2009年山东省潍坊市中考数学试卷(全解全析)

2009年山东省潍坊市中考数学试卷(全解全析)

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1、（2009•潍坊）下列运算正确的是（　　）‎ ‎ A、a2•a3=a6 B、（‎1‎‎2‎）﹣1=﹣2‎ ‎ C、‎16‎=±4 D、|﹣6|=6‎ 考点：负整数指数幂；绝对值；算术平方根；同底数幂的乘法。‎ 分析：幂运算的性质：‎ ‎①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；‎ ‎②一个数的负指数次幂等于这个数的正指数次幂的倒数，‎ 算术平方根的概念：一个正数的正的平方根叫它的算术平方根，0的算术平方根是0．‎ 绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．‎ 解答：解：A、a2•a3=a5，故A错误；‎ B、（‎1‎‎2‎）﹣1=2，故B错误；‎ C、‎16‎=4，故C错误；‎ D、根据负数的绝对值等于它的相反数，故D正确．‎ 故选D．‎ 点评：本题涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．‎ ‎2、（2009•潍坊）一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（　　）‎ ‎ A、a+1 B、a2+1‎ ‎ C、a‎2‎‎+1‎ D、‎a+1‎ 考点：算术平方根。‎ 分析：首先根据算术平方根的定义求出自然数，然后即可求出这个自然数相邻的下一个自然数．‎ 解答：解：∵一个自然数的算术平方根为a，‎ ‎∴这个自然数是a2．‎ ‎∴和这个自然数相邻的下一个自然数是a2+1．‎ 故选B．‎ 点评：此题主要考查了算术平方根的概念，同时要知道相邻的两个自然数相差为1．‎ ‎3、（2009•潍坊）太阳内部高温核聚变反应释放的辐射能功率为3.8×1023千瓦，到达地球的仅占20亿分之一，到达地球的辅射能功率为（　　）千瓦．（用科学记数法表示，保留2个有效数字）‎ ‎ A、1.9×1014 B、2.0×1014‎ ‎ C、7.6×1015 D、1.9×1015‎ 考点：科学记数法与有效数字。‎ 专题：应用题。‎ 分析：先将20亿用科学记数法表示，再进行计算．‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的开始，后面所有的数都是有效数字．‎ 解答：解：3.8×1023÷（20×108）=1.9×1014．‎ 故选A．‎ 点评：任何一个数都可以用科学记数法表示成a×10n（1≤|a|＜10，n是整数）的形式，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎4、（2009•潍坊）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，且x12+x22=24，则k的值是（　　）‎ ‎ A、8 B、﹣7‎ ‎ C、6 D、5‎ 考点：根与系数的关系。‎ 分析：根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，代入已知条件中，求得k的值．‎ 解答：解：由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣ba=6，‎ x1•x2=ca=k+1，‎ ‎∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=36﹣2（k+1）=24，‎ 解之得k=5．故选D．‎ 点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣ba，x1•x2=ca．‎ ‎5、（2009•潍坊）某班50名同学分别站在公路的A，B两点处，A，B两点相距1000米，A处有30人，B处有20人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（　　）‎ ‎ A、A点处 B、线段AB的中点处 ‎ C、线段AB上，距A点‎1000‎‎3‎米处 D、线段AB上，距A点400米处 考点：比较线段的长短。‎ 专题：应用题。‎ 分析：设A处学生走的路程，表示出B处学生走的路程，然后列式计算所有同学走的路程之和．‎ 解答：解：设A处的同学走x米，那么B处的同学走（1000﹣x）米，‎ 所有同学走的路程总和：‎ L=30x+20（1000﹣x）=10x+20000‎ 此时0≤x≤1000，要使L最小，必须x=0，‎ 此时L最小值为20000；‎ 所以选A点处．‎ 故选A．‎ 点评：此题主查考查一次函数在实际生活中的意义，学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．