中考数学专题复习练习：等腰三角形的性质

中考数学专题复习练习：等腰三角形的性质

例01．如图，已知：在中，，，求各内角的度数. ‎ 分析：因为是等腰三角形，因此，，所以只要求出的度数，就可以求出的度数. 根据三角形内角和定理，又可求出的度数. ‎ 解答：∵和是邻补角，又，‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ，∴（等边对等角）‎ ‎∴ ‎ 说明：在等腰三角形中，两个底角相等，内角和为，所以只要知道等腰三角形的一个内角，就很容易求出它的另外两个角. ‎ 例02．如图，已知：在中，，BD和CE是AC和AB边上的中线. ‎ 求证：. ‎ 分析：欲证，就要证明. 或证明. ‎ 证明：在中，‎ ‎∵ ，BD和CE是中线，‎ ‎∴ . ‎ 在和中，‎ ‎∴ . ‎ ‎∴ . ‎ 说明：三角形中，如果有两边相等，就有对应的两个角相等，我们可以根据这些特点找出一些全等的关系，得出相应的对应线段或对应角相等的关系. ‎ 例03．如图，已知：在中，如果，. ‎ 求证：AE平分的外角. ‎ 分析：要证AE平分，即证，又因为是的外角，因此有，所以，只需证即可. 则由平行线的性质很快就能证出. ‎ 证明：∵（已知），‎ ‎∴ （等边对等角）‎ 又∵， ‎ ‎∴. ‎ ‎∵（已知），‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴AE平分. ‎ 说明：在等腰三角形中，角平分线，平行线往往同时出现. 而有等腰、角平分线，就可能出现平行，有平分线和等腰就可能出现角平分线，同样，有角平分线和平行线往往会构成等腰三角形. ‎ 例04．如图，中，，D是AC上一点，且，求的度数. ‎ 分析 题中只给出了一些相等的线段，要求的度数，首先要把三角形中的边相等转化为角相等：，可见，在中，. 由内角和定理可求出，‎ 解答 因为，‎ 所以，. ‎ 所以. ‎ 设，则，.‎ 在中，‎ 解得. 所以. ‎ 说明 在计算角的度数的题目中，若给出较多的等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质，找出图中某个三角形的各内角与未知数之间的关系，再利用三角形内角和定理，将“形”的总是转化为“方程”问题来解决. ‎ 例05．已知：如图，D、E分别为等边的边BC、AC上的点，且，BE、AD相交于点F. ‎ 求证：. ‎ 分析 要证，而等边的每个内角都等于，所以只要证明它与的一个内角相等，又由，而，所以只要证明. ‎ 解答 因为为等边三角形（已知），所以，. ‎ 在和中，‎ 所以，所以. ‎ 因为（外角定理）‎ 所以. ‎ 说明 本题亦可证明. ‎ 等边三角形的每个内角都等于，每条边都相等，是题目中的隐含条件，解题时要注意. ‎ 例06．如图，中，，E在AC上，且，DE的延长线与BC相交于F. ‎ 求证：. ‎ 分析 要证明，只要证明，也就是证明 ‎，而，. ‎ 解答 ∵，‎ ‎∴. ‎ ‎∴. ‎ 又∵在中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴. ‎ 说明 要证明，也就是要证明DF与等腰的底边BC垂直. 可以作底边BC上的高AG，然后再证明. 如下图. ‎ 例07．已知：如图，，BD平分，且. ‎ 求证：. ‎ 分析 与不在同一个三角形内，也没有直接的联系，为了证明，需要将它们搬到一块，看看是否能构成平角. 这种搬动的方法有好几种. ‎ 解答一 如图，‎ ‎∵BD平分，‎ ‎∴. ‎ 在BC上取，连结DE. ‎ 在中，‎ ‎∴（边角边）‎ ‎∴，（全等三角形对应角、对应边相等）‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴（等边对等角），‎ ‎∴‎ 解答二 如下图，延长BA到F，使，连结DF. ‎ ‎∵BD平分，‎ ‎∴. ‎ 在和中，‎ ‎∴，‎ ‎∴，（全等三角形对应角、对应边相等）‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴. ‎ 说明 在等腰三角形中，经常添加的辅助线是底边上的高或底边上的中线或顶角的平分线.‎ 本题还可以有下面的一些搬动和的方法，如下图. ‎ 过点D作于F，于E. 再证，然后证明. ‎ 也可以过点A作交BC、BD于G、H，连结DG. 再证，然后证明. ‎ 例08．