2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第28--图形的相似与位似

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2011 年全国各地 100 份中考数学试卷分类汇编 第 28 章图形的相似与位似 一、选择题 1. （2011 浙江金华，9，3 分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与 环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最 近的路程约为（ ） A.600m B.500m C.400m D.300m 【答案】B 2.（2011 安徽，9，4 分）如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2 2，CD= 2， 点 P 在四边形 ABCD 的边上．若 P 到 BD 的距离为 3 2 ，则点 P 的个数为（ ）[来 源:学§科§网] A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 3. （2011 广东东莞，31,3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的 1 2 ，得到的图形是（ ） 【答案】Ａ 4. （2011 浙江省，6，3 分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为 6、8，按如图那样 折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE，则 S△BCE：S△BDE 等于（ ） A. 2：5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21 【答案】B 5.（2011 浙江台州，5,4 分）若两个相似三角形的面积之比为 1:4，则它们的周长之比为（ ） A. 1:2 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:16 【答案】A 6. （2011 浙江省嘉兴，7，4 分）如图，边长为 4 的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边 形 BCED 的面积为（ ） （A） 32 （B） 33 （C） 34 （D） 36 （第 7 题） A B C D E 【答案】B 7. （2011 浙江丽水，9，3 分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与 环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走， 最近的路程约为（ ） A.600m B.500m C.400m D.300m 【答案】B 8. （2011 台湾台北，26）图(十)为一 ABC ，其中 D、E 两点分别在 AB 、 AC 上，且 AD ＝31， DB ＝29， AE ＝30， EC ＝32。若  50＝A ，则图中 1 、 2 、 3 、 4 的大小关系，下列何者正确？ A． 1 ＞ 3 B． 2 ＝ 4 C． 1 ＞ 4 D． 2 ＝ 3 【答案】D 9. （2011 甘肃兰州，13，4 分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似 三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形。 其中真命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 10．（2011 山东聊城，11，3 分）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原 点，边 OA 在 x 轴上，OC 在 y 轴上，如果矩形 OA′B′C′与矩形 OABC 关于点 O 位似， 且矩形 OA′B′C′的面积等于矩形 OABC 面积的 1 4 ，那么点 B′的坐标是（ ） A．（3，2） B．（－2，－3） C．（2，3）或（－2，－3） D．（3，2）或（－3，－2） 【答案】D 11. （2011 广东汕头，31,3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的 1 2 ，得到的图形是（ ） 【答案】Ａ 12. （2011 四川广安，7，3 分）下列命题中，正确的是（ ） A．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条 B．对角线相等的四边形是矩形 C．两条边及一个角对应相等的两个三角形全等 D．位似图形一定是相似图形 【答案】D 13. （ 2011 重庆江津， 8，4 分）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数 已在图上标注,图(2)中 AB、CD 交于 O 点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正 确的是( ) A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似 【答案】A· 14. (2011 重庆綦江，4，4 分)若相似△ABC 与△DEF 的相似比为 1 ：3，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ） A．1 ：3 B．1 ：9 C．3 ：1 D． 1 ： 3 【答案】：B 15. （2011 山东泰安，15 ，3 分）如图，点 F 是□ABCD 的边 CD 上一点，直线 BF 交 AD 的延长线于点 E，则下列结论错误．．的是 A.ED EA=DF AB B.DE BC=EF FB C. BC DE=BF BE D.BF BE=BC AE 【答案】C 16. （2011 山东潍坊，3，3 分）如图，△ABC 中，BC = 2，DE 是它的中位线，下面三个结 论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为 1 : 4。其 中正确的有（ ） A . 