‎ ‎6、（2009•潍坊）关于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（　　）‎ ‎ A、6 B、7‎ ‎ C、8 D、9‎ 考点：根的判别式。‎ 分析：方程有实数根，应分方程是一元二次方程与不是一元二次方程，两种情况进行讨论，当不是一元二次方程时，a﹣6=0，即a=6；‎ 当是一元二次方程时，有实数根，则△≥0，求出a的取值范围，取最大整数即可．‎ 解答：解：当a﹣6=0，即a=6时，方程是﹣8x+6=0，解得x=‎6‎‎8‎=‎3‎‎4‎；‎ 当a﹣6≠0，即a≠6时，△=（﹣8）2﹣4（a﹣6）×6=208﹣24a≥0，解上式，得a≤‎26‎‎3‎≈8.6，‎ 取最大整数，即a=8．故选C．‎ 点评：通过△求出a的取值范围后，再取最大整数．‎ ‎7、（2009•潍坊）甲、乙两盒中分别放入编号为1，2，3，4的形状相同的4个小球，从甲盒中任意摸出一球，再从乙盒中任意摸出一球，将两球编号数相加得到一个数，则得到数（　　）的概率最大．‎ ‎ A、3 B、4‎ ‎ C、5 D、6‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：列举出所有情况，看得到和为3，4，5，6的情况占总情况的多少，比较即可．‎ 解答：解：列表得：‎ ‎∴一共有16种情况，p（3）=‎2‎‎16‎=‎1‎‎8‎；p（4）=‎3‎‎16‎；p（5）=‎4‎‎16‎=‎1‎‎4‎；p（6）=‎3‎‎16‎，‎ ‎∴将两球编号数相加得到一个数，则得到数5的概率最大．‎ 故选C．‎ 点评：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎8、（2009•潍坊）如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=50米，则小岛B到公路l的距离为（　　）米．‎ ‎ A、25 B、25‎‎3‎ ‎ C、‎100‎‎3‎‎3‎ D、25+25‎‎3‎ 考点：解直角三角形的应用-方向角问题。‎ 分析：过点B作BE⊥AD与E，设BD=x，则可以表示出CE，AE的长，再根据已知列方程从而可求得BD的长．‎ 解答：解：过点B作BE⊥AD与E．‎ 设BD=x，则CE=‎3‎‎3‎x．‎ 在直角△ABE中，AE=‎3‎x，AC=50米，‎ 则‎3‎x﹣‎3‎‎3‎x=50．‎ 解得x=25‎3‎．‎ 即小岛B到公路l的距离为25‎3‎米．‎ 故选B．‎ 点评：解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．‎ ‎9、（2009•潍坊）已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（　　）‎ ‎ A、2R B、‎3‎R ‎ C、R D、‎3‎‎2‎R 考点：切线的性质。‎ 分析：先利用“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”得出∠COD=2∠A=60°再解直角三角形可得CD长，最后用切割线定理可得BD长．‎ 解答：解：连接OC，BC，‎ ‎∵AB是圆O的直径，DC是圆O的切线，C是切点，‎ ‎∴∠ACB=∠OCD=90°，‎ ‎∵∠CAB=30°，‎ ‎∴∠COD=2∠A=60°，CD=OC•tan∠COD=‎3‎R，由切割线定理得，CD2=BD•AD=BD（BD+AB），‎ ‎∴BD=R．‎ 故选C．‎ 点评：本题利用了直径对的圆周角是直角，切线的性质，切割线定理求解．‎ ‎10、（2009•潍坊）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AB=2‎3‎cm，将△ABC绕顶点C顺时针旋转至△A′B′C′的位置，且A、C、B′三点在同一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是（　　）cm．‎ ‎ A、8 B、4‎‎3‎ ‎ C、‎32‎‎3‎π D、‎8‎‎3‎π 考点：弧长的计算；旋转的性质。‎ 分析：点A经过的最短路线的长度是一段弧长，圆心是C，半径是AC，旋转的度数是120度，由特殊三角函数可求得AC=4，所以根据弧长公式可得．‎ 解答：解：弧长=‎120π×4‎‎180‎=‎8‎‎3‎π．‎ 故选D．‎ 点评：本题的关键是找准圆心角和半径求弧长．‎ ‎11、（2009•潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，分别以A，C为圆心，以AC‎2‎的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（　　）cm2．