中考数学第一轮复习导学案解直角三角形及其应用

中考数学第一轮复习导学案解直角三角形及其应用

- 1 - 解直角三角形及其应用 ◆课前热身 1.图 1 是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中 AB、CD 分别表示一楼、二楼 地面的水平线，∠ABC=150°，BC 的长是 8 m，则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h 是（ ） A． 8 33 m B．4 m C． 43 m D．8 m 2.如图 2,长方体的长为 15，宽为 10，高为 2 0，点 B 离点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要 沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是（ ） A. 215 B. 25 C. 10 55  D. 35 3.如图 3，先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5 米，那 么这两树在坡面上的距离 AB 为（ ） A. cos5 B. cos 5 C. sin5 D. sin 5 4.如图 4，在 Rt ABC△ 中， ACB90°， 1BC  ， 2AB  ， 则下列结论正确的是（ ） A． 3sin 2A  B． 1tan 2A  C． 3cos 2B  D． tan 3B  5.如图 5，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间 的水平距离）为 4m．如果在坡度为 0.75 的山坡上种树， 也要求株距为 4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ） 图 2 E A B C D 150° 图 1 h B C A 图 4 α 5 米 A B 图 3 - 2 - A．5m B．6m C．7m D．8m 【参考答案】 1. B 【解析】过点 B 作直线 AB 的垂线，，垂足为 E，在 Rt△BCE 中，sin∠CBE= BC CE ，即 sin30°= 2 1 8 h ，所以 h=4m. 【点评】作垂线构造直角三角形，因为知道斜边长，所以利 用已知锐角的正弦关系解答即可.本题还可以利用“直角三角形中，30°所对的直角边等于 斜边的一半”来求解. 2. B 【解析】根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，较短爬行路线有以下 4 条（红色线段表示）.计算可知最短的是第 2 条. 【点评】在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形（即表面展开图）来 解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论. 3. B【解析】利用锐角三角函数解答，在以 AB 为斜边的直角三角形中，cos AB 5 ，所 以 AB= cos 5 .【点评】在直角三角形中，根据已知边、角和要求的边、角确定函数关系. 4. D 【解析】此题考查了特殊角的三角函数值.由已知可知∠A=30°，∠B=60°，对照 30°、60°的三角函数值选择正确答案. 【点评】熟记特殊角 30°、45°、60°的三角函 数值是解题的关键.本题也可以通过勾股定理计算出 AC，然后根据锐角三角函数定义判断. 5. A 【解析】考查了勾股定理和坡度的定义.坡度即坡比是铅直高度与水平宽度的比，在 这里设铅直高度为 h 米，则有 h:4=0.75，h=3，利用勾股定理得相邻两树间的坡面距离 为 22 43  =5m. 【点评】在理解坡度、坡面距离、水平距离等概念的基础上，通过直角三角形的知识来解答. - 3 - ◆考点聚焦 1．掌握并灵活应用各种关系解直角三角形，这是本节重点． 2．了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转 化为直角三角形问题时，•怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关 系是本节难点，也是中考的热点． ◆备考兵法 正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，•工程等实际问题中 的常用概念是解决这类问题的关键． 注意：（1）准确理解几个概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角． （2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形． （3）在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，•从而转化为解直角三 角形的问题． ◆考点链接 1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的类型： 已知____________；已知___________________． 3．如图（1）解直角三角形的公式： （1）三边关系：__________________． （2）角关系：∠A+∠B＝_____， （3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______． cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____． 