2011年西城区初三数学一模试题答案

2011年西城区初三数学一模试题答案

北京市西城区 2011 年初三一模试卷 数学答案及评分标准 2011. 5 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 A C A B C C D B 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9 10 11 12 ①③ ， 11 题阅卷说明：全对得 4 分，仅填①或③得 2 分，其余情况均不得分. 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13.解：原式 = ………………………………………………………4 分 = ． …………………………………………………………………………5 分 14.解： 由①得 ． ………………………………………………………………………1 分 由②得 x≤1．………………………………………………………………………… 3 分 ∴ 原不等式组的解集是 ＜x≤1． ………………………………………………4 分 ∵ ， ∴ 不是该不等式组的解．………………………………………………… 5 分 15.解：（1）如图 1. 设直线 的解析式为 (k，b 为常数且 k≠0). ∵ 直线 经过点 ，点 ， ∴ 解得 ( )23−xy 8 5 n5 1 32 3 4 12 2 + − × − 1 2 − 3 0 2( 1) 3 3 . x x x + >  − + ， ≥ 3x > − 3− 3 1> 3x = l y kx b= + l (0,2)B (1,1)P 2, 1. b k b =  + = 1, 2. k b = −  = ① ② 图 1 ∴ 直线 的解析式为 ． …………………………………………… 2 分 （2）∵ 直线 的解析式为 ， ∴ 点 A 的坐标为 ．………………………………………………………3 分 ∵ 点 P 的坐标为 ， ∴ ＝ ．………………………………………5 分 16. 证明：如图 2. （1）∵ 平分 ， ∴ ．………………1 分 在△ABF 与△CBF 中， ∴ △ABF≌△CBF． ……………………………………………………… 2 分 ∴ ．……………………………………………………………… 3 分 （2）∵ ， ∴ ．……………………………………………………… 4 分 ∵ ∥ ， ∴ ． ∴ ，即 平分 ． ………………………………5 分 17. 解：由题意， ．…………………………………………1 分 ∴ ． ………………………………………………………………………2 分 ∴ 原式 ……………………………………………………3 分 ．…………………………………………………4 分 ∵ ， ∴ 原式 ．………………………………………………………………5 分 18. 解：（1） l 2y x= − + l 2y x= − + (2,0) (1,1) 1 2AOP PS OA y∆ = × × 1 2 1 12 × × = BF ABC∠ ABF CBF∠ = ∠ , , , AB CB ABF CBF BF BF = ∠ = ∠  = AF CF= AF CF= FCA FAC∠ = ∠ AF DC FAC DCA∠ = ∠ FCA DCA∠ = ∠ CA DCF∠ 2 214 2 02b a b a∆ = − × = − = 2 2b a= 2 2 22 1 1 ab a a b = − + + − 2 2 2 2 ab a b a = + − 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a ⋅= =+ − 0a ≠ 2 2 2 2a a = = 图 2 ………………………………………………………………………………4 分 阅卷说明：每空 1 分． （2）72．………………………………………………………………………………5 分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．解：设抢修车每小时行驶 千米，则吉普车每小时行驶 千米． ．………………………………………………………………………2 分 解得 ． ………………………………………………………………………3 分 经检验， 是原方程的解，并且符合题意． ………………………………4 分 ∴ . 答：抢修车每小时行驶 20 千米，吉普车每小时行驶 30 千米．………………………5 分 20．解：如图 3． （1）由题意，点 A 与点 ，点 与点 分别关于直线 对称， ∴ ， ． ………………………………………………1 分 设 ，则 ． ∵ 正方形 ， ∴ ． ∴ ． ∵ =3， ∴ ． 解得 ． ∴ ．……………………………………………………………………2 分 （2）∵ 正方形 ， ∴ AD∥BC， ． ∵ 点 M，N 分别在 AD，BC 边上， ∴ 四边形 ABNM 是直角梯形． ∵ ， ， ∴ ． ∴ ， ． ∵ ， ， ∴ ． 