‎ ‎ A、24﹣‎25‎‎4‎π B、‎25‎‎4‎π ‎ C、24﹣‎5‎‎4‎π D、24﹣‎25‎‎6‎π 考点：扇形面积的计算；勾股定理。‎ 专题：转化思想。‎ 分析：已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，则根据勾股定理可知AC=10cm，阴影部分的面积可以看作是直角三角形ABC的面积减去两个扇形的面积．‎ 解答：解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=‎8‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=10cm，‎ ‎∴S阴影部分=‎1‎‎2‎×6×8﹣‎90π×‎‎5‎‎2‎‎360‎‎=24﹣‎‎25π‎4‎cm2．故选A．‎ 点评：阴影部分的面积可以看作是直角三角形ABC的面积减去两个扇形的面积，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．‎ ‎12、（2009•潍坊）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=﹣‎8‎x与一次函数y=﹣x+2交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）‎ ‎ A、2 B、6‎ ‎ C、10 D、8‎ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。‎ 专题：计算题。‎ 分析：本题需先求出两个函数的交点坐标，联立两函数的解析式，所得方程组的解即为A、B点的坐标．由于△OAB的边不在坐标轴上，因此可用其他图形面积的和差来求出△AOB的面积．‎ 解答：解：由题意：‎&y=﹣‎‎8‎x‎&y=﹣x+2‎，解得‎&x=﹣2‎‎&y=4‎，‎&x=4‎‎&y=﹣2‎；‎ ‎∴A（﹣2，4）、B（4，﹣2）．‎ 如图：由于一次函数y=﹣x+2与y轴的交点坐标C（0，2），‎ 所以OC=2；‎ 因此S△AOB=S△AOC+S△COB=‎1‎‎2‎×2×2+‎1‎‎2‎×2×4=6，‎ 故选B．‎ 点评：本题难度较大，考查利用反比例函数和一次函数的知识求三角形的面积，因为△AOB的边都不在坐标轴上，所以直接利用三角形的面积计算公式来求这个三角形的面积比较烦琐，也比较难，因此需要将这个三角形转化为两个有一边在坐标上的三角形来求面积．本题也可以求出一次函数y=﹣x+2与x轴的交点坐标D（2，0），再利用上面的方法来求△AOB的面积．‎ 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）‎ ‎13、（2009•潍坊）分解因式：27x2+18x+3= ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用。‎ 分析：先提取公因式3，再对剩余项9x2+6x+1利用完全平方公式分解因式即可．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．‎ 解答：解：27x2+18x+3，‎ ‎=3（9x2+6x+1），‎ ‎=3（3x+1）2．‎ 点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解，分解因式要彻底．‎ ‎14、（2009•潍坊）方程‎3‎‎2x‎=‎‎1‎x+3‎的解是x= ．‎ 考点：解分式方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：本题的最简公分母是2x（x+3），方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．‎ 解答：解：方程两边都乘2x（x+3），得 ‎3×（x+3）=2x解得x=﹣9．‎ 检验；当x=﹣9时，2x（x+3）≠0．‎ ‎∴x=﹣9是原方程的解．‎ 点评：本题考查分式方程的求解：‎ ‎（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎（2）解分式方程必须代入最简公分母验根．‎ ‎15、（2009•潍坊）如图，正方形ABCD的边长为10，点E在CB的延长线上，EB=10，点P在边CD上运动（C，D两点除外），EP与AB相交于点F，若CP=x，四边形FBCP的面积为y，则y关于x的函数关系式是 ．‎ 考点：三角形中位线定理；根据实际问题列一次函数关系式；梯形。‎ 专题：动点型。‎ 分析：BF是△ECP的中位线，四边形FBCP为梯形，根据公式求解．