已知：如图，D、E分别为等边的边BC、AC上的点，且，连结BE、AD交于F，‎ 求证：. ‎ 分析：要证，由等边三角形知它的内角都等于，故只须证它与的一个内角相等，又. 而知，而只需证即可. ‎ 证明：∵为等边三角形（已知）‎ ‎∴‎ ‎ （等边三角形的定义）‎ 在和中 ‎∴‎ ‎∴（全等三角形的对应角相等）‎ ‎∵（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 例09．已知：如图，在中，，. ‎ 求证：. ‎ 分析：已知，出现2倍角，作辅助线，使2倍角为等腰三角形的顶角的外角，故可作延长AB到E，使，再连结ED，同时通过证全等三角形，使，而，得到证明结论. ‎ 证明：延长AB至E，使，连DE 则（等边对等角）‎ ‎∵ （三角形的一个外角等于它不相邻两内角的和）‎ ‎∴ ‎ ‎∵（已知）‎ ‎∴‎ 在和中 ‎∴‎ ‎∴（全等三角形的对应边相等）‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 即 例10．已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为和两部分，求，它的三边长. ‎ 分析：在中，. BD是中线，BD把周长分为和两部分，有可能是，也可能是. 所以要分两种情况进行讨论. ‎ 解答：在中，设. BD是它的中线，根据题意，设腰长为，底边长为，则有：‎ 或 解这两个方程组得：‎ 或 ‎∴ 的三边长，或，. ‎ 说明：在一个等腰三角形没有注明哪条边是腰，哪条边是底的情况下，要注意讨论，看一看各种条件是否符合题意. ‎ 例11．如图，已知：D，E是的BC边上的两点，并且. ‎ 求的度数. ‎ 分析：由可知三角形ADE是等边三角形，而和是等腰三角形，可根据等腰三角形等边对等角的性质求出相关的角的度数. ‎ 解答：∵，（已知）‎ ‎∴ 是等边三角形. ∴ ‎ 又∵ ，∴ . ‎ 而 ，∴ .‎ 同理可得，∴‎ 说明：在一个图形中，有时出现不止一个等腰三角形，可以由每个等腰三角形中的两个底角相等，找出相应的一些角的关系，利用三角形内角和定理，进一步求出有关角的度数. ‎ 例12．如图，已知：和都是等边三角形，B、C、D在同一直线上. ‎ 求证：. ‎ 分析：本期若用截取法，补短法都不易证出. 但. 即要证. 由此想到和是否全等. 由已知条件容易得出. 于是此题得证. ‎ 证明：∵和是等边三角形，‎ ‎∴ ，. （等边三角形的定义）‎ ‎∴ ，即. ‎ 在与中，‎ ‎∴‎ ‎∴（全等三角形的对应边相等）‎ ‎∴ ‎ 又∵ （等边三角形的定义），‎ ‎∴.‎ ‎ 即. ‎ 说明：在含有等边三角形或等腰三角形中，要证两条线段之和等于第三条线段时，除了可以采用截取法，补短法之外，还可以通过相等的边，对要证的式子作适当变形，证出它的正确性. ‎ 例13．如图，已知：在中，E是AB延长线上的一点，，AD平分，. ‎ 求证：. ‎ 分析：注意到题中所给条件，所以有，而是的外角，所以. 所以欲证，只需证即可. 那么要证，就要证明，题中已给出了的条件. ‎ 证明：在和中，‎ ‎∴‎ ‎∴ （全等三角形的对应角相等）‎ 又∵（已知）， ‎ ‎∴（等边对等角）‎ 而（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）‎ ‎∴‎ 例14 ‎ 分析：注意到题中所给的条件AB＝AC，得到三角形为等腰三角形。利用等腰三角形的性质对问题（1）可得；对问题（2）考虑到所给这个角可能是顶角也可能是底角；对问题（3）由三角形内角和为可得此等腰三角形的顶角只能为这一种情况。‎ 略解：（1）（2）另外两内角分别为：（3）‎ 说明：通过题目中的（2）、（3）渗透分类思想，训练思维的严密性。‎ 例15 已知：如图，D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB，DBP＝DBC 求证：P＝‎ 分析：要求出P的度数，直接求出较难，根据已知AB＝BP＝BC，BD为公共边，‎ DBP＝DBC，所以，△BPD≌△BCD，因此考虑连结CD，因此可将P转化成与之对应的等角BCD，将求P的度数变成求BCD的度数，由已知易证△BPD≌△ADC，于是BCD＝ACD＝C＝，得P＝‎ 证明：连结OC 在△BPD和△BCD中 在△ADC和△BCD中 ‎ ‎ 因此，P＝‎ 说明：本题证明的关键是辅助线CD，利用三角形全等得到P的等角。