2010年四川省达州市中考数学试卷(全解全析)

2010年四川省达州市中考数学试卷(全解全析)

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1、（2010•达州）生活处处皆学问．如图所示，自行车轮所在两圆的位置关系是（　　）‎ ‎ A、外切 B、内切 ‎ C、外离 D、内含 考点：圆与圆的位置关系。‎ 分析：本题可根据两圆半径与圆心距之间的数量关系和两圆位置关系间的联系来求解．‎ 外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．‎ ‎（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．‎ 解答：解：由图可知两圆的位置关系是外离．‎ 故选C．‎ 点评：主要是考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．‎ ‎2、（2010•济宁）4的算术平方根是（　　）‎ ‎ A、±2 B、±‎‎2‎ ‎ C、‎2‎ D、2‎ 考点：算术平方根。‎ 专题：计算题。‎ 分析：本题是求4的算术平方根，应看哪个正数的平方等于4，由此即可解决问题．‎ 解答：解：∵‎4‎=2，‎ ‎∴4的算术平方根是2．‎ 故选D．‎ 点评：此题主要考查了算术平方根的运算．一个数的算术平方根应该是非负数．‎ ‎3、（2010•达州）下列几何体中，正视图、左视图、俯视图完全相同的是（　　）‎ ‎ A、圆柱 B、圆锥 ‎ C、棱锥 D、球 考点：简单几何体的三视图。‎ 分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．‎ 解答：解：A、圆柱的三视图分别为长方形，长方形，圆，不符合题意；‎ B、圆锥的三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，不符合题意；‎ C、棱锥的三视图分别为三角形，三角形，三角形及中心与顶点的连线，不符合题意；‎ D、球的三视图均为圆，符合题意；‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．‎ ‎4、（2010•达州）函数y=‎‎1‎x﹣2‎中自变量的取值范围在数轴上表示为（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集；函数自变量的取值范围。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先根据分母不为0，被开方数是非负数求出x的取值范围，再在数轴上表示即可．‎ 解答：解：根据题意，得x﹣2＞0，‎ 解得x＞2，‎ 在数轴上表示为 故选D．‎ 点评：主要考查了函数自变量的取值范围的求法和不等式解集在数轴上的表示方法．注意：不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．‎ ‎5、（2010•达州）如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（　　）‎ ‎ A、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B、（a+b）2=a2+2ab+b2‎ ‎ C、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D、a2+ab=a（a+b）‎ 考点：平方差公式的几何背景。‎ 分析：可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式．‎ 解答：解：正方形中，S阴影=a2﹣b2；‎ 梯形中，S阴影=‎1‎‎2‎（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；‎ 故所得恒等式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．‎ 故选C．‎ 点评：此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．‎ ‎6、（2010•达州）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换①f（m，n）=（m，﹣n），‎ 如f（2，1）=（2，﹣1）；②g（m，n）=（﹣m，﹣n），如g（2，1）=（﹣2，﹣1）．按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4）=（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]等于（　　）‎ ‎ A、（3，2） B、（3，﹣2）‎ ‎ C、（﹣3，2） D、（﹣3，﹣2）‎ 考点：点的坐标。