2021年中考数学专题复习 专题19 解直角三角形问题（教师版含解析）

2021年中考数学专题复习 专题19 解直角三角形问题（教师版含解析）

专题 19 解直角三角形问题 一、勾股定理和勾股定理逆定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2=c2。 2．勾股定理逆定理：如果三角形三边长 a,b,c 满足 a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。 二、直角三角形的判定及性质 1.直角三角形的判定 (1)有一个角等于 90°的三角形是直角三角形； (2)两锐角互余的三角形是直角三角形； (3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形； (4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。 2.直角三角形的性质 (1)直角三角形的两锐角互余； (2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方； (3)直角三角形中 30°角所对直角边等于斜边的一半； (4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 三、各种锐角三角函数的定义 1．正弦：在 △ ABC 中，∠C=90°把锐角 A 的对边与斜边的比值叫做∠A 的正弦，记作 sinA＝ ∠A 的对边 斜边 。 2．余弦：在 △ ABC 中，∠C=90°，把锐角 A 的邻边与斜边比值的叫做∠A 的余弦，记作 cosA＝ ∠A 的邻边 斜边 。 3．正切：在 △ ABC 中，∠C=90°，把锐角 A 的对边与邻边的比值叫做∠A 的正切，记作 tanA＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边 。 四、解直角三角形问题类型 1．解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三 角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2．解直角 三角形的 理论依据： 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C=90°，∠ A，∠B， ∠C 所 对 的边分别 为 a，b，c (1)三边之间的关系： 222 cba  (勾股定理) (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系： b aBa bBc aBc bBa bAb aAc bAc aA  cot,tan,cos,sin;cot,tan,cos,sin b aBa bBc aBc bBa bAb aAc bAc aA  cot,tan,cos,sin;cot,tan,cos,sin 3. 解直角三角形类型总结表格 类型 已知条件 解法 两边 两直角边 a、b c= 2 2a b ，tanA= a b ，∠B=90°-∠A 一直角边 a，斜边 c b= 2 2c a ，sinA= a c ，∠B=90°-∠A 一边 一锐角 一直角边 a，锐角 A ∠B=90°-∠A，b=a·cotA，c= sin a A 斜边 c，锐角 A ∠B=90°-∠A，a=c·sinA， b=c·cosA 五、特殊值的三角函数 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 2 1 2 2 2 3 1 cosα 1 2 3 2 2 2 1 0 tanα 0 3 3 1 3 不存在 cotα 不存在 3 1 3 3 0 六、仰角、俯角、坡度 1．仰角：视线在水平线上方的角； 2．俯角：视线在水平线下方的角。 3．坡度(坡比)：坡面的铅直高度 h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即 hi l  。把坡面与水 平面的夹角记作 (叫做坡角)，那么 tanhi l   。 :i h lh l α 七、各锐角三角函数之间的关系 (1)互余关系 sinA=cos(90°—A)， cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)， cotA=tan(90°—A) (2)平方关系 1cossin 22  AA (3)倒数关系 tanA  tan(90°—A)=1 (4)弦切关系 tanA= A A cos sin 八、锐角三角函数的增减性 当角度在 0°~90°之间变化时， (1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) (2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) (3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) (4)余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 【例题 1】(2020•陕西)如图，在 3×3 的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，若 BD 是 △ ABC 的高，则 BD 的长为( ) A． R B． C． D． 