初三学生 人数 步行 人数 骑车 人数 乘公交车 人数 其它方式 人数 300 99 132 9 x x5.1 15 1 15 4 1.5x x − = 20x = 20x = 1.5 30x = A′ B B′ MN AM A M′= BN B N′= BN B N x′= = 9CN x= − ABCD o90C∠ = 2 2 2CN B C B N′ ′+ = CB′ 2 2 2(9 ) 3x x− + = 5x = 5BN = ABCD o90A∠ = ' 5BN B N= = 9BC = 4NC = 4sin 1 5 ∠ = 4tan 1 3 ∠ = 1 2 90∠ +∠ = ° 2 3 90∠ +∠ = ° 3 1∠ = ∠ 图 3 ∴ ． 在 Rt△ 中，∵ ， ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 在 Rt△ 中，∵ ， ， ， ∴ ．…………………………………………………………………4 分 ∴ ．…………………5 分 21．（1）证明：连接 BO．（如图 4） ∵ AB＝AD， ∴ ∠D＝∠ABD． ∵ AB＝AO， ∴ ∠ABO＝∠AOB． 又∵ 在△OBD 中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°， ∴ ∠OBD＝90°． ∴ BD⊥BO．…………………………………………………………………1 分 ∵ 点 B 在⊙O 上， ∴ BD 是⊙O 的切线 ． ……………………………………………………2 分 （2）解：∵ ∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF ， ∴ △ACF∽△BEF ． ………………………………………………………3 分 ∵ AC 是⊙O 的直径，点 B 在⊙O 上， ∴ ∠ABC＝90°． ∵ 在 Rt△BFA 中，∠ABF＝90°，cos∠BFA＝ ， 4sin 3 sin 1 5 ∠ = ∠ = DB P′ 90 D∠ = ° 6DB DC B C′ ′= − = 4sin 3 5 DB PB ′∠ = =′ 15 2PB′ = 9A B AB′ ′ = = 3 2A P A B PB′ ′ ′ ′= − = 4 3∠ = ∠ 4tan 4 tan 3 3 ∠ = ∠ = A MP′ 90 A A′∠ = ∠ = ° 3 2A P′ = 4tan 4 3 A M A P ′∠ = =′ 2A M′ = 1 1 63( ) (2 5) 92 2 2ABNMS AM BN AB= + × = × + × =梯形 3 2= AF BF 图 4 ∴ ．………………………………………………………4 分 又∵ ＝8 ， ∴ ＝18 ． ……………………………………………………………5 分 22．解：（1）1∶2，121 ．…………………………………………………………………… 2 分 （2）正三角形或正六边形．………………………………………………………… 4 分 （3）如图 5． …………5 分 阅卷说明：第（2）问全对得 2 分，仅填正三角形或正六边形得 1 分，其余情况均不得 分；第（3）问其它符合题意的图形同样给分． 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．（1）证明：∵ ， ∴ ． ………………………………………1 分 ∵ a＞0，c＜0， ∴ ， ． ∴ ． ……………………………………………………………2 分 （2）解：∵ 抛物线经过点 P ，点 Q ， ∴ ① ∵ ，a＞0，c＜0， ∴ ， ． ∴ ＜0．………3 分 ＞0．………………………4 分 2 4( ) 9 BEF ACF S BF S AF ∆ ∆ = = BEFS∆ ACFS∆ 2 3 6 0a b c+ + = 1 2 3 6 2 3 6 6 b a b c c a a a a ++ = = − = − 0c a < 0c a − > 1 02 3 b a + > 1( , )2 m (1, )n 1 1 ,4 2 . a b c m a b c n  + + =  + + = 2 3 6 0a b c+ + = 22 3 ab c+ = − 2 23 ab c= − − 1 1 1 2 1 1 1( )4 2 4 2 4 3 12 b cm a b c a a a a += + + = + = + − = − 2( 2 )3 3 a an a b c a c c c= + + = + − − + = − 图 5 图 6 ∴ ．…………………………………………………………………5 分 ② 由 a＞0 知抛物线 开口向上． ∵ ， ， ∴ 点 P 和点 Q 分别位于 x 轴下方和 x 轴上方． ∵ 点 A，B 的坐标分别为 A ，B （点 A 在点 B 左侧）， ∴ 由抛物线 的示意图可知，对称轴右侧的点 B 的横坐标 满足 ．（如图 6 所示）………………………………………6 分 ∵ 抛物线的对称轴为直线 ，由抛物线的对称性可 ， 由（1）知 ， ∴ ． ∴ ，即 ．…………………………………… 7 分 24．解：（1）∠AOB= 30 °，α= 60 °．………………………………………………… 2 分 （2）∵ A ，B ，△OAB 绕点 O 顺时针旋转α角得到△OCD，（如图 7） ∴ OA=OB=OC=OD=4． 由（1）得 ． ∴ 点 C 与点 A 关于 x 轴对称，点 C 的坐标为 ． ∵ 点 C，D，F 落在同一反比例函数 （k≠0）的图象上， ∴ ． ∵ 点 F 是由点 A 沿 轴负方向平移 m 个单位得到， ∴ ， ，点 F 的坐标为 ．……………3 分 ∴ 点 F 与点 A 关于 y 轴对称，可设经过点 A，B，F 的抛物线的解析式为 ． 