‎ 专题：新定义。‎ 分析：由题意应先进行f方式的运算，再进行g方式的运算，注意运算顺序及坐标的符号变化．‎ 解答：解：∵f（﹣3，2）=（﹣3，﹣2），‎ ‎∴g[f（﹣3，2）]=g（﹣3，﹣2）=（3，2），故选A．‎ 点评：本题考查了一种新型的运算法则，考查了学生的阅读理解能力，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是明白两种运算改变了哪个坐标的符号．‎ ‎7、（2010•达州）抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（　　）‎ ‎ A、y=x2﹣2x+3 B、y=﹣x2﹣2x+3‎ ‎ C、y=﹣x2+2x+3 D、y=﹣x2+2x﹣3‎ 考点：二次函数的图象。‎ 分析：抛物线开口向下，a＜0，与y轴的正半轴相交c＞0，对称轴在原点的右侧a、b异号，则b＞0，再选答案．‎ 解答：解：由图象得：a＜0，b＞0，c＞0，故选C．‎ 点评：此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．‎ ‎8、（2010•达州）如图所示，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A→M→N→C的小路（M、N分别是AB、CD中点）．极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了（　　）‎ ‎ A、7米 B、6米 ‎ C、5米 D、4米 考点：勾股定理的应用；梯形中位线定理。‎ 分析：只要根据梯形中位线的性质和勾股定理求出小路的长度，再根据勾股定理求出AC的距离比较一下即可．‎ 解答：解：在直角梯形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，所以MN是梯形的中位线，‎ ‎∴MN=（AD+BC）÷2，又∵AD=11，BC=16，∴MN=13.5m．‎ 过D点作BC的垂线交BC于点E，则AD=BE=11，DE=AB=12，‎ 又∵BC=BE+CE=16，‎ ‎∴CE=5，在直角三角形DEC中，DE2+EC2=CD2即122+52=CD2，‎ ‎∴CD=13，则CN=6.5，‎ ‎∴AM+MN+NC=6+13.5+6.5=26．‎ 由勾股定理可知AB2+BC2=AC2即122+162=AC2，‎ ‎∴AC=20，所以他们少走了6m，‎ 故选B．‎ 点评：本题考查梯形中位线的性质和勾股定理的应用．‎ 二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）‎ ‎9、（2010•达州）0的相反数是 ．‎ 考点：相反数。‎ 分析：互为相反数的和为0，那么0的相反数是0．‎ 解答：解：0的相反数是0．‎ 点评：考查的知识点为：0的相反数是它本身．‎ ‎10、（2010•达州）大巴山隧道是达陕高速公路中最长的隧道，总长约为6 000米，这个数据用科学记数法表示为 米．‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：6 000米=6×103米．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎11、（2010•达州）在“讲政策、讲法制、讲道德、讲恩情”的演讲比赛中，五位选手的成绩如下：‎ 这组成绩的极差是 分．‎ 考点：极差。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据极差的定义解答．用最大的数95减去最小的数85即可．‎ 解答：解：由题意可知，极差为95﹣85=10，‎ 故填10．‎ 点评：极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．‎ ‎12、（2010•达州）如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i=1：‎3‎，则该坡的坡角a= 度．‎ 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。‎ 分析：坡角的正切值即为坡度，由此可求得a的度数．‎ 解答：解：由题意，知：tana=i=‎3‎‎3‎，故坡角a=30°．‎ 点评：此题需要注意的是：坡度（即坡比）等于坡角的正切值；不要混淆概念．‎ ‎13、（2010•达州）请写出符合以下两个条件的一个函数解析式 ‎ ‎①过点（﹣2，1），②在第二象限内，y随x增大而增大．‎ 考点：二次函数的性质；一次函数的性质。‎ 专题：开放型。