【答案】D 【解析】根据勾股定理计算 AC 的长，利用面积差可得三角形 ABC 的面积，由三角形的面积公式即可得到 结论． 由勾股定理得：AC ， ∵S △ ABC＝3×3 3.5， ∴ ㌳ ， ∴ ㌳ ， ∴BD 【对点练习】(2020 贵州黔西南)如图所示，在 Rt △ ABC 中，∠C＝90°，点 D 在线段 BC 上，且∠B＝30°， ∠ADC＝60°，BC＝3 3 ，则 BD 的长度为________． 【答案】 2 3 【解析】首先证明 DB=AD=2CD，然后再由条件 BC=3 3 可得答案． 解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°， ∴∠DAC＝30°， ∴CD＝ 1 2 AD． ∵∠B＝30°，∠ADC＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴BD＝AD， ∴BD＝2CD． ∵BC＝3 3 ， ∴CD＋2CD＝3 3 ， ∴CD＝ 3 ， ∴DB＝ 2 3 ， 【点拨】此题主要考查了含 30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边 等于斜边的一半． 【例题 2】(2020•凉山州)如图所示， △ ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 tanA 的值为( ) A． B． C．2 D．2 【答案】A 【解析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求 AD、BD，再根据三角函数的意义可求出 tanA 的值． 如图，连接 BD，由网格的特点可得，BD⊥AC， AD 2 ，BD ， ∴tanA ㌳ ㌳ 【对点练习】(2020•扬州)如图，由边长为 1 的小正方形构成的网格中，点 A、B、C 都在格点上，以 AB 为 直径的圆经过点 C、D，则 sin∠ADC 的值为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先根据圆周角定理可知，∠ADC＝∠ABC，然后在 Rt △ ACB 中，根据锐角三角函数的定义求出 ∠ABC 的正弦值． 如图，连接 BC． ∵∠ADC 和∠ABC 所对的弧长都是 ， ∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC． 在 Rt △ ACB 中，根据锐角三角函数的定义知， sin∠ABC ， ∵AC＝2，BC＝3， ∴AB ， ∴sin∠ABC ， ∴sin∠ADC ． 【例题 3】(2020•荆门)如图，海岛 B 在海岛 A 的北偏东 30 方向，且与海岛 A 相距 20 海里，一艘渔船从海 岛 B 出发，以 5 海里/时的速度沿北偏东 75°方向航行，同时一艘快艇从海岛 A 出发，向正东方向航行．2 小时后，快艇到达 C 处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的 E 处． (1)求∠ABE 的度数； (2)求快艇的速度及 C，E 之间的距离． (参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27， 1.73) 【答案】见解析。 【分析】(1)过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，作 BF⊥CE 于点 E，由平行线的性质得出∠ABD＝∠NAB＝30°，求 出∠DBE＝105°，则可得出答案； (2)在 Rt △ BEF 中，解直角三角形求出 EF，BF，在 Rt △ ABD 中，解直角三角形求出 AD，BD，证明四边形 BDCF 为矩形，得出 DC，FC，求出 CE 的长，则可得出答案． 【解析】(1)过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，作 BF⊥CE 于点 E， 由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°， ∵AN∥BD， ∴∠ABD＝∠NAB＝30°， 而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°， ∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°； (2)BE＝5×2＝10(海里)， 在 Rt △ BEF 中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°， ∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6(海里)， BF＝BE×cos15°≈10×0.97＝9.7(海里)， 在 Rt △ ABD 中，AB＝20，∠ABD＝30°， ∴AD＝AB×sin30°＝20 10(海里)， BD＝AB×cos30°＝20 10 10×1.73＝17.3， ∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC， ∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°， ∴四边形 BDCF 为矩形， ∴DC＝BF﹣9.7，FC＝BD＝17.3， ∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7， CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9， 设快艇的速度为 v，则 v 9.85(海里/小时)． 