0 个 B.1 个 C . 2 个 D.3 个 35° 75° 75° 70° (1) A BC D O 4 3 68 (2) 第8题图 【答案】D 17. （2011 湖南怀化，6，3 分）如图 3 所示：△ABC 中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3， 则 CE 的值为 A.9 B.6 C.3 D.4 【答案】B 18. （2011 江苏无锡，7，3 分）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O，且将这 个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若 OA∶OC = OB∶OD，则下 列结论中一定正确的是 ( ) A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 A B C DO ① ② ⊙ ③ ⊙ ④ ⊙ （第 7 题） 【答案】B 19. （2011 广东肇庆，5，3 分）如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m、n 与 a、b、c 分别交于 点 A、C、E、B、D、F，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则 BF ＝ a b c A B C D E F m n A． 7 B． 7.5 C． 8 D． 8.5[来源:学科网] 【答案】B 20．（2011 湖南永州，12，3 分）下列说法正确的是（ ） A．等腰梯形的对角线互相平分． B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． C．线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． D．两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似． 【答案】C 21. （2011 山东东营，11，3 分）如图，△ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的 坐标是(-1，0)．以点 C 为位似中心，在 x轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C，并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍．设点 B 的对应点 B′的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是（ ） A． 1 2 a B． 1 ( 1)2 a  C． 1 ( 1)2 a  D． 1 ( 3)2 a  B′ A′第 11 题 -1 x 1 O -1 1 y B A C 【答案】D 22. （2011 重庆市潼南,5,4 分）若△ABC～△DEF，它们的面积比为 4：1，则△ABC 与△ DEF 的相似比为 A．2：1 B．1 ：2 C．4：1 D．1：4 【答案】A 23. （2011 广东中山，3,3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的 1 2 ，得到的图形是（ ） 【答案】Ａ 24. （20 11 湖北荆州，7，3 分）如图，P 为线段 AB 上一点，AD 与 BC 交于 E，∠CPD＝ ∠A＝∠B，BC 交 PD 于 F，AD 交 PC 于 G，则图中相似三角形有 A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 第 7 题图 【答案】C 25. 26. 二、填空题 1. （2011 广东广州市，14，3 分）如图 3，以点 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 放大后 得到五边形 A′B′C′D′E′，已知 OA=10cm，OA′=20cm，则五边形 ABCDE 的周长与五边形 A′B′C′D′E′的周长的比值是 ． 图 3 O A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ 【答案】1 2 2. （2011 四川重庆，12，4 分）如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交边 AB、AC 于 D、 E 两点，若 AD：AB＝1：3，则△ADE 与△ABC 的面积比为 ． 【答案】1：9 3. （2011 江苏苏州，17,3 分）如图，已知△ABC 的面积是 3 的等边三角形，△ABC∽△ADE， AB=2AD，∠BAD=45°，AC 与 DE 相交于点 F，则△AEF 的面积等于__________（结果保留 根号）. 【答案】 4 33  4. 5. 6. 三、解答题 1. （2011 江西，25，10 分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设∠BAC= （0°＜ ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线 AB，AC 之间，并使小棒两端分 别落在两射线上. 活动一： 如图甲所示，从点 A1 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2 为第 1 根小棒. 数学思考： （1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”） （2）设 AA1=A1A2=A2A3=1. ① = 度； ②若记小棒 A2n-1A2n 的长度为 an（n 为正整数，如 A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时 a2，a3 的值， 并直接写出 an（用含 n 的式子表示）. 活动二： 如图乙所示，从点 A1 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 A1A2 为第 1 根小棒，且 A1A2= AA1. 数学思考： （3）若已经向右摆放了 3 根小棒，则 1 = ， 2 = ， 3 = ；（用 含 的式子表示） （4）若只能．．