4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________． 5．如图（3）方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________． 6．如图（4）坡度：AB 的坡度 iAB＝_______，∠α 叫_____，tanα ＝i＝____． （图 2） （图 3） （图 4）  A CB 45 南 北 西 东 60 A D C B 70 O O A B C cb a A C B - 4 - ◆典例精析 例 1（安徽省）长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整成 60°角（如图所示）， 则梯子的顶端沿墙面升高了 ______m． 【答案】 2( 3 2) （约 0.64）. 【解析】涉及知识点有锐角三角函数的应用.4m 的梯子、地面和墙高构成了直角三角形，当 梯子搭在墙上与地面成 45°的角时，梯子的顶端到地面的距离是 4×sin45°=2 2 ，当梯 子搭在墙上与地面成 60°的角时，梯子的顶端到地面的距离是 4×sin60°=2 3 .则梯子的 顶端沿墙面升高了 （约 0.64）m． 【点评】把立体图形转化为平面图形即直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答即可. 例 2（山东临沂）如图，A，B 是公路 l（l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路 l 的 距离 AC=1km，B 村到公路 l 的距离 BD=2km，B 村在 A 村的南偏东 45°方向上． （1）求出 A，B 两村之间的距离； （2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站 P，要求该站到两村的距离相等， 请用尺规在图中作出点 P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）． 【分析】（1）设 AB 与 CD 的交点为 O，那么三角形 AOC 和 BOD 是两个等要直角三角形，根据 A、B 到公路的距离，利用勾股定理计算 AO、BO，进而计算 AB 的长度.或者以 AB 为斜边构造 直角三角形解答.（2）作 AB 的垂直平分线，与公路 l 的交点即为所求. 【答案】解：（1）方法一：设 AB 与 CD 的交点为 O，根据题意可得 45AB    °． ACO△ 和 BDO△ 都是等腰直角三角形． 北 东 B A C D l - 5 - 2AO， 22BO  ．  AB， 两村的距离为 2 2 2 3 2AB AO BO     （km）． 方法二：过点 B 作直线l 的平行线交 AC 的延长线于 E ． 易证四边形CDBE 是矩形， 2CE BD． 在 Rt AEB△ 中，由 45A °，可得 3BE EA． 223 3 3 2AB    （km） 两村的距离为32km． （2）作图正确，痕迹清晰． 作法：①分别以点 AB， 为圆心，以大于 1 2 AB 的长为 半径作弧，两弧交于两点 MN， ， 作直线 MN ； ②直线 MN 交l 于点 P ，点 P 即为所求． 【点评】（1）点到线的距离是垂线短的长，所以图形中就包含了直角三角形，然后利用勾股 定理计算便是.本题也可以利用锐角三角函数计算.（2）“到线段两个端点的距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上”把握这个特征是找出确切位置的基础. ◆迎考精练 一、选择题 1.（山东泰安）在一次夏令营活动中，小亮从位于 A 点的营地出发，沿北偏东 60°方向走 了 5km 到达 B 地，然后再沿北偏西 30°方向走了若干千米到达 C 地，测得 A 地在 C 地南偏西 30°方向，则 A、C 两地的距离为 A. km3 310 B. km3 35 C. km25 D. km35 2.（山东潍坊）如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 A 点测得 30BAD°，在 C 点测得 60BCD°， 又测得 50AC  米，则小岛 B 到公路 l 的距离为（ ）米． B A C D l N M O P B C A D l 2 题 E 第 1 题图 - 6 - A．25 B． 25 3 C．100 3 3 D． 25 25 3 二、填空题 1.（四川遂宁）如图，已知△ABC 中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么 AC 边上的中线 BD 的长为 cm. 2.（浙江宁波）如图，在坡屋顶的设计图中， AB AC ，屋顶的宽度l 为 10 米，坡角 为 35°，则坡屋顶高度 h 为 米．（结果精确到 0.1 米） 3.（湖南益阳）如图，将以 A 为直角顶点的等腰直角三角形 ABC 沿直线 BC 平移得到△ CBA  ， 使点 B 与 C 重合，连结 BA ，则 CBA tan 的值为 . 4.（山东济南）如图， AOB∠ 是放置在正方形网格中的一个角，则 cos AOB∠ 的值 是 ． 5.