‎ 解答：解：∵正方形ABCD的边长为10，CP=x，EB=10‎ ‎∴BF是ECP的中位线，∴BF=‎1‎‎2‎CP=‎1‎‎2‎x ‎∵AB∥CD ‎∴四边形FBCP是梯形，S梯形FBCP=‎1‎‎2‎（BF+CP）•BC=‎1‎‎2‎•‎3x‎2‎×10=‎‎15x‎2‎ 即y=‎15‎‎2‎x（0＜x＜10）．‎ 点评：本题很简单，只要熟知三角形的中位线定理及梯形的面积公式即可解答．‎ ‎16、（2009•潍坊）已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的长的最大值是 ．‎ 考点：坐标与图形性质；等边三角形的性质；勾股定理。‎ 分析：根据题意可知，当AB的中点D、O、C三点共线时OC最长，再结合等边三角形的性质即可得出本题的答案．‎ 解答：解：取AB中点D，连OD，DC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD．‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴OA=OB，根据三角形的性质可知：OD=‎1‎‎2‎a，CD=a‎2‎‎﹣（‎a‎2‎‎）‎‎2‎=‎3‎‎2‎a．‎ ‎∴OC=‎1+‎‎3‎‎2‎a 点评：本题考查的是等边三角形的性质；要注意直角三角形斜边中点到三顶点距离相等，即等于斜边的一半．‎ ‎17、（2009•潍坊）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A′B′C′．‎ 考点：作图-旋转变换。‎ 专题：作图题；网格型。‎ 分析：本题是在网格中将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画图时，除了把握好旋转方向外，还要确保OA=OA′，OA⊥OA′，OB=OB′，OB⊥OB′，OC=OC′，OC⊥OC′．‎ 解答：解：‎ 点评：本题难度中等，考查网格中的旋转作图，作图时，抓住网格的特点，根据旋转的性质，借助于直角三角板中的直角，就能顺利作出图形，解题时要注意是顺时针还是逆时针方向．‎ 三、解答题（共7小题，满分69分）‎ ‎18、（2009•潍坊）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：‎ 方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；‎ 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．‎ ‎（1）若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）关于x（个）的函数关系式；‎ ‎（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．‎ 考点：一次函数的应用。‎ 专题：方案型。‎ 分析：（1）由已知条件可以得出两个方案的解析式y1=4x，y2=2.4x+16000．‎ ‎（2）使y2﹣y1得，16000﹣1.6x=0，解得x=10000，讨论x的取值范围来比较来比较两个方案的优缺．‎ 解答：解：（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用：y1=4x，‎ 蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：y2=2.4x+16000．‎ ‎（2）y2﹣y1=2.4x+16000﹣4x=16000﹣1.6x，‎ 由y1=y2得，16000﹣1.6x=0，‎ 解得x=10000，‎ ‎∴当x＜10000时，y1＜y2，‎ 选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低．‎ 当x＞10000时，y1＞y2，‎ 选择方案二，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低．‎ 当x=10000时，y1=y2，‎ 选择两个方案的费用相同．‎ 点评：利用一次函数性质解决生活中的实际问题．需要讨论x的取值．‎ ‎19、（2009•潍坊）新星公司到某大学从应届毕业生中招聘公司职员，对应聘者的专业知识、英语水平、参加社会实践与社团活动等三项进行测试或成果认定，三项的得分满分都为100分，三项的分数分别按5：3：2的比例记入每人的最后总分，有4位应聘者的得分如下表所示．‎ ‎（1）写出4位应聘者的总分；‎ ‎（2）就表中专业知识、英语水平、参加社会实践与社团活动等三项的得分，分别求出三项中4人所得分数的方差；‎ ‎（3）由（1）和（2），你对应聘者有何建议？‎ 考点：加权平均数；方差。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）求四位应聘者总分只需将各部分分数按比例相加即可；‎ ‎（2）根据方差的计算方法：先求平均数，再按公式计算方差即可．