摆放 4 根小棒，求 的范围. 【答案】 【答案】解：（1）能 （2）①22.5° ②方法一： ∵AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2⊥A2A3，∴A1A3= 2 ，AA3=1+ 2 . 又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5， ∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2= A3A4=AA3=1+ 2 ,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A5= 2 a2, ∴a3=A5A6=AA5=a2+ 2 a2=( 2 +1)2. 方法二： ∵AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2⊥A2A3，∴A1A3= 2 ，AA3=1+ 2 .[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5， ∴a2=A3A4=AA3=1+ 2 ,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°，∠A2A4A3=∠A4A6A5，∴△A2A3A4∽△A4A5A6， ∴ 3 2 2 1 a a a  ，∴a3= 1 2 2a =( 2 +1)2. an=( 2 +1)n-1. (3)  432 321  ，， (4)由题意得    905 906   ，∴15°＜ ≤18°. 2. （2011 江苏宿迁,28,12 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝ 2 1 ，以点 C 为圆心，CB 为半径的弧交 CA 于点 D；以点 A 为圆心，AD 为半径的弧交 AB 于点 E． （1）求 AE 的长度； （2）分别以点 A、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 F（F 与 C 在 AB 两侧）， 连接 AF、EF，设 EF 交弧 DE 所在的圆于点 G，连接 AG，试猜想∠EAG 的大小，并说 明理由． G F E D C B A （第 28 题） 【答案】 解：（1）在 Rt△ABC 中，由 AB＝1，BC＝ 2 1 得 AC＝ 22 )2 1(1  ＝ 2 5 ∵BC＝CD，AE＝AD ∴AE＝AC－AD＝ 2 15  ． （2）∠EAG＝36°，理由如下： ∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝ 2 15  ∴ FA AE ＝ 2 15  ∴△FAE 是黄金三角形 ∴∠F＝36°，∠AEF＝72° ∵AE＝AG，FA＝FE ∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE ∴△AEG∽△FEA ∴∠EAG＝∠F＝36°． 3. （2011 广东汕头，21，9 分）如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE 重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD 绕点 A 顺时针旋转， 当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、DF（或 它们的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G、H 点，如图（2）.[来源:学§科§网 Z§ X§X§K] （1）问：始终与△AGC 相似的三角形有 及 ；[来源:学科网] （2）设 CG＝x，BH＝y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据 2 的情况说明理由）； （3）问：当 x 为何值时，△AGH 是等腰三角形？ 【解】（1）△HGA 及△HAB； （2）由（1）可知△AGC∽△HAB ∴ CG AC AB BH  ，即 9 9 x y  ， 所以， 81y x  （3）当 CG＜ 1 2 BC 时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH ∵AG＜AC，∴AG＜GH 又 AH＞AG，AH＞GH 此时，△AGH 不可能是等腰三角形； 当 CG= 1 2 BC 时，G 为 BC 的中点，H 与 C 重合，△AGH 是等腰三角形； 此时，GC= 9 22 ，即 x= 9 22 当 CG＞ 1 2 BC 时，由（1）可知△AGC∽△HGA 所以，若△AGH 必是等腰三角形，只可能存在 AG=AH 若 AG=AH，则 AC=CG，此时 x=9 综上，当 x=9 或 9 22 时，△AGH 是等腰三角形． 4. （2011 湖南怀化，21，10 分）如图 8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边 BC 上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH， 使它的一边 EF 在 BC 上，顶点 G、H 分别在 AC，AB 上，AD 与 HG 的交点为 M. (1) 求证： ;AM HG AD BC  (2) 求这个矩形 EFGH 的周长. 【答案】 (1) 解：∵四边形 EFGH 为矩形 ∴EF∥GH ∴∠AHG=∠ABC 又∵∠HAG=∠BAC ∴ △AHG∽△ABC ∴ ;AM HG AD BC  （2）由（1）得 ;AM HG AD BC  设 HE=x，则 HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x 可得 40 2 30 30 xx  ，解得，x=12 ， 2x=24 所以矩形 EFGH 的周长为 2×（12+24）=72cm. 5. （2011 上海，25，14 分）在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点 P 是 AB 边上任意一点，直线 PE⊥AB，与边 AC 或 BC 相交于 E．