‎ 例16 求证：等腰三角形两腰上中线的交点到底边两端点的距离相等 分析：按解文字证明题的三个步骤：（1）画图；（2）写出已知，求证；（3）书写证明过程分别进行。‎ 已知：如图，AB＝AC，BD、CE分别为AC边、AB边的中线，它们相交于F点 求证：BF＝CF 分析：为证等量，考虑全等，即可先证△ABD≌△ACE得1＝2，再证△BEF≌△CDF 证明：‎ ‎∵BD、CE是△ABC的两条中线，AB＝AC ‎∴AD＝AE，BE＝CD A B C D E F ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 在△ABD和△ACE中 ‎∴△ABD≌△ACE ‎∴1＝2‎ 在△BEF和△CED中 ‎∴△BEF≌△CED ‎∴BF＝FC 说明：此题为文字证明题，首先做好转化工作，文字语言图形化、图形语言式子化，即依题意画出恰当的几何图形，再写出已知、求证，注意画图要具有代表性，切忌以特殊代替一般，而几何语言要精练，能用几何式子表达的不要用文字语言，最后再在认真分析做题思路的基础上，写出证明过程。‎ 例17.已知：如图，在中，AB=AC，于D，求证：. ‎ 分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意、图形，观察已知角、边间的特殊性. 是等腰三角形的顶角，因此较容易找到它的半角. 从而转化为两角间的相等关系. ‎ 证明：过点A作于E. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 即 小结：作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系，因此添加底边的高是一条常用的辅助线. ‎ 选择题 ‎1．选择题 ‎（1）等腰三角形中的一个角等于，则另两个内角的度数分别为（ ）‎ ‎（A）， （B），‎ ‎（C）， （D），或，‎ ‎（2）等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个内角分别为（ ）‎ ‎（A），， （B），，‎ ‎（C），， （D），，或，，‎ ‎（3）如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大，那么顶角为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）‎ ‎（A）顶角 （B）顶角的一半 ‎ ‎（C）顶角的2倍 （D）底角的一半 ‎（5）在下列命题中，正确的是（ ）‎ ‎（A）等腰三角形是锐角三角形 ‎（B）等腰三角形两腰上的高相等 ‎（C）两个等腰直角三角形全等 ‎（D）等腰三角形的角平分线是中线 ‎（6）已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）或 ‎（7）已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）或 ‎（8）在中，，若的周长为24，则 的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（9）在中，，若的周长为24，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（10）三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（ ）‎ ‎（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 ‎（C）等腰三角形 （D）等边三角形 ‎（11）如图，已知.那么（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（12）等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为.则腰长为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C）或 （D）以上答案都不对 ‎（13）等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（ ）‎ ‎（A）底角大于相邻外角 （B）底角小于或等于相邻外角 ‎（C）底角大于或等于相邻外角 （D）底角小于相邻外角 ‎（14）已知的周长为，且，又，D为垂足，的周长为，那么AD的长为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 参考答案：‎ ‎1．