‎ 解答：解：‎ ‎（1）应聘者A总分为85×50%+85×30%+90×20%=86；‎ 应聘者B总分为85×50%+85×30%+70×20%=82；‎ 应聘者C总分为80×50%+90×30%+70×20%=81；‎ 应聘者D总分为85×50%+90×30%+90×20%=84；‎ ‎（2）4位应聘者的专业知识测试的平均分数X‎1‎=（85+85+90+80）÷4=85，‎ 方差为：S‎1‎‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎[（85﹣85）2+（85﹣85）2+（80﹣85）2+（90﹣85）2]=12.5，‎ ‎4位应聘者的英语水平测试的平均分数X‎2‎=（85+85+90+90）÷4=87.5，‎ 方差为：S‎2‎‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎×2.52×4=6.25．‎ ‎4位应聘者参加社会实践与社团活动等的平均分数为X‎3‎=（90+70+70+50）÷4=70，‎ 方差为：S‎3‎‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎[（90﹣70）2+（70﹣70）2+（70﹣70）2+（50﹣70）2]=200；‎ ‎（3）对于应聘者的专业知识、英语水平的差距不大，但参加社会实践与社团活动等方面的差距较大，影响学生的最后成绩，将影响学生就业．学生不仅注重自己的文化知识的学习，更应注重社会实践与社团活动的开展，从而促进学生综合素质的提升．‎ 点评：本题考查方差的意义：一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，通常用s2表示，其公式为s2=‎1‎n[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2]（其中n是样本容量，x表示平均数）．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．‎ ‎20、（2009•潍坊）已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．‎ ‎（1）求AEAC的值；‎ ‎（2）若AB=a，FB=EC，求AC的长．‎ 考点：三角形中位线定理；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：几何综合题。‎ 分析：（1）过点F作FM∥AC，交BC于点M．根据平行线分线段成比例定理分别找到AE，CE与FM之间的关系，得到它们的比值；‎ ‎（2）结合（1）中的线段之间的关系，进行求解．‎ 解答：解：‎ ‎（1）过点F作FM∥AC，交BC于点M，‎ ‎∵F为AB的中点，‎ ‎∴M为BC的中点，FM=‎1‎‎2‎AC．‎ ‎∵FM∥AC，‎ ‎∴∠CED=∠MFD，∠ECD=∠FMD．‎ ‎∴△FMD∽△ECD．‎ ‎∴DCDM‎=ECFM=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎∴EC=‎2‎‎3‎FM=‎2‎‎3‎×‎1‎‎2‎AC=‎1‎‎3‎AC．‎ ‎∴AEAC‎=AC﹣ECAC=AC﹣‎1‎‎3‎ACAC=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎（2）∵AB=a，‎ ‎∴FB=‎1‎‎2‎AB=‎1‎‎2‎a．‎ ‎∵FB=EC，‎ ‎∴EC=‎1‎‎2‎a．‎ ‎∵EC=‎1‎‎3‎AC，‎ ‎∴AC=3EC=‎3‎‎2‎a．‎ 点评：此类题要注意作平行线，能够根据平行线分线段成比例定理和相似三角形对应边成比例即可求得线段的比．‎ ‎21、（2009•潍坊）要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．‎ ‎（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的‎1‎‎4‎，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．‎ ‎（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．‎ 考点：一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；相切两圆的性质。‎ 专题：几何图形问题。‎ 分析：（1）把P、Q合并成矩形得长为（60﹣3×硬化路面的宽），宽为（40﹣2×硬化路面的宽），由等量关系SP+SQ=S矩形ABCD÷4求得并检验．