点 M 在线段 AP 上，点 N 在线段 BP 上，EM=EN，sin∠EMP= 12 13 ． （1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时，求 CM 的长； （2）如图 2，当点 E 在边 AC 上时，点 E 不与点 A、C 重合，设 AP=x，BN=y，求 y 关 于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；[来源:Zxxk.Com] （3）若△AME∽△ENB（△AME 的顶点 A、M、E 分别与△ENB 的顶点 E、N、B 对应）， 求 AP 的长． 图 1 图 2 备用图 【答案】（1）∵∠ACB=90°，∴AC= 2 2AB BC = 2 250 30 =40． ∵S= 1 2 AB CP  = 1 2 AC BC  , ∴CP= AC BC AB  = 40 30 50  =24． 在 Rt△CPM 中，∵sin∠EMP=12 13 ，[来源:学。科。网 Z。X。X。K] ∴ 12 13 CP CM  ． ∴CM= 13 12 CP = 13 2412  =26． （2）由△APE∽△ACB，得 PE AP BC AC  ，即 30 40 PE x ，∴PE= 3 4 x ． 在 Rt△MPE 中，∵sin∠EMP=12 13 ，∴ 12 13 PE ME  ． ∴EM= 13 12 PE = 13 3 12 4 x = 13 16 x ．[来源:Zxxk.Com] ∴PM=PN= 2 2ME PE = 2 213 3 16 4x x          = 5 16 x ． ∵AP+PN+NB=50，∴x+ 5 16 x +y =50． ∴y = 21 5016 x  (0 < x < 32)． （3） 第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列 比例式求解。本题还可以通过角度之间的关系转换求解，个人认为从角度入手更加简洁直观 方法如下： ①当点 E 在线段 AC 上时， △AME∽△ENB， AM ME EN NB  ．∵EM=EN，∴ 2EM AM NB  ．设 AP=x，由（2）知 EM= 13 16 x ，AM= x PM = 5 11 16 16x x x  ，NB= 21 5016 x  ． ∴ 213 11 21( 50)16 16 16x x x        解得 x1=22，x2=0（舍去）． 即 AP=22． ② 当点 E 在线段 BC 上时， 根据外角定理，△ACE∽△EPM，∴ 12 5 AC EP CE MP   ．∴CE= 5 12 AC = 50 3 ．设 AP=x， 易得 BE= 5 (50 )3 x ，∴CE=30 5 (50 )3 x  ．∴30 5 (50 )3 x  = 50 3 ．解得 x=42．即 AP=42． ∴AP 的长为 22 或 42． 6. （2011 四川绵阳 25，14） 已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A=90°，D 是腰 AC 上的一个动点，过 C 作 CE 垂直于 BD 或 BD 的延长线，垂足为 E,如图 1. (1)若 BD 是 AC 的中线，如图 2，求BD CE 的值； (2)若 BD 是∠ABC 的角平分线，如图 3，求BD CE 的值； (3)结合（1)、（2)，请你推断BD CE 的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究BD CE 的 值能小于4 3 吗？若能，求出满足条件的 D 点的位置；若不能，请说明理由. 【答案】(1)设AD=x,则AB=2x,根据勾股定理，可得BD= 5x,∵△ABD∽△CDE, BD AB CE CD  , 可得 CE= 2 5 x,所以BD CE=5 2 （2）设 AD=x,根据角平分线定理，可知 DC= 2x，AB= 2x+x,由 勾 股 定 理 可 知 BD= （4+2 2）x² △ ABD ∽ △ CDE ， 1 2 1 AB EC AD DE   , ∴ EC= 2 2 2 x  , BD CE=2, (3)由前面两步的结论可以看出， 1BD CE ≥ ,所以这样的点是存在的，D 在 AC 边的五等分点和 点 A 之间 7. （2011 湖北武汉市，24，10 分）（本题满分 10 分） （1）如图 1，在△ABC 中，点 D，E，Q 分别在 AB，AC，BC 上，且 DE∥BC，AQ 交 DE 于点 P．求证： QC PE BQ DP  ． （2） 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，正方形 DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接 AG，AF 分别交 DE 于 M，N 两点．[来源:学科网 ZXXK] ①如图 2，若 AB=AC=1，直接写出 MN 的长； ②如图 3，求证 MN2=DM·EN． 【答案】（1）证明：在△ABQ 中，由于 DP∥BQ， ∴△ADP∽△ABQ， ∴DP/BQ＝AP/AQ． 同理在△ACQ 中，EP/CQ＝AP/AQ． ∴DP/BQ＝EP/CQ． （2） 9 2 ． （3）证明：∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°． ∴∠B=∠CEF， 又∵∠BGD=∠EFC， ∴△BGD∽△EFC． ∴DG/CF＝BG/EF， ∴DG·EF＝CF·BG 又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG 由（1）得 DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴（MN/GF）2＝(DM/BG)·(EN/CF) ∴MN2＝DM·EN 8. （2011 河北，20，8 分）如图 10，在 6×8 网格图中，每个小正方形边长均为 1，点 O 和 △ABC 的顶点均在小正方形的顶点. （1）以 O 为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC 位似，且位似比为 1︰2； （2）连接（1）中的 AA′,求四边形 AA′C′C 的周长.（结果保留根号） 【答案】（1）如下图.[来源:学.科.网] （2）四边形 AA′C′C 的周长=4+6 2 9. 10． 11. 12.