答：快艇的速度为 9.85 海里/小时，C，E 之间的距离为 19.9 海里． 【对点练习】(2019•浙江宁波)如图，某海防哨所 O 发现在它的西北方向，距离哨所 400 米的 A 处有一艘船 向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 60°方向的 B 处，则此时这艘船与哨所的距离 OB 约为 多少米．(精确到 1 米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732) 【答案】456 【解析】考查了解直角三角形的应用﹣方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题， 将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 通过解直角 △ OAC 求得 OC 的长度，然后通过解直角 △ OBC 求得 OB 的长度即可． 如图，设线段 AB 交 y 轴于 C， 在直角 △ OAC 中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则 AC＝OC． ∵OA＝400 米， ∴OC＝OA•cos45°＝400× ＝200 (米)． ∵在直角 △ OBC 中，∠COB＝60°，OC＝200 米， ∴OB＝ ＝ ＝400 ≈456(米) 故答案是：456． 一、选择题 1．(2020•长沙)从一艘船上测得海岸上高为 42 米的灯塔顶部的仰角为 30°时，船离灯塔的水平距离是( ) A．42 米 B．14 米 C．21 米 D．42 米 【答案】A 【解析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决． 根据题意可得：船离海岸线的距离为 42÷tan30°＝42 (米) 2．(2020•河北)如图，从笔直的公路 l 旁一点 P 出发，向西走 6km 到达 l；从 P 出发向北走 6km 也到达 l．下 列说法错误的是( ) A．从点 P 向北偏西 45°走 3km 到达 l B．公路 l 的走向是南偏西 45° C．公路 l 的走向是北偏东 45° D．从点 P 向北走 3km 后，再向西走 3km 到达 l 【答案】A 【解析】先作出图形，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解． 如图， 由题意可得 △ PAB 是腰长 6km 的等腰直角三角形， 则 AB＝6 km， 则 PC＝3 km， 则从点 P 向北偏西 45°走 3 km 到达 l，选项 A 错误； 则公路 l 的走向是南偏西 45°或北偏东 45°，选项 B，C 正确； 则从点 P 向北走 3km 后，再向西走 3km 到达 l，选项 D 正确． 3．(2020•聊城)如图，在 4×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1， △ ABC 的顶点都在这些小正方 形的顶点上，那么 sin∠ACB 的值为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，过点 A 作 AH⊥BC 于 H．利用勾股定理求出 AC 即可解决问题． 在 Rt △ ACH 中，∵AH＝4，CH＝3， ∴AC 5， ∴sin∠ACH 4．(2020•重庆)如图，在距某居民楼 AB 楼底 B 点左侧水平距离 60m 的 C 点处有一个山坡，山坡 CD 的坡度 (或坡比)i＝1：0.75，山坡坡底 C 点到坡顶 D 点的距离 CD＝45m，在坡顶 D 点处测得居民楼楼顶 A 点的仰 角为 28°，居民楼 AB 与山坡 CD 的剖面在同一平面内，则居民楼 AB 的高度约为(参考数据：sin28°≈0.47， cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)( ) A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m 【答案】B 【解析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出 DE、EC、BE、DF、AF， 进而求出 AB． 