2017年四川省泸州市中考数学试卷

2017年四川省泸州市中考数学试卷

‎2017年四川省泸州市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（大题共12小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）﹣7的绝对值是（　　）‎ A．7 B．﹣7 C． D．﹣‎ ‎2．（3分）“五一”期间，某市共接待海内外游客约567000人次，将567000用科学记数法表示为（　　）‎ A．567×103 B．56.7×104 C．5.67×105 D．0.567×106‎ ‎3．（3分）下列各式计算正确的是（　　）‎ A．2x•3x=6x B．3x﹣2x=x C．（2x）2=4x D．6x÷2x=3x ‎4．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3‎ ‎6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（　　）‎ A． B．2 C．6 D．8‎ ‎7．（3分）下列命题是真命题的是（　　）‎ A．四边都相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 ‎8．（3分）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（3分）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　）‎ A．7 B．11 C．12 D．16‎ ‎11．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（3分）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（‎ ‎，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）‎ ‎13．（3分）在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是　 　．‎ ‎14．（3分）分解因式：2m2﹣8=　 　．‎ ‎15．（3分）若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎16．（3分）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为　 　cm．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共3小题，每题6分，共18分）‎ ‎17．（6分）计算：（﹣3）2+20170﹣×sin45°．‎ ‎18．（6分）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求证：AB=DE．‎ ‎19．（6分）化简：•（1+）‎ ‎　‎ 四、本大题共2小题，每小题7分，共14分 ‎20．（7分）某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：‎ ‎（1）补全条形统计图；‎ ‎（2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；‎ ‎（3）估计该单位750名职工共捐书多少本？‎ ‎21．（7分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．‎ ‎（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？‎ ‎（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．‎ ‎　‎ 五、本大题共2小题，每小题8分，共16分.‎ ‎22．（8分）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎23．（8分）一次函数y=kx+b（k≠‎ ‎0）的图象经过点A（2，﹣6），且与反比例函数y=﹣的图象交于点B（a，4）[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎（1）求一次函数的解析式；‎ ‎（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1=k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2=的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．‎ ‎　‎ 六、本大题共两个小题，每小题12分，共24分 ‎24．（12分）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．‎ ‎（1）求证：DF∥AO；‎ ‎（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．‎ ‎25．（12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；‎ ‎（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．‎ ‎　‎ ‎2017年四川省泸州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　[来源:学科网]‎ 一、选择题（大题共12小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）（2017•泸州）﹣7的绝对值是（　　）‎ A．7 B．﹣7 C． D．﹣‎ ‎【分析】根据绝对值的性质解答，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a．‎ ‎【解答】解：|﹣7|=7．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了绝对值的性质，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：‎ ‎①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；‎ ‎②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；‎ ‎③当a是零时，a的绝对值是零．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2017•泸州）“五一”期间，某市共接待海内外游客约567000人次，将567000用科学记数法表示为（　　）‎ A．567×103 B．56.7×104 C．5.67×105 D．0.567×106‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：567000=5.67×105，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2017•泸州）下列各式计算正确的是（　　）‎ A．2x•3x=6x B．3x﹣2x=x C．（2x）2=4x D．6x÷2x=3x ‎【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．‎ ‎【解答】解：A、原式=6x2，不符合题意；‎ B、原式=x，符合题意；‎ C、原式=4x2，不符合题意；‎ D、原式=3，不符合题意，‎ 故选B ‎【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2017•泸州）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据左视图是从左边看到的图形解答．‎ ‎【解答】解：左视图有2行，每行一个小正方体．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2017•泸州）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3‎ ‎【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．‎ ‎【解答】解：由A（a，1）关于原点的对称点为B（﹣4，b），得 a=4，b=﹣1，‎ a+b=3，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2017•泸州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（　　）‎ A． B．2 C．6 D．8‎ ‎【分析】根据垂径定理，可得答案．‎ ‎【解答】解：连接OC，‎ 由题意，得 OE=OB﹣AE=4﹣1=3，‎ CE=ED==，‎ CD=2CE=2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理，利用勾股定理，垂径定理是解题关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2017•泸州）下列命题是真命题的是（　　）‎ A．四边都相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 ‎【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．‎ ‎【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；‎ B、矩形的对角线相等，故错误；‎ C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；‎ D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2017•泸州）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】函数是在一个变化过程中有两个变量x，y，一个x只能对应一个y．