‎ ‎（2）两等量关系2×O1到AD的距离=40；2×圆的半径+2×圆心到边的距离=60，列方程组求出并检验．‎ 解答：解：（1）设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，‎ 根据题意，得：（60﹣3x）×（40﹣2x）=60×40×‎1‎‎4‎，‎ 解得，x1=10，x2=30，‎ 经检验，x2=30不符合题意，舍去．‎ 所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．‎ ‎（2）设想成立．‎ 设圆的半径为r米，O1到AB的距离为y米，‎ 根据题意，得：‎&2y=40‎‎&2y+2r=60‎，‎ 解得：y=20，r=10，符合实际．‎ 所以，设想成立，则圆的半径是10米．‎ 点评：分析图形特点，根据题意找出等量关系列出方程或方程组，解决问题并检验．‎ ‎22、（2009•潍坊）如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD、DC．‎ ‎（1）求证：BD=DC=DI；‎ ‎（2）若圆O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积．‎ 考点：圆内接四边形的性质；等边三角形的判定；圆周角定理；解直角三角形。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）根据题意可得∠BAD=∠DAC，进而可得BD=DC．同理可得∠BAD=∠DBC，易证△BDI为等腰三角形．结合BD=ID，容易得到证明．‎ ‎（2）根据圆内接四边形的性质与圆周角定理，可得∠DBC=∠DCB=60°，△BDC为正三角形．又OB=10cm，可得△BDC的面积．‎ 解答：证明：（1）∵AI平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD=∠DAC，‎ ‎∴BD=DC． （2分）‎ ‎∵BI平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABI=∠CBI．‎ ‎∵∠BAD=∠DAC，∠DBC=∠DAC，‎ ‎∴∠BAD=∠DBC．‎ 又∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠ABI+∠BAD，‎ ‎∴∠DBI=∠DIB，‎ ‎∴△BDI为等腰三角形，‎ ‎∴BD=ID，‎ ‎∴BD=DC=DI． （5分）‎ ‎（2）解：当∠BAC=120°时，△ABC为钝角三角形，‎ ‎∴圆心O在△ABC外．‎ 连接OB、OD、OC．‎ ‎∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°，‎ ‎∴∠DBC=∠DCB=60°，‎ ‎∴△BDC为正三角形． （8分）‎ 又OB=10，‎ ‎∴BD=2OBsin60°=2×10×‎3‎‎2‎=10‎3‎．‎ ‎∴S△BDC=‎3‎‎4‎×（10‎3‎）2=75‎3‎．‎ 答：△BDC的面积为75‎3‎cm2． （10分）‎ 点评：此题综合性较强，综合考查了等腰梯形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质等知识点．‎ ‎23、（2009•潍坊）在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=a，DC=b，BC=a+b，且a≤b．取AD的中点P，连接PB、PC．‎ ‎（1）试判断三角形PBC的形状；‎ ‎（2）在线段BC上，是否存在点M，使AM⊥MD．若存在，请求出BM的长；若不存在，请说明理由．‎ 考点：梯形中位线定理；勾股定理；等腰直角三角形；直线与圆的位置关系。‎ 专题：开放型；分类讨论。‎ 分析：根据已知条件，得到四边形ABCD为直角梯形或矩形．‎ ‎（1）过点P作PQ⊥BC，易证PQ=BQ=QC，则△PQB与△PQC是全等的等腰直角三角形，因而△PBC是等腰直角三角形．‎ ‎（2）判断在线段BC上，是否存在点M，使AM⊥MD，就是判断以以AD为直径，P为圆心作圆P，问这个圆与BC是否有公共点．‎ 应分a=b和a＜b两种情况进行讨论．‎ 解答：解：‎ ‎（1）在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，‎ ‎∴AB∥DC．‎ 又AB=a，DC=b，且a≤b，‎ ‎∴四边形ABCD为直角梯形（或矩形）．‎ 过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，‎ ‎∴PQ∥AB，‎ 又点P是AD的中点，‎ ‎∴点Q是BC的中点，‎ 又PQ=‎1‎‎2‎（AB+CD）=‎1‎‎2‎（a+b）=‎1‎‎2‎BC，‎ ‎∴PQ=BQ=QC．