（山东泰安）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC 的中线 CM 将△CMA 折叠，使点 A 落在点 D 处，若 CD 恰好与 MB 垂直，则 tanA 的值为 . O A B 第 4 题图 A B C h l  A C(B′) B A′ C′ D - 7 - 6.（湖南衡阳）某人沿着有一定坡度的坡面前进了 10 米，此时他与水平地面的垂直距离为 52 米，则这个坡面的坡度为__________. 7.（湖北孝感）如图，角 的顶点为 O，它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边 OA 上有一点 P（3，4），则 sin  ． 三、解答题 1.（河南省）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 2 .90m 的顶灯.已知梯子 由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为 1m．矩形面与地面所成的角α 为 78°.李师傅的身高为 l.78m，当他攀升到头顶距天花板 0.05～0.20m 时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计 算判断他安装是否比较方便? (参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70.) D - 8 - 2.（福建福州）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， ABC△ 的三个顶点均在格点 上，请按要求完成下列各题： （1） 用签字笔．．．画 AD∥BC（D 为格点），连接 CD； （2） 线段 CD 的长为 ； （3） 请你在 ACD△ 的三个内角中任选一个锐角．．，若你所选的锐角是 ，则它所对 应的正弦函数值是 . （4） 若 E 为 BC 中点，则 tan∠CAE 的值是 3.（山东德州）如图，斜坡 AC 的坡度（坡比）为 1: 3 ，AC＝10 米．坡顶有一旗杆 BC，旗 杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连，AB＝14 米．试求旗杆 BC 的高度． 4.（浙江台州）如图，有一段斜坡 BC 长为 10 米，坡角 12CBD ，为方便残疾人的轮 椅车通行，现准备把坡角降为 5°． - 9 - （1）求坡高CD ； （2）求斜坡新起点 A 与原起点 B 的距离（精确到 0.1 米）． 5.（河北省）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为 O，直径 AB 是河底线，弦 CD 是水位线，CD∥AB，且 CD = 24 m，OE⊥CD 于点 E．已测得 sin∠DOE = 12 13 ． （1）求半径 OD； （2）根据需要，水面要以每小时 0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 6.（江苏省）如图，在航线l 的两侧分别有观测点 A 和 B， 点 A 到航线l 的距离为 2km，点 B 位于点 A 北偏东 60°方向且与 A 相距 10km 处．现有一艘 轮船从位于点 B 南偏西 76°方向的 C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点 A 的正北方向的 D 处． （1）求观测点 B 到航线 的距离； （2）求该轮船航行的速度（结果精确到 0.1km/h）．（参考数据： 3 1.73≈ ，sin76 0.97°≈ ， cos76 0.24°≈ ， tan76 4.01°≈ ） （第 4 题） D C B A 5° 12° 参考数据 sin12°  0.21 cos12°  0.98 tan5° 0.09 A O B E C D 北 东 C D B E A l 60° 76° O - 10 - 7.（湖南娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上 垂挂一长为 30 米的宣传条幅 AE，张明同学站在离办公楼的地面 C 处测得条幅顶端 A 的仰角 为 50°，测得条幅底端 E 的仰角为 30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的 地方进行测量？（精确到整数米） （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50° ≈1.20， sin30°=0.50，cos30°≈0.87， tan30°≈0.58） 8.（山东烟台）腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的 高度，小明在二楼找到一点 C，利用三角板测得雕塑顶端 A 点的仰角为30°，底部 B 点的俯 角为 45°，小华在五楼找到一点 D，利用三角板测得 A 点的俯角为60°（如图②）.若已知 CD 为 10 米，请求出雕塑 AB 的高度．（结果精确到 0.1 米，参考数据 3 1 73. ）． D C B A ② ① - 11 - 9.（山东济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图 所放风筝的高度，进行了如下操作： （1）在放风筝的点 A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角 60CBD ∠ ； （2）根据手中剩余线的长度算出风筝线 BC 的长度为 70 米； （3）量出测倾器的高度 1.5AB  米． 