‎ 分析：可考虑一次函数、反比例函数、二次函数的解析式，本题答案不唯一，只要符合条件即可．‎ 解答：解：符合条件的函数可以是一次函数、反比例函数、二次函数，如y=﹣‎2‎x，y=x+3，y=﹣x2+5等 点评：本题是结论开放型题型，可以从我们学习的三个类别的函数上考虑．‎ ‎14、（2010•达州）如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是 cm．‎ 考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理。‎ 分析：本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．‎ 解答：解：如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB=6cm，CD=2cm．‎ 连接OC，交AB于D点．连接OA．‎ ‎∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，‎ ‎∴OC⊥AB．‎ ‎∴AD=3．‎ 设半径为R，则R2=32+（R﹣2）2，‎ 解得R=5，‎ ‎∴该光盘的直径是10cm．‎ 点评：此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键．‎ ‎15、（2010•达州）如图所示，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有 ．（多选、错选不得分）①∠A+∠B=90°；②AB2=AC2+BC2；③ACAB‎=‎CDBD；④CD2=AD﹣BD．‎ 考点：直角三角形的性质；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理。‎ 分析：根据三角形内角和是180°、勾股定理、余弦函数、相似三角形的性质等来逐一判断各结论是否符合题意．‎ 解答：解：①∵三角形内角和是180°，由①知∠A+∠B=90°，‎ ‎∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣90°=90°，∴△ABC是直角三角形．故选项①正确．‎ ‎②AB，AC，BC分别为△ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，②正确．‎ ‎③题目所给的比例线段不是△ACB和△CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明△ACB与△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③错误；‎ ‎④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，可得CD2=AD•BD，显然④错误；‎ 故正确的结论为①②．‎ 点评：本题考查直角三角形的性质和勾股定理等知识的应用，只要利用直角三角形的这些特性加以判断即可．‎ 三、解答题（共8小题，满分55分）‎ ‎16、（2010•达州）（1）计算：‎‎（﹣1‎）‎‎2010‎﹣（‎2‎﹣1‎‎）‎‎0‎ ‎（2）对于代数式‎1‎x﹣2‎和‎3‎‎2x+1‎，你能找到一个合适的x值，使它们的值相等吗？写出你的解题程．‎ 考点：解分式方程；有理数的乘方；零指数幂。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）根据负整数指数幂及零指数幂的意义先算乘方，再算减法；‎ ‎（2）首先假设存在一个合适的x值，使代数式‎1‎x﹣2‎和‎3‎‎2x+1‎的值相等，那么据此列出方程，然后求出方程的解即可．‎ 解答：（1）解：原式=1﹣1=0．（4分）‎ ‎（2）解：能．（5分）‎ 根据题意，设‎1‎x﹣2‎=‎3‎‎2x+1‎，（1分）‎ 则有2x+1=3（x﹣2）．（2分）‎ 解得：x=7，（3分）‎ 经检验得x=7是‎1‎x﹣2‎=‎3‎‎2x+1‎的解．‎ 所以，当x=7时，代数式‎1‎x﹣2‎和‎3‎‎2x+1‎的值相等．（4分）‎ 点评：本题主要考查了负整数指数幂、零指数幂的意义及分式方程的解法．‎ ‎17、（2010•达州）上海世博会自开幕以来，前往参观的人络绎不绝．柳柳于星期六去参观，她决定上午在三个热门馆：中国馆（A），阿联酋馆（B），英国馆（C）中选择一个参观，下午在两个热门馆：瑞士馆（D）、非洲联合馆（E）中选择一个参观．请你用画树状图或列表的方法，求出柳柳这一天选中中国馆（A）和非洲联合馆（E）参观的概率是多大？（用字母代替馆名）‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：列举出所有情况，看选中中国馆（A）和非洲联合馆（E）参观的情况占总情况的多少即可．