‎ ‎【解答】解：当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．‎ 选项C中的图形中对于一个自变量的值，图象就对应两个点，即y有两个值与x的值对应，因而不是函数关系．‎ 故选C．‎ ‎【点评】考查了函数的概念，理解函数的定义，是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2017•泸州）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为2，3，4的面积，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：∵S=，‎ ‎∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S==，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2017•泸州）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　）‎ A．7 B．11 C．12 D．16‎ ‎【分析】由根与系数的关系可得出m+n=2t、mn=t2﹣2t+4，将其代入（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4中可得出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值．‎ ‎【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，‎ ‎∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，‎ ‎∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．‎ ‎∵方程有两个实数根，‎ ‎∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，‎ ‎∴t≥2，‎ ‎∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及二次函数的最值，根据根与系数的关系找出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2017•泸州）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF==2x，再由三角函数定义即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD=BC，AD∥BC，‎ ‎∵点E是边BC的中点，‎ ‎∴BE=BC=AD，‎ ‎∴△BEF∽△DAF，‎ ‎∴=，[来源:学科网]‎ ‎∴EF=AF，‎ ‎∴EF=AE，‎ ‎∵点E是边BC的中点，‎ ‎∴由矩形的对称性得：AE=DE，‎ ‎∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，‎ ‎∴DF==2x，‎ ‎∴tan∠BDE===；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2017•泸州）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=x2+1于点P，由PF=PE结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF周长取最小值，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，进而得出△PMF周长的最小值．‎ ‎【解答】解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，‎ ‎∵F（0，2）、M（，3），‎ ‎∴ME=3，FM==2，‎ ‎∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质以及三角形三边关系，根据三角形的三边关系确定点P的位置是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）‎ ‎13．（3分）（2017•泸州）在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是　　．‎ ‎【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．‎ ‎【解答】解；袋子中球的总数为：4+2=6，‎ ‎∴摸到白球的概率为：=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2017•泸州）分解因式：2m2﹣8=　2（m+2）（m﹣2）　．‎ ‎【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．‎ ‎【解答】解：2m2﹣8，‎ ‎=2（m2﹣4），‎ ‎=2（m+2）（m﹣2）．‎ 故答案为：2（m+2）（m﹣2）．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2017•泸州）若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是　m＜6且m≠2　．‎ ‎【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．‎ ‎【解答】解：+=3，‎ 方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m=3x﹣6，‎ 解得，x=，‎ ‎∵≠2，‎ ‎∴m≠2，‎ 由题意得，＞0，‎ 解得，m＜6，‎ 故答案为：m＜6且m≠2．‎ ‎【点评】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2017•泸州）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为　4　cm．‎ ‎【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．‎ ‎【解答】解：连接AO并延长，交BC于H，‎ 由勾股定理得，DE==2，‎ ‎∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线，‎ ‎∴BC=2DE=4，O是△ABC的重心，‎ ‎∴AH是中线，又BD⊥CE，‎ ‎∴OH=BC=2，‎ ‎∵O是△ABC的重心，‎ ‎∴AO=2OH=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查的是重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共3小题，每题6分，共18分）‎ ‎17．（6分）（2017•泸州）计算：（﹣3）2+20170﹣×sin45°．‎ ‎【分析】首先计算乘方、开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．‎ ‎【解答】解：（﹣3）2+20170﹣×sin45°‎ ‎=9+1﹣3×‎ ‎=10﹣3‎ ‎=7‎ ‎【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2017•泸州）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求证：AB=DE．‎ ‎【分析】欲证明AB=DE，只要证明△ABC≌△DEF即可．‎ ‎【解答】证明：∵AF=CD，‎ ‎∴AC=DF，‎ ‎∵BC∥EF，‎ ‎∴∠ACB=∠DFE，‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（ASA），‎ ‎∴AB=DE．‎ ‎【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2017•泸州）化简：•（1+）‎ ‎【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=•=．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ 四、本大题共2小题，每小题7分，共14分 ‎20．（7分）（2017•泸州）某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：‎ ‎（1）补全条形统计图；‎ ‎（2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；‎ ‎（3）估计该单位750名职工共捐书多少本？‎ ‎【分析】（1）根据题意列式计算得到D类书的人数，补全条形统计图即可；‎ ‎（2）根据次数出现最多的数确定众数，按从小到大顺序排列好后求得中位数；‎ ‎（3）用捐款平均数乘以总人数即可．‎ ‎【解答】解（1）捐D类书的人数为：30﹣4﹣6﹣9﹣3=8，‎ 补图如图所示；‎ ‎（2）众数为：6 中位数为：6‎ 平均数为：=（4×4+5×6+6×9+7×8+8×3）=6；‎ ‎（3）750×6=4500，‎ 即该单位750名职工共捐书约4500本．‎ ‎【点评】此题主要考查了中位数，众数，平均数的求法，条形统计图的画法，用样本估计总体的思想和计算方法；要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．‎ ‎　‎ ‎21．（7分）（2017•泸州）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．‎ ‎（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？