根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为 米．（精确到 0.1 米， 3 1.73 ） 10.（山东威海）如图，一巡逻艇航行至海面 B 处时，得知其正北方向上C 处一渔船发生故 障．已知港口 A 处在 B 处的北偏西37 方向上，距 B 处 20 海里；C 处在 A 处的北偏东65 方向上．求 ,BC之间的距离（结果精确到 0.1 海里）． 参考数据：sin37 0.60 cos37 0.80 tan37 0.75  ， ， ， sin65 0.91 cos65 0.42 tan65 2.14.  ， ， 11.（广东省）如图所示， A 、 B 两城市相距 100km．现计划在这两座城市间修筑一条高速 公路（即线段 AB ），经测量，森林保护中心 P 在 城市的北偏东30°和 城市的北偏西45° 的方向上．已知森林保护区的范围在以 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内．请问计划 修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么？ A D B E C 60° 65° 37° 北 北 A C B - 12 - （参考数据： 3 1.732 2 1.414≈ ， ≈ ） 12.（湖北襄樊）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海 域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛 A 北偏西 45并距该岛 20 海里的 B 处待命．位 于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60的方向有我军护 航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿 BC 航线以每小时 60 海 里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置 C 处？（结果精确 到个位．参考数据： 2 1.4 3 1.7≈ ， ≈ ） 13.（湖南长沙）校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在 河东岸边的 A 点测得河西岸边的标志物 B 在它的正西方向，然后从 A 点出发沿河岸向正北 方向行进 550 米到点C 处，测得 B 在点C 的南偏西 60°方向上，他们测得的湘江宽度是多 少米？（结果保留整数，参考数据： 2 1.414≈ ， 3 1.732≈ ） A B F E P 45° 30° - 13 - 【参考答案】 选择题 1. A 【解析】此题考查了锐角三角函数的应用.由方位角可求得∠BAC=30°，∠ABC=90°，所以 由∠BAC 的余弦定义得 cos30°= 2 35  ACAC AB ，所以 AC= km3 310 .【点评】根据角度 判断三角形的形状，再选择适当的关系式. 2. 【解析】过点 B 作 BE 垂直于 AC，垂足为 E，因为 30BAD°， 60BCD°，所以∠ABC= ∠BAD=30°，则 BC=AC=50，在 Rt△BCE 中，sin∠BCD= BC BE ，所以小岛 B 到公路 l 的距离 BE=BC·sin∠BCD=50× 2 3 = 25 3 （米）. 【点评】遇到非直角三角形的问题，通常最垂 线构造直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答. 填空题 1. 2 13 【解析】知识点：勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线性质.由 52+122=132 知△ABC 是直角三角形，AC 是斜边，所以 BD= 2 1 AC= cm. 【点评】由数量关系判断三角形 的形状，这是数形结合思想的体现.学习时要注意把直角三角形所有的知识都归纳起来，从 而达到综合运用知识的能力. 2. 3.5【解析】知识点：等腰三角形三线合一的性质、坡角 函数关系、计算器的操作.根 据三线合一的性质可知，坡屋顶高度 h 把等腰三角形分成了两个全等的直角三角形，且有 tan = 5 h ，所以 h 约为 3.5 米. 【点评】利用三线合一的性质把等腰三角形转化为直角三 角形，利用相应的函数关系时解答. 3. 3 1 【解析】由题意可知，△ABC 平移的距离是等腰直角三角形的斜边长，过点 A′作 AD ⊥B′C于点D，设 A′D 为a，根据等腰三角形三线合一的性质则有BC=B′C′=2a，所以BD=3a， 在 Rt△A′BD 中， CBA tan = BD DA = .【点评】准确地构造直角三角形是解答此题的关 键. - 14 - 4. 2 2 5. 3 3 【解析】本题所考查的知识点有轴对称、直角三角形斜边的中线性质、等边对等角、 同角的余角相等、30°的正切函数值. 由 CM 是 Rt△ABC 斜边的中线可得 CM=AM，则∠A=∠ ACM；由折叠可知∠ACM=∠DCM；又∠A+∠B=∠BCD+∠B=90°，则∠A =∠BCD，所以∠A=∠ACM= ∠DCM=∠BCD=30°，因此 tanA=tan30°= .【点评】把直角三角形与等腰三角形结合起 来，根据折叠的不变性转化角与角之间的关系，求出角的大小，函数值即可跃然纸上. 