如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60， 在 Rt △ DEC 中， ∵山坡 CD 的坡度 i＝1：0.75， ∴ ㌳ R ， 设 DE＝4x，则 EC＝3x，由勾股定理可得 CD＝5x， 又 CD＝45，即 5x＝45， ∴x＝9， ∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB， ∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF， 在 Rt △ ADF 中， AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11， ∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1 5．(2020•广元)规定：sin(﹣x)＝﹣sinx，cos(﹣x)＝cosx，cos(x+y)＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论： (1)sin(﹣30°) ； (2)cos2x＝cos2x﹣sin2x； (3)cos(x﹣y)＝cosxcosy+sinxsiny； (4)cos15° ． 其中正确的结论的个数为( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【解析】根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论． (1) ݅݊ R ݅R ，故此结论正确； (2)cos2x＝cos(x+x)＝cosxcosx﹣sinxsinx＝cos2x﹣sin2x，故此结论正确； (3)cos(x﹣y)＝cos[x+(﹣y)]＝cosxcos(﹣y)﹣sinxsin(﹣y)＝cosxcosy+sinxsiny，故此结论正确； (4)cos15°＝cos(45°﹣30°)＝cos45°cos30°+sin45°sin30° ，故此结论错误． 所以正确的结论有 3 个. 6.(2020 贵州黔西南)如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O 旋转到 A′B′的位置，已知 AO 的长 为 4 米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆 A 端升高的高度为( ) A. 4 sin 米 B. 4sinα米 C. 4 cos 米 D. 4cosα米 【答案】B 【解析】过点 A′作 A′C⊥AB 于点 C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 解：如答图，过点 A′作 A′C⊥AB 于点 C．在 Rt △ OCA′，sinα＝ A C A O   ，所以 A′C＝A′O·sinα．由题意得 A′O ＝AO＝4，所以 A′C＝4sinα，因此本题选 B． 【点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 二、填空题 7．(2020•湘潭)计算：sin45°＝ ． 【答案】 ． 【解析】根据特殊角的三角函数值解答． 根据特殊角的三角函数值得：sin45° ． 8．(2020•天水)如图所示，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则 sin∠AOB 的值是 ． 【答案】 ． 【解析】如图，连接 AB．证明 △ OAB 是等腰直角三角形即可解决问题． ∵OA＝AB R ，OB＝2 ， ∴OB2＝OA2+AB2， ∴∠OAB＝90°， ∴△AOB 是等腰直角三角形， ∴∠AOB＝45°， ∴sin∠AOB 9．(2020•深圳)如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB ， ㌳ ， 则 △㌳ △㌳ ． 【答案】 ． 【分析】通过作辅助线，得到 △ ABC∽△ANM， △ OBC∽△ODM， △ ABC∽△DAN，进而得出对应边成比例， 再根据 tan∠ACB ， ㌳ ，得出对应边之间关系，设 AB＝a，DN＝b，表示 BC，NA，MN，进而表示 三角形的面积，求出三角形的面积比即可． 【解析】如图，过点 D 作 DM∥BC，交 CA 的延长线于点 M，延长 BA 交 DM 于点 N， ∵DM∥BC， ∴△ABC∽△ANM， △ OBC∽△ODM， ∴ tan∠ACB ， ㌳ ㌳ ， 又∵∠ABC＝∠DAC＝90°， ∴∠BAC+∠NAD＝90°， ∵∠BAC+∠BCA＝90°， ∴∠NAD＝∠BCA， ∴△ABC∽△DAN， ∴ ㌳ ， 设 AB＝a，DN＝b，则 BC＝2a，NA＝2b，MN＝4b， 由 ㌳ ㌳ 得，DM a， ∴4b+b a， 即，b R a， ∴ △㌳ △㌳ ㌳ ݊ R R ． 10．(2020•菏泽)如图，在 △ ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 为 AB 边的中点，连接 CD，若 BC＝4，CD＝3，则 cos∠DCB 的值为 ． 【答案】 ． 【分析】过点 D 作 DE⊥BC，由平行线平分线段定理可得 E 是 BC 的中点，再根据三角函数的意义，可求 出答案． 【解析】过点 D 作 DE⊥BC，垂足为 E， ∵∠ACB＝90°，DE⊥BC， ∴DE∥AC， 又∵点 D 为 AB 边的中点， ∴BE＝EC BC＝2， 在 Rt △ DCE 中，cos∠DCB ㌳ 11．