选择题 ‎（1）A （2）D （3）D （4）B （5）B （6）D （7）C ‎ ‎（8）C （9）C （10）C （11）D （12）B （13）D （14）C 填空题 ‎1．填空题 ‎（1）等边三角形的三个内角的度数分别为_______.‎ ‎（2）有一个底角为的等腰三角形的另外两个角的度数分别为________.‎ ‎（3）顶角为的等腰三角形的另外两个内角的度数分别为_______.‎ ‎（4）有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.‎ ‎（5）有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.‎ ‎（6）如果中，，它的两边长为和，那么它的周长为________.‎ ‎（7）如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为，那么它的三边长为______.‎ ‎（8）如果等腰三角形的周长为，那么它的底边的取值范围是_______.‎ ‎（9）等边三角形的两条中线相交所成的钝角的度数是________.‎ ‎（10）已知等腰三角形的一个顶角与一个底角的和为，则其顶角的度数为______.‎ ‎（11）等边三角形的周长为，则它的边长为________.‎ ‎（12）在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度.‎ ‎（13）如图，，交BC于点D，，那么BC的长为_________.‎ ‎（14）如图，在中，，BD是的角平分线，且，，则_______.‎ ‎（15）如图，在中，D是AC上的一点，且，，则_______，______，________.‎ 参考答案：‎ ‎1．填空题 ‎（1），， （2）， （3）， ‎ ‎（4），或， （5）， （6）‎ ‎（7）或 （8） （9）‎ ‎（10） （11） （12）90；36 （13） （14） （15）；；‎ 解答题 ‎1．计算题 ‎（1）如图，已知：在中，，，BD是的角平分线，‎ 求的度数.‎ ‎（2）如图，已知：在中，，，BD是的高，‎ 求的度数.‎ ‎（3）如图，已知：在中，，，，‎ 求的度数.‎ ‎（4）如图，已知：在中，D是AC上一点，且，.‎ 求：的度数.‎ ‎（5）如图，已知：在中, ，CD平分交AB于D点，若 ‎.‎ 求：的度数.‎ ‎（6）如图，已知：在等边三角形ABC中，D、E分别在AB和AC上，且，BE和CD相交于点P.‎ 求：的度数.‎ ‎（7）如图，已知：在中，，，点O在内，且，‎ 求：的度数.‎ ‎（8）如图，已知：在中，，，，.‎ 求：的度数.‎ ‎（9）如图，已知：在中，，.‎ 求：的度数.‎ 参考答案：‎ ‎1．计算题 ‎（1）解：由，，得.∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由，得又∵，‎ ‎∴‎ ‎（3）解：由条件易得，，，‎ 且 ‎∴，又 ‎∴ ∴‎ ‎（4）解：，∴，，∴‎ ‎（5）解：，∴，∴‎ ‎（6）解：易证，‎ ‎∴.‎ ‎（7）解：∵，∴‎ ‎∴‎ ‎（8）解：由已知条件易证.∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎（9）解：，‎ ‎ ‎ 解答题 ‎1．证明题 ‎（1）如图，已知：在中，，BD和CE是两腰上的高.‎ 求证：.‎ ‎（2）如图，已知：在中，，D为BC中点，于E，于F.‎ 求证：.‎ ‎（3）如图，已知：在中，，D、E分别为AB、AC的中点，于F，于G.‎ 求证：.‎ ‎（4）如图，已知：AD是的角平分线，且交AC于点F.‎ 求证：CE平分.‎ ‎（5）如图，已知：在中，，D为AC上任意一点，延长BA到E，使，连结DE.‎ 求证：.‎ ‎（6）如图，已知：在中，D为BC延长线上一点，且，F为AD中点，且CE平分交AB于E.‎ 求证：.‎ 参考答案 ‎1．选择题 ‎（1）证明：∵ ∴.BC是公共边，‎ ‎∴易证 ∴‎ ‎（2）证明：∵∴，又∵，‎ 易证 ∴‎ ‎（3）证明：∵，∴，，‎ ‎∴易证，∴‎ ‎（4）证明：由已知条件易证，∴，∴.‎ 又∵ ∴， ∴EC平分.