‎ 解答：解：‎ 或 由上可知，共有6种等可能情况，其中选中A和E的情况只有1种，所以，选中中国馆（A）和非洲联合馆（E）参观的概率P=‎1‎‎6‎．‎ 点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，注意本题是不放回实验．‎ ‎18、（2010•达州）如图所示，将一长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明．‎ 考点：全等三角形的判定。‎ 专题：证明题。‎ 分析：根据折叠前后不变的量，找到△ABN≌△AEM，两边和夹角对应相等．‎ 解答：解：有，△ABN≌△AEM．‎ 证明：∵四边形ABCD是长方形，‎ ‎∴AB=DC，∠B=∠C=∠DAB=90°‎ ‎∵四边形NCDM翻折得到四边形NAEM，‎ ‎∴AE=CD，∠E=∠D=90°，∠EAN=∠C=90°．‎ ‎∴AB=AE，∠B=∠E，‎ ‎∠DAB=∠EAN，‎ 即：∠BAN+∠NAM=∠EAM+∠NAM，‎ ‎∴∠BAN=∠EAM．‎ 在△ABN与△AEM中，‎ ‎&∠B=∠E‎&AB=AE‎&∠BAN=∠BAM ‎∴△ABN≌△AEM．‎ 点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎19、（2010•达州）在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．‎ 图1图2‎ ‎（1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；‎ ‎（2）你还有其他的设计方案吗？请在图中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．‎ 考点：作图—应用与设计作图。‎ 专题：方案型；开放型。‎ 分析：（1）利用等量关系花园的长×花园的宽=荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可；‎ ‎（2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可．‎ 解答：解：（1）不符合．‎ 设小路宽度均为xm，根据题意得：‎ ‎（16﹣2x）（12﹣2x）=‎1‎‎2‎×16×12‎‎，（2分）‎ 解这个方程得：x1=2，x2=12．‎ 但x2=12不符合题意，应舍去，∴x=2．（3分）‎ ‎∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m．（4分）‎ ‎（2）答案不唯一．（6分）‎ 例如：‎ 点评：抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键．‎ ‎20、（2010•达州）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．‎ ‎（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；‎ ‎（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．‎ 考点：平行投影；相似三角形的性质；相似三角形的判定。‎ 专题：计算题；作图题。‎ 分析：（1）根据投影的定义，作出投影即可；‎ ‎（2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系ABDE‎=‎BCEF．计算可得DE=10（m）．‎ 解答：解：（1）（连接AC，过点D作DE∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影）‎ ‎（2）∵AC∥DF，‎ ‎∴∠ACB=∠DFE．‎ ‎∵∠ABC=∠DEF=90°‎ ‎∴△ABC∽△DEF．‎ ‎∴ABDE‎=‎BCEF，‎ ‎∴‎‎5‎DE‎=‎‎3‎‎6‎ ‎∴DE=10（m）．‎ 说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线AC和DF，再连接EF即可．‎ 点评：本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．要求学生通过投影的知识并结合图形解题．‎ ‎21、（2010•达州）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：‎ ‎（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；‎ ‎（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？