(2020•泰安)如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡 AB 长 26m，斜坡 AB 的坡比为 12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人 员勘测，当坡角不超过 50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚 A 不动，则坡顶 B 沿 BC 至少向右 移 m 时，才能确保山体不滑坡．(取 tan50°＝1.2) 【答案】10． 【分析】在 BC 上取点 F，使∠FAE＝50°，作 FH⊥AD，根据坡度的概念求出 BE、AE，根据正切的定义求 出 AH，结合图形计算，得到答案． 【解析】在 BC 上取点 F，使∠FAE＝50°，过点 F 作 FH⊥AD 于 H， ∵BF∥EH，BE⊥AD，FH⊥AD， ∴四边形 BEHF 为矩形， ∴BF＝EH，BE＝FH， ∵斜坡 AB 的坡比为 12：5， ∴ ， 设 BE＝12x，则 AE＝5x， 由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即(5x)2+(12x)2＝262， 解得，x＝2， ∴AE＝10，BE＝24， ∴FH＝BE＝24， 在 Rt △ FAH 中，tan∠FAH ， ∴AH R 20， ∴BF＝EH＝AH﹣AE＝10， ∴坡顶 B 沿 BC 至少向右移 10m 时，才能确保山体不滑坡. 12．(2020•枣庄)人字梯为现代家庭常用的工具(如图)．若 AB，AC 的长都为 2m，当α＝50°时，人字梯顶端 离地面的高度 AD 是 m．(结果精确到 0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19) 【答案】1.5． 【解析】在 Rt △ ADC 中，求出 AD 即可． ∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴AD＝AC•sin50°＝2×0.77≈1.5(m) 三、简答题 13.(2020 浙江温州)如图，在 6×4 的方格纸 ABCD 中，请按要求画格点线段(端点在格点上)，且线段的端点 均不与点 A，B，C，D 重合． (1)在图 1 中画格点线段 EF，GH 各一条，使点 E，F，G，H 分别落在边 AB，BC，CD，DA 上，且 EF＝ GH，EF 不平行 GH； (2)在图 2 中画格点线段 MN，PQ 各一条，使点 M，N，P，Q 分别落在边 AB，BC，CD，DA 上，且 PQ＝ 5 MN．[来源:Z*xx*k.Com] 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】(1)根据方格纸的特点,只要在 AB 与 CD 边上的点不对称就可以得到不平行,再根据勾股定理确定长 度,画法不唯一. (2)根据勾股定理分别算出 PQ 和 MN,使得 PQ＝ 5 MN的点即为所求的点. 【解析】(1)由 EF=GH= 2 22 +3 = 5 ,可得图形如下图: (2)如图所示, 2 21 2 5MN    , 2 24 3 25PQ    . 所以 ∶ 25∶ 5= 5PQ MN  , 得到: PQ＝ 5 MN . 【点拨】本题主要考查了利用格点作图的知识点,利用勾股定理的知识点结合求解即可. 14．(2020•凉山州)如图，⊙O 的半径为 R，其内接锐角三角形 ABC 中，∠A、∠B、∠C 所对的边分别是 a、 b、c． (1)求证： ݅ ݅ ݅ 2R； (2)若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4 ，利用(1)的结论求 AB 的长和 sin∠B 的值． 【答案】见解析。 【分析】(1)证明：作直径 BE，连接 CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，根据三角函数的定义得到 sinA＝sinE ，求得 ݅ 2R，同理： ݅ 2R， ݅ 2R，于是得到结论； (2)由(1)得： ݅ ݅ ，得到 AB 4 ，2R 8，过 B 作 BH⊥AC 于 H，解直角三角形得 到 AC＝AH+CH＝2( )，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解析】(1)证明：作直径 BE，连接 CE，如图所示： 则∠BCE＝90°，∠E＝∠A， ∴sinA＝sinE ， ∴ ݅ 2R， 同理： ݅ 2R， ݅ 2R， ∴ ݅ ݅ ݅ 2R； (2)解：由(1)得： ݅ ݅ ， 即 ݅ ݅R 2R， ∴AB 4 ，2R 8， 过 B 作 BH⊥AC 于 H， ∵∠AHB＝∠BHC＝90°， ∴AH＝AB•cos60°＝4 2 ，CH BC＝2 ， ∴AC＝AH+CH＝2( )， ∴sin∠B ݊ ． 15．(2020•随州)如图，某楼房 AB 顶部有一根天线 BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的 三点 C，D，A，在点 C 处测得天线顶端 E 的仰角为 60°，从点 C 走到点 D，测得 CD＝5 米，从点 D 测得天 线底端 B 的仰角为 45°，已知 A，B，E 在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25 米． (1)求 A 与 C 之间的距离； (2)求天线 BE 的高度．