北师大版九年级下册数学教案全集+《二次函数》教案汇总+教学计划

北师大版九年级下册数学教案全集+《二次函数》教案汇总+教学计划

北师大版九年级下册 数学教案全集+《二次函数》教案汇总+教学计划 §． 圆锥的侧面积 课时安排 课时 从容说课 本节课的内容是圆锥的侧面积，首先让学生通过观察圆锥，认识到它的表面是由一个曲 面和一个圆面围成的，然后再思考，圆锥的曲面展开图在平面上是什么样的图形，最后经过 学生自己动手实践得出结论：圆锥的侧面展开图是一个扇形，把圆锥的母线、底面半径和展 开图中的半径之间的关系找出来，根据上节课的扇形面积公式就可求出圆锥的侧面积，进一 步运用公式进行有关计算． 让学生先观察圆锥，再想象圆锥的侧面展开图，最后经过自己动手实践得出结论这一系 列活动，可以培养学生的空间想象能力、动手操作能力、归纳总结能力，使他们的手、脑、 口并用，帮助他们有意识地积累活动经验，使他们获得成功的体验． 对于学生的观察、操作、推理、归纳等活动，教师要进行鼓励性的评价，使他们能提高 学习数学的信心和决心． 第十一课时 课 题 §． 圆锥的侧面积 教学目标 (一)教学知识点 ．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程． ．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求 ．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力． ．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力． (三)情感与价值观要求 ．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养 学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验， 感受成功的体验． ．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习 数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际． 教学重点 . 经历探索圆锥侧面积计算公式的过程． ．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． 教学难点 经历探索圆锥侧面积计算公式． 教学方法 观察——想象——实践——总结法 教具准备 一个圆锥模型(纸做) 投影片两张 第一张：(记作§． ) 第二张：(记作§． ) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]大家见过圆锥吗?你能举出实例吗? [生]见过，如漏斗、蒙古包． [师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗?请大家互相交流． [生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的． [师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢?应怎样计算它的面积呢?本节课我们将解决这些 问题． Ⅱ．新课讲解 一、探索圆锥的侧面展开图的形状 [师](向学生展示圆锥模型)请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图是 什么形状． [生]圆锥的侧面展开图是扇形． [师]能说说理由吗? [生甲]因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学习的．上节 课的内容是弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而弧长不是面积，所以我猜想 圆锥的侧面展开图应该是扇形． [师]这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，还有其他理 由吗? [生乙]我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一个圆锥模型． [师]很好，究竟大家的猜想是否正确呢?下面我就给大家做个演示(把圆锥沿一母线剪 开)，请大家观察侧面展开图是什么形状的? [生]是扇形． [师]大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形面 积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的半 径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢?这将是我们进一步研究的对象． 二、探索圆锥的侧面积公式 [师]圆锥的侧面展开图是 一个扇形，如图，设圆锥的母 线( )长为， 底面圆的半径为，那么这个圆 锥的侧面展开图中扇形的半径即 为母线长，扇形的弧长即为底 面圆的周长π，根据扇形面积公式 可知＝ 2 1 ·π·＝π．因此圆锥的侧面积为侧＝π． 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全 面积()，全面积为全ππ． 三、利用圆锥的侧面积公式进行计算． 投影片(§． ) 圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为 ，高为， 要制作顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸?(结果精确到．) 分析：根据题意，要求纸帽的面积， 即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的 周长，从中可求出底面圆的半径，从而 可求出扇形的弧长，在高、底面圆的半 径、母线组成的直角三角形中，根据勾 股定理求出母线，代入侧π中即可． 解：设纸帽的底面半径为 ，母线长为，则 2 58 , 22 20) 2 58(   ≈．， 圆锥侧π≈ 2 1 ××．．． ．×＝． ． 所以，至少需要． 的纸． 投影片(§． ) 如图，已知△ 的斜边＝，一条 直角边 ，以直线 为轴旋转一周得一个几 何体．求这个几何体的表 面积． 分析：首先应了解这个几何体 的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和．根据侧＝ 360 n π或侧π可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为垂直于底面圆，在 △中，由、、可求出，问题就解决了． 