6. 1：2 【解析】如图，由题意得直角三角形 ABC，AB=10 米，AC= 52 米，由勾股定理得 BC=4 5 米，坡度为 2 1 54 52  . 7. 4 5 (或 0.8) 【解析】根据点 P 的坐标利用勾股定理可以求得 OP= 22 43  =5.所以 sin = 5 4斜边 的对边 . 解答题 1. 【解析】过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，利用三角函数计算 AE、DF， 结合电工身高计算其头顶到天花板的距离在 0.05～0.20m 范围内即可判断安装方便；否则， 不方便. 【答案】解：过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F． B C A - 15 - ∵AB=AC, ∴CE= 1 2 BC=0.5． 在 Rt△ABC 和 Rt△DFC 中，∵tan780= AE EC ， ∴AE=EC×tan780 0.5×4.70=2.35. 又∵sinα = AE AC = DF DC ， DF= DC AC ·AE= 3 7 ×AE 1.007． 李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：1.007+1.78=2.787． 头顶与天花板的距离约为：2.90-2.787 0.11． ∵0.05＜0.11＜0.20， ∴它安装比较方便． 【点评】将等腰三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题. 2. 【解析】按要求作图，因图中的三角形是格点三角形，所以线段的计算要用它与网格线 构成的直角三角形，通过勾股定理计算，然后计算有关锐角的函数值. 【答案】（１）如图； （２） 5 ； （３）∠CAD， 5 5 (或∠ADC， 5 52 ) （４） 2 1 【点评】选择合适的格点直角三角形是计算线段长、锐角三角函数值的基础. 3. 【解析】BC 所在的三角形是斜三角形，所以它的高度无法直接求得，我们可以过点 C 作 AD 的垂线，结合坡比这个条件计算 CE、AE，再计算 BE，从而通过 BE、CE 的差求 BC. 【答案】解：延长 BC 交 AD 于 E 点，则 CE⊥AD． 在 Rt△AEC 中，AC＝10， 由坡比为 1︰ 3 可知：∠CAE＝30°， ∴ CE＝AC·sin30°＝10× 1 2 ＝5， AE＝AC·cos30°＝10× 3 2 ＝53 ． 在 Rt△ABE 中，BE＝ 22AB AE ＝ 2214 (5 3) ＝11． ∵ BE＝BC＋CE，∴ BC＝BE－CE＝11-5＝6（米）． A B C D E - 16 - 答：旗杆的高度为 6 米． 【点评】过合适的点作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数和勾股定理计算 线段的长 度. 4. 【解析】在 Rt△BCD 中，利用∠CBD 的正弦计算 CD，利用∠CBD 的余弦计算 BD；在 Rt△ ACD 中，利用∠A 的正切计算 AD，AD 与 BD 的差则是 A、B 的距离. 【答案】解：（1）在 BCDRt 中，  12sinBCCD 1.221.010  （米）． （2）在 中，  12cosBCBD 8.998.010  （米）； 在 ACDRt 中，  5tan CDAD 2.1 23.330.09 （米）， 23.33 9.8 13.53 13.5AB AD BD      （米）． 答：坡高 2.1 米，斜坡新起点与原起点的距离为 13.5 米． 【点评】这是一道锐角三角函数的应用题，结合图形和已知条件，选择合适的函数关系式计 算线段的长度. 5. 【解析】根据垂径定理可知 DE 的长度，在 Rt△DOE 中，利用∠DOE 的正弦求半径 OD，再 利用勾股定理计算 OE，然后结合水面下降的速度得时间. 【答案】解：（1）∵OE⊥CD 于点 E，CD=24， ∴ED = 1 2 CD =12． 在 Rt△DOE 中， ∵sin∠DOE = ED OD =12 13 ， ∴OD =13（m）． （2）OE= 22OD ED = 2213 12 5 = ． ∴将水排干需： 5÷0.5=10（小时）． 【点评】在直角三角形中，已知一边和与它相关的函数关系式时用函数关系计算另一边，当 知道两条边长时，则用勾股定理计算第三边. 6. 【解析】在 Rt△OAD 中，利用∠A 的余弦关系求 OA，便知 OB 的长度，然后在 Rt△BOE 中利用∠OBE 的余弦关系求 BE；在 Rt△OAD 和 Rt△BOE 利用 60°的正切关系求出 OD、OE， 便得 DE，利用路程和时间求速度. - 17 - 【答案】解：（1）设 AB 与l 交于点O ． 在 Rt AOD△ 中， 60 2 4cos60 ADOAD AD OA    °， ， ° ． 又 10 6AB OB AB OA    ， ． 在 Rt BOE△ 中， 60 cos60 3OBE OAD BE OB      °， ° （km）． 观测点 B 到航线l 的距离为 3km． （2）在 中， tan60 2 3OD AD° ． 在 中， tan60 3 3OE BE° ． 53DE OD OE    ． 在 Rt CBE△ 中， 76 3 tan 3tan76CBE BE CE BE CBE      °， ， °． 3tan76 5 3 3.38CD CE DE    ° ≈ ． 