北师大版九年级数学知识点汇总

北师大版九年级数学知识点汇总

.. . . .. 学习参考 九 年 级 数 学 知 识 点 汇 总 第一章 特殊平行四边形 一、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。 （2）平行四边形的对角相等，邻角互补。 （3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角 形。 （4）平行四边形是中心对称图形。 3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 .. . . .. 学习参考 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、面积：S 平行四边形=底ⅹ高 二、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形 分成四个全等的直角三角形。 （4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （3）四条边都相等的四边形是菱形。 4、面积：S 菱形=底ⅹ高；S 菱形=对角线乘积的一半 三、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。 （4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 4、面积：S 矩形=底ⅹ高 四、正方形 1、定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 2、性质：（1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。 （2）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 （3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直 角三角形。 .. . . .. 学习参考 （4）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）。 3、判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形=菱形+矩形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。 （4）对角线相等的菱形是正方形。 4、面积：S 正方形=边长的平方；S 正方形=对角线乘积的一半 五、中点四边形 1、定义：以四边形四条边的中点为顶点组成的四边形 2、中点四边形：一般四边形→平行四边形；平行四边形→平行四边形；菱形→矩形；矩形→菱形； 正方形→正方形。 第二章 一元二次方程 一、定义：我们把形如 2 ( , , )ax bx c o a b c a o   为常数， 的方程，称为一元二次方程。其中 2ax ，bx ， c 分别称为二次项，一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数。 二、解一元二次方程的方法 1、配方法：移项→二次项系数化为 1→配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）→开平方（有正 负两个结果）→求解→写根。 2、公式法：化为一般形式（ 2ax bx c o   ）→找出 a ，b ，c （记得带上符号）→代入根的判别式 （ 2 4b ac ）→代入求根公式 2 4 2 b b acx a    （ 2 4 0b ac  ）→求解→写根。 3、因式分解法：当一元二次方程的一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时可用因式分解法。 （1）提公因式法： 0ac bc  → ( ) 0c a b  （2）公式法：①平方差公式： 2 2 ( )( )a b a b a b    ②完全平方公式： 2 2 22 ( )a ab b a b    （3）十字相乘法： 2 ( ) ( )( )x p q x pq x p x q      三、一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程 2 ( )ax bx c o a o    （1）当 2 4 0b ac  时，方程有两个不相等的实数根。 （2）当 2 4 0b ac  时，方程有两个相等的实数根。 （3）当 2 4 0b ac  时，方程没有实数根。 四、一元二次方程根与系数之间的关系（韦达定理） .. . . .. 学习参考 如果方程 2 ( )ax bx c o a o    有两个实数根 1x ， 2x ，那么 1 2 bx x a    ， 1 2 cx x a  五、应用一元二次方程（1、几何面积问题；2、销售问题） 审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→ 检验→作答。 第三章 概率的进一步认识 一、列表法和化树状图法 1、列表法：当一次实验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能 的结果，通常采用列表法。 2、画树状图法：当一次实验涉及 3 个或更多因素时，列表就不方便，为了不重不漏地列出所有可能的结 果，通常采用画树状图法。 二、频率估计概率：一般的，在大量重复实验时，如果事件 A 发成的频率 m n 稳定于某个常数 P ，那么事 件 A 发生的概率  P A P .. . . .. 学习参考 第四章 图形的相似 一、成比例线段 1、定义：四条线段 , , ,a b c d 中，如果a 与b 的比等于c 与 d 的比，即 a c b d  ，那么这四条线段 , , ,a b c d 叫 做成比例线段，简称比例线段。 