解：在△中，＝＝， ∴ ． ∵·＝·， ∴ 13 60 13 125     AB ACBC ． ∴表π()π× 13 60 ×() 13 1020 π． Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了如下内容： 探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算． Ⅴ．课后作业 习题． Ⅵ．活动与探究 探索圆柱的侧面展开图 在生活中，我们常常遇到圆柱形的物体，如油桶、铅笔、圆形柱子等，在小学我们已知 圆柱是由两个圆的底面和一个侧面围成的，底面是两个等圆，侧面是一个曲面，两个底面之 间的距离是圆柱的高． 圆柱也可以看作是由一个矩形旋转得到的，旋转轴叫做圆柱的轴，圆柱侧面上平行于轴 的线段都叫做圆柱的母线．容易看出，圆柱的轴通过上、下底面的圆心，圆柱的母线长都相 等，并等于圆柱的高，圆柱的两个底面是平行的． 如图，把圆柱的侧 面沿它的一条母线剪开， 展在一个平面上，侧面 的展开图是矩形，这个 矩形的一边长等于圆柱 的高，即圆柱的母线长， 另一边长是底面圆的周长， 所以圆柱的侧面积等于底 面圆的周长乘以圆柱的高． [例]如图()，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形．已知 ，＝ ，求这个圆柱形木 块的表面积(精确到 )． 解：如图()，是圆柱底面的直径，是圆柱的母线，设圆柱的表面积为，则圆侧． ∴π( 2 18 )π× 2 18 ×ππ≈ ． 所以这个圆柱形木块的表面积约为 板书设计 §． 圆锥的侧面积 一、．探索圆锥的侧面展开图的形状， ．探索圆锥的侧面积公式； ．利用圆锥的侧面积公式进行计算． 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料 参考练习 ．圆锥母线长 ，底面半径为 ，那么它的侧面展形图的圆心角是…( ) ．° ．° . ° ．° ．若一个圆锥的母线长是它底面圆半径的倍，则它的侧面展开图的圆心角是( ) ．° . ° ．° ．° ．在半径为 的图形铁片上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制做成一个底面直径为 ，母 线长为 的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角的度数为( ) ．° ．° ．° ．° ．用一个半径长为的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为 ( ) ． ． ． ． 答案：． ． ． ． 二次函数 【知识点八：二次函数解析式的表示方法】 1．一般式： 2y ax bx c   （ a， b， c为常数， 0a  ）； 2．顶点式： 2( )y a x h k   （ a， h， k为常数， 0a  ）； 3．两点式： 1 2( )( )y a x x x x   （ 0a  ， 1x ， 2x 是抛物线与 x轴两交点的横坐标）． 【注意】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数 都可以写成交点式，只有抛物线与 x轴有交点，即 2 4 0b ac  时，抛物线的解析式才可以用 交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化． 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情 况： 1．已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2．已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3．已知抛物线与 x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； 4．已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 【典型例题】 1、根据下面条件求二次函数的解析式： （1）抛物线过（－1，－6）、（1，－2）和（2，3）三点； （2）抛物线的顶点坐标为（－1，－1），且与 y 轴交点的纵坐标为－3； （3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点； （4）抛物线在 x 轴上截得的线段长为 4，且顶点坐标是（3，－2）． 2、把抛物线 y=x2+2x－3 向左平移 3 个单位，然后向下平移 2 个单位，则所得的抛物线的解 析式为 ． 3、二次函数有最小值为 1- ，当 0x = 时， 1y = ，它的图象的对称轴为 1x = ，则函数 的关系式 为 ． 4、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y (m)与水平距离 x (m)之 间的函数关系式为 y＝－ 1 12x 2＋ 2 3 x＋ 5 3，求小明这次试掷的成绩及铅球出手时的高度． 【变式练习】 1、抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)三点， 则 a= ，b= ，c= ． 2、抛物线 2y x bx c    的图象如图 6 所示，则此抛物线的 解析式为 ． 3、已知二次函数 2y ax bx c   中的 x y， 满足下表： x … 2 1 0 1 2 … y … 4 0 2 2 0 … 求这个二次函数关系式． 4、如图，已知抛物线与 x交于 A(－1，0)、E(3，0)两点，与 y轴交于点 B(0，3)．求抛物线 的解析式． 5、已知二次函数的图象与 x 轴交于 A（－2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是 2． （1） 求二次函数的图象的解析式； （2） 设次二次函数的顶点为 P，求△ABP 的面积． 6．已知抛物线 2y ax bx  经过点 ( 3 3)A  ， 和点P（t，0），且 t ≠ 0． （1）若该抛物线的对称轴经过点 A，如图 12，请通过观察图象，指出此时 y 的最小值，并写 出 t的值； A OP x y 图 12 － 3 － 3 x y O （2）若 4t   ，求 a、b 的值，并指出此时抛物线的开口方向； （3）直．接．写出使该抛物线开口向下的 t的一个值． 