15min h12 ， 12 12 3.38 40.61 12 CD CD    ≈ （km/h）． 答：该轮船航行的速度约为 40.6km/h 【点评】根据已知的边和角，在相应的直角三角形中选择三角函数关系式计算线段的长度即 距离. 7. 【解析】过 D 点作 DF⊥AB 于 F 点，DF 的长度便是张明同学是在离该单位办公楼水平距 离. 【答案】解：方法一：过 D 点作 DF⊥AB 于 F 点 在 Rt△DEF 中，设 EF=x，则 DF= 3 x 在 Rt△ADF 中，tan50°= 30 3 x x  ≈1.204 分 30+x= x×1.20 F - 18 - x≈27.8 ∴DF= 3 x≈48 答：张明同学站在离办公楼约 48 米处进行测量的. 方法二：过点 D 作 DF⊥AB 于 F 点 在 Rt△DEF 中，EF=FD·tan30° 在 Rt△AFD 中，AF=FD·tan30° ∵AE+EF=AF ∴30+FDtan30°=FD·tan50° ∴FD≈48 答：张明同学站在离办公楼约 48 米处进行测量的. 【点评】作垂线构造直角三角形，根据锐角三角函数直接或间接计算所要求的距离. 8. 【解析】过点C 作CE AB⊥ 于 E 则 AB 被分为 AE、BE 两部分，在相应的直角三角形中 计算即可. 【答案】解：过点 作 于 ． 90 60 30 90 30 60D ACD        ° °， ° ° °， 90CAD  °． 110 52CD AC CD   ， ． 在 Rt ACE△ 中， 5sin 5 sin30 2AE AC ACE   ° ， 5cos 5 cos30 32CE AC ACE   ° ， 在 Rt BCE△ 中， 545 tan 45 32BCE BE CE    °， ° ， 5 5 53 ( 3 1) 6.82 2 2AB AE BE       ≈ （米）． 所以，雕塑 AB 的高度约为 6.8 米． 【点评】利用已知角度判断三角形的形状——直角三角形，作垂线构造直角三角形，通过锐 角三角函数关系把未知转化为已知，步步为营，水到渠成. 9. 【解析】首先利用三角函数关系计算 DC 的长度，加上侧倾器的高度 AB，便得风筝的高 度 CE. D E B A C - 19 - 【答案】解：在 Rt△CBD 中，sin60°= 70 CD BC CD  = 2 3 ， ∴CD=35 3 ≈60.55 ∴CE=CD+DE=CD+AB≈62.1（米） 答：风筝的高度CE 约为 62.1 米． 【点评】把实际问题转化为数学问题——直角三角形，这是锐角三角函数的应用. 10. 【解析】过点 A 作 AD⊥BC 于 D，在 Rt△ABD 中利用正弦、余弦函数计算 BD、AD，在 Rt △ACD 中利用正切求 CD，即可计算 BC 的长. 【答案】解：过点 A 作 AD BC ，垂足为 D． 在 Rt ABD△ 中， 20AB  ， 37B °， ∴ sin37 20sin37 12AD AB· ° °≈ ． cos37 20cos37 16BD AB· ° °≈ ． 在 Rt ADC△ 中， 65ACD°， ∴ 12 5.61tan 65 2.14 ADCD  ≈ ≈° 5.61 16 21.61 21.6BC BD CD    ≈ ≈ （海里） 答： BC， 之间的距离约为 21.6 海里． 【点评】把斜三角形转化为直角三角形，灵活利用锐角三角函数间接计算两点之间的距离. 11. 【解析】根据“垂线段最短”的道理，利用解直角三角形的知识计算 P 到公路 AB 的垂 直距离，再与半径 50km 作比较. 【答案】解：过点 P 作 PC AB C⊥ ， 是垂足， 则 30 45APC BPC   °， °， 65° 37° 北 北 A C B D P F B C A E - 20 - AC PC · tan30 BC PE°， · tan 45°, AC BC AB， PC · tan30 PC° · tan 45°=100， 3 1 1003 PC   ，    50 3 3 50 3 1.732 63.4 50PC     ≈ ≈ 答：森林保护区的中心与直线 AB 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路 不会穿越保护区． 【点评】构造直角三角形，通过三角函数关系计算点到公路的距离，再与森林区域涉及的数 据相比较，就能知道公路是否通过保护区. 12. 【解析】要求护航舰所需时间，已知它的速度，必须要先计算出 B、C 两处的距离. 【答案】解：由图可知， 30 45ACB BAC   ∠ ，∠ 作 BD AC 于 D （如图）， 在 Rt ADB△ 中， 20AB  ∴ 2sin 45 20 10 22BD AB   ° 在 Rt BDC△ 中， 30ACB ∠ ∴ 2 10 2 20 2 28BC    ≈ ∴ 28 0.4760 ≈ ∴ 0.47 60 28.2 28 ≈ （分钟） 答：我护航舰约需 28 分钟就可到达该商船所在的位置C． 【点评】“化斜为直”便可解决问题的目的. 13. 【解析】在 Rt△ABC 中，利用 tanC= AC AB 求 AB. 【答案】解：由题意得： ABC△ 中， 90 60 550BAC ACB AC    °， °， ， tanAB AC ACB550 3≈ 952.6≈ 953≈ （米）． 答：他们测得湘江宽度为 953 米． 【点评】在直角三角形中，已知一锐角和它的邻边、求对边时，用正切函数. C A B 60° 45° 北 北 D