2、性质：（1）基本性质：如果 a c b d  ，那么 ad bc ； 如果ad bc  , , , 0a b c d都不等于 ，那么 a c b d  （2）等比性质：如果  = = 0a c m b d nb d n       ，那么 a c m a b d n b         （3）合比性质：如果 a c b d  ，那么 a b c d b d   ， a b c d b d   二、平行线分线段成比例 1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 三、相似多边形 1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比 2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 四、相似三角形 1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似 .. . . .. 学习参考 （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 （3）三边成比例的两个三角形相似 3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 五、黄金分割：点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC  AC BC ，如果 AC BC AB AC  ，那么称线段 AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比， 即 : 0.618:1AC AB  六、位似图形 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P , 'P 所在的直线都经过同一点O ，且有 'OP =  0k OP k  ，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤：（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描 出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标 都乘于同 一个数  0k k  ，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它 们的相似比为 k .. . . .. 学习参考 第五章 投影与视图 一、投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平 面叫做投影面 1、中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。如物体在灯泡发出的光照射下 形成的影子就是中心投影 2、平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影。如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影） 就是平行投影。若平行光线与投影面垂直，则这种投影称为正投影 二、三视图 1、视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图 2、三视图概念：（1）主视图：从正面得到的视图叫做主视图，反映物体的长和高 （2）左视图：从左面得到的视图叫做左视图，反映物体的长和宽 （3）俯视图：从上面得到的视图叫做俯视图，反映物体的高和宽 3、三视图特点：（1）主视图和俯视图的长对正 （2）主视图和左视图的高平齐 （3）左视图和俯视图的宽相等 .. . . .. 学习参考 第六章 反比例函数 一、定义：一般的，形如  0ky k kx  为常数， 的函数，叫做反比例函数。其中 x 是自变量， y 是函数。 自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数 二、表达式：1、 ky x  ； 2、 1y kx ； 3、 xy k 三、图象与性质 1、图象：由两条曲线组成（双曲线） 2、性质： 3、反比例 函数比例系数 k 的几何意义 如图，在反比例函数 ky x  上任取一点  ,P x y ，过这一点分别作 x 轴， y 轴 的垂线 PE ， PF 与坐标轴围成的矩形 PEOF 的面积 S xy k  4、对称性：（1）中心对称，对称中心是坐标原点 （2）轴对称：对称轴为直线 y x 和直线 y x  函数 k 图象 所在象限 增减性 ky x   0k k 为常数， 0k  第一、 三象限  ,x y同号 在同一象限内， y 随 x 的增大而减小 0k  第二、 四象限  ,x y异号 在同一象限内， y 随 x 的增大而增大 k 越大，函数图象越远离坐标原点 .. . . .. 学习参考 第七章 直角三角形的边角关系 一、锐角三角函数 在 Rt ABC 中， 90C   ，则 A 的三角函数为 二、特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° sin 2 1 2 2 2 3 cos 2 3 2 2 2 1 tan 3 3 1 3 三、解直角三角形 1、直角三角形的边角关系：（1）两锐角关系： 90A B     （2）三边关系： 2 2 2a b c  （勾股定理） （3）边角关系：sin cos aA B c   ，cos sin bA B c   tan aA b  ， tan bB a  2、解直角三角形的类型和解法 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 斜边 的对边AA sin c aA sin 1sin0  A (∠A 为锐角) BA cossin  BA sincos  1cossin 22  AA 余弦 斜边 的邻边AA cos c bA cos 1cos0  A (∠A 为锐角) 正切 的邻边 的对边 Atan   AA b aA tan 0tan A (∠A 为锐角) 1tan tanA B  已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐角  ,a A  2 290 , ,sin tan a aB A c b b c aA A         或 已知斜边和一个锐角  ,c A  2 290 , sin , cosB A a c A b c A b c a        或 对 边 邻边 斜边 A C B b ac 对 边 邻边 斜边 A C B b ac .. . . .. 