‎ ‎∴△PQB与△PQC是全等的等腰直角三角形．‎ ‎∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=90°，PB=PC，‎ 即△PBC是等腰直角三角形．‎ ‎（2）存在点M，使AM⊥MD．‎ 以AD为直径，P为圆心作圆P．‎ 当a=b时，四边形ABCD为矩形，PA=PD=PQ，‎ 圆P与BC相切于点Q，此时，M点与Q点重合．‎ 即存在点M，使得AM⊥MD，此时BM=‎1‎‎2‎（a+b）；‎ 当a＜b时，四边形ABCD为直角梯形，AD＞BC，PA=PD＞PQ，‎ 圆心P到BC的距离PQ小于圆P的半径，圆P与BC相交，BC上存在两点M1，M2，使AM⊥MD，‎ 过点A作AE⊥DC．‎ 在Rt△AED中，‎ AE=a+b，DE=b﹣a，AD2=AE2+DE2，AD2=2a2+2b2，AD=‎2a‎2‎+2‎b‎2‎．‎ 连接PM1，PM2，则PM‎1‎=PM‎2‎=‎‎2a‎2‎+2‎b‎2‎‎2‎．‎ 在直角三角形PQM1中，QM‎1‎=PM‎1‎‎2‎﹣PQ‎2‎=‎2a‎2‎+2‎b‎2‎‎4‎‎﹣‎‎（a+b）‎‎2‎‎4‎=‎b﹣a‎2‎，‎ ‎∴BM1=BQ﹣M1Q=a．‎ 同理可得：BM2=BQ+M2Q=b．‎ 综上所述，在线段BC上存在点M，使AM⊥MD．‎ 当a=b时，有一点M，BM=‎a+b‎2‎；当a＜b时，有两点M1，M2，BM1=a，BM2=b．‎ 点评：根据BC=a+b，联想到梯形的中位线定理，得到过点P作PQ⊥BC这条辅助线是解决本题的关键．‎ 并且本题把判断M点是否存在的问题转化成了探讨圆与直线的交点的问题．‎ ‎24、（2009•潍坊）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．‎ ‎（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：综合题；压轴题。‎ 分析：（1）根据图形，易得点A、B、C、D的坐标；进而可得抛物线上三点D、M、N的坐标，将其代入解析式，求可得解析式；‎ ‎（2）有（1）的解析式，可得顶点坐标，即OE、DE的长，易得△BFD∽△EOD，再由EF=FD﹣DE的关系代入数值可得答案；（3）首先根据CD的坐标求出CD的直线方程，在根据切线的性质，可求得P的坐标，进而可得P是否在抛物线上．‎ 解答：解：‎ ‎（1）∵圆心O在坐标原点，圆O的半径为1‎ ‎∴点A、B、C、D的坐标分别为A（﹣1，0）、B（0，﹣1）、C（1，0）、D（0，1）‎ ‎∵抛物线与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C ‎∴M（﹣1，﹣1）、N（1，1）‎ ‎∵点D、M、N在抛物线上，将D（0，1）、M（﹣1，﹣1）、N（1，1）的坐标代入y=ax2+bx+c，‎ 得：‎‎&c=1‎‎&﹣1=a﹣b+c‎&1=a+b+c 解之，得：‎‎&a=﹣1‎‎&b=1‎‎&c=1‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1．‎ ‎（2）∵y=﹣x2+x+1=﹣（x﹣‎1‎‎2‎）2+‎‎5‎‎4‎ ‎∴抛物线的对称轴为x=‎‎1‎‎2‎ ‎∴OE=‎1‎‎2‎，DE=‎‎1‎‎4‎‎+1‎‎=‎‎5‎‎2‎ 连接BF，则∠BFD=90°‎ ‎∴△BFD∽△EOD ‎∴‎DEDB‎=‎ODFD 又DE=‎5‎‎2‎，OD=1，DB=2‎ ‎∴FD=‎‎4‎‎5‎‎5‎ ‎∴EF=FD﹣DE=‎4‎‎5‎‎5‎‎﹣‎5‎‎2‎=‎‎3‎‎5‎‎10‎．‎ ‎（3）点P在抛物线上．‎ 设过D、C点的直线为y=kx+b 将点C（1，0）、D（0，1）的坐标代入y=kx+b，得 k=﹣1，b=1‎ ‎∴直线DC为y=﹣x+1‎ 过点B作圆O的切线BP与x轴平行，P点的纵坐标为y=﹣1‎ 将y=﹣1代入y=﹣x+1，得x=2‎ ‎∴P点的坐标为（2，﹣1）‎ 当x=2时，y=﹣x2+x+1=﹣22+2+1=﹣1‎ 所以，P点在抛物线y=﹣x2+x+1上．‎ 点评：本题考查学生将二次函数的图象与圆的位置关系，要求学生将图象与解析式相来结合分析、处理问题．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ lifeng；ln_86；xinruozai；zhehe；lanyuemeng；huangling；刘超；zhangchao；zhjh；shenzigang；lzhzkkxx；kuaile；CJX；lanchong；算术；zhangCF；wenming；lihongfang；haoyujun；开心；zxw；MMCH；Linaliu；zcx。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月19日