‎ ‎（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？‎ 考点：反比例函数的应用；一次函数的应用。‎ 专题：应用题。‎ 分析：（1）根据图象可以得到函数关系式，y=k1x+b，再由图象所经过点的坐标（0，4），（7，46）求出k1与b的值，然后得出函数式y=6x+4，从而求出自变量x的取值范围．再由图象知y=‎k‎2‎x过点（7，46），求出k2的值，再由函数式求出自变量x的取值范围．‎ ‎（2）结合以上关系式，当y=34时，由y=6x+4得x=5，从而求出撤离的最长时间，再由v=st速度．‎ ‎（3）由关系式y=k‎2‎x知，y=4时，x=80.5，矿工至少在爆炸后80.5﹣7=73.5（小时）才能下井．‎ 解答：解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，‎ 所以可设y与x的函数关系式为y=k1x+b，‎ 由图象知y=k1x+b过点（0，4）与（7，46），‎ ‎∴‎&b=4‎‎&7k‎1‎+b=46‎，解得‎&k‎1‎=6‎‎&b=4‎，‎ ‎∴y=6x+4，此时自变量x的取值范围是0≤x≤7．‎ ‎（不取x=0不扣分，x=7可放在第二段函数中）（2分）‎ 因为爆炸后浓度成反比例下降，‎ 所以可设y与x的函数关系式为y=‎k‎2‎x．‎ 由图象知y=‎k‎2‎x过点（7，46），‎ ‎∴k‎2‎‎7‎‎=46‎，∴k2=322，‎ ‎∴y=‎‎322‎x，此时自变量x的取值范围是x＞7．（4分）‎ ‎（2）当y=34时，由y=6x+4得，6x+4=34，x=5．‎ ‎∴撤离的最长时间为7﹣5=2（小时）．‎ ‎∴撤离的最小速度为3÷2=1.5（km/h）．（6分）‎ ‎（3）当y=4时，由y=‎322‎x得，x=80.5，80.5﹣7=73.5（小时）．‎ ‎∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井．（8分）‎ 点评：现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．‎ ‎22、（2010•达州）已知：如图，在锐角∠MAN的边AN上取一点B，以AB为直径的半圆O交AM于C，交∠MAN的角平分线于E，过点E作ED⊥AM，垂足为D，反向延长ED交AN于F．‎ ‎（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若cos∠MAN=‎1‎‎2‎，AE=‎3‎，求阴影部分的面积．‎ 考点：切线的判定；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；扇形面积的计算。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）连接OE，根据角平分线的性质及等边对等角可求得∠1=∠3，再根据平行线的性质即可得到OE⊥DE，因为OE是半径，从而得到ED与⊙O相切．‎ ‎（2）由已知可得到∠MAN=60°，从而推出∠2=∠AFD=30°，根据等角对等边得到EF=AE，再根据S阴=S△OEF﹣S扇形OEB即可求解．‎ 解答：证明：（1）DE与⊙O相切．（1分）‎ 理由如下：‎ 连接OE，‎ ‎∵AE平分∠MAN，‎ ‎∴∠1=∠2．‎ ‎∵OA=OE，‎ ‎∴∠2=∠3．‎ ‎∴∠1=∠3．‎ ‎∴OE∥AD．‎ ‎∴∠OEF=∠ADF=90°．（2分）‎ ‎∴OE⊥DE，垂足为E．‎ ‎∵点E在半圆O上，‎ ‎∴ED与⊙O相切．（3分）‎ ‎（2）∵cos∠MAN=‎1‎‎2‎，‎ ‎∴∠MAN=60°．‎ ‎∴∠2=‎1‎‎2‎MAN=‎1‎‎2‎×60°=30°．‎ ‎∴∠AFD=90°﹣∠MAN=90°﹣60°=30°．‎ ‎∴∠2=∠AFD．‎ ‎∴EF=AE=‎3‎．（4分）‎ 在Rt△OEF中，tan∠OFE=OEEF，‎ ‎∴tan30°=OE‎3‎．‎ ‎∴OE=1．（5分）‎ ‎∵∠4=∠MAN=60°，‎ ‎∴S阴=S△OEF﹣S扇形OEB=‎1‎‎2‎‎×1×‎3‎﹣‎‎60•π•‎‎1‎‎2‎‎360‎=‎3‎‎2‎‎﹣‎1‎‎6‎π．（6分）‎ 点评：此题主要考查学生对切线的判定方法及扇形面积计算的综合运用能力．‎ ‎23、（2010•达州）如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，O．‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；‎ ‎（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）根据抛物线的对称轴方程即可确定a的值，由此可得到抛物线的解析式，通过配方可求出顶点A的坐标；‎ ‎（2）根据A、B的坐标，易求得直线AB的解析式，进而可确定直线l的解析式，即可表示出P点的坐标；由于P点的位置不确定，因此本题要分成两种情况考虑：‎ ‎①P点位于第四象限，此时t＞0，四边形AOPB的面积可由△OAB和△OBP的面积和求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，根据S的取值范围即可判断出t的取值范围；‎ ‎②P点位于第二象限，此时t＜0，可分别过A、P作x轴的垂线，设垂足为N、M；那么四边形AOPB的面积即可由梯形APMN与△ABN的面积和再减去△OPM的面积求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，可参照①的方法求出t的取值范围；‎ 结合上面两种情况即可得到符合条件的t的取值范围；‎ ‎（3）根据（2）的结论，可求出t的最大值，由此可得到P点的坐标；若△OPQ为直角三角形且OP为直角边，那么有两种情况需要考虑：①∠QOP=90°，②∠OPQ=90°；‎ 可分别过Q、O作直线l的垂线m、n，由于互相垂直的两直线斜率的乘积为﹣1，根据直线l的解析式以及Q、O的坐标，即可求出直线m、n的解析式，联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标．‎ 解答：解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称，‎ ‎∴点B坐标为（6，0）．‎ 将点B坐标代入y=ax2=2x得：‎ ‎36a+12=0；‎ ‎∴a=‎﹣‎‎1‎‎3‎．‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣‎1‎‎3‎x‎2‎+2x．（2分）‎ 当x=3时，y=﹣‎1‎‎3‎×‎3‎‎2‎+2×3=3‎；‎ ‎∴顶点A坐标为（3，3）．（3分）‎ ‎（说明：可用对称轴为x=﹣‎b‎2a，求a值，用顶点式求顶点A坐标）‎ ‎（2）设直线AB解析式为y=kx+b．‎ ‎∵A（3，3），B（6，0），‎ ‎∴‎‎&6k+b=0‎‎&3k+b=3‎ 解得‎&k=﹣1‎‎&b=6‎，‎ ‎∴y=﹣x+6．‎ ‎∵直线l∥AB且过点O，‎ ‎∴直线l解析式为y=﹣x．‎ ‎∵点P是l上一动点且横坐标为t，‎ ‎∴点P坐标为（t，﹣t）．（4分）‎ 当P在第四象限时（t＞0），‎ S=S△AOB+S△OBP ‎=12×6×3+‎1‎‎2‎×6×|﹣t|‎ ‎=9+3t．‎ ‎∵0＜S≤18，‎ ‎∴0＜9+3t≤18，‎ ‎∴﹣3＜t≤3．‎ 又t＞0，‎ ‎∴0＜t≤3．（5分）‎ 当P在第二象限时（t＜0），‎ 作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N，‎ 则S=S梯形ANMP+S△ANB﹣S△PMO ‎=‎‎1‎‎2‎‎[3+（﹣t）]•（3﹣t）+‎1‎‎2‎×3×3﹣‎1‎‎2‎（﹣t）（﹣t）‎ ‎=‎‎1‎‎2‎‎（t﹣3‎）‎‎2‎+‎9‎‎2‎﹣‎‎1‎‎2‎t‎2‎ ‎=﹣3t+9；‎ ‎∵0＜S≤18，‎ ‎∴0＜﹣3t+9≤18，‎ ‎∴﹣3≤t＜3；‎ 又t＜0，‎ ‎∴﹣3≤t＜0；（6分）‎ ‎∴t的取值范围是﹣3≤t＜0或0＜t≤3．‎ ‎（3）存在，点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（﹣3，﹣9）．（9分）‎ 由（2）知t的最大值为3，则P（3，﹣3）；‎ 过O、P作直线m、n垂直于直线l；‎ ‎∵直线l的解析式为y=﹣x，‎ ‎∴直线m的解析式为y=x；‎ 可设直线n的解析式为y=x+h，则有：‎ ‎3+h=﹣3，h=﹣6；‎ ‎∴直线n：y=x﹣6；‎ 联立直线m与抛物线的解析式有：‎ ‎&y=x‎&y=﹣‎1‎‎3‎x‎2‎+2x‎，‎ 解得‎&x=0‎‎&y=0‎，‎&x=3‎‎&y=3‎；‎ ‎∴Q1（3，3）；‎ 同理可联立直线n与抛物线的解析式，求得Q2（6，0），Q3（3，﹣9）．‎ ‎（说明：点Q坐标答对一个给1分）‎ 点评：此题主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ zhangchao；bjf；lanchong；Linaliu；zxw；bjy；lanyuemeng；MMCH；huangling；hbxglhl；zhqd；zhangCF；张伟东；zcx；ln_86；csiya；lzhzkkxx；lbz。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日