学习参考 第八章 二次函数 一、概念：一般的，若两个变量 x ， y 之间的对应关系可以表示成  2 , , ,y ax bx c a b c a o   是常数 的形式，则称 y 是 x 的二次函数，其中， x 是自变量， , ,a b c 分别是函数解析式的二次项系 数、一次项系数和常数项 二、二次函数图象及其性质 1、图像与性质 已知两直角边 ,a b 2 2 , tan , 90ac a b A A B Ab         由 求 已知斜边和一条直角边  ,c a 2 2 , sin , 90ab c a A A B Ac         由 求 函数    2 , , , 0y a x h k a h k a   为常数  2 , , ,y ax bx c a b c a o   是常数 图象 0a  0a  0a  0a  性 质 开口 方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 对称轴 直线 x h 直线 2 bx a   增减性 当 x h 时， y 随的 x 增大而减小； 当 x h 时， y 随 x 的增大而增大 当 x h 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x h 时， y 随的 x 增大而减小； 当 2 bx a   时， y 随 的 x 增大而减小； 当 2 bx a   时， y 随 x 的增大而增大 当 2 bx a   时， y 随 x 的增大而增大； 当 2 bx a   时， y 随 的 x 增大而减小； 0a  时，在对称轴左侧， y 随 x 的增大而减小，在对称轴右侧， y 随 x 的增大而增大； 0a  时，在对称轴左侧， y 随 x 的增大而增大，在对称轴右侧， y 随 x 的增大而减小 顶点  ,h k 24,2 4 b ac b a a     最值 抛物线有最低点， 当 x h 时， y 有最 小值， y k最小值 抛物线有最高点， 当 x h 时， y 有最 大值 y k最大值 抛物线有最低点，当 2 bx a   时， y 有最 小值 抛物线有最高点，当 2 bx a   时， y 有最 大值 .. . . .. 学习参考 2、抛物线与 , ,a b c 的关系 三、二次函数表达式的确定。确定二次函数表示的方法仍是待定系数法，有以下三种方法： 1、一般式：若已知抛物线过三点，一般设函数表达式为  2y ax bx c a o    2、顶点式：若已知抛物线的顶点是 ,h k ，可设函数表达式为    2 0y a x h k a    3、交点式：若已知抛物线与 x 轴两个交点 1,0x ， 2,0x ，可设函数表达式    1 2 0y a x x x x a    四、二次函数的平移规律 五、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数  2y ax bx c a o    的图象与 x 轴的交点有三种情况：有两个交点；有一个交点；没有交 点，当图象与 x 轴有交点时，令 0y  ，解方程 2 0ax bx c   就可以求出与 x 轴交点的横坐标 24 4 ac by a 最小值 24 4 ac by a 最大值 a 决定抛物线开口方向 0a  ，抛物线开口向上； 0a  ，抛物线开口向下 决定抛物线开口大小 a 越大，开口越小 ,a b 决定抛物线对称轴位置， 对称轴为直线 2 bx a   0b  ，对称轴为 y 轴； 0ab  ，对称轴在 y 轴左侧； 同号在 左， 0ab  ，对称轴在 y 轴右侧 异号在 右 c 决定抛物线与 y 轴的交点位置 0c  ，抛物线过原点； 0c  ，抛物线与 y 轴交于正半轴； 0c  ，抛物线与 y 轴交于负半轴 , ,a b c 2 4b ac 决定抛物线与 x 轴的交点 2 4 0b ac  时，与 x 轴有两个交点； 2 4 0b ac  时，与 x 轴有一个交点； 2 4 0b ac  时，与 x 轴没有交点 24,2 4 b ac b a a     决定顶点位置 顶点坐标为 24,2 4 b ac b a a     移动方向 平移前的表达式 平移后的表达式 简记 向左平移 m 个单位  2y a x h k    2y a x h m k    左加 向右平移 m 个单位  2y a x h k    2y a x h m k    右减 向上平移 m 个单位  2y a x h k    2y a x h k m    上加 向下平移 m 个单位  2y a x h k    2y a x h k m    下减 注意 平移之前函数表达式必须先化为顶点式 2 4b ac   2 0ax bx c   的根 抛物线 2y ax bx c   与 x 轴的交点 0  两个不相等的实数根 两个交点 0  两个相等的实数根 一个交点 .. . . .. 学习参考 第九章 圆 一、圆的有关概念和性质 1、圆的基本概念： （1）圆：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点是圆心，定长是半径 （2）弦、直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径 （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧 （4）等圆、等弧：能够重合的圆叫做等圆；能够重合的弧叫做等弧 （5）圆心角：顶点在圆心，端点在圆上的角叫做圆心角 （6）圆周角：定点和端点都在圆上的角叫做圆周角 2、圆的性质 （1）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称图形，对称中心 是 圆心 （2）把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得到的图形都与原图形重合 （3）过不在同一直线上的三个点确定一个圆 二、与圆有关的定理和推论 0  没有实数根 没有交点 文字语言 图形 几何语言 圆 心 角 、 弧 、 弦 之 间 的 关 系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆 心角所对的弧相等，所对的 弦也相等 F E D C B A O 在同圆或等圆中， 1、圆心角相等： AOB DOE   2、弧相等： AB DE 3、弦相等： AB DE 以上条件知其中一个可得其二 推论：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角，两条弧，两条弦中 有一组相等，那么它们所对 应的其余各组量都分别相等 .. . . .. 