2020九年级数学下册 第二十八章解直角三角形及其应用

2020九年级数学下册 第二十八章解直角三角形及其应用

课时作业(十九)‎ ‎[28.2.1　解直角三角形]　　　　　　　　　 　　　　　　　 　‎ ‎ 一、选择题 ‎1．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(　　)‎ A．csinA＝a B．bcosB＝c C．atanA＝b D．ctanB＝b ‎2．如图K－19－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长是(　　)‎ 图K－19－1‎ A．2 B．‎3 C．4 D．8‎ ‎3．如图K－19－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(　　)‎ 图K－19－2‎ A. B．‎4 C．8 D．4 ‎4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则∠A的度数为(　　)‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎5．如图K－19－3，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是(　　)‎ 8‎ 图K－19－3‎ A. B．‎12 C．14 D．21‎ ‎6.如图K－19－4，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若BD是△ABC的角平分线，BD＝8，则△ABC的三边长分别是(　　)‎ ‎　‎ 图K－19－4‎ A．6，6，12 B．2，6，4 C．4，4，8 D．4，12，8 ‎7．如图K－19－5，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为(　　)‎ 图K－19－5‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎8．如图K－19－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝________．‎ 图K－19－6‎ ‎9．如图K－19－7，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 ，则AB的长为________．‎ 图K－19－7‎ 8‎ ‎10．如图K－19－8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD＝，AB＝5，那么CD的长是________．‎ 图K－19－8‎ 三、解答题 ‎11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．‎ ‎(1)b＝10，∠A＝60°；‎ ‎(2)a＝2，b＝2 . ‎12．如图K－19－9，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝.‎ 求：(1)BC的长；‎ ‎(2)sin∠ADC的值．‎ 图K－19－9‎ ‎13．如图K－19－10，在△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC＝30°，过点D作DE⊥AD交AC于点E，AE＝4，EC＝2.‎ ‎(1)求证：AD＝CD；‎ ‎(2)若tanB＝3，求线段AB的长．‎ 图K－19－10‎ ‎14．如图K－19－11，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝.‎ 8‎ ‎(1)求BC的长；‎ ‎(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2)．‎ 图K－19－11‎ ‎ 阅读理解我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图K－19－12，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中，CD＝bsinA，AD＝bcosA，∴BD＝c－bcosA.‎ 在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，‎ 即(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝a2，‎ 整理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.‎ 同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.‎ ‎(注：上述三个公式对直角三角形和钝角三角形也成立，推理过程同上)‎ 利用上述结论解答下列问题：‎ ‎(1)在△ABC中，∠A＝45°，b＝2 ，c＝2，求a的长和∠C的度数；‎ ‎(2)在△ABC中，a＝，b＝，∠B＝45°，c＞a＞b，求c的长．‎ 图K－19－12‎ 8‎ 详解详析 ‎[课堂达标]‎ ‎1．A　2.A ‎3．[解析] D　∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，cosB＝，‎ 即cos30°＝，‎ ‎∴BC＝8×＝4 .‎ ‎4．D ‎5．[解析] A　如图，过点A作AD⊥BC，‎ ‎∵在△ABC中，cosB＝，‎ ‎∴∠B＝45°，BD＝AD.‎ ‎∵sinC＝，AC＝5，‎ ‎∴sinC＝＝＝，‎ ‎∴AD＝3，‎ ‎∴CD＝4，BD＝3，‎ 则△ABC的面积是·AD·BC＝×3×(3＋4)＝.‎ ‎6．[解析] D　∵∠A＝30°，‎ ‎∴∠ABC＝60°.‎ ‎∵BD是△ABC的角平分线，‎ ‎∴∠CBD＝30°.‎ 解Rt△BCD，Rt△ABC，即可得△ABC的三边长．‎ ‎7．[解析] B　如图，连接BD.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°.