解直角三角形及其应用教案(1)

解直角三角形及其应用教案(1)

‎4．3 解直角三角形及其应用（1）‎ 教学目的 ‎1、（知识）使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。‎ ‎2、（能力）通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。‎ ‎3、（德育）渗透数形结合得数学思想，培养学生良好的学习习惯。‎ 重点难点 重点是直角三角形的解法；难点是三角函数在解直角三角形中的灵活运用。学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边 教学过程：‎ ‎（一）明确目标 ‎1、结合图形指出在三角形中共有几个元素？‎ ‎2、直角三角形ABC中，∠C＝90º，、、，∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？‎ ‎（1）三边之间关系 a²＋b²＝c²（勾股定理）‎ ‎（2）锐角之间关系∠A＋∠B＝90º ‎（3）边角之间关系 sinA＝ cosA＝ tan＝ cotA＝‎ 其中A可以换为B 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用。‎ ‎（二）整体感知 教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数知识，对其加以复习巩固。同时，本课又为以后的应用举例打下基础，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课—解直角三角形—的知识来解决的。综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课。‎ ‎（三）重点、难点的学习与目标完成过程 ‎1、我们已掌握Rt⊿ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少又一个是边）后，就可求出其余的元素。这样的导语即可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情。‎ ‎2、教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素至少又一条边？”让全体学生的思维目标已知，在做出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？（由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形）‎ ‎3、例题 - 6 -‎ 例1 在⊿ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c＝287。4，∠B＝42º6’，解这个三角形。‎ 解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想。其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。说明：根据各班差距，如有需要可将有效数字等复习一下 解：（1）∠A＝90º－∠B＝90º－42º6’＝47º54’，‎ ‎ （2）∵cosB＝，‎ ‎ ∴＝c×cosB＝287。4×0。7420≈213.3。‎ ‎ （3）∵sinB＝‎ ‎ ∴＝csinB＝287.4×0.6704≈192.7。‎ 完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”‎ 答：先求另外一角，然后选区恰当的函数关系是丘陵两边。计算是，利用所求的两如不必原始数据间边的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小斜，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底。‎ 学生练习1：（书P115例1）在⊿ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b＝4，∠A＝26º8’，求∠B、a、c。（精确到0.01）‎ 例2 在Rt⊿ABC中，∠C为直角，＝104.0，＝20.49，解这个三角形。‎ 在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。‎ 解：（1）∵tanA＝ ＝≈106.0。‎ 计算器求∠A＝78º51’； ‎ ‎（2）∠B＝90º－78º51’＝11º9’。‎ ‎（3）∵sinA＝，‎ ‎∴c＝ ＝≈106.0。‎ 学生练习2: 在Rt⊿ABC中，∠C为直角，＝15.60，＝8.50，求∠A、∠B、c。（长度精确到0.01，角度精确到1’）。‎ 注意学生练习要求：‎ 解直角三角形时解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握。为此，我配备了练习1、2，及时巩固。解直角三角形计算上比较繁琐，必须写出解直角三角形的整个过程。要求学生认真对待这些题目，努力防止出错，培养起良好的学习习惯。‎ ‎（四）总结与扩展 请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），如何求出另三个元素，对照例题分析。‎ ‎ ‎ ‎ 作业:书P116 1. 2. 3.‎ - 6 -‎ 教学后记：‎ 解直角三角形及其应用(2)‎ 一、素质教育目标 ‎1、知识教学点 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．‎ ‎2、能力训练点 逐步培养分析问题、解决问题的能力．‎ ‎3、德育渗透点 培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．‎ 二、教学重点、难点和疑点 ‎1、重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．‎ ‎2、难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．‎ ‎3、疑点：练习中水位为＋2.63这一条件学生可能不理解，教师最好用实际教具加以说明。‎ 三、教学步骤 ‎(一)明确目标 ‎1、解直角三角形指什么？‎ ‎2、解直角三角形主要依据什么？‎ ‎(1)勾股定理：a2＋b2＝c2‎ ‎(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°‎ ‎(3)边角之间的关系：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (二)整体感知 在讲完查“正弦和余弦”以及“正切和余切”后，教材随学随用，先解决了本章引例中的实际问题，然后又解决了一些简单问题，至于本节“解直角三角形”，完全是讲知识的应用与联系实际的．因此本章应努力贯彻理论联系实际的原则。‎ ‎(三)重点、难点的学习与目标完成过程 ‎ 例1、（书P116）如图，一艘游船在离开码头A后，以和河岸成20度角的方向行驶了500米到达B处，求B处与河岸的距离（精确到1米）‎ - 6 -‎ 学生练习：书P99 以前的探究题 ‎ 例2 ‎ 如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α＝16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)．‎ 分析：1、仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．‎ 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义。‎ ‎2、解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了。‎ 解：在Rt△ABC中，‎ ‎ ∴（米）‎ 答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．‎ 小结：本节例1和例2正好属于应用同一关系式，sinA＝来解决的两个实际问题即已知∠和斜边，求∠的对边；以及已知∠和对边，求斜边。‎ ‎3、巩固练习。‎ ‎（1）如图，在高为28.5米的楼顶平台D处，用仪器测得一路灯电线杆底部B的俯角为14°2′，仪器高度AD为1.5米，求这根电线杆与这座楼的距离BC（精确到1米）‎ - 6 -‎ A B D C ‎14°2′‎ 为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习。‎ 由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：‎ ‎1、谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．‎ ‎2、请学生结合图说出已知条件和所求各是什么？‎ ‎(2)如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α＝80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为＋2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)‎ ‎ ‎ 引导学生分析：‎ ‎1、谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．‎ ‎2、请学生结合图(6－18)说出已知条件和所求各是什么？‎ 答：已知∠B＝8°14′，AC＝43.74－2.63＝41.11，求AB。‎ 这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答。‎ 对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式：当船继续行驶到D时，测得俯角β＝18013′，当时水位为－1.15m，求观察所A到船只B的水平距离(精确到1m)，请学生独立完成。‎ 例3  如图6－19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD。‎ 此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD。‎ 设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的。‎ 解：过A作AE∥CD，于是AC＝ED，AE＝CD。‎ - 6 -‎ 在Rt△ABE中，∴BE＝AB·sinA＝160·sin11°＝30.53(米)‎ ‎∴AE＝AB·cosA＝160·cos11°＝157.1(米)‎ ‎∴BD＝BE＋ED＝BE＋AC＝30.53＋1.5＝32.03(米)CD＝AE＝157.1(米)‎ 答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米．‎ 练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD＝520，已知人的高度为1.72米，求树高(精确到0.01米)．要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它。‎ ‎(四)总结与扩展 请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．‎ 四、布置作业 ‎1、教材P117 练习 P120 3、4‎ ‎2、补充选作题：‎ 河对岸有水塔AB，今在C处测得塔顶的仰角为30°，前进20米至D处，又测得A的仰角为45°，求塔高AB(精确到0.1米)‎ 教学后记：‎ - 6 -‎