7、（1）请在坐标系中画出二次函数 2 2y x x   的大致图象； （2）在同一个坐标系中画出 2 2y x x   的图象向上平移两个 单位后的图象； （3）直接写出平移后的图象的解析式． 注：图中小正方形网格 的边长为1． 8．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点 A处出手，出手时球离地面约 123．铅球落地 点在 B处，铅球运行中在运动员前 4m处（即 OC=4）达到最高点，最高点高为 3m．已知铅 球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗? 9、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20m，拱顶距离水面 4m． （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式． （2）在正常水位的基础上，当水位上升 h(m)时，桥下水面的宽度为 d(m)， 试求出用 d 表示 h 的函数关系式； （3）设正常水位时桥下的水深为 2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水 面的宽度不得小于 18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行? 10、如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平 距离为 2．5 米时，达到最大高度 3．5 米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离 为 3．05 米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）该运动员身高 1．8 米，在这次跳投中，球在头顶上方 0．25 米处出手，问：球出手时， 他跳离地面的高度是多少? 【提高练习】 1、已知二次函数的图象经过( )1,1- 、( )2,1 两点，且与x 轴仅有一个交点，求二次函数的 解析式． A B P x y O C（5，4） 0 x y A B C 2、如图，抛物线 2 5 4y ax ax a   与 x轴相交于点 A、B，且过点 (5 4)C ， ． （1）求 a的值和该抛物线顶点 P 的坐标； （2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限， 并写出平移后抛物线的解析式． 3、抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0，－1)与点(3，2)，顶点在直线 y=3x－3 上，a<0，求此二次函 数的解析式． 4、如图二次函数 2y x bx c   的图象经过 A(－1，0)和  3 0B ， 两点，且交 y轴于点C． （1）试确定b、 c的值； （2）过点C作CD x∥ 轴交抛物线于点D，点M 为此抛物线的顶点， 试确定 MCD△ 的形状． 5、如图，在平面直角坐标系 x O y中，等腰梯形 OABC 的下底边 OA 在 x的正半轴上，BC∥OA， OC=AB，tan∠BAO= 3 4 ，点 B 的坐标为（7，4）． （1）求 A、C 的坐标； （2）求经过点 O、B、C 的抛物线的解析式； 6．某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所 示坐标系上经过原点 O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）． 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距离 水面 10 米，入水处距池边的距离为 4m，同时，运动员在距水面高度 为 5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会 出现失误． （1）求这条抛物线的解析式． （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是图中的抛物 线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 3 m，问此次跳水会不会失 误? 并通过计算说明理由． 7． （香港）今有网球从斜坡 O点外抛出，网球的抛物路线方程是 y=4x－ x2， 斜坡的方 程是 y= x，其中 y是垂直高度（米），x是与 O点的水平距离（米） （1）网球落地时撞击斜坡的落点为 A，写出 A点的垂直高度，以及 A点与 O点的水平距离． （2）在图象中，标出网球所能达到的最高点 B，并求 OB与水平线 OX之间夹角的正切． 8、以 x 为自变量的函数 )34()12( 22  mmxmxy 中，m 为不小于零的整数， 它的图象与 x 轴交于点 A 和 B，点 A 在原点左边，点 B 在原点右边．(1)求这个二次函数的解 析式；(2)一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A，与这个二次函数的图象交于点 C，且 ABCS =10， 求这个一次函数的解析式． 【知识点九：二次函数与一元二次方程和不等式的关系】 1．二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x轴交点情况）： 一元二次方程 2 0ax bx c   是二次函数 2y ax bx c   当函数值 0y  时的特殊情况． 图象与 x轴的交点个数：  当 2 4 0b ac    时，图象与 x轴交于两点    1 20 0A x B x， ， ， 1 2( )x x ，其中的 1 2x x， 是一元二次方程  2 0 0ax bx c a    的两根．这两点间的距离 2 2 1 4b acAB x x a     ．  当 0  时，图象与 x轴只有一个交点；  当 0  时，图象与 x轴没有交点． 1' 当 0a  时，图象落在 x轴的上方，无论 x为任何实数，都有 0y  ； 2' 当 0a  时，图象落在 x轴的下方，无论 x为任何实数，都有 0y  ． 2．抛物线 2y ax bx c   的图象与 y轴一定相交，交点坐标为 (0 ， )c ； 3．二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 2y ax bx c   中 a，b，c的符号，或由二次函数中 a， b， c的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或 已知与 x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标． ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 2 ( 0)ax bx c a   本身就是所含字母 x的二次函数；下面以 0a  时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间 的内在联系： 【典型例题】 1、已知二次函数 772  xkxy 与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 ． 0  抛物线与 x轴有两个 交点 二次三项式的值可正、可零、 可负 一元二次方程有两个不相等实根 0  抛物线与 x轴只有一 个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数 根 0  抛物线与 x轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根． 2、抛物线 222  kxxy 与 x轴交点的个数为（ ） A、0 B、1 C、2 D、以上都不对 3、二次函数 cbxaxy  2 对于 x 的任何值都恒为负值的条件是（ ） A、 0,0 a B、 0,0 a C、 0,0 a D、 0,0 a 4、若方程 02  cbxax 的两个根是－3 和 1，那么二次函数 cbxaxy  2 的图象的 对称轴是直线（ ） A、 x＝－3 B、 x＝－2 C、 x＝－1 D、 x＝1 5、画出二次函数 322  xxy 的图象，并利用图象求方程 0322  xx 的解，说明 x 在什么范围时 0322  xx ． 【变式练习】 1、已知二次函数 2y x px q= + + 的图象与x 轴只有一个公共点，坐标为( )1,0- ，求 ,p q 的值． 2、如图： （1） 求该抛物线的解析式； （2） 根据图象回答：当 x为何范围时，该函数值大于 0． 3、二次函数 cbxaxy  2 的图象过 A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，点 D 在函数图象上， 点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点 B、D，求（1）一次函数和二 次函数的解析式，（2）写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围． 【提高练习】 1、关于 x的一元二次方程 02  nxx 没有实数根，则抛物线 nxxy  2 的顶点在第 _____象限． 2、 12  kxxy 与 kxxy  2 的图象相交，若有一个交点在 x轴上，则 k为（ ） A、0 B、－1 C、2 D、 4 1 3、已知二次函数 22  aaxxy ．求证：不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两 个交点． 4、已知一元二次方程 2 1 0x px q    的一根为 2． （1）求 q关于 p的关系式； （2）求证：抛物线 2 y x px q   与 x轴有两个交点； 5．阅读材料，解答问题． 例：用图象法解一元二次不等式： 2 2 3 0x x   ． 解：设 2 2 3y x x   ，则 y是 x的二次函数．∵a =1>0，∴抛物线开口向上． 又∵当 0y  时， 2 2 3 0x x   ，解得 1 21 3x x  ， ． 由此得抛物线 2 2 3y x x   的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当 1x   或 3x  时， 0y  ．  2 2 3 0x x   的解集是： 1x   或 3x  ． （1）观察图象，直接写出一元二次不等式： 2 2 3 0x x   的解集是__________________； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式： 2 1 0x   ．（大致图象画在答题卡．．．上） 6、已知关于 x的函数 2 1y ax x   （ a为常数） （1）若函数的图象与 x轴恰有一个交点，求 a的值； （2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在 x轴上方，求 a的取值范围． 7、已知抛物线 2 2y x mx m= - + - ． （1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点； （2）若m 是整数，抛物线 2 2y x mx m= - + - 与x 轴交于整数点，求m 的值； （3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为 A，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为 B．若 M 为坐标轴上一点，且 MA=MB，求点 M 的坐标． 【知识点十：二次函数最值与实际问题】 1、如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 2 bx a   时， 24 4 ac by a  最值 ． 2、如果自变量的取值范围是 1 2x x x  ，那么，首先要看 2 b a  是否在自变量取值范围 1 2x x x  内，若在此范围内，则当 2 bx a   时， 24 4 ac by a  最值 ；若不在此范围内，则 需要考虑函数在 1 2x x x  范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当 2x x 时， 2 2 2y ax bx c  最大 ，当 1x x 时， 2 1 1y ax bx c  最小 ；如果在此范围内， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ， 则 当 1x x 时 ， 2 1 1y ax bx c  最大 ， 当 2x x 时 ， 2 2 2y ax bx c  最小 ． 3、二次函数应用      刹车距离 何时获得最大利润 最大面积是多少 【典型例题】 1、出售某种文具盒，若每个获利 x元，一天可售出  6 x 个，则当 x  元时， 一天出售该种文具盒的总利润 y最大． 