‎ ‎∵OC∥AD，‎ ‎∴∠A＝∠BOC，‎ ‎∴cosA＝cos∠BOC.‎ ‎∵BC切⊙O于点B，‎ ‎∴OB⊥BC，‎ ‎∴cos∠BOC＝＝，‎ ‎∴cosA＝cos∠BOC＝.‎ 8‎ 又∵cosA＝，AB＝4，∴AD＝.‎ 故选B.‎ ‎8．[答案] 17‎ ‎[解析] ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝15，∴＝，解得AC＝8，根据勾股定理，得AB＝＝＝17.故答案为17.‎ ‎9．[答案] 3＋ ‎[解析] 过点C作CD⊥AB于点D.‎ 在Rt△ACD中，AC＝2 ，∠A＝30°，∴CD＝AC·sinA＝，AD＝＝3.‎ 在Rt△BCD中，CD＝，∠B＝45°，‎ ‎∴BD＝CD＝，‎ ‎∴AB＝AD＋BD＝3＋.‎ ‎10．[答案] ‎[解析] ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，‎ ‎∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCD＋∠B＝90°，‎ ‎∴∠B＝∠ACD.‎ ‎∵tan∠ACD＝，∴tanB＝＝.‎ 设AC＝3x，BC＝4x.‎ ‎∵AC2＋BC2＝AB2，‎ ‎∴(3x)2＋(4x)2＝52，解得x＝1，‎ ‎∴AC＝3，BC＝4.‎ ‎∵S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，‎ ‎∴CD＝＝.‎ ‎11．解： (1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.‎ ‎∵cosA＝，∴c＝＝＝＝20，‎ ‎∴a＝＝＝10 .‎ ‎(2)c＝＝＝4 .‎ ‎∵tanA＝＝＝，‎ ‎∴∠A＝30°，‎ ‎∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.‎ ‎12．[解析] (1)过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC＝，求出∠C＝45°，求出AE＝CE＝1，根据tanB＝，求出BE的长；‎ ‎(2)根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，进而求得sin ∠ADC的值．‎ 解：(1)如图，过点A作AE⊥BC于点E.‎ ‎∵cosC＝，‎ ‎∴∠C＝45°.‎ 在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝×＝1，‎ 8‎ ‎∴AE＝CE＝1.‎ 在Rt△ABE中，tanB＝，即＝，‎ ‎∴BE＝3AE＝3，‎ ‎∴BC＝BE＋CE＝4.‎ ‎(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD＝2，‎ ‎∴DE＝CD－CE＝1.‎ ‎∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，‎ ‎∴sin∠ADC＝.‎ ‎13．解：(1)证明：∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°.‎ 在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AE＝4，‎ ‎∴∠DEA＝60°，DE＝AE＝2.‎ 又∵EC＝2，‎ ‎∴DE＝EC，‎ ‎∴∠EDC＝∠C.‎ 又∵∠EDC＋∠C＝∠DEA＝60°，‎ ‎∴∠C＝30°＝∠DAE，‎ ‎∴AD＝CD.‎ ‎(2)如图，过点A作AF⊥BC于点F，‎ 则∠AFC＝∠AFB＝90°.‎ ‎∵AE＝4，EC＝2，‎ ‎∴AC＝6.‎ 在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，∠C＝30°，‎ ‎∴AF＝AC＝3.‎ 在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，tanB＝3，‎ ‎∴BF＝＝1，‎ ‎∴AB＝＝.‎ ‎14．解：(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图①所示．‎ 8‎ 在Rt△ADC中，AC＝4.‎ ‎∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，‎ ‎∴AD＝AC＝2，‎ CD＝AC·cos30°＝4×＝2 .‎ 在Rt△ABD中，tanB＝＝＝，‎ ‎∴BD＝16，‎ ‎∴BC＝BD－CD＝16－2 .‎ ‎(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图②所示．‎ ‎∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，‎ tan15°＝tan∠AMD＝＝＝≈≈0.3.‎ ‎[素养提升]‎ ‎[解析] (1)根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的长，根据勾股定理的逆定理证明直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；‎ ‎(2)把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程即可得到答案．‎ 解：(1)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA＝(2 )2＋22－2×2 ×2×＝4，解得a＝2.‎ ‎∵22＋22＝(2 )2，即a2＋c2＝b2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ 又∵a＝c＝2，∴∠C＝45°.‎ ‎(2)∵b2＝a2＋c2－2accosB，a＝，b＝，cosB＝cos45°＝，‎ ‎∴c2－c＋1＝0，‎ 解得c＝.‎ ‎∵c＞a＞b，∴c＝.‎ 8‎