2019九年级数学上册 第二十二章 22二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第二十二章 22.1.5二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
知识点:二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质
二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质:
(1)当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下.
(2)图象对称轴是直线x=h.
(3)图象顶点坐标是(h,k).
(4)当a>0时,y最小值=k,此时x=h;当a<0时,y最大值=k,此时x=h.
(5)当a>0时,若x
h,则y随x的增大而增大.
当a<0时,若xh,则y随x的增大而减小.
注意：因为由y=a(x-h)2+k可以直接读出图象顶点的坐标为(h,k),所以通常把y=a(x-h)2+k(a≠0)称为二次函数的顶点式.
考点1：二次函数y=a(x-h)2+k的图象
【例1】 已知二次函数y=(x-2a)2+a-1(a为常数),当a取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.如图分别是当a=-1,a=0,a=1,a=2时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线对应的函数解析式是y= .
答案: x-1
点拨：本题属于二次函数的图象与性质与一次函数综合题,题中给出了二次函数y=(x-2a)2+a-1和字母a的四个值,本着使计算简便的原则,可以求出当a=0,a=1时的二次函数解析式,再利用二次函数解析式求出抛物线的顶点坐标,确定出直线上两个点的坐标后,用待定系数法求得直线对应的函数解析式.此外,在已知一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点坐标(0,-1)时,可以根据一次函数的图象的性质,设一次函数的解析式为y=kx-1,利用点(2,0)求出k的值.
考点2：二次函数y=a(x-h)2+k的解析式的确定
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【例2】 已知抛物线的顶点坐标是(1,3),且此抛物线经过点P(2,0),则这个抛物线对应的函数解析式为 .
答案:y=-3x2+6x
点拨：如果已知抛物线对应的函数解析式的形式是y=a(x-h)2+k,我们可以写出它的顶点坐标;反过来,已知抛物线的顶点坐标为(h,k),我们也可以设其对应的函数解析式为y=a(x-h)2+k,因为抛物线的顶点坐标为(1,3),可设该解析式为y=a(x-1)2+3,把(2,0)代入解析式中求出a,可确定该解析式.
考点3:二次函数图象的运动问题
【例3】 如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C,D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为-3,则点D的横坐标最大值为( )
A.-3 B.1 C.5 D.8
答案:D
点拨：C,D两点是抛物线与x轴的交点,当取得C的横坐标最小值为-3时,抛物线的顶点在A处,把(-3,0)代入y=a(x-1)2+4可得0=a(-3-1)2+4,求得a=-;当抛物线的顶点在B处时,可以取得D的横坐标最大值,其解析式为y=-(x-4)2+4,将y=0代入解析式,解得x=0或x=8,因此点D的横坐标最大值为8.
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