‎ ‎（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．‎ ‎【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程组求解即可；‎ ‎（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个．根据：购买的乙种书柜的数量≥甲种书柜数量且所需资金≤4320列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．‎ ‎【解答】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：‎ ‎，‎ ‎ 解之得：，‎ 答：设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．‎ ‎（2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个；‎ 由题意得： ‎ 解之得：8≤m≤10‎ 因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10‎ 即：学校的购买方案有以下三种：‎ 方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，‎ 方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，‎ 方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．‎ ‎【点评】本题主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．‎ ‎　‎ 五、本大题共2小题，每小题8分，共16分.‎ ‎22．（8分）（2017•泸州）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．‎ ‎【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x，解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：‎ ‎∠BCD=30°，设BC=x，则：‎ 在Rt△BCD中，BD=BC•sin30°=x，CD=BC•cos30°=x；‎ ‎∴AD=30x，‎ ‎∵AD2+CD2=AC2，即：（30+x）2+（x）2=702，‎ 解之得：x=50（负值舍去），‎ 答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里．‎ ‎【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2017•泸州）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，﹣6），且与反比例函数y=﹣的图象交于点B（a，4）‎ ‎（1）求一次函数的解析式；‎ ‎（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1=k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2=的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据点B的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；‎ ‎（2）根据“上加下减”找出直线l的解析式，联立直线l和反比例函数解析式成方程组，解方程组可找出交点坐标，画出函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出使y1＜y2成立的x的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵反比例函数y=﹣的图象过点B（a，4），‎ ‎∴4=﹣，解得：a=﹣3，‎ ‎∴点B的坐标为（﹣3，4）．‎ 将A（2，﹣6）、B（﹣3，4）代入y=kx+b中，‎ ‎，解得：，‎ ‎∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣2．‎ ‎（2）直线AB向上平移10个单位后得到直线l的解析式为：y1=﹣2x+8．‎ 联立直线l和反比例函数解析式成方程组，‎ ‎，解得：，，‎ ‎∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为（1，6）和（3，2）．‎ 画出函数图象，如图所示．‎ 观察函数图象可知：当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数图象在直线l的上方，‎ ‎∴使y1＜y2成立的x的取值范围为0＜x＜1或x＞3．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出两函数图象的交点坐标．‎ ‎　‎ 六、本大题共两个小题，每小题12分，共24分 ‎24．（12分）（2017•泸州）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．‎ ‎（1）求证：DF∥AO；‎ ‎（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．‎ ‎【分析】（1）欲证明DF∥OA，只要证明OA⊥CD，DF⊥CD即可；‎ ‎（2）过点作EM⊥OC于M，易知=，只要求出EM、FM、FC即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD．‎ ‎∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，‎ ‎∴AC=AD，∵OC=OD，‎ ‎∴OA⊥CD，‎ ‎∴CD⊥OA，‎ ‎∵CF是直径，‎ ‎∴∠CDF=90°，‎ ‎∴DF⊥CD，‎ ‎∴DF∥AO．‎ ‎（2）过点作EM⊥OC于M，‎ ‎∵AC=6，AB=10，‎ ‎∴BC==8，‎ ‎∴AD=AC=6，‎ ‎∴BD=AB﹣AD=4，‎ ‎∵BD2=BF•BC，‎ ‎∴BF=2，‎ ‎∴CF=BC﹣BF=6．OC=CF=3，‎ ‎∴OA==3，‎ ‎∵OC2=OE•OA，‎ ‎∴OE=，‎ ‎∵EM∥AC，‎ ‎∴===，‎ ‎∴OM=，EM=，FM=OF+OM=，‎ ‎∴===，‎ ‎∴CG=EM=2．‎ ‎【点评】本题考查切线的性质、直径的性质、切线长定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2017•泸州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；‎ ‎（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．‎ ‎【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；‎ ‎（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表示出△‎ PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得S1﹣S2的最大值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）由题意可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，‎ ‎∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，‎ ‎∴四边形ABDC为等腰梯形，‎ ‎∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，‎ ‎∴D（3，2）；‎ 当点D在x轴下方时，‎ ‎∵∠DBA=∠CAO，‎ ‎∴BD∥AC，‎ ‎∵C（0，2），‎ ‎∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2，‎ ‎∴直线AC解析式为y=2x+2，‎ ‎∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8，‎ ‎∴直线BD解析式为y=2x﹣8，‎ 联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，‎ ‎∴D（﹣5，﹣18）；‎ 综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；‎ ‎（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，‎ 设P（t，﹣t2+t+2），‎ 由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+2，‎ ‎∴H（t，﹣t+2），‎ ‎∴PH=yP﹣yH=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+2t，‎ 设直线AP的解析式为y=px+q，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴直线AP的解析式为y=（﹣t+2）（x+1），令x=0可得y=2﹣t，‎ ‎∴F（0，2﹣t），‎ ‎∴CF=2﹣（2﹣t）=t，‎ 联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x=，即E点的横坐标为，‎ ‎∴S1=PH（xB﹣xE）=（﹣t2+2t）（4﹣），S2=••，‎ ‎∴S1﹣S2=（﹣t2+2t）（4﹣）﹣••=﹣t2+4t=﹣（t﹣）2+，‎ ‎∴当t=时，有S1﹣S2有最大值，最大值为．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．‎ ‎　‎