0mn < 2y ax bx c= + + 0m < 0n > 1( , )2 m (1, )n 1( ,0)x 2( ,0)x 2y ax bx c= + + 2x 2 1 12 x< < 2 bx a = − 1 2 2 2 x x b a + = − 1 2 3 b a − < 1 2 1 2 3 x x+ < 1 2 2 2 1 3 3 2x x< − < − 1 1 6x < (2 3,2) (4,0) 30BOC AOB∠ = ° = ∠ (2 3, 2)− ky x = 4 3C Ck x y= ⋅ = − x 2Fy = 4 3 2 32Fx −= = − ( 2 3,2)− 2y ax c= + ∴ 解得 ∴ 所求抛物线的解析式为 ． …………………………………4 分 （3）满足条件的点 P 的个数为 5 ．………………………………………………5 分 抛物线 的顶点为 ． ∵ △EFG 是由△OAB 沿 轴负方向平移 m 个单位得到， ∴ ， ，∠FEG=∠AOB=30°． ∴ 点 E 的坐标为 ． 可得直线 EF 的解析式为 ． ∵ 点 H 的横坐标是方程 的解， 整理，得 ． 解得 ． ∴ 点 H 的坐标为 ． 由抛物线的对称性知符合题意的 点的坐标为 ．……………6 分 可知△AFM 是等边三角形，∠MAF= 60°． 由 A，M 两点的坐标分别为 A ， ， 可得直线 AM 的解析式为 ． 2 (2 3) 2, 16 0. a c a c  + = + = 1 ,2 8. a c  = −  = 21 82y x= − + 21 82y x= − + (0,8)M x 4 3m FA= = 4 3E Ox x m= − = − ( 4 3,0)− 3 43y x= + 23 14 83 2x x+ = − + 23 2 3 24 0x x+ − = 1 2 4 3 , 2 33x x= = − 4 3 16( , )3 3 1P 4 3 16( , )3 3 − (2 3,2) (0,8)M 3 8y x= − + 过点 H 作直线 AM 的平行线 l，设其解析式为 （b≠8）． 将点 H 的坐标代入上式，得 ． 解得 ，直线 l 的解析式为 ． ∵ 直线 l 与抛物线的交点的横坐标是方程 的解． 整理，得 ．解得 ． ∴ 点 满足 ，四边形 的面积与四边形 MFAH 的面积相等．（如图 8）……………………………………………7 分 点 关于 y 轴的对称点 也符合题意，其坐标为 ．……… 8 分 综上所述，位于直线 EF 上方的点 P 的坐标分别为 ， ， ． 25．解：（1）如图 9，∠APE= 45 °. ……………………2 分 （2）解法一：如图 10，将 AE 平移到 DF，连接 BF，EF． ……………………3 分 则四边形 AEFD 是平行四边形． ∴ AD∥EF，AD=EF． ∵ ， ， ∴ ， ． ∴ ．……………………………………………………4 分 ∵ ∠C=90°， ∴ ． ∴ ∠C=∠BDF． ∴ △ACD∽△BDF．………………5 分 ∴ ，∠1=∠2． ∴ ． ∵ ∠1+∠3=90°， ∴ ∠2+∠3=90°． ∴ BF⊥AD ． 3y x b= − + 16 4 333 3 b= − × + 28 3b = 283 3y x= − + 228 13 83 2x x− + = − + 23 6 3 8 0x x− + = 1 2 4 3 2 3,3 3x x= = 2P 2 3 22( , )3 3 HAMAMP SS ∆∆ = 2 2P MFA 2P 3P 3P 2 3 22( , )3 3 − 1P 4 3 16( , )3 3 − 2P 2 3 22( , )3 3 3P 2 3 22( , )3 3 − 3AC BD= 3CD AE= 3= BD AC 3== DF CD AE CD AC CD BD DF = 180 90BDF C∠ = ° − ∠ = ° 3AD AC BF BD = = 3EF AD BF BF = = 图 10 图 9 ∴ BF⊥EF．…………………………………………………………6 分 ∴ 在 Rt△BEF 中， ． ∴ ∠APE=∠BEF =30°．…………………………………………7 分 解法二：如图 11，将 CA 平移到 DF，连接 AF，BF，EF．………………3 分 则四边形 ACDF 是平行四边形． ∵ ∠C=90°， ∴ 四边形 ACDF 是矩形，∠AFD=∠CAF= 90°，∠1+∠2=90°． ∵ 在 Rt△AEF 中， ， 在 Rt△BDF 中， ， ∴ ． ∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°． ∴ ∠AFD=∠EFB． …………………4 分 又∵ ， ∴ △ADF∽△EBF． ……………………………………………… 5 分 ∴ ∠4=∠5．………………………………………………………… 6 分 ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5， ∴ ∠APE=∠3=30°．……………………………………………… 7 分 3tan 3 BFBEF EF ∠ = = 3tan 3 3 AE AE AF CD ∠ = = = 3tan 1 3 BD BD DF AC ∠ = = = 3 1 30∠ = ∠ = ° 3 2 DF AF BF EF = = 图 11