2、将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形， 则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2． 3．已知抛物线 2y ax bx c   （ a >0）的对称轴为直线 1x  ，且经过点    21 2y y 1， ， ， ， 试比较 1y 和 2y 的大小： 1y _ 2y （填“>”，“<”或“=”） 4、用 6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才 能使做成的窗框的透光面积最大? 最大透光面积是多少? 5、如图 14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距 80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道 的宽度相等．设甬道的宽为 x米． （1）用含 x的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米． 如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的 宽度成正比例关系，比例系数是 5．7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米 0．02 万元， 那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少? 最少费用是多少万元? 图 14 O 6、某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的 售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件商品的售价上涨 x 元（ x为正整数），每个月的销售利润为 y元． （1）求 y与 x的函数关系式并直接写出自变量 x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润? 最大的月利润是多少元? （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元? 根据以上结论，请你 直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元? 7、如图 1， Rt ABC 中， 90A  ， 3tan 4 B  ，点 P在线段 AB上运动，点Q、 R分 别在线段 BC、 AC上，且使得四边形 APQR是矩形．设 AP的长为 x，矩形 APQR的面 积为 y，已知 y是 x的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图 2 所示）． （1）求 AB的长； （2）当 AP为何值时，矩形 APQR的面积最大，并求出最大值． 为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论： 张明：图 2 中的抛物线过点（12，36）在图 1 中表示什么呢? 图 1 李明：因为抛物线上的点 ( , )x y 是表示图 1 中 AP的长与矩形 APQR面积的对应关系，那 么(12，36)表示当 12AP  时， AP的长与矩形 APQR面积的对应关系． 赵明：对，我知道纵坐标 36 是什么意思了！ 孔明：哦，这样就可以算出 AB，这个问题就可以解决了． 请根据上述对话，帮他们解答这个问题． R Q P C BA B C NM A 图 2 【变式练习】 1、某商品的进价为每件 40 元．当售价为每件 60 元时，每星期可卖出 300 件，现需降价处 理，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．在确保盈利的前提下，解答下列 问题： （1）若设每件降价 x元、每星期售出商品的利润为 y元，请写出 y与 x的函数关系式，并 求出自变量 x的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大? 最大利润是多少? （3）请画出上述函数的大致图象． 2、如图，已知一个三角形纸片 ABC，BC边的长为 8，BC边上的高为6 ， B 和 C 都 为锐角，M 为 AB一动点（点M 与点 A B、 不重合），过点M 作MN BC∥ ，交 AC于点 N ，在 AMN△ 中，设MN的长为 x，MN上的高为 h． （1）请你用含 x的代数式表示 h． （2）将 AMN△ 沿MN折叠，使 AMN△ 落在四边形BCNM 所在平面，设点 A落在平面 的点为 1A， 1AMN△ 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y，当 x为何值时， y最大，最 大值为多少? 3、凯里市某大型酒店有包房 100 间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费 100 元时， 包房便可全部租出；若每间包房收费提高 20 元，则减少 10 间包房租出，若每间包房收费再 提高 20 元，则再减少 10 间包房租出，以每次提高 20 元的这种方法变化下去． （1）设每间包房收费提高 x（元），则每间包房的收入为 y1（元），但会减少 y2间包房 租出，请分别写出 y1、y2与 x 之间的函数关系式． （2）为了投资少而利润大，每间包房提高 x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收 入为 y（元），请写出 y 与 x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获 得最大包房费收入，并说明理由． 【提高练习】 1、如图所示．某校计划将一块形状为锐角三角形 ABC 的空地进行生态环境改造．已知△ABC 的边 BC 长 120 米，高 AD 长 80 米．学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC 和矩形 EFGH 四部分(如图)．其中矩形 EFGH 的一边 EF 在边 BC 上．其余两个顶点 H、G 分别在边 AB、AC 上．现计划在△AHG 上种草，每平方米投资 6 元；在△BHE、△FCG 上都种花，每平方米投 资 10 元；在矩形 EFGH 上兴建爱心鱼池，每平方米投资 4 元． (1)当 FG 长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等? (2)当矩形 EFGH 的边 FG 为多少米时，△ABC 空地改造总投资最小? 