(参考数据： 1.73，结果保留整数) 【答案】见解析。 【分析】(1)由等腰直角三角形的性质得出 AD＝AB＝25 米，则可求出答案； (2)解直角三角形求出 AE＝30•tan60°＝30 (米)，则可求出 BE． 【解析】(1)由题意得，在 Rt △ ABD 中，∠ADB＝45°， ∴AD＝AB＝25 米， ∵CD＝5 米， ∴AC＝AD+CD＝25+5＝30(米)， 即 A 与 C 之间的距离是 30 米； (2)在 Rt △ ACE 中．∠ACE＝60°，AC＝30 米， ∴AE＝30•tan60°＝30 (米)， ∵AB＝25 米， ∴BE＝AE﹣AB＝(30 25)米， ∵ 1.73， ∴BE≈1.73×30﹣25＝27 米． 即天线 BE 的高度为 27 米． 16．(2020•临沂)如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α般要满足 60°≤α≤75°，现有一架长 5.5m 的梯子． (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)？ (2)当梯子底端距离墙面 2.2m 时，α等于多少度(结果保留小数点后一位)？此时人是否能够安全使用这架梯 子？ (参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cos66.4°≈0.40，tan21.8°≈0.40．) 【答案】见解析。 【分析】(1)根据正弦的定义求出 AC，得到答案； (2)根据余弦的定义求出α，根据题意判断即可． 【解析】(1)由题意得，当α＝75°时，这架梯子可以安全攀上最高的墙， 在 Rt △ ABC 中，sinα ， ∴AC＝AB•sinα≈5.5×0.97≈5.3， 答：使用这架梯子最高可以安全攀上 5.3m 的墙； (2)在 Rt △ ABC 中，cosα 0.4， 则α≈66.4°， ∵60°≤66.4°≤75°， ∴此时人能够安全使用这架梯子． 17．(2020•岳阳)共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从 如图 A，B 两地向 C 地新建 AC，BC 两条笔直的污水收集管道，现测得 C 地在 A 地北偏东 45°方向上，在 B 地北偏西 68°向上，AB 的距离为 7km，求新建管道的总长度．(结果精确到 0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， tan22°≈0.40， 1.41) 【答案】见解析。 【分析】过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，根据锐角三角函数即可求出新建管道的总长度． 【解析】如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， 根据题意可知： AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°， ∴AD＝CD， ∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD， 在 Rt △ BCD 中， ∵tan∠CBD ㌳ ㌳ ， ∴ ㌳ ㌳ 0.40， ∴CD＝2， ∴AD＝CD＝2， BD＝7﹣2＝5， ∴AC＝2 2.83， BC ㌳ ݅ R 5.41， ∴AC+BC≈2.83+5.41≈8.2(km)． 答：新建管道的总长度约为 8.2km． 18．(2020•徐州)小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场 ABCD 边 AB 的中点 M 处有一座雕塑．在 某一时刻，小红到达点 P 处，爸爸到达点 Q 处，此时雕塑在小红的南偏东 45°方向，爸爸在小红的北偏东 60°方向，若小红到雕塑的距离 PM＝30m，求小红与爸爸的距离 PQ．(结果精确到 1m，参考数据： 1.41， 1.73， 2.45) 【答案】见解析。 【分析】作 PN⊥BC 于 N，则四边形 ABNP 是矩形，得 PN＝AB，证出 △ APM 是等腰直角三角形，得 AM PM ＝15 m，则 PN＝AB＝2AM＝30 m，在 Rt △ PNQ 中，由含 30°角的直角三角形的性质得 NQ PN＝10 m， PQ＝2NQ≈49m 即可． 【解析】作 PN⊥BC 于 N，如图： 则四边形 ABNP 是矩形，∴PN＝AB， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A＝90°，∵∠APM＝45°， ∴△APM 是等腰直角三角形， ∴AM PM 30＝15 (m)， ∵M 是 AB 的中点， ∴PN＝AB＝2AM＝30 m， 在 Rt △ PNQ 中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°， ∴NQ PN＝10 m，PQ＝2NQ＝20 49(m)； 答：小红与爸爸的距离 PQ 约为 49m．