的抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），且经过点和. 点在抛物线的顶点的右侧的半支上（包括顶点），在轴上有一点使是等腰三角形，. ‎ ‎（1）若是直角，求点的坐标；‎ ‎（2）当点移动时，过点作轴的垂线，交直线于点，设的面积为，求关于的函数解析式和自变量的取值范围，并画出它的图象.‎ 已知：二次函数的图象与y轴交于点C，且x轴的正半轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．若A、B两点的横坐标为整数，‎ ‎（1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；‎ ‎（2）若点D的坐标是（0，6），点P（t，0）是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合，设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长，再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）．‎ 已知：抛物线的顶点在坐标轴上.‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）当时，该抛物线与直线交于A、B两点，且A点在B点左侧，求点A和点B的坐标；‎ ‎（3）P为（2）中线段AB上的点（A、B两端点除外），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q.线段AB上是否存在点P，使PQ的长等于6，若存在，请求出P点坐标；若不存在，说明理由.‎