学习参考 三、与圆有关的位置关系 1、点与圆、直线与圆的位置关系 圆 周 角 定 理 定理：圆周角的度数等于它所对的 弧的圆心角度数的一半 C B A O  AOB 是 AB 所对的圆心角， C 是 AB 所对的圆周角，  1 2C AOB   推论 1：同弧或等弧所对的圆周角 相等 D C B A O  C 和 D 都是 AB 所对的圆周角  C D   推论 2：直径所对的圆周角是直 角，90 的圆周角所对的 弦是直径 C B A O  AB 是 O 的直径 C 是 AB 所对的圆周角  90C    C 是 AB 所对的圆周角 90C    AB 是 O 的直径 推论 3：圆的内接四边形对角互补 E D C B A 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形  180B D     180BAD C     C DAE   垂 径 定 理 定理：垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧 O E D C B A  AB 是 O 的直径， AB CD  CE DE ， BC BD ， AC AD 推论：平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧  AB 是 O 的直径，CE DE  AB CD 于点 E BC BD ， AC AD 文字语言 图形 几何语言 .. . . .. 学习参考 2、切线的性质与判定 （1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 （2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 ②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 （3）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 ③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线 （4）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 3、三角形和圆 点 与 圆 的 位 置 关 系 r d d C B A O 设 O 的半径为 r ，点到圆心的距离为 d ， 则有: 点在圆外 点 A 在圆外 d r  点在圆上 点 B 在圆上 d r  点在园内 点C 在圆外 d r  直 线 与 圆 的 位 置 关 系 设 O 的半径为 r ，圆心O 到直线l 的距离为 d 则有： 相交：直线和圆有 两个公共点 r d 直线l 和 O 相交 d r  相切：直线和圆只 有一个公共 点 d=r 直线l 和 O 相切 d r  相离：直线和圆没 有公共点 d r 直线l 和 O 相离 d r  定义 外心、内心 性质 图形 三角形外接圆 经过三角形的三 个顶点可以作一 个圆，这个圆叫 做三角形的外接 圆 外接圆的圆心是 三角形三条边的 垂直平分线的交 点，叫做三角形 的外心 三角形的外心到 三角形三个顶点 的距离相等 .. . . .. 学习参考 四、与圆有关的计算 1、弧长和扇形面积 2、正多边形和圆 （1）正多边形的有关计算 （2）正多边形每个内角度数为  2 180n n    ，每个外角度数为 360 n  3、圆锥的有关计算 1. 若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。2. 若不是心宽似海，哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世里，为自己留下一片纯静的心灵空间，不管是潮起潮落，也不管是阴晴圆缺，你都可以免去浮躁，义无反顾，勇往直前，轻松自如地走好人生路上的每一步 3. 花一些时间，总会看清一些事。用一些事情，总会看清一些人。有时候觉得自己像个神经病。既纠结了自己，又打扰了别人。努力过后，才知道许多事情，坚持坚持，就过来了。4. 岁月是无情的，假如你丢给它的是一片空白，它还给你的也是一片空白。岁月是有情的，假如你奉献给她的是一些色彩，它奉献给你的也是一些色彩。你必须努力，当有一天蓦然回首时，你的回忆里才会多一些色彩斑斓，少一些苍白无力。只有你自己才能把岁月描画成一幅难以忘怀的人生画卷。 圆的周长 圆的弧长 圆的面积 扇形面积 S l B A O 2C r 180 n rl  2S r 2 1 360 2 n rS rl  r 为圆的半径； n 为弧所对的圆心角的度数；l 为扇形的弧长 中心角 边心距 周长 面积 B A O360 n  2 2 2 ar R       l na 1 2S rl n 为边数； r 为边心距； R 为半径；a 为边长 底面圆面积 地面圆周长 圆锥的高 侧面积 体积 B1 R r C B A O2S r 2C r 2 2h l r  2 1 360 2 n lS l C  侧 21 3V r h l 为母线长； r 为底面圆半径；h 为圆锥的高； n 为侧面展开后圆心角度数 三角形内切圆 与三角形各边都 相切的圆叫做三 角形的内切圆 内切圆的圆心是 三角形三个内角 的角平分线的交 点，叫做三角形 的内心 三角形的内心到 三角形三边的距 离相等 r n l