最小值为多少? EA B G N D M C 2、某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施 的下部 ABCD 是矩形，其中 AB=2 米，BC=1 米；上部 CDG 是等边三角形，固定点 E 为 AB 的 中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿 设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆． （1）当 MN 和 AB 之间的距离为 0．5 米时，求此时△EMN 的面积； （2）设 MN 与 AB 之间的距离为 x米，试将△EMN 的面积 S（平方米）表示成关于 x 的函数； （3）请你探究△EMN 的面积 S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有， 请说明理由． 3、某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获 利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数 y kx b  ， 且 65x  时， 55y  ； 75x  时， 45y  ． （1）求一次函数 y kx b  的表达式； （2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价 x之间的关系式；销售单价定 为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元? （3）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 x的范围． 4、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销 售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发 现这种水产品的每千克售价 1y （元）与销售月份 x（月）满 足关系式 3 36 8 y x   ，而其每千克成本 2y （元）与销售 月份 x（月）满足的函数关系如图所示． （1）试确定b c、 的值； （2）求出这种水产品每千克的利润 y（元）与销售月份 x（月）之间的函数关系式； （3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大? 最大利润是多少? 5、如图 17，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度 OM 为 12 米． 现 以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系． (1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－ DC－ CB，使 C、D 点在抛物线上， A、B 点在地面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少? 25 24 y2（元） x（月）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2 1 8 y x bx c   O 6、某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内， 甲种水果的销售利润 y甲（万元）与进货量 x（吨）近似满足函数关系 0.3y x甲 ；乙种水 果的销售利润 y乙 （万元）与进货量 x （吨）近似满足函数关系 2y ax bx 乙 （其中 0a a b ， ， 为常数），且进货量 x为 1 吨时，销售利润 y乙为 1．4 万元；进货量 x为 2 吨 时，销售利润 y乙为 2．6 万元． （1）求 y乙（万元）与 x（吨）之间的函数关系式． （2）如果市场准备进甲、乙两种水果共 10 吨，设乙种水果的进货量为 t吨，请你写出这两 种水果所获得的销售利润之和W（万元）与 t（吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果 各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少? 7、茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题： 出厂价 成本价 排污处理费 甲种塑料 2100（元/吨） 800（元/吨） 200（元/吨） 乙种塑料 2400（元/吨） 1100（元/吨） 100（元/吨） 每月还需支付设备管理、维护费 20000 元 （1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各 x吨，利润分别为 1y 元和 2y 元，分别求 1y 和 2y 与 x的函数关系式（注：利润=总收入－总支出）； （2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过 400 吨，若某月要生产甲、乙两种塑料 价 目品 种 1200 800 0 400 y(台) x(元) z(元) x(元) 200 160 2000 图① 图② 共 700 吨，求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大? 最大利润是多少? 8．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买 彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电 台数 y（台）与补贴款额 x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额 x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益 Z （元）会相应降低且 Z 与 x之间 也大致满足如图②所示的一次函数关系． （1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元? （2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数 y和每台家电的收益 Z 与政府 补贴款额 x之间的函数关系式； （3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额 x定为多少?