‎ ‎（5）证明：作的角平分线AF交BC于点F，则 ‎∵ ∴，∵，∴， ‎ 又∵.∴，∴.∴‎ ‎（6）证明：∵，F为D中点，∴CF同时为的角平分线，‎ ‎∴，∴‎ 解答题 ‎1.证明题 ‎（1）如图，已知：和都是等边三角形.‎ 求证：.‎ ‎（2）如图，已知：是等边三角形，分别在AC、BC边上取点E、F，使，BE、AF相交于点D.‎ 求证：.‎ ‎（3）如图，已知：，AD的延长线交BC于点E.‎ 求证：.‎ ‎（4）如图，已知：，AB与CD相交于O点.‎ 求证：.‎ ‎（5）如图，已知：在中，，B是AD上一点，交CD于E，.‎ 求证：.‎ ‎（6）如图，已知：在中，，E是AD上一点，并且.‎ 求证：.‎ 参考答案 ‎1．选择题 ‎（1）证明：由已知条件易证，∴.‎ ‎（2）证明：由已知条件易证，∴，‎ ‎∴‎ ‎（3）证明：由已知条件易证，∴AE为的角平分线，‎ 又∵，∴AE同时为的高，即.‎ ‎（4）证明：由已知条件易证，∴AB为的角平分线，‎ 又∵，∴ AB同时为的高，即.‎ ‎（5）证明：作于点F，则∵，∴ AF同时为的中线，‎ 即.由已知条件易证，∴.即.‎ ‎（6）证明：由已知条件易证，∴，‎ ‎∴.‎ 习题精选：‎ ‎1、下列命题中，假命题是（　　）‎ A、 等腰三角形被底边上的中线分成的两个三角形全等 B、 底边相等的两个等腰直角三角形全等 C、 高相等的两个等边三角形全等 D、腰相等的两个等腰三角形全等 A B C E F 图1‎ ‎2、如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有（　　　）‎ A、 ‎2对　B、3对　C、4对　D、5对 ‎3、在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，‎ 则AB的长为（　　）‎ D A、20　B、16　C、16或20　D、以上都不对 A B D E C ‎4、如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30，AD=AE，则∠EDC=（ ）‎ AAA A．10 B.12.5 C.15 D.20‎ ‎5、等腰三角形的一个底角是50，则它的顶角是＿＿＿‎ 图2‎ ‎6、等腰三角形的顶角是80，则它的一个底角为 ＿＿＿＿‎ A D C E B M N 图3‎ ‎7、如图3，已知点C在线段AB上，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形CBE，AE交CD于M，BD交CE于N求证：CM=CN。‎ F B A C E D ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 图4‎ ‎8、如图4，在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，∠ABC的平分线AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD=2CE ‎9、如图5，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，‎ A B D C E 图5‎ AC=AB+AD，求证：∠B=2∠C 答案：‎ 1、 D；2、B；3、B；4、C；5、；6、；‎ ‎7、提示：‎ 先证△ACE≌△DCB（SAS），‎ 再证△CEM≌△CBN（ASA）。‎ ‎8、证明：‎ ‎∵∠1=∠2，BE⊥CF ‎∴CE=FC（等腰三角形中三线合一），‎ ‎∵BE⊥CF ‎∴∠FEB=90‎ ‎∴∠1=90—∠F 又∵∠BAC=90‎ ‎∴∠3=90—∠E ‎∴∠1=∠3（等量代换）‎ 在Rt△BDA和Rt△CFA中，‎ ‎∴Rt△BDA≌Rt△CFA（ASA）‎ ‎∴BD=FC（全等三角形对应边相等）‎ ‎∴BD=2CE ‎9、证明：在AE上截取AE=AB，连接DE，‎ ‎∵AD是△ABC的角平分线，‎ ‎∴∠BAD=EAD（角平分线定义）‎ 在△ABD和△AED中，‎ ‎∴△ABD≌△AED（SAS）‎ ‎∴∠ABD=∠AED（全等三角形对应角相等）‎ ‎∴BD=ED（全等三角形对应边相等）‎ ‎∵BD=AC—AB=AC—AE=CE ‎∴ED=CE ‎∴∠EDC=∠C（等边对等角）‎ ‎∴∠AED=∠EDC+∠C（三角形外角等于不相邻两内角之和）‎ ‎∴∠B=2∠C