并 求出总收益w的最大值． 九年级数学下册教学计划 一、学情分析： 本学期我仍担任初三年级的数学教学工作，经过上一学期的努 力，很多学生在学习风气上有了较大的改变，学习积极性有所提高， 也有不少学生自知能力较差，特别是到了最后一学期，有些学生对自 己要求不严，甚至自暴自弃，这些都需要针对不同情况采取相应的措 施，耐心教育，此外，面临中考阶段对学生要有总体的掌握，使之考 出好成绩。 二、教材分析 本学期的内容只剩两章，：圆与统计与概率。 圆这一章的主要内容是圆的定义和性质，点、直线、圆与圆的位 置关系，圆的切线，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图。本章设 涉及的概念、定理较多，应弄清来龙去脉，准确理解和掌握概念和定 理。垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。 垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问题， 是本章的难点。 统计与概率这章有总体与样本、用样本估计这两节内容。统计是 统计理论和应用的一项重要内容，其基本思想是通过部分估计全体。 本章在介绍总体、个体、样本、样本容量的概念后，先后以百分比、 平均数和方差为例，介绍了用样本估计总体的统计思想方法。 除了这两章，还要复习初中数学教材其他的内容。 三、教学目标： 1、知识与技能：理解点、直线、圆与圆的位置关系，弧长和扇 形的面积，圆锥的侧面展开图，掌握圆的切线及与圆有关的角等概念 和计算。教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能 力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学 会正确、合理的进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。 会用归纳演绎、类比进行简单的推理，提高学生学习数学的兴趣，逐 步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度，掌握初中数学教 材、数学学科“基本要求”的知识点。 2、过程与方法：经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与 实践，又反应用于实践，通过探索、学习，使学生逐步学会正确、合 理的进行运算，逐步学会观察、分析、综合、抽象、会用归纳、演绎、 类比进行简单的推理，围绕初中数学教材、数学学科“基本要求”进 行知识梳理，围绕初中数学主要内容进行专题复习，适时地进行分层 教学，面向全体学生、培养学生、发展全体学生。 3、情感目标及价值观：通过学习交流、合作、讨论的方式，积 极探索，激发学生的学习兴趣，改进学生的学习方式，提高学习质量， 逐步形成正确的教学价值观，使学生的情感得到发展。 四、教学重点与难点 重点： 《圆》这章中垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理 是本章的重点。 《统计与概率》这章的重点是用样本的某种特殊性来估计总体的 统计思想方法。 难点： 垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问 题，以及根据三视图描述基本的几何体或实物原型。 统计估计是用样本的某种特殊性来估计总体的统计思想方法。 五、教学中要采取的措施： 1、认真学习钻研新课标，通盘熟悉初中数学教材及教学目标， 认真备好每一堂课，精心制作总复习计划。 2、认真上好每一堂课，抓住关键，分散难点，突出重点，在培 养能力上下功夫。 3、重视课后反思，及时将每一节课的得失记录下来，不断的积 累教学经验。 4、积极与其他老师沟通，提高教学水平。 5、积极听取家长与学生良好的合理建议。 6、以“两头”带“中间”的战略。 7、注重教学中的自主学习、合作学习、探索学习等学习方法的 引导。 复习总计划 一、第一阶段：全面复习基础知识，加强基本技能训练 这个阶段的复习目的是让学生全面掌握初中数学基础知识，提高 基本技能，做到全面、扎实、系统，形成知识网络。 1、重视课本，系统复习。现在中考命题仍然以基础题为主，有 些基础题是课本上的原题或改造，后面的大题虽是“高于教材”，但 原型一般还是教材中的例题或习题，是教材中题目的引伸、变形或组 合，所以第一阶段复习应以课本为主。 2、按知识板块组织复习。把知识进行归类，将全初中数学知识 分为十一讲：第一讲数与式；第二讲方程与不等式；第三讲函数；第 四讲统计与概率；第五讲基本图形；第六讲 图形与变换；第七讲角、 相交线和平行线；第八讲 三角形；第九讲 四边形；第十讲三角函数； 第十一讲圆。 复习中由教师提出每个讲节的复习提要，指导学生按“提要”复 习，同时要注意引导学生根据个人具体情况把遗忘了知识重温一遍， 边复习边作知识归类，加深记忆，注意引导学生弄清概念的内涵和外 延，掌握法则、公式、定理的推导或证明，例题的选择要有针对性、 典型性、层次性，并注意分析例题解答的思路和方法。 3、重视对基础知识的理解和基本方法的指导。基础知识即初中 数学课程中所涉及的概念、公式、公理、定理等。要求学生掌握各知 识点之间的内在联系，理清知识结构，形成整体的认识，并能综合运 用。例如一元二次方程的根与二次函数图形与 x 轴交点之间的关系， 是中考常常涉及的内容，在复习时，应从整体上理解这部分内容，从 结构上把握教材，达到熟练地将这两部分知识相互转化。又如一元二 次方程与几何知识的联系的题目有非常明显的特点，应掌握其基本解 法。 中考数学命题除了着重考查基础知识外，还十分重视对数学方法 的考查，如配方法，判别式法等操作性较强的数学方法。在复习时应 对每一种方法的内涵，它所适应的题型，包括解题步骤都应熟练掌握。 4、重视对数学思想的理解及运用。如函数的思想，方程思想， 数形结合的思想等 二、第二阶段：综合运用知识，加强能力培养 中考复习的第二阶段应以构建初中数学知识结构和网络为主，从 整体上把握数学内容，提高能力。 培养综合运用数学知识解题的能力，是学习数学的重要目的之 一。这个阶段的复习目的是使学生能把各个讲节中的知识联系起来， 并能综合运用，做到举一反三、触类旁通。这个阶段的例题和练习题 要有一定的难度，但又不是越难越好，要让学生可接受，这样才能既 激发学生解难求进的学习欲望，又使学生从解决较难问题中看到自己 的力量，增强前进的信心，产生更强的求知欲。第二阶段就是第一阶 段复习的延伸和提高，应侧重培养学生的数学能力。这一阶段尤其要 精心设计每一节复习课，注意数学思想的形成和数学方法的掌握。初 中总复习的内容多，复习必须突出重点，抓住关键，解决疑难，这就 需要充分发挥教师的主导作用。而复习内容是学生已经学习过的，各 个学生对教材内容掌握的程度又各有差异，这就需要教师千方百计地 激发学生复习的主动性、积极性，引导学生有针对性的复习，根据个 人的具体情况，查漏补缺，做知识归类、解题方法归类，在形成知识 结构的基础上加深记忆。除了复习形式要多样，题型要新颖，能引起 学生复习的兴趣外，还要精心设计复习课的教学方法，提高复习效益。 教学进度表 周次 教学内容 周课时 1 1、圆的基本概念；2、直线与圆的位置关系； 4 2 3、圆与圆的位置关系； 5 3 弧长及扇形的面积；测试与评讲； 5 4 统计与概率 5 5 第一讲 数与式 5 1.1有理数 1.2实数 1.3代数式 1.4整式 6 1.5分式第一讲 测试与评讲 第二讲 方程与不等式 2.1方程与方程组 5 7 2.2不等式与不等式组 第二讲 测试与评讲 第三讲 函数 3.1平面直角坐标系 3.2函数 5 8 3.3 一次函数 3.4 反比例函数 3.5 二次函 数 第三讲 测试与评讲 5 9 第四讲 统计与概率 6.1统计 6.2概率 5 10 第五讲 基本图形 第七讲 角、相交线和平行线 第八讲 三角形 第九讲 四边形 第十一讲圆 5 11 第五讲 测试与评讲 第六讲 图形与变换 6.1图形的轴对称 6.2图形的平移 5 12 6.3图形的旋转 6.4图形的相似 第六讲 测试与评讲 5 13 五一放假 5 14 专题一 选择题专题 专题二 开放探索题 专题三 阅读理解题 5 15 专题四 方案设计题 专题五 跨学科综合题 专题六 动手操作题 5 16 专题七 图表信息题 5 17 专题八 数学应用问题 专题九 数学综合题 专题十 课题学习 5 18 初中学生学业考试 5 九年级下学期数学教学计划 本学期是九年级的第二个学期,总复习教学时间紧，任务重，要 求高，如何提高数学总复习的质量和效益，是每位毕业班数学教师必 须面对的问题。下面我谈谈本学期的教学计划和中考总复习具体做 法。 一、预备阶段(第 1 周——第 4周)：完成未学完的新课。 由于各种原因，我班对于九年级下册的新课没有上完，《圆》的 知识没有讲授，从而严重影响中考备考，所以尽可能地尽早结束新课。 二、第一阶段(第 4 周——第 12 周)：全面复习基础知识，加强 基本技能训练。 这个阶段的复习目的是让学生全面掌握初中数学基础知识，提高 基本技能，做到全面、扎实、系统，形成知识网络。 1、重视课本，系统复习。现在中考命题仍然以基础题为主，有 些基础题是课本上的原题或改造，后面的大题虽是“高于教材”，但 原型一般还是教材中的例题或习题，是教材中题目的引伸、变形或组 合，所以第一阶段复习应以课本为主。 2、按知识板块组织复习。把知识进行归类，将全初中数学知识 分为十一讲：第一讲数与式；第二讲方程与不等式；第三讲函数；第 四讲统计与概率；第五讲基本图形；第六讲 图形与变换；第七讲角、 相交线和平行线；第八讲三角形；第九讲 四边形；第十讲三角函数 学；第十一讲圆。复习中由教师提出每个讲节的复习提要，指导学生 按“提要”复习，同时要注意引导学生根据个人具体情况把遗忘了知 识重温一遍，边复习边作知识归类，加深记忆，注意引导学生弄清概 念的内涵和外延，掌握法则、公式、定理的推导或证明，例题的选择 要有针对性、典型性、层次性，并注意分析例题解答的思路和方法。 3、重视对基础知识的理解和基本方法的指导。基础知识即初中 数学课程中所涉及的概念、公式、公理、定理等。要求学生掌握各知 识点之间的内在联系，理清知识结构，形成整体的认识，并能综合运 用。例如一元二次方程的根与二次函数图形与 x 轴交点之间的关系， 是中考常常涉及的内容，在复习时，应从整体上理解这部分内容，从 结构上把握教材，达到熟练地将这两部分知识相互转化。又如一元二 次方程与几何知识的联系的题目有非常明显的特点，应掌握其基本解 法。 中考数学命题除了着重考查基础知识外，还十分重视对数学方法 的考查，如配方法，判别式法等操作性较强的数学方法。在复习时应 对每一种方法的内涵，它所适应的题型，包括解题步骤都应熟练掌握。 4、重视对数学思想的理解及运用。如函数的思想，方程思想， 数形结合的思想等 三．第二阶段(第 13 周——第 18 周)：综合运用知识，加强能力 培养 中考复习的第二阶段应以构建初中数学知识结构和网络为主，从 整体上把握数学内容，提高能力。培养综合运用数学知识解题的能力， 是学习数学的重要目的之一。这个阶段的复习目的是使学生能把各个 讲节中的知识联系起来，并能综合运用，做到举一反三、触类旁通。 这个阶段的例题和练习题要有一定的难度，但又不是越难越好，要让 学生可接受，这样才能既激发学生解难求进的学习欲望，又使学生从 解决较难问题中看到自己的力量，增强前进的信心，产生更强的求知 欲。第二阶段就是第一阶段复习的延伸和提高，应侧重培养学生的数 学能力。这一阶段尤其要精心设计每一节复习课，注意数学思想的形 成和数学方法的掌握。初中总复习的内容多，复习必须突出重点，抓 住关键，解决疑难，这就需要充分发挥教师的主导作用。而复习内容 是学生已经学习过的，各个学生对教材内容掌握的程度又各有差异， 这就需要教师千方百计地激发学生复习的主动性、积极性，引导学生 有针对性的复习，根据个人的具体情况，查漏补缺，做知识归类、解 题方法归类，在形成知识结构的基础上加深记忆。除了复习形式要多 样，题型要新颖，能引起学生复习的兴趣外，还要精心设计复习课的 教学方法，提高复习效益。 三、教学进度 周次 教学内容 周课时 1 1、圆的基本概念；2、直线与圆的位置关系； 5 2 3、圆与圆的位置关系； 5 3 弧长及扇形的面积；测试与评讲； 5 4 统计与概率 5 5 第一讲 数与式 1.1 有理数 1.2 实数 1.3 代数式 1.4 整式 5 6 1.5 分式第一讲 测试与评讲 第二讲方程与不等式 2.1 方程与方程组 5 7 2.2 不等式与不等式组 第二讲测试与评讲 第三讲 函数 3.1 平面直角坐标系 3.2 函数 5 8 3.3 一次函数 3.4 反比例函数 3.5 二次函数 第三讲 测试与评讲 5 9 第四讲 统计与概率 6.1 统计 6.2 概率 5 10 第五讲 基本图形 第七讲角、相交线和平行线 第八讲 三角形 第九讲 四边形 第十一讲圆 5 11 第五讲 测试与评讲 第六讲图形与变换 6.1 图形的轴对称 6.2 图形的平移 5 12 6.3 图形的旋转 6.4 图形的相似 第六讲 测试与评讲 5 13 五一放假 5 14 专题一 选择题专题 专题二开放探索题 专题三 阅读理解题 5 15 专题四 方案设计题 专题五跨学科综合题 专题六 动手操作题 5 16 专题七 图表信息题 5